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解题宝典证明数列不等式问题是一类综合性较强且难度较大的问题，不仅考查了数列知识，还考查了证明不等式的技巧.本文主要介绍三种证明数列不等式问题的方法，以供大家参考.一、利用数列的单调性我们知道，数列具有单调性.因此在证明数列不等式问题时，我们可以利用数列的单调性来讨论数列的变化趋势，进而证明不等式.利用数列的单调性解题的关键在于观察数列的特征，通过作差、作商等方法，构造出新数列，利用数列的单调性证明结论.例1.已知数列{}a n各项均为正数，前n项和S1>1，满足关系式6S n=(a n+1)(a n+2)，n∈N*.设数列{}bn满足关系式an(2b n-1)=1，令T n为数列{}b n的前n项和，求证：3T n+1>log2(a n+3)，n∈N*.证明：根据前n项和关系式可得a n=3n-1，将其代入到an(2b n-1)=1中可得b n=log23n3n-1，Tn=b1+b2+⋯+b n=log2(32×65×⋯×3n3n-1)，则3T n+1-log2(a n+3)=log2éë(32×65×⋯×3n3n-1)3ùû×23n+2.设f(n)=(32×65×⋯×3n3n-1)3×23n+2，则f(n+1)f(n)=(3n+3)3(3n+5)(3n+2)2，变形得(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，则数列{}f(n)单调递增.因此f(n)≥f(1)>1，则3T n+1-log2(a n+3)=log2f(n)>0，所以3T n+1>log2(a n+3).本题的难度较大，欲证明此题，首先需要从结论出发，构造数列f(n)，然后根据新数列的形式，利用作差法、作商法证明数列具有单调性，再利用其单调性证明结论.很多时候，我们并不能直接发现数列的单调性，往往需要对数列的递推式进行多次转换、变形，构造出新数列才能发现其单调性.二、放缩法放缩法是解答不等式问题的基本方法之一.在运用放缩法证明数列不等式问题时，我们必须紧紧围绕着放缩目标，掌握好放缩的尺度，灵活运用不等式的传递性证明不等式.常见的放缩技巧有添加或删除某些项、先放缩再求和（先求和再放缩）、先裂项再放缩（先放缩再裂项）等.但无论运用哪种放缩技巧，都需要把控放缩的尺度，否则容易得出错误的答案.例2.已知数列{}a n满足条件：a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N*)，试证明：n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n an+1<n2.证明：由a n+1=2a n+1,(n∈N*)，可得a n=2n-1，则akak+1=2k-12k+1-1=2k-12(2k-12)<2k-12(2k-1)=12，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1<12+12+⋯+12=n2.故akak+1=2k-12k+1-1=12·2k+1-22k+1-1=12(1-12k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13×12k(k=1,2,3,⋯)，即a1a2+a2a3+⋯+anan+1≥12-13(12+122+⋯+12n)=n2-13(1-12n)>n2-13.综合上述分析，即可证明不等式n2-13<a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1<n2成立.本题主要运用了放缩法，首先结合数列不等式的表达式，对不等式进行缩放，构造出anan+1，再借助不等式的传递性证明了结论.三、导数法对于综合性较强的数列不等式问题，我们往往采用导数法来求解.首先结合不等式构造出函数模型，对函数求导，通过研究其导函数得到函数的单调性、最储文海42解题宝典值，进而证明不等式成立.例3：试证明12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1(n ∈N*).证明：令a n =1n +1、b n =1n ，于是当n ≥2时，S n -1=ln n 、S n =ln(n +1).则S n -S n -1=ln(n -1)-ln n =ln n +1n.欲证明原不等式成立，需要证明1n +1<ln n +1n<1n ，即证明1x +1<ln x +1x <1x ,x ≥1.设函数f (x )=ln x +1x -1x +1，对其进行求导可得到f ′(x )=1x +1-1x +1(x +1)2=-1x (x +1)2<0.令x +1x =t ，则1x =t -1，t -1t<ln t <t -1,(t >1).设函数h (t )=ln t -t -1t ，则h ′(t )=t -1t2>0，则函数h (t )在(1,+∞)单调递增，所以h (t )>h (1)=0，h (t )=ln t -t -1t>0，即是ln t >t -1t.同理可以证得ln t <t -1，即是ln t +1t <1t.综上可得，1t +1<ln t +1t <1t ，当t 分别取1,2,3,…,n -1时，12+13+14+⋯+1n <ln n <1+12+13+14+⋯+1n +1.运用导数法的根本目的是判断数列的单调性，求得数列的最值.这里首先构造出两个数列以及两个数列的和式，然后结合目标不等式的形式构造出函数模型，通过分析导函数确定函数的单调性，从而证明不等式.从上述分析我们不难看出，证明数列不等式问题的难度系数较大.在解答此类问题时，我们需要仔细分析数列不等式的特点，将其进行适当的变形、转化，并要学会联想，将其与不等式的性质、重要结论以及函数、导数的性质关联起来，才能将难题破解.（作者单位：江苏省华罗庚中学）立体几何是高考数学考查的重点.解答立体几何问题常用的方法是几何法和向量法.这两种方法是分别从几何和代数两个角度入手的，有着各自的优势.本文重点探讨这两种方法在解题中的应用.一、几何法几何法是指运用几何知识解答问题的方法.在解答立体几何问题时，我们需要根据题意绘制相应的图形，探寻空间中点、线、面之间的位置关系，通过延长线段，平移、变换、旋转图形，添加辅助线等方式，建立结论与已有条件之间的联系，灵活运用各种定理、定义、性质，对条件进行转化，顺利解答问题.例1.如图1，在三棱台ABC-DEF 中，已知平面BCEF ⊥平面ABC ，∠ACB -90°，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：BF ⊥平面ACFD （2）求二面角B -AD -C 的余弦值.李鹏飞图143。
