九年级分式与分式方程讲义

《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。

之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。

那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。

比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。

因为在这些方程中，分母中都含有未知数。

二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。

解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。

我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。

例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。

2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。

接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。

就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。

3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。

我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。

还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。

三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。

增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。

为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。

而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。

分式方程及其应用考点1:分式方程的相关概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．考点2:分式方程的解法（可化为一元一次方程的分式方程）解分式方程的一般步骤（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；（易漏乘）（2）解整式方程；（3）验根：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为0，则这个解不是原分式方程的解，分式方程无解；（4）得出解答.考点3:分式方程的应用列分式方程解应用题的六个步骤(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；(3)列：根据等量关系，列出方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)验：“双重验根”；(①检验是否是分式方程的解；②检验解是否符合题意)(6)答：写出答案．精选例题例1. (1)若x=3是分式方程2102a x x --=-的根，则a 的值是___________. (2).已知关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A.2>m B ．2≥mC ．32≠≥m m 且D ．32≠>m m 且 (3).若关于x 的方程ax 1+x −1=3x+1的解为整数，则满足条件的所有整数a 的和是( )A. 6B. 0C. 1D. 9例2 解下列分式方程:(1) 13112-=-x x ；(2)1416222-=-+-+x x x ； （3）2x+1+51−x =−10x 2−1 例3．观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果. 解分式方程：331221x x x x --=++． 解：去分母，得 2x+2﹣（x ﹣3）＝3x. ……………步骤1 去括号，得 2233x x x +--=. ……………步骤2移项，得 2323x x x --=-. ……………步骤3合并同类项，得21x -=-. ……………步骤4解得 12x =. ……………步骤5 所以，原分式方程的解为12x =. ……………步骤6 例4.当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解？ 例5．某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．例6. 今年初，新型冠状病毒肺炎侵袭湖北，武汉是重灾区，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．例7．某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3 120元购买A 型芯片的条数与用4 200元购买B 型芯片的条数相等．设该公司购买的A 型芯片的单价为x 元.(Ⅰ)根据题意，用含x 的式子填写下表：(Ⅱ)根据题意列出方程，求该公司购买的A、B型芯片的单价各为多少元．。

中考数学热点复习精讲【全国通用】第五讲分式、分式方程及其应用【命题趋势】分式在中考中的考察难度不大，考点多在于分式有意义的条件，以及分式的化简求值。

中考中，分式这个考点的占比并不太大，其中分式的化简求值问题为主要出题类型，出题多以简答题为主；个别城市会同步考察分式方程的简单应用，多以选择填空题为主，有些城市甚至不会出分式的单独考题；而分式方程的应用也和分式方程一样，较少出题，出题也基本是以选择题或者填空题的形式考察，整体难度较小。

但是，分式的化简方法以及分式方程的解法的全面复习对后期辅助几何综合问题中的计算非常重要！【知识导图】【满分技巧】考向一：分式的概念与性质1．分式的定义（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成AB的形式，如果除式B中含有字母，那么称AB为分式． （2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注】①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 1．下列四个式子：，x 2+x ，m ，，其中分式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若分式无意义，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若分式的值为零，则x 的值为（ ）A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．14．已知＝，则的值为（ ） A ．﹣B ．﹣C ．D ．5．把分式222x x y+中的x 和y 都扩大2倍，分式的值（ ）A ．不变B ．扩大2倍C ．缩小2倍D ．扩大4倍考向二：分式的运算法则 1. 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

