分式和分式方程 专题复习讲义
中考考点知识梳理： 一、分式
1、分式的概念
一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成
B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B
A
就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质 （1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则
（1） ;;bc ad
c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯
（2）);()(为整数n b a b
a n n
n =
（3）
;c b a c b c a ±=± （4）
bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程
的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
考点典例
一、分式的值
【例1】当x= 时，分式
x－2
2x＋5的值为0．
【答案】2. 【解析】
试题分析：∵x－2
2x＋5
的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式.
【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件. 【举一反三】
1.使分式
1
1
x-
有意义的x的取值范围是（）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A．
考点：分式有意义的条件．
2.若分式
21
1
x
x
-
+
的值为0，则x＝
【答案】1 【解析】
试题分析：根据题意可知这是分式方程，
21
1
x
x
-
+
＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，
解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解. 答案为1.
考点：分式方程的解法 考点典例 二、分式的化简
【例2】化简
2
(1)1
a a a -+-的结果是（ ） A ．
11a - B ．11a -- C ．211a a -- D ．211
a a --- 【答案】A ． 【解析】
试题分析：原式=22(1)1a a a ---=11
a -，故选A ．
考点：分式的加减法．
【点睛】观察所给式子，能够发现是异分母的分式减法。利用异分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【举一反三】 1.化简：
÷
= ．
【答案】x 1
.
【解析】
试题分析：原式=x
x x x x x 1
)3()2()2(322
=+-⋅-+. 考点：分式的化简. 2.计算：
= ．
【答案】
3
25a c . 【解析】
试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原式=
3225125a
c a a c =⋅.
考点：分式的运算.
3.计算： = ．
【答案】3
2
5
a
c
.
【解析】
试题分析：先约分，再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可，即原式=
3
22
5
1
2
5
a
c
a
a
c
=
⋅.
考点：分式的运算.
考点典例
三、分式方程
【例3】方程
53
2
x x
-=
-
的解为．
【答案】x=﹣3．
考点：解分式方程．
【点睛】先去掉分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。
【举一反三】
1.方程
12
＝
2x x－3的解是 .
【答案】x=-1.
【解析】
试题分析：方程两边同乘以2x（x-3）得，x-3=4x，解得x=-1，经检验x=-1是原方程的解.
考点：解分式方程.
2.用换元法解方程x x 122-
﹣122-x x =3时，设x
x 12
2-=y ，则原方程可化为（ ）
A ．y=
y 1﹣3=0 B ．y ﹣y 4﹣3=0 C ．y ﹣y 1+3=0 D ．y ﹣y
4
+3=0 【答案】B ． 【解析】
试题分析：∵设x
x 122-=y ，则122-x x =y 1，原方程可转化为：y ﹣y 4=3，即y ﹣y 4﹣3=0．故答案选B ．
考点：换元法解分式方程． 考点典例
四、分式方程的应用
【例5】穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h ，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A.4804804160x x -=+
B.4804804160x x -=+
C.4804804160x x -=-
D.
480480
4
160x x -=- 【答案】B ． 【解析】
考点：由实际问题抽象出分式方程．
【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解. 【举一反三】
1. A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运40千克，A 型机器人搬运1200千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等．设B 型机器人每小时搬运化工原料x 千克，根据题意可列方程为（ ）
A.120080040x x =+
B.120080040x x =-
C.120080040x x =-
D.1200800
40x x =
+
