2019人教版 小学8年级 数学上册 分式方程及其应用(讲义及答案)

15.3分式方程专题一 解分式方程 1．方程32x 31-x 1+=的解是 ． 2．解分式方程：3x 911x 3x 32-=-+．3．解分式方程：32x ++1x ＝242x x+．专题二 分式方程无解4．关于x 的分式方程211x m x x -=--无解，则m 的值是（ ）A ．1B ．0C ．2D ．–25．若关于x 的方程2222x m x x ++=--无解，则m 的值是______． 6．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--无解，则m 的值为__________． 专题三 列分式方程解应用题7．甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）A ．60702x x=+ B ．60702x x =+Ｃ．60702x x =- Ｄ．60702x x =-8．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种1，结果提前4天完成任务.原计划每天种多少棵树？39．某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元．该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？请说明理由．状元笔记【知识要点】1．分式方程分母中含未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的一般步骤【温馨提示】1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项．2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤．参考答案:1．x=6 解析：去分母，得2x+3＝3(x－1)，解得x＝6，经检验x＝6是原方程的解．所以，原分式方程无解．3．解：方程两边乘x(x+2)，得3x+x+2=4，解得x=21．经检验：x=21是原方程的解．4．A 解析：方程两边成x －1，得x －2（x －1）=m ，解得x=2－m ．∵当x=1时分母为0，方程无解，∴2－m=1，即m=1时，方程无解．故选A ．7．B 解析：设甲班每天植树x 棵，则乙班每天植树（x+2）棵，甲班植60棵树所用的天数为x ，乙班植70棵树所用的天数270+x ，可列方程为x 60=270+x ．故选B ． 8．解：设原计划每天种x 棵树，实际每天种树113x ⎛⎫+⎪⎝⎭棵，根据题意，得 4804804113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解这个方程，得x=30．经检验x=30是原方程的解且符合题意．答：原计划每天种树30棵．9．解：不能相同．理由如下：设该校购买的乒乓球拍每副x 元，羽毛球拍每副（x ＋14）元，若购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同，则1428002000+=x x ，解得x ＝35．经检验x ＝35是原方程的解．但当x ＝35时，74001428002000=+=x x ，不是整数，不合题意． 所以购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同．先制定阶段性目标—找到明确的努力方向每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。

第十五章分式15.3 分式方程一、分式方程的定义分母中含未知数的方程叫做__________．【归纳】1．分式方程的重要特征：（1）含有分母；（2）分母中含有未知数；（3）是方程．2．方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．3．分母中含有字母的方程未必是分式方程．二、分式方程的解法1．解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．2．解分式方程的一般方法和步骤：（1）去分母：方程两边同乘__________，把分式方程化为整式方程；（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．简称为一化，二解，三检验．3．解分式方程产生不适合原方程解的原因：在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．三、分式方程的应用分式方程的应用基本思路和方法：一审：审清题意，弄清已知量和未知量；二找：找出等量关系；三设：设未知数；四列：列出分式方程；五解：解这个方程；六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；七答：写出答案．在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．一、分式方程 二、最简公分母1．分式方程的解法 检验的方法（1）直接检验法：是将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确．（2）公分母检验法：是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解．公分母检验法比较简单，因此被广泛运用．解方程25113x x x -+=--时，去分母得 A ．(1)(3)25x x x --+=+B ．12(3)(5)(1)x x x +-=--C ．(1)(3)2(3)(5)(1)x xx x x --+-=--D ．