思路探寻数列不等式证明问题的难度较大，命题者通常会在数列与不等式知识的交汇处命题.这类问题侧重于考查同学们对数列与不等式知识的掌握与应用情况，对逻辑推理和综合分析问题的能力有较高的要求.本文结合几个例题，谈一谈如何选用合适的方法来轻松证明数列不等式.一、放缩法放缩法是证明数列不等式的一种重要方法.运用这种方法证明不等式，需将不等式一侧的式子放大或者缩小，再利用不等式的传递性证明结论.在放缩不等式时，可先将数列的通项公式进行合理的放缩，以便快速求得数列的和；也可将数列的和式进行适当的放缩，使其逐步向所要证明的目标式靠拢.例1.求证：1+12+13+⋯+1n<2n(n∈N+).证明：因为1n=22n=2n+n<2(n-n-1)，所以1+3⋯+1<2(1-0)+2(2-1)+⋯+2(n-n-1)，又因为2(1-0)+2(2-1)+⋯+2(n-n-1)=2n，所以1+⋯+<2n，即1+⋯+<2n(n∈N+).题目中数列的通项公式是，根据该通项公式很难求出数列的和，所以想到运用放缩法，将进行放缩，得1n=22n=2n+n＜2(n-n-1)，就可以直接运用裂项相加法快速求得求数列的和，将中间的部分项抵消，通过化简证明不等式.二、构造函数法数列是一种特殊的函数.当遇到复杂的数列不等式时，就要根据目标不等式的特征构造出合适的函数模型，再结合指数、对数、二次函数等简单基本函数的单调性求出数列和的最值，从而证明数列不等式.例2.已知数列{}a n的通项公式为a n=3n-1，并且该数列的每一项都大于零.假设数列{}b n的前n项和为Tn，且a n(2b n-1)=1，请证明：3T n+1>log2(a n+3).证明：因为an(2b n-1)=1，a n=3n-1，所以b n=log2(1+1a n)=log23n3n-1，所以T n=b1+b2+⋯+b n=log2（32∙65∙⋯∙3n3n-1），所以3T n+1-log2(a n+3)=[log2（32∙65∙⋯∙3n3n-1）3∙23n+2]，设f(n)=(32∙65∙⋯∙3n3n-1)3∙23n+2，所以f(n+1)f(n)=3n+23n+5∙(3n+33n+2)3=(3n+3)2(3n+5)(3n+2)2，又因为()3n+33-()3n+5()3n+22=9n+7>0，所以f()n+1>f()n，所以f()n=(32∙65∙⋯∙3n3n-1)3∙23n+2单调递增，所以f(n)≥f(1)=2720>1，所以3T n+1-log2(a n+3)=log2f()n>0，所以3T n+1>log2(a n+3).解答该题，需先根据已知条件求得b n、T n，并把目标式进行化简；然后根据不等式的特点构造函数f(n)=(32∙65∙⋯∙3n3n-1)3∙23n+2；再根据函数单调性的定义，比较f(n+1)和f(n)的大小，以判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性证明数列不等式.上述两种方法都是证明数列不等式的常用方法，其中放缩法的适用范围更广，且比较常用，而构造函数法比较灵活，同学们需具备较强的洞察力和应变能力，根据题意构造出合适的函数模型.大家平时要多加练习，才能熟练掌握该解题方法.（作者单位：江苏省盐城市射阳县高级中学）46。
浅谈高考数列不等式的证明
数列不等式是高考数学考试的重要知识点，它在考试中有着广泛的应用。
因此，本文将从证明数列不等式的角度来讨论高考数学，旨在为考生提供一些有价值的建议与帮助。
首先，让我们回顾一下数列不等式的定义：若给定一组有限个正整数，它们按某种特定顺序排列而成数列，则可根据定义产生一组不等式，称为数列不等式。
其次，我们来看看证明数列不等式的方法。
首先，要了解数列的特点，明确其类型。
然后，根据数列的特点，可以推出一组不等式，并证明这组不等式。
最后，根据证明的结果，来推断原数列是否存在某种特殊性质。
接下来，我们来看一个小例子：假设数列{an}满足条件a1=1; an+1=3an-an-1，求证此数列是等比数列。
分析此数列，可知
an+2=9an-3an-2，即an+2=3(an+1)，由此可以推出
an+1/an=an+2/an+1，即an+1=3an，故此数列是等比数列。
最后，我们来看一下总结。
证明数列不等式是高考数学部分的重要知识，考生在备考阶段时应重点学习和练习。
具体而言，要明确数列的类型，然后根据数列的特点证明一组不等式，并根据证明结果推断数列是否存在某种特殊性质。
总之，要想在高考中取得更好的成绩，考生需要掌握数列不等式证明的方法，充分利用备考时间练习，以便取得更好的高考成绩。
以上就是本文关于数列不等式证明的讨论。
希望考生们能坚持好
自己的学习计划，仔细研究，深入理解数列不等式，以便在高考中为自己收获最好的成绩。
解题宝典数列不等式问题比较复杂,对同学们的逻辑思维能力和运算能力的要求较高.很多同学在解题的过程中找不到恰当的方法，常常因为复杂的计算浪费了大量的时间.那么，如何选择最佳的途径来解题呢？本文结合一道例题，谈一谈解答数列不等式问题的三种途径,以帮助同学们拓宽解题的思路.例题：已知函数f ()x =23x +12，h ()x =x ,证明:f ()100h ()100-∑k =1100h ()k >16.本题看似与函数有关，实质上是一道数列不等式证明题.我们要先根据已知的函数式将目标不等式化简为数列的形式，然后仔细研究该数列不等式，找出数列中隐含的规律，利用数列的单调性、数学归纳法以及拆项求和等三种途径来解题.一、利用数列的单调性我们知道，数列是一种特殊的函数，且具有单调性，因此在证明数列不等式时，我们只要明确了数列的单调性，就可利用数列的单调性来比较两个式子的大小或证明不等式成立.解：记a n =f ()n h ()n -∑k =1n h ()k ()n ∈N *，即a n =æèöø23n +12n -()1+2+∙∙∙+n ，则a 1=16.a n +1-a n =16[]()4n +7n +1-()4n +3n -6n +1=16[]()4n +1n +1-()4n +3n =16éëêùûú()4n +12()n +1-()4n +32n =16æèöø16n 3+24n 2+9n +1-16n 3+24n 2+9n >0，所以{}a n 是单调递增数列，所以a 100>a 1=16，即f ()100h ()100-∑k =1100h ()k >16.我们首先将f ()100h ()100-∑k =1100h ()k 转化为通项公式a n =f ()n h ()n -∑k =1n h ()k ()n ∈N *，根据函数单调性的定义证明{}a n 是单调递增数列，再利用数列的单调性即可证明不等式成立.同学们在解题时，要注意运用本题中的一个隐含条件：a 1=16，才能运用数列的单调性快速证明结论.二、采用数学归纳法数学归纳法是一种证明与自然数有关命题的常用方法，通常被用于证明某个命题在自然数范围内成立.