2018年秋新课堂高中数学人教B版选修2-1学案：第1章 1.1 1.1.2 量词 Word版含答案

【高二数学学案】第1章 1.1 命题与量词1.1.1 命题主备人：许秋冰 审核人：葛红 时间：一．学习目标：理解命题的概念，会判断是否是命题；会判断命题的真假。

二．自主学习：什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？三．典型例题例1：下列语句是命题的个数为（ ）①空集是任何集合的真子集； ②0432=--x x ； ③3x-2>0； ④把门关上！ ⑤集合{a ，b ，c}有3个子集；⑥ 垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 训练1：判断下列语句是否是命题 （1）一条直线l ，不是与平面α平行就是相交。

（2）这是一棵大树。

（3）等边三角形是等腰三角形（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行； 例2：判断下列命题的真假（1）当x=2时，0232=+-x x 。

（2）当0232=+-x x 时， x=2（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若a>b 则a 2 >b 2（5）空集是任何集合的子集； 训练2：判断下列命题的真假 （1）当abc=0时，a=0或b=0或c=0。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧。

（3）若两条直线没有公共点，则它们平行。

（4）在三角形ABC 中，若sinA>sinB 则A>B 四．课后作业(a)1、下列语句中，不能成为命题的是（ ）A 、5>12B 、x>0C 、若0,=⋅⊥b a b a 则D 、三角形的三条中线交于一点 (a)2、下列语句中命题的个数为（ ）①平行四边形不是梯形； ②10是有理数；③请坐！；④方程x 2+x+1=0无实根。

A 、1B 、2C 、3D 、4(a)3、下列命题中，是真命题的是（ ） A.{φ}是空集B {x ∈N| |x -1|<3}是无限集C. π是有理数D. x 2-5x = 0的根是自然数 (b)4、下列命题中真命题的个数为（ ）①面积相等的三角形是全等三角形； ②若xy=0，则|x|+|y|=0； ③若a>b ，则a+c>b+c ； ④矩形的对角线互相垂直。