(3)2(3)5x x x -+-=-【答案】C【解析】观察可得最简公分母是（x -1）（x -3），方程两边都乘最简公分母，即可把分式方程转换为整式方程．方程两边同乘（x -1）（x -3）得（x -1）（x -3）+2（x -3）=（x -5）（x -1），故选C ．方程212x x =+的解是 A ．2B ．-2C ．4D ．-4【答案】D【解析】去分母得：2（x +2）=x ， 去括号，移项合并得：x =–4， 经检验x =–4是分式方程的解． 原方程的解是x =–4， 故选D ．2．分式方程的应用（1）在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程．（2）在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，可以间接地设末知数；有时设一个未知数不容易表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数．为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为140万元．若设甲型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是A ．360480140x x =- B ．360480140x x =- C ．360480140x x+=D ．360480140x x-=【答案】A【解析】设甲型机器人每台x 万元，根据题意，可得360480140x x=-， 故选A ．甲、乙两座城市的中心火车站A ，B 两站相距360 km ．一列动车与一列特快列车分别从A ，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km /h ，当动车到达B 站时，特快列车恰好到达距离A 站135 km 处的C 站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？ 【解析】设特快列车的平均速度为x km /h ，则动车的速度为（x +54）km /h ，由题意，得：36036013554x x-=+， 解得：x =90，经检验得：x =90是这个分式方程的解． x +54=144．答：特快列车的平均速度为90 km /h ，动车的速度为144 km /h ．3．含有字母系数的分式方程的解法 解含有字母系数的分式方程的方法：解含有字母系数的分式方程和解含有实数系数的分式方程一样，均是先通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后解这个整式方程，最后检验．但要注意：（1）去分母时方程两边乘最简公分母，需验证最简公分母是否等于0； （2）在将系数化为1时，要注意分类讨论系数是不是0．若关于x 的方程233x mx x -=--有正数解，则 A ．m >0且m ≠3B ．m <6且m ≠3C ．m <0D ．m >6【答案】B【解析】将方程的两边同时乘以（x -3）可得：x -2（x -3）=m ，解得：x =6-m ，根据解为正数可得：0x >且3x ≠，则：60m ->且63m -≠，解得：6m <且3m ≠．1．下面是分式方程的是A ．14+ B ．315673x x +-= C D ．321121x x +=-+2．解分式方程32112x x+=--时，去分母化为一元一次方程，正确的是 A ．x +2=3B ．x -2=3C ．x -2=3（2x -1）D ．x +2=3（2x -1）3．分式方程5211x x x-+=-的解为 A ．1x =-B ．1x =C ．2x =D ．2x =-4．若x =4是分式方程213a x x -=-的根，则a 的值为 A ．6B ．-6C ．4D ．-45．小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为A ．15243x x =+B ．15243x x =-C ．15243x x =+D ．15243x x=- 6．分式方程2111224x x x -=-+-去分母时，两边都乘以__________．7．解分式方程1324x x =++的解是__________．8．关于x 的分式方程21311x a x x--=--的解为非负数，则a 的取值范围为__________．9．解方程： （1）32322x x x +=+-；（2）242111x x x++=---．10．列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．11．已知关于x 的分式方程5=12x a x x+--． （1）若方程的增根为x =2，求a 的值； （2）若方程有增根，求a 的值； （3）若方程无解，求a 的值．12．若关于x 的方程11322x m x x+-=+--无解，则m 的值是 A ．-2B ．2C ．1D ．-413．关于x 的方程1242k xx x -=--的解为正数，则k 的取值范围是A ．4k >-B ．4k <C ．4k >-且4k ≠D ．4k <且4k ≠-14．当x =__________时，43与的值相等．15．规定11*a b a b =-x 为__________．16．已知关于x 的分式方程=+4x x 与分式方程3121x x =-的解相同，求m 2-2m 的值．17．某校为美化校园，计划对面积为1800 m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？18．（2019•百色）方程111x =+的解是 A ．无解B ．1x =-C ．0x =D ．1x =19．（2019•株洲）关于x 的分式方程2503x x -=-的解为 A ．3-B ．2-C ．2D ．320．