运用数学归纳法证明数列不等式，一般需分两步进行：（1）证明当n =1时命题成立；（2）假设n =k 时命题成立，利用该结论推导出在n =k +1时命题也成立.（n 代表任意自然数）解：对于任何正整数n ≥2，有f ()100h ()100-∑k =1100h ()k >16，即对任何正整数n ≥2，有æèöø23n +12n -()1+2+∙∙∙+n >16，当n =2时，左边=-1>16，结论成立.假设当n =k ()k ≥2时，结论成立，则æèöø23k +12k -()1+2+∙∙∙+k >16，当n =k +1时，要证éëùû23()k +1+12k +1-()4k +3⋅k -6k +1>0，即证()4k +1k +1>()4k +3k ，只需证明()4k +12()k +1>()4k +33k ，即证16k 3+24k 2+9k +1>16k 3+14k 2+9k ，显然该式成立.因此对任何正整数n ≥2，有æèöø23n +12n -(1+2+∙∙∙+n )>16，所以当取n =100时，有f ()100h ()100-∑k =1100h ()k >16.我们先将f ()n h ()n -∑k =1nh ()k 转化为æèöø23n +12n40（上接23页）在完成任务的过程中，学生不仅提出了自己的观点，而且能结合原文来分析论证，很不错。
【知识要点】证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法.一、数学归纳法一般地，证明一个与自然数n 有关的命题()P n ，有如下步骤：（1）证明当n 取第一个值0n 时命题成立.0n 对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n k =（0k n ³，k 为自然数）时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立. 综合（1）（2），对一切自然数n （n 0n ³），命题()P n 都成立. 二、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法. 放缩的技巧：a n n >>< ②将分子或分母放大或缩小，如：2211111111,(1)1(1)1k k k k k k k k k k <=->=---++(1)2n n ++< 三、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”. 一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程. 【方法点评】【例1】用数学归纳法证明:),2(241321312111*N n n n n n n ∈≥>+⋯++++++【点评】利用数学归纳法证明不等式时，关键在于第二步，证明这一步时，一定要利用前面的假设和已知条件.【反馈检测1】已知2012(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x +=+-+-++-，（其中n N *∈） （1）求0a 及12n n s a a a =+++；（2）试比较n s 与2(2)22n n n -⋅+的大小，并说明理由．【例2】已知函数 （1）当45a =时，求函数()f x 在(0,)+∞上的极值； （2）证明：当0x >时，2ln(1)x x +<； （3）证明：444111(1)(1)(1)23e n+++< (,2,n N n e *∈≥为自然对数的底数）.（2）令)1ln()(2x x x g +-=则01)1(121)(222'≥+-=+-=x x x x x g ()∞+∴，在0)(x g 上为增函数.0)0()(=>∴g x g x x <+∴)1ln(2（3）由（2）知x x <+)1ln(2令41n x =得，nn n n n n 111)1(11)11ln(24--=-<<+)11ln()311ln()211ln(444n ++++++∴ 11111141313121211<-=--++-+-+-<n n n∴e n <+++)11()311)(211(444【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式，是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不等式，有时需要放缩通项，有时是需要放缩求和的结果，本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当，所以放的度很重要，有时需要把每一项都放缩，有时需要把前面两项不放缩，后面的都放缩，有时需要把后面的项不放缩，所以要灵活调整，以达到证明的目的. 学科*网【反馈检测2】已知数列{}n a 满足2112222(21)22n n n a a a n ++++=-⋅+．（1）求1a 及通项公式n a ；（22114a ++<【反馈检测3】将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，5，10，17， 记为数列{}()+∈N n a n ，第一列数1，4，9，16，25， 记为数列{}()+∈N n b n（1）写出数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n n T S ,，用数学归纳法证明：()()+∈+=+N n n n S T n n 4233； （3）当3≥n 时，证明：47111145321<++++<n b b b b ．【反馈检测4】已知函数)(ln 1)(R a x x ax f ∈++=（1）当2=a 时，比较)(x f 与1的大小；（2）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （3）求证：对于一切正整数n ，都有121715131)1ln(+++++>+n n【反馈检测5】已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+(1)a ≥. （1）讨论()f x 的单调性与极值点；（2）若21()1(1)2g x x x x =-->，证明：当1a =时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方； （3）证明：2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n n n --+++<+*(,2)n N n ∈≥.对数的底数）．（1）求实数a 、b 的值； （2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）当1(,)m n m n Z >>∈时，证明：()()nmm n nmmn >．