目录✧ 1.1.1基本计数原理学案✧ 1.1.2基本计数原理的应用学案✧ 1.2.1.1排列及排列数公式学案✧ 1.2.1.2排列的综合应用学案✧ 1.2.2.1组合及组合数公式学案✧ 1.2.2.2组合的综合应用学案✧ 1.3.1二项式定理学案✧ 1.3.2杨辉三角学案✧第1章计数原理章末分层突破学案✧ 2.1.1离散型随机变量学案✧ 2.1.2离散型随机变量的分布列学案✧ 2.1.3超几何分布学案✧ 2.2.1条件概率学案✧ 2.2.2事件的独立性学案✧ 2.2.3独立重复试验与二项分布学案✧ 2.3.1离散型随机变量的数学期望学案✧ 2.3.2离散型随机变量的方差学案✧ 2.4正态分布学案✧第2章概率章末分层突破学案✧ 3.1独立性检验学案✧ 3.2回归分析学案✧统计案例章末分层突破学案基本计数原理1.通过实例，能总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(重点)2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”.(易混点)3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 分类加法计数原理阅读教材P3中间部分，完成下列问题.做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( )(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班.若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种.( )(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种.( )【解析】(1)×在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的.(2)√在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事.(3)√由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式.(4)√根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种).【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√教材整理2 分步乘法计数原理阅读教材P3后半部分内容，完成下列问题.做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )(3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个.( )(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种.( )【解析】(1)√因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同.(2)×因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成.(3)√因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值.(4)×因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况.【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]分类加法计数原理的应用(1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【精彩点拨】(1)按所选组长来自不同年级为分类标准.(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类.【自主解答】(1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法.共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种.(2)法一按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).法二按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).1.应用分类加法计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法.(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏.(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事.2.利用分类加法计数原理解题的一般思路[再练一题]1.(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个.若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法.【导学号：62980000】【解析】(1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种.故选C.(2)有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法.其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种.【答案】(1)C (2)15分步乘法计数原理的应用一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?【精彩点拨】根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理.【自主解答】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码.1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.[再练一题]2.张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债.人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种.问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成.第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式.由分步乘法计数原理，得2×3＝6种.[探究共研型]两个计数原理的辨析探究1 某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？【提示】“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成.而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”.探究2 在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？【提示】要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成.只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事.探究3 在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？【提示】5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类加法计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法.故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(种)不同的套餐.利用分步乘法计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法.由分步乘法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐.两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？【精彩点拨】从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成.即解答本题可“先分类，后分步”.【自主解答】第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.1.能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数.2.利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉.(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成.[再练一题]3.一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡.(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？【解】(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法.根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法.(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法.根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法.[构建·体系]1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )【导学号：62980001】A.7B.12C.64D.81【解析】先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法.故选B.【答案】 B2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )A.1＋1＋1＝3B.3＋4＋2＝9C.3×4×2＝24D.以上都不对【解析】分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法.所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法.【答案】 B3.从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________.【解析】产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数.产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数.【答案】20 104.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条.【解析】经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条.【答案】125.某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息.(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？【解】(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法.根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法.(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法.由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182(种)坐法.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图1­1­1所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有( )图1­1­1A.6条B.5条C.9条D.4条【解析】从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条；从下面有2条.由分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有3＋2＝5条.【答案】 B2.有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A 不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A.96种B.24种C.120种D.12种【解析】 先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种.【答案】 A3.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( )【导学号：62980002】A.53种B.35种 C.8种 D.15种 【解析】 每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法.【答案】 B4.如果x ，y ∈N ，且1≤x ≤3，x ＋y <7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( )A.15B.12C.5D.4 【解析】 利用分类加法计数原理.当x ＝1时，y ＝0,1,2,3,4,5，有6个；当x ＝2时，y ＝0,1,2,3,4，有5个；当x ＝3时，y ＝0,1,2,3，有4个.据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个.【答案】 A5.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax ＋By ＝0的系数A ，B 的值，则形成的不同直线有( )A.18条B.20条C.25条D.10条【解析】 第一步，取A 的值，有5种取法；第二步，取B 的值，有4种取法，其中当A ＝1，B ＝2时与A ＝2，B ＝4时是相同的方程；当A ＝2，B ＝1时与A ＝4，B ＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条.【答案】 A二、填空题6.椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________.【解析】因为焦点在y轴上，所以0<m<n，考虑m依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20个.【答案】207.某班2016年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________.【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种).【答案】428.如图1­1­2，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________.图1­1­2【解析】依题意，首先找出B到A的路线，一共有4条，分别是BCDA，信息量最大为3；BEDA，信息量最大为4；BFGA，信息量最大为6；BHGA，信息量最大为6.由分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.【答案】19三、解答题9.有不同的红球8个，不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？【解】(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种).(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种).10.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？【解】从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理.有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理.有28×7×9×3＝5 292种不同的选法.[能力提升]1.一植物园参观路径如图1­1­3所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )图1­1­3A.6种B.8种C.36种D.48种【解析】由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线.【答案】 D2.某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复).某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( )【导学号：62980003】A.180种B.360种C.720种D.960种【解析】分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5).由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种.【答案】 D3.直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B 的值，则可表示________条不同的直线.【解析】若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线.【答案】224.已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，(1)P可以表示平面上的多少个不同点？(2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？【解】(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种.由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点.(2)根据条件需满足a<0，b>0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P 可以表示平面上的3×2＝6(个)第二象限的点.(3)因为点P不在直线y＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点.基本计数原理的应用1.熟练应用两个计数原理.(重点)2.能运用两个计数原理解决一些综合性的问题.(难点)[基础·初探]教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材P4～P5，完成下列问题.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别1.由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________.【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.【答案】242.(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项.【导学号：62980004】【解析】该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项.由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法.由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项).【答案】363.5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________.【解析】根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案.【答案】184.用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有________个.【解析】分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法.故有3×3×2＝18个不同的四位数.【答案】18[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]抽取(分配)问题(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A.16种B.18种C.37种D.48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________.【精彩点拨】(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解.(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽.【自主解答】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案.则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种).故选C.(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种).【答案】(1)C (2)9求解抽取(分配)问题的方法1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.2.当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.[再练一题]1.3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【解】法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60.法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法.根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种).组数问题用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的(1)银行存折的四位密码；(2)四位整数；。