（2019•淄博）解分式方程11222x x x-=---时，去分母变形正确的是 A ．()1122x x -+=--- B ．()1122x x -=-- C ．()1122x x -+=+-D ．()1122x x -=---21．（2019•荆州）已知关于x 的分式方程211x k x x-=--的解为正数，则k 的取值范围为 A ．20k -<< B ．2k >-且1k ≠- C ．2k >-D ．2k <且1k ≠22．（2019•伊春）已知关于x 的分式方程213x mx -=-的解是非正数，则m 的取值范围是 A ．3m ≤B ．3m <C ．3m >-D ．3m ≥-23．（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x 个物件，则可列方程为A ．1209020x x =- B ．1209020x x =+ C ．1209020x x =-D ．1209020x x =+ 24．（2019•辽阳）某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是 A ．60(125%)6060x x⨯+-=B ．6060(125%)60x x⨯+-= C ．606060(125%)x x-=+D ．606060(125%)x x-=+ 25．（2019•济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是A ．5005004510x x -= B ．5005004510x x -= C ．500050045x x-=D ．500500045x x-=26．（2019•黄石）分式方程：241144x x x -=--的解为__________． 27．（2019•襄阳）定义：aa b b⨯=，则方程2(3)1(2)x x ⨯+=⨯的解为__________．28．（2019•烟台）若关于x 的分式方程33122x m x x +-=--有增根，则m 的值为__________．29．（2019•绥化）甲、乙两辆汽车同时从A 地出发，开往相距200km 的B 地，甲、乙两车的速度之比是45∶，结果乙车比甲车早30分钟到达B 地，则甲车的速度为__________km /h ． 30．（2019•玉林）解方程：311(1)(2)x x x x -=--+．31．（2019•常州）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？32．（2019•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？33．（2019•遂宁）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润=售价﹣进价）34．（2019•郴州）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A ，B 两种型号的机器可以各安排多少台？1．【答案】D【解析】A 、不是方程，故本选项错误；B 、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；C 、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；D 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项正确．故选D ． 2．【答案】C【解析】方程两边都乘以（2x -1），得x -2=3（2x -1），故选C ． 3．【答案】A【解析】根据分式方程的解法去分母得x （x –5）+2（x –1）=x （x –1）， 化简得2x =–2，解得x =–1，故选A ． 4．【答案】A【解析】由题意得：24a -=143-，解得：a =6，故选A ． 5．【答案】A【解析】找到等量关系为两人买的笔记本数量，15243x x =+，故选A ． 6．【答案】（x +2）（x −2）【解析】方程两边都乘最简公分母（x +2）（x −2）．故答案为：（x +2）（x −2）． 7．【答案】x =-1【解析】两边同时乘最简公分母（x +2）（x +4）整理成整式方程为：x +4=3x +6，解得x =-1，经检验x =-1是方程的解，故答案为：x =-1． 8．【答案】4a ≤且3a ≠【解析】21311x a x x--=--， 方程两边同乘以1x -，得()2131x a x -+=-，去括号，得2133x a x -+=-，移项及合并同类项，得4x a =-，∵关于x 的分式方程21311x a x x--=--的解为非负数，10x -≠， ∴()40410a a -≥⎧⎨--≠⎩，解得4a ≤且3a ≠， 故答案为：4a ≤且3a ≠．9．【解析】（1）方程两边乘（x +2）（x -2），得3x （x -2）+2（x +2）=3（x +2）（x -2）．化简得-4x =-16，解得x =4．经检验，x =4是原方程的解．所以原方程的解是x =4．（2）方程两边都乘以（x +1）（x -1），去分母，得4-（x +1）（x +2）=-（x +1）（x -1）．解得x =13． 经检验，x =13是原方程的解． 所以原方程的解是x =13． 10．【解析】设每套《三国演义》的价格为x 元，则每套《西游记》的价格为()40x +元， 由题意，得32002400240x x =⨯+， 解得80x =，经检验，80x =是原方程的解，且符合题意，所以，原分式方程的解为80x =，答：每套《三国演义》的价格为80元．11．【解析】（1）原方程去分母并整理，得（3-a ）x =10．因为原方程的增根为x =2，所以（3-a ）×2=10， 解得a =-2．（2）因为原分式方程有增根，所以x （x -2）=0，解得x =0或x =2．