（2）当1>x 时，设1ln 1)()(-+=-=x xx x x x f x g ， 则2/)1(ln 2)(---=x xx x g 设x x x h ln 2)(--=，则011)(/>-=xx h ，)(x h 在) , 1(∞+上是增函数 因为03ln 1)3(<-=h ，04ln 2)4(>-=h ， 所以)4 , 3(0∈∃x ，使0)(0=x h) , 1(0x x ∈时，0)(<x h ，0)(/<x g ，即)(x g 在) , 1(0x 上为减函数；同理)(x g 在0( , )x +∞上为增函数从而)(x g 的最小值为0000001ln )(x x x x x x g =-+=所以)4 , 3(0∈<x k ，k 的最大值为3【点评】本题的第3问，由于结论比较复杂，一下子看不出证明的方向，所以要采用分析法来证明. 【反馈检测6】已知函数()()1ln f x a x a R x=-∈. （1）当1a =-时，试确定函数()f x 在其定义域内的单调性； （2）求函数()f x 在(]0,e 上的最小值；（3）试证明：()111 2.718,n e e n N n +*⎛⎫+>=∈ ⎪⎝⎭.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第41讲：数列不等式的证明方法参考答案【反馈检测1答案】（1）02n a =，32n n n s =-；（2）当1n =或4n ≥时，23(1)22n n n n >-⋅+,当2,3n =时，23(1)22n n n n <-⋅+． 【反馈检测1详细解析】（1）取1x =，则02n a =；取2x =，则013n n a a a +++=，1232n n n n s a a a ∴=++=-．∵4k ≥时，(3)20k k ->，22442444420k k --≥⋅-⋅-> ∴2(3)24420k k k k -+--> ∴1123k 22(1)k k k ++>⋅++． 即1n k =+时结论也成立，∴当4n ≥时，23(1)22n n n n >-⋅+成立.综上得，当1n =或4n ≥时，23(1)22n n n n >-⋅+； 当2,3n =时，23(1)22n n n n <-⋅+．【反馈检测2答案】（1）13a =，21n a n =+；（2）见解析.【反馈检测3答案】（1）222n a n n =-+，2n b n =；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 学科*网 【反馈检测3详细解析】（1）由121n n a a n +-=-，得：21132322n a a n n n =++++-=-+，2n b n =．① 当1n =时，111T S ==，∴()1136T S +=，又3246n n +=，∴1n =时等式成立； ② 假设n k =时等式成立，即()3324k k T S k k +=+， 则1n k =+时，()()()()()()223111133324311212k k k k k k T S T S b a k k k k k ++++⎡⎤+=+++=+++++-++⎣⎦()()232466161k k k k =++++-+()()()2216161k k k k k =-++++ ()()22461k k k =+++()()22141k k ⎡⎤=+++⎣⎦()()32141k k =+++，∴1n k =+时等式也成立．根据①②，()()33+24n n T S n n n N +=+∈都成立．【反馈检测4答案】（1）3ln 2k >-或3ln 22k <+；（2）见解析. 【反馈检测4解析】（1）当2=a 时，x x x f ln 12)(++=，其定义域为),0(+∞ 因为0)1(11)1(2)(222>++=++-='x x x x x x f ，所以)(x f 在),0(+∞上是增函数 故当1>x 时，1)1()(=>f x f ；当1=x 时，1)1()(==f x f ； 当1<x 时，1)1()(=<f x f （2）当29=a 时，x x x f ln )1(29)(++=，其定义域为),0(+∞ 22)1(2)2)(12(1)1(29)(+--=++-='x x x x x x x f ，令0)(='x f 得211=x ，22=x 因为当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ；当221<<x 时，0)(<'x f 所以函数)(x f 在)21,0(上递增，在)2,21(上递减，在),2(+∞上递增且)(x f 的极大值为2ln 3)21(-=f ，极小值为2ln 23)2(+=f又当+→0x 时，-∞→)(x f ；当+∞→x 时，+∞→)(x f因为函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，所以函数)(x f y =的图象与直线k y =仅有一个交点.所以2ln 3->k 或2ln 23+<k（3）方法二：用数学归纳法证明：①当1=n 时，不等式左边2ln =，右边31= 因为18ln 2ln 3>=，所以312ln >，即1=n 时，不等式成立 ②假设当)(*∈=N k k n 时，不等式成立，即121715131)1ln(+++++>+k k那么，当1+=k n 时，]12)1ln[()2ln()1ln(++⋅+=+=+k k k k n 12ln )1ln(++++=k k k 12ln )121715131(++++++++>k k k 由（1）的结论知，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x 所以3211121121212ln +=+++-++>+-k k k k k k k 即1)1(21121715131)2ln(++++++++>+k k k 即当1+=k n 时，不等式也成立综合①②知，对于一切正整数n ，都有121715131)1ln(+++++>+n n 【反馈检测5答案】（1）()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 上单调递减.1x =为极大值点，x a =为极小值点；（2）见解析；（3）见解析.（2）当1a =时，令()()()1ln F x g x f x x x =-=--，'11()1x F x x x-=-=，当1x >时，'()0F x >，01x <<时，'()0F x <， ∴()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，∴()(1)0F x F ≥=，∴1x >时，()0F x >恒成立. 