第2课时组合的综合应用1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题.(重点)2.能解决无限制条件的组合问题.3.掌握解决组合问题的常见的方法.(难点)[基础·初探]教材整理组合的实际应用阅读教材P19～P21，完成下列问题.1.组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.2.应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题.(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题.(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算.(4)结论：根据计算结果写出方案个数.1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种.【解析】把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C310＝10×9×83×2×1＝120(种).【答案】1202.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种.【解析】甲选修2门，有C24＝6(种)不同方案.乙选修3门，有C34＝4(种)不同选修方案.丙选修3门，有C34＝4(种)不同选修方案.由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种).【答案】 963.从0,1, 2，π2， 3，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y ＝x tan α＋b 的倾斜角和截距，可组成______条平行于x 轴的直线.【解析】 要使得直线与x 轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可.故有C 15＝5条满足条件.【答案】 54.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种. 【导学号：62980019】【解析】 每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C 27＋C 37＋C 47＋C 57＝112种分配方案.【答案】 112[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.【精彩点拨】 本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题.【自主解答】(1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法.共有C13C49＝378种不同的选法.解答简单的组合问题的思考方法1.弄清要做的这件事是什么事.2.选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题.3.结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果.[再练一题]1.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C24种方法，即C26＋C24＝21(种).有限制条件的组合问题高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动.(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼.使用两个计数原理解决.【自主解答】(1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种).∴不同的取法有561种.(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种.或者C335－C234＝C334＝5 984种.∴不同的取法有5 984种.(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2 100种.∴不同的取法有2 100种.(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式N＝C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种.∴不同的取法有2 555种.(5)选取3名的总数有C335，因此选取方式共有N＝C335－C315＝6 545－455＝6 090种.∴不同的取法有6 090种.常见的限制条件及解题方法1.特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据.2.含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解.3.分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.[再练一题]2.“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5·12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法.(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法.法一(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法.根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法.法二(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法.(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答.①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法.所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法.组合在几何中的应用平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？【精彩点拨】解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数.【自主解答】法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准.第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有C24C18＝48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有C14C28＝112个不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C38＝56个不同的三角形.由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个).法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C312＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C34＝4种.故这12个点能构成三角形的个数为C312－C34＝216个.1.解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理.2.图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用排除法.[再练一题]3.四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【解】 如图所示，含顶点A 的四面体的3个面上，除点A 外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A 共面，共有3C 35种取法，含顶点A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理，不同的取法有3C 35＋3＝33种.[探究共研型]排列、组合的综合应用探究1 从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】 共有C 24＝4×32＝6(个)不同结果. 完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘.探究2 从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】 共有A 24－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除.探究3 完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】 由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行.第一类：0在个位，则百位与十位共A 24种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C 12C 13C 13＝18(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有A 24＋C 12C 13C 13＝30(种)不同的结果.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.【精彩点拨】 (1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方法.(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表.(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表.。

2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程学习目标：1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)[自主预习·探新知]1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：[提示]a，b的值及焦点所在的位置．[基础自测]1．思考辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆x216＋y225＝1的焦点坐标是(±3,0)．()(3)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()[提示](1)×2a＞|F1F2|.(2)×(0，±3)．(3)×a＞b＞0时表示焦点在y轴上的椭圆．2．以下方程表示椭圆的是()A．x225＋y225＝1B．2x2－3y2＝2C．－2x2－3y2＝－1 D．x2n2＋y2n2＋2＝0C[A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程．]3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是()【导学号：73122091】A.x25＋y24＝1 B.x23＋y24＝1C.x25＋y24＝1或x23＋y24＝1 D.x29＋y24＝1或x23＋y24＝1C[若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是x2 5＋y24＝1；若焦点在y轴，则a＝2，c＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x23＋y24＝1.][合 作 探 究·攻 重 难]【导学号：73122092】(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路探究] 求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算．[解析] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎨⎧ (3)2a 2＋(－2)2b 2＝1，(－23)2a2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎨⎧(－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a >b >0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (2)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142. [解] (1)法一：因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6. 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1. 法二：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意得⎩⎨⎧18a 2＋16b2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1. (2)法一：若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142代入， 得⎩⎨⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.如图2-1-1，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程. 【导学号：73122093】图2-1-1[解] 由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝5.∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)， ∴a ＝52，c ＝1，。