因为x =0不可能是整式方程（3-a ）x =10的解，所以原分式方程的增根为x =2，所以（3-a ）×2=10， 解得a =-2．（3）①当3-a =0，即a =3时，整式方程（3-a ）x =10无解，则原分式方程也无解．②当3-a ≠0时，要使原方程无解，则由（2）知，此时a =-2，综上所述，a 的值为3或-2．12．【答案】A 【解析】∵分式方程无解，∴2x =．把原方程去分母得：13(2)(1)x x m +=---，把2x =代入方程，得2m =-．故选A ．13．【答案】C【解析】分式方程去分母得：(24)2k x x --=， 解得：44k x +=， 根据题意得：404k +>，且424k +≠， 解得：4k >-，且4k ≠．故选C ．14．【答案】-14 【解析】4322x x =-+，解得：14x =-， 经检验：14x =-符合题意．故答案为：14-．15．【答案】-1【解析】∵11*a b a b =- ∴1122x x x-=+， 解此分式方程得；1x =-，经检验：1x =-是这个方程的根，故x 的值是1-．故答案为：-1． 16．【解析】解分式方程3121x x =-，得x =3． 经检验，x =3是该方程的解．将x =3代入24x +=m x ，得273m =， 解得m =67， ∴m 2-2m =（67）2-2×67=-4849． 17．【解析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x （m 2），根据题意得：40040042x x-=， 解得：x =50，经检验x =50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m 2）， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m 2、50 m 2．（2）设应安排甲队工作y 天，根据题意得：0.4y +180010050y -×0.25≤8， 解得：y ≥10，答：至少应安排甲队工作10天．18．【答案】C【解析】方程两边同时乘以（x +1），得1=x +1，解得：0x =，检验：当0x =时，x +1≠0，∴方程的根是0x =，故选C ．19．【答案】B【解析】去分母得：2650x x --=，解得：2x =-，经检验2x =-是分式方程的解，故选B ．20．【答案】D【解析】去分母得：()1122x x -=---，故选D ．21．【答案】B 【解析】∵211x k x x -=--，∴21x k x +=-，∴2x k =+， ∵该分式方程有解，∴21k +≠，∴1k ≠-，∵0x >，∴20k +>，∴2k >-，∴2k >-且1k ≠-，故选B ．22．【答案】A 【解析】213x m x -=-， 方程两边同乘以3x -，得23x m x -=-，移项及合并同类项，得3x m =-， ∵分式方程213x m x -=-的解是非正数，30x -≠， ∴30(3)30m m -≤⎧⎨--≠⎩，解得3m ≤，故选A ． 23．【答案】B 【解析】由题意可得，1209020x x=+，故选B ． 24．【答案】D【解析】设原计划每天修路x 公里，则实际每天的工作效率为(125%)x +公里， 依题意得：606060(125%)x x-=+．故选D ． 25．【答案】A【解析】设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是：5005004510x x -=．故选A ． 26．【答案】1x =-【解析】去分母得：4–x =x 2–4x ，即x 2–3x –4=0，解得：x =4或x =–1，经检验x =4是增根，分式方程的解为x =–1，故答案为：x =–1．27．【答案】1x =【解析】∵2(3)1(2)x x ⨯+=⨯，∴2132x x=+，∴43x x =+，∴1x =， 经检验：1x =是原方程的解，故答案为：1x =．28．【答案】3【解析】去分母得3x –（x –2）=m +3，当增根为x =2时，6=m +3，∴m =3．故答案为：3．29．【答案】80【解析】设甲车的速度为x km /h ，则乙车的速度为54x km /h ，依题意，得200200305604x x -=，解得80x =， 经检验，80x =是原方程的解，且符合题意，故答案为：80．30．【解析】(2)31(1)(2)x x x x +-=-+， 2231(2)(1)x x x x +-=+-， 223(1)(2)x x x x +-=-+，1x =，经检验1x =是方程的增根，∴原方程无解．31．【解析】设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30x -）个零件， 由题意得：18012030x x=-，解得18x =， 经检验：18x =是原分式方程的解，则301812-=（个）．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．32．【解析】（1）设小本作业本每本x 元，则大本作业本每本（x +0.3）(0.3)x +元， 依题意，得：850.3x x=+， 解得：0.5x =，经检验，0.5x =是原方程的解，且符合题意，∴0.30.8x +=．答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．（2）设大本作业本购买m 本，则小本作业本购买2m 本，依题意，得：0.80.5215m m +⨯≤， 解得：506m ≤． ∵m 为正整数，∴m 的最大值为8．答：大本作业本最多能购买8本．33．【解析】（1）设第一批仙桃每件进价x 元，则24003370025x x ⨯=+， 解得180x =．经检验，180x =是原方程的根．