即1x >时，()()g x f x >恒成立，∴当1x >时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方.（3）由（2）知()(1)0F x F ≥=，即ln 1x x ≤-，∵0x >，∴ln 11x x x≤-， 令2*()x n n N =∈，则222ln 11n n n ≤-，∴22ln 11(1)2n n n ≤- ∴222222ln 2ln 3ln 1111(111)23223n n n+++≤-+-++- 22211111()2223n n -=-+++ 11111()222334(1)n n n -<-+++⨯⨯+ 11111111()2223341n n n -=--+-++-+2111121()22214(1)n n n n n ---=--=++∴不等式成立. 【反馈检测6答案】（1）()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）()()min 11,1ln ,ae a e e f x a a a a e -⎧≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩；（3）见解析. 学科*网 【反馈检测6详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =-时，()1ln f x x x =+，则 ()22111x f x x x x-'=-+=， 解不等式()0f x '<，得01x <<；解不等式()0f x '>，得1x >，故函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；当10e a <-<，即当1a e<-时，当10x a <<-，()0f x '<，当1x e a -<<时，()0f x '>， 此时函数()f x 在1x a =-处取得极小值，亦即最小值， 即()()min 11ln ln f x f a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 综上所述，()()min 11,1ln ,ae a e e f x a a a a e -⎧≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩；由（1）知，当1a =-时，函数()1ln f x x x =+在区间()1,+∞上单调递增， 即函数()f x 在区间(]1,2上单调递增，故()()11f x f >=， 故有1ln 1x x +>，因此不等式1ln 10x x+->在(]1,2上恒成立，故原不等式得证， 即对任意n N *∈，111n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭.。
专题09 数列不等式的证明与求解参数◆题型一:数列不等式的证明 方法解密:对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n 的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题.【经典例题1】已知等比数列{}()n a n N *∈为递增数列，且236324,522==+a a a a a ．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()42n nn b n N a *-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：6n S <． 【经典例题2】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++=．(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ． 【经典例题3】已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若132a =，且()1122n n S S S n n *-≥∈N ，，，成等差数列． (1)求证：数列1n S 是等比数列； (2)记数列1n S 的前n 项和为n T ，求证：21143n T ≤<． 总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n 的取值范围的相关题型.【经典例题4】等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且3616a a +=，981S =． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列121n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若215n T >，求n 的最小值．【练习1】等差数列{}n a 中，前三项分别为,2,54x x x -，前n 项和为n S ，且2550k S =.(1)求x 和k 的值； (2)求n T =1231111nS S S S ++++ (3)证明: n T 1<【练习2】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，342n n S a =-， (1)求数列{n a }的通项公式； (2)设33log 4nn a b =，n T 为数列12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.证明：12n T ≤<【练习3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*214n n S a n +=∈N ，数列{}n b 为等差数列，112b a =，且()5435b b b =-．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)对任意的正整数n ，有212n n n n n b c b b a +++=，求证：121n c c c ++⋅⋅⋅+<．【练习4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，24a =，()112322n n n S S S n +-+=-≥. (1)证明：数列{}2n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记112n n n n b a a -+=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：11123n T ≤<.