2.1.1曲线与方程的概念学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点一曲线与方程的概念思考1设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？(1){P|P A＝PB}(A，B是两个定点)；(2){P|PO＝3 cm}(O为定点)．思考2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？梳理一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的____________．一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：①________________________都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在________C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做______________；曲线C叫做______________．知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考1曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．思考2方程x－y＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了______________关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上反思与感悟解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0命题角度2 曲线与方程的概念应用例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是xy ＝±k .反思与感悟 解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪训练2 写出方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线．类型二 曲线与方程关系的应用 例3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝⎛⎭⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．1．曲线f (x ，y )＝0关于直线x －y －3＝0对称的曲线方程为( ) A ．f (x －3，y )＝0 B ．f (y ＋3，x )＝0 C ．f (y －3，x ＋3)＝0D ．f (y ＋3，x －3)＝02．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线x －y ＝0对称3．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．4．若曲线ax 2＋by 2＝4过点A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．提醒：完成作业第二章 2.1.1答案精析问题导学知识点一思考1(1)线段AB的垂直平分线；(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆．思考2y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理轨迹方程①曲线C上点的坐标②曲线曲线的方程方程的曲线知识点二思考1不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.思考2方程x－y＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线．因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程x－y＝0的解．例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点．方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线．梳理(2)一一对应题型探究例1 B跟踪训练1 D例2证明①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．跟踪训练2 解 由方程(x ＋y －1)·x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0.即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)． 例3 解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上．(2)∵M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴⎝⎛⎭⎫m22＋(－m －1)2＝10.解得m ＝2或m ＝－185.跟踪训练3 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 当堂训练1．D 2.C 3.两条相交直线 4．4 1 5.4个点。

1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．(重点)2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(易混点)3.能够利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要条件的证明．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．充分条件与必要条件(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明断定为真命题时，我们就说，由p 可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．(2)若p⇒q，但q⇒/p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇒/q，称p是q的必要不充分条件．思考1：若p是q的充分条件，p是唯一的吗？[提示]不一定唯一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件，如x＞3是x＞0的充分条件，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件．2．充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q 的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．思考2：若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件吗？[提示]是．因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．[基础自测]1．思考辨析(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(3)若p是q的充分不必要条件，则﹁p是﹁q的必要不充分条件．()[提示](1)√(2)√(3)√2．“x>0”是“3x2＞0”成立的()【导学号：33242048】A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件A[本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x>0显然能推出3x2＞0，而3x2＞0⇔|x|＞0⇔x≠0，不能推出x>0，故选A.]3．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由a－c>b－d变形为a－b＞c－d，因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，∴a－c＞b－d⇒a＞b.而a>b并不能推出a－c＞b－d.所以a>b是a－c>b－d的必要不充分条件．故选B.]4．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的()【导学号：33242049】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[命题p：(x－1)(y－2)＝0⇒x＝1或y＝2.命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2.由q⇒p成立，而由p⇒/q成立．][合作探究·攻重难]A．充分不必要条件B．必要充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |的”( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(3)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)设向量a ，b 的夹角为θ，则a·b ＝|a |·|b |cos θ，若|a·b |＝|a||b |⇒cos θ＝±1，则向量a ，b 的夹角θ为0或π，即a ∥b 为真；若a ∥b ，则向量a ，b 的夹角θ为0或π，|a·b |＝|a||b |，所以“|a·b |＝|a||b |”是“a ∥b ”的充要条件．特别地，当向量a 或b 为零向量时，上述结论也成立．故选C.(2)构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |.故选C.(3)设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．故选C.[答案] (1)C (2)C (3)C A 1．指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC.(2)对于实数x，y，p：x＋y＝8，q：x＝2且y＝6.(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.[解](1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)因为：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，但x＋y＝8⇒/x＝2且y＝6，所以p是q的必要不充分条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/p，所以p是q的既不充分也不必要条件.n n{a n}为等比数列的充要条件为q＝－1.【导学号：33242050】[思路探究]充分性：由q＝－1推出{a n}是等比数列；必要性：由{a n}是等比数列推出q＝－1.[证明](1)充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1)，当n＝1时也成立．∵p≠0且p≠1，∴a n＋1a n＝p n(p－1)p n－1(p－1)＝p，即数列{a n}为等比数列．(2)必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q. 当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1)．∵p≠0且p≠1，∴a n＋1a n＝p n(p－1)p n－1(p－1)＝p.∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝p . ∴p (p －1)p ＋q＝p ，∴q ＝－1， 即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.2．已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是直线l 外一点，求证：点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB→，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1. [证明] ①充分性：若点P 满足OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1，消去y ，得OP →＝xOA →＋(1－x )OB →＝x (OA →－OB →)＋OB →，∴OP →－OB →＝x (OA →－OB →)，即BP →＝xBA →.∴点P 在直线AB 上，即点P 在直线l 上．②必要性：设点P 在直线l 上，则由共线向量基本定理知，存在实数t ，使得AP →＝tAB →＝t (OB →－OA →)，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.令1－t ＝x ，t ＝y ，则OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.[探究问题]1．﹁p 是﹁q 的必要不充分条件的等价命题是什么？[提示] q 是p 的必要不充分条件．2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件、充要条件？[提示]已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.【导学号：33242051】[思路探究] 解出集合P ，把x ∈P 是x ∈S 的必要条件转化为集合间的包含关系，列不等式组求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.。