答：第一批仙桃每件进价为180元．（2）设剩余的仙桃每件售价打y 折． 则：3700370022580%225(180%)0.1370044018051805y ⨯⨯+⨯⨯-⨯-≥++， 解得6y ≥．答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．34．【解析】（1）设每台B 型机器每小时加工x 个零件，则每台A 型机器每小时加工(2)x +个零件， 依题意，得：80602x x=+， 解得：x =6，经检验，x =6是原方程的解，且符合题意，∴28x +=．答：每台A 型机器每小时加工8个零件，每台B 型机器每小时加工6个零件．（2）设A 型机器安排m 台，则B 型机器安排(10)m -台， 依题意，得：()()861072861076m m m π⎧+-≥⎪⎨+-≤⎪⎩， 解得：68m ≤≤，∵m 为正整数，∴678m =、、， 答：共有三种安排方案，方案一：A 型机器安排6台，B 型机器安排4台；方案二：A 型机器安排7台，B 型机器安排3台；方案三：A 型机器安排8台，B 型机器安排2台．。

15.3分式方程专题一 解分式方程 1．方程32x 31-x 1+=的解是 ． 2．解分式方程：3x 911x 3x 32-=-+．3．解分式方程：32x ++1x ＝242x x+．专题二 分式方程无解4．关于x 的分式方程211x m x x -=--无解，则m 的值是（ ）A ．1B ．0C ．2D ．–25．若关于x 的方程2222x m x x ++=--无解，则m 的值是______． 6．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--无解，则m 的值为__________． 专题三 列分式方程解应用题7．甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）A ．60702x x=+ B ．60702x x =+Ｃ．60702x x =- Ｄ．60702x x =-8．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种1，结果提前4天完成任务.原计划每天种多少棵树？39．某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元．该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？请说明理由．状元笔记【知识要点】1．分式方程分母中含未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的一般步骤【温馨提示】1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项．2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤．参考答案:1．x=6 解析：去分母，得2x+3＝3(x－1)，解得x＝6，经检验x＝6是原方程的解．所以，原分式方程无解．3．解：方程两边乘x(x+2)，得3x+x+2=4，解得x=21．经检验：x=21是原方程的解．4．A 解析：方程两边成x －1，得x －2（x －1）=m ，解得x=2－m ．∵当x=1时分母为0，方程无解，∴2－m=1，即m=1时，方程无解．故选A ．7．B 解析：设甲班每天植树x 棵，则乙班每天植树（x+2）棵，甲班植60棵树所用的天数为x ，乙班植70棵树所用的天数270+x ，可列方程为x 60=270+x ．故选B ． 8．解：设原计划每天种x 棵树，实际每天种树113x ⎛⎫+⎪⎝⎭棵，根据题意，得 4804804113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解这个方程，得x=30．经检验x=30是原方程的解且符合题意．答：原计划每天种树30棵．9．解：不能相同．理由如下：设该校购买的乒乓球拍每副x 元，羽毛球拍每副（x ＋14）元，若购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同，则1428002000+=x x ，解得x ＝35．经检验x ＝35是原方程的解．但当x ＝35时，74001428002000=+=x x ，不是整数，不合题意． 所以购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同．别浪费一分一秒——如何利用零散时间学人们常说,时间是公平的,每个人的一天只有24个小时,所以应该珍惜时间去充实自己。

人教版 八年级数学上册 第15章 分式方程及其应用（含答案） 例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以，得()()x x +-11 x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =-92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。

1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。

21688y y y =∴==5、中考题解：例1．若解分式方程产生增根，则m 的值是（ ）2111x x m x x x x +-++=+A. B. --12或-12或C. D. 12或12或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。