2. 分式的运算法则：）均、、（其中即：0≠=•=÷=•d c b bcadc d b a d c b a bd ac d c b a1．下列各式从左到右的变形中，正确的是（）A．B．C．D．2．若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（）A．不变B．是原来的3倍C．是原来的D．是原来的3．下列各式中，属于最简分式的是（）A．B．C．D．4．下列各式中，计算结果正确的有（）（1）•＝（2）a÷b×＝a（3）＝（4）8a2b2÷（﹣）＝﹣6a3b（5）+＝（6）＝A．1个B．2个C．3个D．4个5．有甲，乙两块边长为a米（a＞8）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了某种小麦，其中甲试验田收获了200千克小麦，乙试验田收获了150千克小麦，对于这两块试验田的单位面积产量，下列说法正确的是（）A．甲试验田的单位面积产量高B．乙试验田的单位面积产量高C．两块试验田的单位面积产量一样D．无法判断哪块试验田的单位面积产量高6．化简的结果是．7．先化简，再求值：（﹣1），然后从﹣3，﹣2，0，2，3中选一个合适的数代入求值．考向三：分式方程的概念与解分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 1．下列关于x 的方程，是分式方程的是（ ） A ．325x x -=B ．11523x y -=C ．32xx xπ=+ D ．1212x x=-+ 2．若数a 既使得关于x 的不等式组12326x ax a x a -+⎧+≤⎪⎨⎪->⎩无解，又使得关于y 的分式方程5122a yy y --=--的解不小于1，则满足条件的所有整数a 的和为( ) A ．4- B ．3-C ．2-D ．5-3．方程210123x x +=+-的解为（ ） A ．73x =B ．=1x -C ．52x =D ．1x =4．解分式方程：21 322x x x-+=-- 5．解分式方程：()()31121-=-+-xx x x 向四：分式方程的应用 分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；1．学校需采购部分课桌，现有A ，B 两个商家供货，A 商家每张课桌的售价比B 商家的优惠30元．若该校花费1800元采购款在A 商家购买课桌的数量与花费2250元采购款在B商家购买课桌的数量一样多，则A商家每张课桌的售价为（）A．90元B．120元C．150元D．180元2．喜迎党的二十大胜利召开，某校八年级全体师生前往栖霞市抗大爱国教育基地研学，活动当天，大家在学校集合，1号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线出发，结果两辆车同时到达目的地．已知学校到栖霞市抗大爱国教育基地的路程是150km，2号车的平均速度是1号车平均速度的倍，求1号车从学校到目的地所用的时间．3．泰安市在2021年12月迎接全国文明城市复检工作中，全市人民积极参与，身穿红马甲的创城志愿者分布在城乡的各个角落，为文明城市创建贡献自己的一份力量．幸福社区为了进一步美化小区环境，要在小区内建造一座假山，需要租用车辆运送泥土．租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完用土量，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．（1）求甲、乙两车单独运完用土量各需运多少趟？（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？【模拟检测】1．（2022•宁波模拟）使分式有意义的字母x的取值范围是（）A．x≠0B．x≠3C．x≠4D．x≠3且x≠4 2．（2022•任城区校级二模）当x为任意实数时，下列分式有意义的是（）A．B．C．D．3．（2022•顺平县二模）已知分式有意义且值为零（a，b，c均为正实数），若以a，b，c的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．（2022•蓝山县二模）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的2倍D．不确定5．（2022•张店区二模）下列各式中，化简正确的是（）A．B．C．D．6．（2022•江油市二模）下列分式属于最简分式的是（）A．B．C．D．7．（2022•天津二模）计算的结果是（）A．B．C．D．8．（2022•丰泽区校级模拟）﹣50的相反数是（）A．﹣5B．5C．﹣1D．1 9．（2022•玄武区二模）计算a•（）﹣2的结果是（）A．1B．C．a2D．a3 10．（2022•安徽模拟）已知x﹣y＝2xy（x≠0），则的值为（）A．﹣B．﹣3C．D．3 11．（2022•景县校级模拟）关于式子，下列说法正确的是（）A．当x＝1时，其值为2B．当x＝﹣1时，其值为0C．当﹣1＜x＜0时，其值为正数D．当x＜﹣1时，其值为正数12．（2022•泗水县三模）计算的结果是（）A．B．C．D．13．（2022•石家庄三模）若分式的运算结果为x，则在“〇”处的运算符号（）A．只能是“÷”B．可以是“÷”或“﹣”C．不能是“﹣”D．可以是“×”或“+”14．（2022•永嘉县三模）解方程，以下去分母正确的是（）A．x2﹣3x﹣x2﹣3＝5B．x2﹣3x﹣x2+3＝5C．x2﹣3x﹣x2﹣3＝5（x﹣2）D．x2﹣3x﹣x2+3＝5（x﹣2）15．（2022•牡丹江二模）若关于x的分式方程+1＝m无解，则m的值是（）A．﹣1B．1C．0D．0或1 16．（2022•邯郸二模）为了防止疫情扩散，确保人民健康，某区计划开展全员核酸检测．甲、乙两个检测队分别负责A，B两个生活区的核酸检测．已知A生活区参与核酸检测的共有3000人，B生活区参与核酸检测的共有2880人，乙检测队因工作原因比甲检测队晚开始检测10分钟．已知乙检测队的检测速度是甲检测队的1.2倍，结果两个检测队同时完成检测，设甲检测队每分钟检测x人，根据题意，可以得到的方程是（）A．＝+10B．＝+C．＝﹣10D．＝+1017．（2022•顺义区二模）若代数式的值为0，则实数x的值为．18．（2022•泉港区模拟）若分式的值为负数，则x的取值范围是．19．