选修2－11.1命题与量词1.1.1命题1．了解命题的概念．(难点)2．理解命题的构成，并能指出命题的条件和结论．(重点)3．能判断一些简单命题的真假．(难点)[基础·初探]教材整理命题阅读教材P3，完成下列问题．1．命题：能判断真假的语句叫命题，命题一般用小写英文字母表示，如：p，q，r，….2．一个命题要么是真，要么是假．判断下列语句是命题的是________(填序号)．①求证3是无理数；②x2＋2x＋1≥0；③你是高二学生吗？④并非所有的人都喜欢苹果；⑤一个正整数不是质数就是合数．【解析】判断一个语句是否为命题，关键符合两点：①陈述句，②能判断真假．【答案】②④⑤[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]①一个数不是正数就是负数；②0是自然数吗？③22 016是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.【精彩点拨】判断语句是否为命题，要看是否符合两条：(1)是否为陈述句．(2)能否判断真假．【自主解答】②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题；①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数；④是命题，为真命题．【答案】①④判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．[再练一题]1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)函数y＝cos x是周期函数吗？(4)集合{a，b，c}有3个子集．【解】(1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．(2)不是命题，不能判断真假．(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假．(4)是命题．因为集合{a，b，c}有23＝8个子集，所以集合{a，b，c}有3个子集为假命题．x2＋2x－k ＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是________．【精彩点拨】【自主解答】①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题．【答案】①②④1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况．2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题时，只要举出一个反例即可．[再练一题]2．判断下列命题的真假．(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3＞x2成立；(3)若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．【解】(1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时，x3＞x2不成立．(3)真命题．∵m＞1⇒Δ＝4－4m＜0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．[探究共研型]探究1(1)若整数a能被2整除，则整数a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．【提示】命题由条件和结论两部分组成，其结构形式为“若p，则q”；也可写成“如果p，那么q”，其中p是条件，q是结论．(1)p：“整数a能被2整除”，q：“整数a是偶数”．(2)p：“四边形是菱形”，q：“它的对角线互相垂直且平分”．探究2把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)等边三角形的三个内角相等；(2)当a＞1时，函数y＝a x是增函数；(3)菱形的对角线互相垂直．【提示】(1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．(2)若a＞1，则函数y＝a x是增函数．其中条件p：a＞1，结论q：函数y＝a x是增函数．(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直．(2016·南京高二检测)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)能被3整除的数一定能被6整除；(2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．【精彩点拨】(1)上述命题的条件与结论分别是什么？(2)怎样用“若p，则q”的形式改写命题？【自主解答】(1)命题改写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被3整除，则这个数一定能被6整除．它是假命题，如：9能被3整除，但不能被6整除．(2)命题改写成“若p，则q”的形式为：若一个点到已知线段两端点的距离相等，则这个点在这条线段的垂直平分线上．由平面几何知识知它是真命题．1．要把一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性．2．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法是：若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可判断“若p，则q”是真；而判定“若p，则q”是假，则只需要举出一个反例即可．[再练一题]3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)当1a>1b时，a<b；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；(3)同弧所对的圆周角不相等．【解】(1)若1a>1b，则a<b，假命题；(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，真命题；(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，假命题．[构建·体系]1．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是() A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形【解析】把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.【答案】 C2．若M，N是两个集合，则下列命题中的真命题是()A．如果M⊆N，那么M∩N＝MB．如果M∩N＝N，那么M⊆NC．如果M⊆N，那么M∪N＝MD．如果M∪N＝N，那么N⊆M【解析】由集合的包含关系知道，若M⊆N，则M∩N＝M.【答案】 A3．“常数列是等差数列”是________命题，“常数列是等比数列”是________命题．(填“真”或“假”)【导学号：15460000】【解析】“常数列是等差数列”是真命题，“常数列是等比数列”是假命题．【答案】真假4．命题：若a＞0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)，条件p：________，结论q：___________________，是________命题．