分式方程及应用题知识点：1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程步骤：(1)去分母： 将 抓化为 (2) (3)3.増根：在方程变形时，产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的増根。

4.列方程解应用题的基本步骤：例1.解下列分式方程： (1)6272332+=++x x (2)2236111x x x +=+-- (3)163104245--+=--x x x x例2.已知关于x 的方程323-=--x mx x 的解为正数，求m 的取值范围。

例3.若关于x 的方程211333x x kx x x x ++-=--有增根,求增根和k 的值.例4.解方程：1211)10)(9(1...)1(1)1(1=++++++-x x x x x x例5.已知1=abc ，求证：1111=++++++++cac cbc b b ab a a .例6.李某承包了40亩菜地和15亩水田,根据市场信息,冬季瓜菜需求量大,他准备把水田改造为菜地,使改完后水田占菜地的10%,问应把多少水田改为菜地?例7.某人骑自行车比步行每小时快8千米,坐汽车比骑自行车每小时快16千米,此人从A 地出发,先步行4千米,然后乘坐汽车10千米就到在B 地,他又骑自行车从B 地返回A 地,结果往返所用的时间相等,求此人步行的速度.例8.今年我市遇到百年一遇的大旱,全市人民齐心协力积极抗旱.某校师生也活动起来捐款打井抗旱,已知第一天捐款4800元,第二天捐款6000元,第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人,且两天人均捐款数相等,那么两天共参加捐款的人数是多少？例9.周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一路程所用时间之比为2:3．(1)直接写出甲、乙两组行进速度之比．(2)当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A 处，且A 处离山顶的路程尚有1.2 km ，试求山脚到山顶的路程．例10.某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格,每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元.今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器,5月份的用气量比去年12月份少10m3,5月份的燃气费是90元.求该市今年居民用气的价格.例11.某商店在“端午节”到来之际,以2400元购进一批盒装粽子,节日期间每盒按进价增加20%作为售价,售出了50盒;节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子,整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．例12.北京奥运会开幕前,某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.该商场两次共购进这种运动服多少套？例13.某公司投资某个工程项目,现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目.公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元.根据以上信息，从节约资金的角度考虑,公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？课堂练习：1.解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( )A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1) C.解这个整式方程,得x=1B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6 D.原方程的解为x=12.某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达,后来由于把速度加快20%，结果于下午4时到达,求原计划行军的速度.设原计划行军的速度为xkm/h ，，则可列方程（ ）A.1%206060++=x xB.1%206060-+=x xC.1%2016060++=）（x xD.1%2016060-+=）（x x3.一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（ ） A.a ＋b B.b a 11+ C.b a +1 D.b a ab+4.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ） A ．8 B.7 C ．6 D ．55.已知122432+--=--+x Bx A x x x ,其中A 、B 为常数，则4A-B 的值为（ ） A.7 B.9 C.13 D.5 6.若解分式方程21x x +-21m x x ++=1x x+产生增根，则m 的值是（ ） A.－1或－2 B.－1或2 C.1或2 D.1或－27.若方程212x ax +=--的解是最小的正整数，则a 的值为_______8.若方程87178=----x x x 有增根，则增根是9.若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a =10.已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为______ 11.轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是 千米/时． 12.解分式方程: (1)1132422x x +=-- (2)21212339x x x -=+-- (3))2)(1(311+-=--x x x x13.若方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围。