◆题型二:数列不等式求解参数 方法解密:对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即+10n n a a ->对*n ∈N 恒成立,数列单调递增.+10n n a a -<对*n ∈N 恒成立,数列单调递减. 含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题. (1) ( ) x D f x a ∀∈<恒成立，则max ()f x a < (2) ( ) x D f x a ∀∈>恒成立，则min ()f x a > 下面看一下有关恒成立问题的例题:【经典例题1】已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．【经典例题2】已知数列{}n a 满足114a =，()110n n n n n a a a a a ++-=≠且12231n n n S a a a a a a +=+++．若对任意8n ≥，*n ∈N ，不等式21n S λ>+恒成立，则正整数λ的最小值为______． 分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题:【经典例题3】数列{an }的通项公式为an ＝3n ，记数列{an }的前n 项和为Sn ，若*N x ∃∈使得()3362nS k n +≥-成立，则实数k 的取值范围是______． 【经典例题4】已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且23()2n n n S n N *+=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围．【练习1】设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知12327a a a =，581a =，若存在m R ∈，使得272n nS a +≤12m -成立，则m 的最小值为___．【练习2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，当2n ≥时，2n n n n S a S a =-. (1)求n S ；(2)设数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()292nn T n λ≤+⋅恒成立，求λ的取值范围.【练习3】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，6328S S =，数列{}n b 满足()33log 1n n b a =+． (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若对任意的*n ∈N ，3n n b a λ<恒成立，求实数λ的取值范围． 【练习4】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若对任意的*N n ∈，不等式()1311n S n λ⋅+≥-恒成立，求实数λ的取值范围．【过关检测】1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,21()n n a a S n N *+==+∈；等差数列{}n b 中，25b =，43b a =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得60n T n >？若存在，求n 的最小值，若不存在，说明理由.2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，234a =-，且22S -，3S ，44S 成等差数列．(1)求数列{}n a 的公比q 和通项n a ； (2)设1n n T S =-，求满足12022n T >的n 的最大值． 3.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若33212a a a S ，. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求使n n S a >成立的n 的最小值.4.已知Sn 为等差数列{an }的前n 项和，S 3＝21，S 5＝55． (1)求an 、Sn ；(2)若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn ，求满足225n T >的最小正整数n ． 5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1222n n S n a ++=-，28a =，其中n *∈N . (1)记1n n b a =+，求证：{}n b 是等比数列； (2)设1n n n c b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：54n T <. 6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S .从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分. ①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列； ②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=； ③22n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且()()2212211log log n n n b a a -+=.证明：12n T <. 7.已知Sn 是等比数列{an }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且4118S a -=-. （1）求数列{an }的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S ≥？若存在，求出符合条件的n 的最小值；若不存在，说明理由. 8.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，211(2)n n n n a S a S n ++--=-≥．记22(1)log n n b a +=. (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ，求使得不等式9n T >成立的n 的最小值.