(填“真”或“假”)【解析】把握命题结构特征分析易得答案．【答案】a＞0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)真5．将命题“a＞0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大”写成“若p，则q”的形式，并判断真假．【解】“若p，则q”的形式：若a＞0，则函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．∵a＞0.∴函数y＝ax＋b为增函数，故该命题为真命题．我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质知，D为真命题．【答案】 D2．下列命题中是假命题的是()A．a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2＞bc2，则a＞bD．若α＝60°，则cos α＝1 2【解析】因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不一定成立，故选B.【答案】 B3．下列四个命题中，真命题是()【导学号：15460001】A．a＞b，c＞d⇒ac＞bdB．a＜b⇒a2＜b2C.1a＜1b⇒a＞bD．a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d【解析】可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．【答案】 D4．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则下列四个命题为真命题的是()A．在a，b，c，d中有且仅有一个是负数B．在a，b，c，d中有且仅有两个是负数C．在a，b，c，d中至少有一个是负数D．在a，b，c，d中都是负数【解析】 举例取特殊值，验证可知C 是真命题．【答案】 C5．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a ＞0 C ．若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝3D ．在△ABC 中，若AB →·BC→＞0，则B 为锐角 【解析】 A 中，y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；C 中，∵a ∥b ，∴1－2＝k 6，得k ＝－3，故C 为假命题；D 中，当AB →·BC →＞0时，向量AB →与BC→的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题． 【答案】 B二、填空题6．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .其中真命题的序号是________．【解析】 ②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①④正确．【答案】 ①④7．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y ＝a x ＋1是指数函数吗？③老师写的粉笔字真漂亮！④若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5＞0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．【解析】 ①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③该语句是感叹句，不是命题；④是命题，因为x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题．【答案】①④④8．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的等价条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).【导学号：15460002】【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直线可以与交线垂直，故③不对；只有直线l与α内的两条相交直线垂直时，直线l与α垂直，故④不对．【答案】①②三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2＋22是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？【解】(1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)等腰梯形的两条对角线相等；(2)平行四边形的两条对角线互相垂直．【解】(1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．真命题．(2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．假命题．[能力提升]1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2≠0，则下列命题：①a ，b 全为0；②a ，b 不全为0；③a ，b 全不为0；④a ，b 至少有一个不为0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ②④为真命题．【答案】 C2．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A >∠B ，则sin A >sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【解析】 ①②③是真命题．【答案】 B3．设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【解析】 将条件方程变形分析．①中，a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1，a ，b 为正实数，若a －b ≥1，则必有a ＋b >1，不合题意，故①正确．②中，1b －1a ＝a －b ab ＝1，只需a －b ＝ab 即可．如取a ＝2，b ＝23满足上式，但a－b＝43>1，故②错．③中，a，b为正实数，所以a＋b>|a－b|＝1，且|a－b|＝|(a＋b)(a －b)|＝|a＋b|>1, 故③错．④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|·(a2＋ab＋b2)＝1.若|a－b|≥1，不妨取a>b>1，则必有a2＋ab＋b2>1，不合题意，故④正确．【答案】①④4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m>14时，方程mx2－x＋1＝0无实根；(2)平行于同一平面的两条直线平行．【解】(1)命题可改写为：若m>14，则mx2－x＋1＝0无实根．因为当m>14时，Δ＝1－4m<0，所以是真命题．(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题.1.1.2量词1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和存在性命题的意义．