《分式方程》知识全解课标要求1.会解一元一次分式方程（方程中的分式不超过两个）2.能根据具体问题中的数量关系，列出上述类型的方程，并进一步体会这类重要的刻画现实世界的数学模型的作用．知识结构1. 分式方程概念，和产生增根的原因．2. 分式方程的解法3.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．内容解析（1）分式方程的概念：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程（2）分式方程的解法： ①能化简的先化简．②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程③解整式方程；④)验根．（3）分式方程的应用: 以工程问题为例，能将此类问题中的相等关系用分式方程表示；建立数学模型，会解含字母系数的分式方程．重点难点本节的重点是：分式方程的概念,，解分式方程和列分式方程解应用题．教学重点的解决方法：分式方程是一种有效描述现实世界的模型，把分式方程转化为整式方程来解分式方程，把未知化已知，从而渗透数学转化思想．本节内容的难点是：分式方程产生增根的原因和列分式方程解应用题教学难点的解决方法：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验．教法导引（1）注重渗透化归思想，实际问题紧紧扣住等量关系解分式方程注意转化的思想，而实际问题由于背景的多变性，其数量关系也是动态多变，难以把握，只能以不变应万变，紧紧扣住“等量关系”这一主线，有意识的培养学生对例题、习题的阅读理解能力．教给学生一些避免产生增根的方法,例：解方程： 22+-x x - 4162-x = 1 解：移项，得22+-x x - )2)(2(16-+x x - 1 = 0整理，得 )2)(2()2(4-+-x x x = 0 ① 化简，得24+x = 0 ② 因为 24+x ≠ 0 所以 原方程无解．（2）注重启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用，避免负迁移．．．．．分式方程的解法理论中，我们一直采用了在分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法．这种方法充分体现了转化思想的理论精髓，而转化思想恰好是整个方程解法理论的核心思想，使各种方程（组）最终转化为一元一次方程，让人们看到一个和谐统一的体系，生动的数学展现于眼前．不过这种变形不属于方程的同解变形原理，它的恶果之一是产生增根的现象．增根并不是方程的根，它跟随非同解变形进来之后，还要用检验的方式把它清除出去，这是一种迂回的，有点费力的处理方法．是一个容易引发讨论和思考的知识点．分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法，在实践中经常对分式的四则运算产生强烈的负迁移．．．，如化简2222x y x y x y x y+-+++时经常有学生这样运算：22222x y x y x y x y x x y x y+-+=++-=++这肯定是受分式方程解法的影响所致，而且有时这种影响极其顽固，很难改正．分式的四则运算不能支持分式方程的解决，分式方程的解决又影响分式的四则运算，这种内耗和对抗大大削弱了分式理论的和谐性．学法建议分式方程的重点是解分式方程和列分式方程解应用题，难点是分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题．因而在学习中应注意：(1)分母中含有字母的方程不一定是分式方程，当且仅当字母中有未知数时，才是分式方程，如解关于x 的方程：13x a +=，22m n x m n n-=-等都是整式方程，究其原因在于限定未知数是x ，则字母a 、 m 、 n 是已知数，不满足分式方程定义． （通过观察，从中感知分式方程的特征）(2)严格遵循解分式方程的步骤：化、解、验．在解分式方程应用题时，切不可忘记检验．(3)认真审题，可借助表格、图表来分析题意，找出适合题意的相等关系，建立方程． 例：为改善居住环境，小康村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程______ __．题目设原计划每天种植x 棵，那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务．由题意，原计划植树720x 天，而实际每天植树(20)x +棵，实际植树天数为72020x +天，所以根据相等关系可列方程720720420x x -=+． （易错点是：已知量不会用未知数表示，找不到等量关系）(4)进行一题多解、一题多问及一题多变的训练，提高思维的敏捷性、解题方法的灵活性．(5)类比整式方程的解法和应用，使所学知识系统化，进而形成技能、技巧，巩固双基． 例 解方程：x 5 = 27-x 解：移项，得 x 5 －27-x = 0 通分，得)2(7)2(5---x x x x = 0 整理，得 )2()5(2-+x x x = 0 ① 分子取0，得 x + 5 = 0 ②即 x = -5说明：从①式到②式是此解法的关键．①式中，如分子与分母没有含未知数的公因式，那就能够做到分子取0时保证分母不得0；然后根据分式值为0的条件，把分式．．等于0的式子改写为分子．．等于0的式子，即完成了分式方程向整式方程的转化，而且符合方程的同解变形原理的精神，不会有增根或丢根的现象发生．。