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,21()n n a a S n N *+==+∈；等差数列{}n b 中，25b =，43b a =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得60n T n >？若存在，求n 的最小值，若不存在，说明理由.10.已知等差数列{}n a 公差不为零，1235a a a a ++=，238a a a ⋅=，数列{}n b 各项均为正数，11b =，2211320n n n n b b b b +++-=.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)若16n n a b λ++≥恒成立，求实数λ的最小值． 11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足222n n n S a a =+-.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2nnn a a b =，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若()332n n k n T S +-≤对任意的*n N ∈恒成立，求k 的最小值. 12.已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为()2f x x '=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得30n mT <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m ．。
浅谈高考数列不等式的证明高考数列不等式有着重要的理论和应用价值，在高考中也是考查重点之一。
所谓数列不等式是指在给定的正整数序列$a_1,a_2,ldots,a_n$的情况下，推测这个数列的每一项均满足一定的形式的不等式，一般来说数列不等式的证明都是通过归纳法进行的。
首先，我们应该熟悉数列的基本概念。
数列的概念是指一个规律的排列，包括等差数列和等比数列，它们之间的关系可以由表达式来表达，当数列的变量满足这种表达式时，这个数列就叫作数列。
其次，归纳法也是证明数列不等式的基本方法，归纳法一般是由具体数列出发，从一般而去，先对该数列熟悉，发现其特点，然后归纳推出其一般规律，从而证明该数列的性质。
由于归纳法与实验结果是紧密相连的，通常在进行证明之前，都会先做实验，以推断该数列的一般表达式以及其后的规律和性质。
接下来，我们来考虑一般性的情形，数列的性质和规律一般都可以由其定义的公式表示，例如我们定义的等差数列$a_1,a_2,ldots,a_n$，其通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$表示公差，推出来的规律则可以写成$a_n-a_{n-1}=d$，这就是等差数列的一个性质，即每一项减去前一项都为公差$d$。
我们可以用归纳法来证明这种规律，从第一项证明到第n项，我们的思路是：1.先对第一项和第二项应用公式，可以得到$a_2-a_1=d$2.设$a_k-a_{k-1}=d$成立3.k+1输入公式，可以得到$a_{k+1}-a_{k}=d$4.据步骤2和3，可以推出$a_n-a_{n-1}=d$故而，我们可以通过归纳法来证明等差数列$a_1,a_2,ldots,a_n$满足$a_n-a_{n-1}=d$的性质。
当然，数列不等式的另外一个主要证明方法就是函数的极值法则。
函数的极值法则是一个数学思想：假设函数$f(x)$的极值在x=x_0处取得，那么在区间$[a,b]$内，$f(x)$有如下性质，①当$x<x_0$时，$f(x)$就是从右侧开始递减的，即$f(x)$对$x$有正偏导数；②当$x>x_0$时，$f(x)$就是从左侧开始递增的，即$f(x)$对$x$有负偏导数；③如果$x$刚好在$x_0$处，则$f(x)$的偏导数为0.我们可以使用这个思想来证明数列的一般不等式，例如$a_n-a_1>0$，我们只需要定义$f(n)=a_n-a_1$，由于$a_n-a_1$对$n$的导数都是正的，所以当$a_n-a_1$取到最大值的时候，该最大值一定是大于0的，可以认为$a_n-a_1>0$是成立的。
数列不等式证明大题解题技巧
1. 把数列的不等式转化为数学归纳法或数列递推公式证明：通过利用归纳假设或递推公式，将数列的不等式转化为一系列数学运算的等式或不等式，从而证明原始的数列不等式。
2. 利用数列的性质进行变形：通过对数列进行一系列变形，利用数列的性质，等式性质或不等式性质，将原始的数列不等式转化为更容易证明的形式。
3. 利用基本不等式或数学不等式进行转化：通过利用已知的基本不等式或数学不等式，对不等式进行转化或放缩，从而证明原始的数列不等式。
4. 利用函数性质进行推理：如果数列具有某种特定的性质，可以将数列不等式化为函数不等式，然后根据函数性质进行推理和证明。
5. 利用数列的特殊性质进行归纳：如果数列具有某种特殊的性质，可以通过归纳法证明数列的不等式。
总之，数列不等式的证明需要将数列不等式转化为一些更易于证明的形式，利用数列的特性、基本不等式、数学不等式、函数性质等进行推理和证明。
熟练掌握这些解题技巧，并结合具体题目的特点进行灵活应用，可以帮助解决数列不等式的证明大题。
解题宝典数列不等式证明具有较强的综合性，且难度较大.此类问题往往综合考查了等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式、性质、不等式的可加性、可乘性、传递性等，对同学们的逻辑推理和分析能力有较高的要求.本文主要介绍三种证明数列不等式的方法.一、裂项放缩法若数列的通项公式为分式，且可裂为或通过放缩后化为两项之差的形式，则可采用裂项放缩法求解.首先将数列的各项拆分，在求和时绝对值相等、符号相反的项便会相互抵消，再将所得的结果进行适当的放缩，便可证明数列不等式.例1.若数列{}a n ，{}b n 的通项公式分别为a n =n (n +1)，b n =()n +12，试证明1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n<512.证明：当n =1时，1a 1+b 1=16<512，当n ≥2时，a n +b n =()n +1()2n +1>2()n +1n ，1a n +b n =1()n +1()2n +1<12n ()n +1=12æèöø1n -1n +1,∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n ùûú<16+12éëêæèöø12-13+⋯+æèöø1n -1n +1，∵12éëêùûúæèöø12-13+⋯+æèöø1n -1n +1=12æèöø12-1n +1<14，∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n <16+14=512∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n <512成立.