（2022•双流区校级模拟）化简：（x+2）＝．20．（2022•南山区模拟）若a2﹣＝3，则的值为．21．（2022•吕梁模拟）下面是小夏同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．＝……第一步＝……第二步＝3（x+2）﹣（x﹣2）…第三步＝3x+6﹣x﹣2…第四步＝2x+4…第五步任务一：填空：①以上化简步骤中，第一步是依据（填运算律）进行变形的；②第三步是进行分式的约分，约分的依据是；③第步开始出现错误，这一步错误的原因；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．22．（2022•金凤区模拟）化简：（1+）÷．23．（2022•越秀区校级一模）（1）若A＝，化简A；（2）若a满足a2﹣a＝0，求A值．24．（2022•青浦区模拟）解方程：+＝．25．（2022•皇姑区一模）在防疫新型冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3000元购进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？【真题过关】1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0 2．（2022•德阳）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．＝1C．a÷a•＝a D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 3．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式＝+（v≠f）表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（）A．B．C．D．4．（2022•营口）分式方程＝的解是（）A．x＝2B．x＝﹣6C．x＝6D．x＝﹣2 5．（2022•毕节市）小明解分式方程＝﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①去括号，得3＝2x﹣3x+3．②移项、合并同类项，得﹣x＝6．③化系数为1，得x＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A．①B．②C．③D．④6．（2022•牡丹江）若关于x的方程＝3无解，则m的值为（）A．1B．1或3C．1或2D．2或3 7．（2022•绥化）有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm3，由题意列方程，正确的是（）A．+＝30B．+＝24C．+＝24D．+＝308．（2022•湖北）若分式有意义，则x的取值范围是．9．（2022•广西）当x＝时，分式的值为零．10．（2022•湖州）当a＝1时，分式的值是．11．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．12．（2022•常德）方程+＝的解为．13．（2022•张家界）有一组数据：a1＝，a2＝，a3＝，…，a n ＝．记S n＝a1+a2+a3+…+a n，则S12＝．14．（2022•黄石）已知关于x的方程+＝的解为负数，则a的取值范围是．15．（2022•鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为．16．（2022•衢州）（1）因式分解：a2﹣1．（2）化简：+．17．（2022•哈尔滨）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中x＝2cos45°+1．18．（2022•娄底）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．19．（2022•黄石）先化简，再求值：（1+）÷，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入求值．20．（2022•西宁）解方程：﹣＝0．21．（2022•青海）解方程：﹣1＝．22．（2022•丹东）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？23．（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？24．（2022•河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．。

考点06.分式方程（精讲）【命题趋势】分式方程考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。

【知识清单】1：解分式方程（☆☆）1）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据。

2）分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．3）增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根。

由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。

若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解。

2：分式方程的应用（☆☆☆）1）列分式方程解应用题的一般步骤：①审题（找等量关系）；②设未知数；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答。

2）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题、利润问题等。

每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度，总利润=单件利润×销售量，利润率=利润÷成本×100%等。

【易错点归纳】1.解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。