{}1a n +b n的通项公式为分式，且可通过放缩、裂项将其转化为两项之差：12æèöø1n -1n +1，于是采用裂项放缩法求证.运用裂项放缩法证明不等式时，需根据数列通项公式的特点或和的特点进行适当的放缩，同时要把握放缩的“度”，不可“放”得过大，也不可“缩”得过小.二、构造函数法数列是一种特殊的函数.在解答数列不等式证明题时，可根据目标不等式的特点构造出函数模型，此时需将n ∈N *看作函数的自变量，将目标式看作关于n 的函数式，利用函数的单调性、有界性来求得函数式的最值，从而证明不等式成立.例2.已知数列{}a n 的通项公式为a n =3n -1，且该数列的每一项均大于零.若数列{}b n 的前n 项和为T n ，且a n ()2b n-1=1，证明：3T n -1>log 2()a n +3.证明：∵a n()2b n-1=1，a n=3n -1，∴b n =log 2æèçöø÷1+1a n =log 23n 3n -1，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =log 2æèöø32∙65∙⋯∙3n 3n -1，∴3T n -1-log 2()a n +3=log 2æèöø32⋅65⋅⋯⋅3n 3n -13∙23n +2，设f ()n =æèöø32∙65∙⋯∙3n 3n -13∙23n +2，∴f ()n +1f ()n =3n +23n +5∙æèöø3n +33n +23=()3n +32()3n +5()3n +22，∵()3n +33-()3n +5()3n +22=9n +7>0，∴f ()n +1>f ()n ，∴f ()n 单调递增，∴f ()n ≥f ()1=2720>1，∴3T n -1-log 2()a n +3=log 2f ()n >0，∴3T n -1>log 2()a n +3成立.解答本题，需先求得b n 、T n ，并将目标式化简，然后根据目标不等式的特点构造函数f ()n ，通过比较f ()n +1、f ()n 的大小，判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性证明不等式成立.一般地，在判断数列或函数的单调性时，可采用作差或作商法来比较数列的前后两项a n +1、a n 的大小，若a n +1>a n ，则函数或数列单调递增；若a n +1<a n ，则函数或数列单调递减.三、数学归纳法数学归纳法主要用于证明与自然数N 有关的命题.运用数学归纳法证明数列不等式，需先根据题意证明当n =1时不等式成立；然后假设当n =k 时不等式成立，再根据题意，通过运算、推理证明当n =k +1时不等式也成立，这样便可证明对任意n ∈N *不等式恒成立.42下下下下下下下下下下下下下下下下下方法集锦例3.已知数列{a n }的通项公式为a n =2éëêùûú()2-1n+1,若数列{b n }中b 1=2，b n +1=3b n +42b n +3，试证明：2<b n ≤a 4n -3.证明：当n =1时，2<2，b 1=a 1=2，∴2<b 1≤a 1，不等式成立，假设当n =k 时，不等式成立，∴2<b k ≤a 4k -3，即0<b k -2≤a 4k -3-2，当n =k +1时，b k +1-2=3b k +42b k +3-2=()3-22b k+()4-322b k +3=()3-22()b k -22b k +3>0，∵2<b k ，∴12b k +3<2+33-22，b k +1-2=()3-22()b k-22b k +3<()3-222()b k-2≤()2-14()a 4k -3-2=a 4k +1-2.∴当n =k +1时，不等式成立，即2<b n ≤a 4n -3成立.解答本题主要采用了数学归纳法，分两步完成，首先证明当n =1时不等式成立，然后假设当n =k 时不等式成立，并将其作为已知条件，证明2<b k ，进而证明当n =k +1时，不等式也成立.相比较而言，构造函数法的适用范围较广，裂项放缩法和数学归纳法的适用范围较窄，且裂项放缩法较为灵活，运用数学归纳法证明不等式过程中的运算量较大.因此在证明数列不等式时，可首先采用构造函数法，然后再根据不等式的特点和解题需求运用裂项放缩法或数学归纳法求证.（作者单位：湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学）圆锥曲线的离心率是反映圆锥曲线几何特征的一个基本量.圆锥曲线的离心率主要是指椭圆与双曲线的离心率，可用e =ca来表示.求圆锥曲线的离心率问题是一类常考的题目.下面谈一谈求圆锥曲线离心率的三种途径.一、根据圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义是解答圆锥曲线问题的重要依据.我们知道，椭圆的焦半径长为c 、长半轴长为a ；双曲线的焦半径长为c 、实半轴长为a ，而圆锥曲线的离心率为e =ca.因此，只要根据圆锥曲线的定义确定a 、c的值，即可求得圆锥曲线的离心率.例1.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，如果双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，并且||PF 1=3||PF 2，求双曲线的离心率．解：因为||PF 1=3||PF 2，①由双曲线的定义得||PF 1-||PF 2=2a ，②由①②得||PF 1=3a ，||PF 2=a .且||F 1F 2=2c ，∠F1PF 2=90°，则|F 1F 2||2=PF 1||2+PF 2|2，即(2c )2a )2+a 2，解得5a =2c ，所以e =ca ．题目中指出了两个焦半径||PF 1、||PF 2之间的关系，可将其与双曲线的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹关联起来，根据双曲线的定义建立关于两个焦半径的方程，通过解方程求得双曲线的离心率.二、利用几何图形的性质圆锥曲线的几何性质较多，如双曲线、椭圆的对称轴为坐标轴，对称中心为原点，双曲线的范围为x ≥a或x ≤-a .在求圆锥曲线的离心率时，要仔细研究几何图形，明确焦半径、实半轴长、虚半轴长与几何图形的位置关系，据此建立关于a 、b 、c 关系式，再通过解方43。