(重点)2．掌握全称命题与存在性命题真假性的判定．(重点)[基础·初探]教材整理1全称量词与全称命题阅读教材P4～P5“思考与讨论”下面第3自然段，完成下列问题．1．全称量词与全称命题短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．2．全称命题的形式设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的为________．【解析】①中的量词“至少有一个”和④中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．②③中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题．【答案】②③教材整理2存在量词与存在性命题阅读教材P5“思考与讨论”下面第3自然段以下部分内容，完成下列问题．1．存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．2．存在性命题的形式设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．【解】(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以存在性命题“有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使1x0－1＝0；(3)对任意向量a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1.【精彩点拨】判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路：【自主解答】(1)因为含有“∀”，所以是全称命题．(2)因为含有“存在”，所以是存在性命题．(3)因为含有全称量词“任意”，所以该命题是全称命题．(4)因为含有存在量词“有一个”，所以该命题是存在性命题．判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词．当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断．[再练一题]1．给出下列四个命题：①所有梯形的对角线相等；②对任意实数x，均有x＋2>x；③存在实数x，使x2＋x＋1<0；④有些三角形不是等腰三角形．其中为全称命题的序号是________，为存在性命题的序号是________．【答案】①②③④判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3；(4)∃x∈R，x2－x＋1＝0.【精彩点拨】结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断．【自主解答】(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1>0，所以“∀x ∈R，x2＋1>0”是真命题．(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．(3)由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．(4)因为对于x2－x＋1＝0，Δ<0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“∃x∈R，x2－x＋1＝0”是假命题．全称命题与存在性命题真假的判断方法1．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．2．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个存在性命题就是假命题．[再练一题]2．下列命题中的假命题是()【导学号：15460003】A．∃x∈R，lg x＝0B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0【解析】选项A，lg x＝0⇒x＝1；选项B，tan x＝1⇒x＝π4＋kπ(k∈Z)；选项C，x3>0⇒x>0；选项D,2x>0⇒x∈R.【答案】 C[探究共研型]探究a 的取值范围．【提示】不等式有解问题是存在性命题，只需Δ≥0即可．因此(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即a≥7 4.已知函数f(x)＝x2－2x＋5，是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．【精彩点拨】【解】不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.应用全称命题与存在性命题求参数范围的两类题型1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用集合中相应元素的具体性质求解；也可以根据函数等数学知识来解决．2．存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[再练一题]3．若命题“∀x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________.【导学号：15460004】【解析】“∀x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.【答案】[－4,0][构建·体系]1．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是() A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1 x>2【解析】A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x<0，所以D是假命题．【答案】 B2．下列命题为存在性命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．有很多实数不小于3【解析】A，B，C都是全称命题，D命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题．【答案】 D3．下列命题中是真命题的有________．(填序号)①∀x∈R，x2＋2x＋1＞0；②∃x∈R，|x|≤0；③∀x ∈N *，log 2x ＞0； ④∃x ∈R ，cos x ＝π2.【解析】 ①∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0， ∴命题是假命题．②∵当x ＝0时，|x |≤0成立， ∴命题是真命题． ③∵当x ＝1时，log 2x ＝0， ∴命题是假命题．④∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而π2＞1， ∴不存在x ∈R ，使cos x ＝π2， ∴命题是假命题． 【答案】 ②4．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5＜0是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是_____命题(填“真”或“假”)．【解析】 命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5＜0是存在性命题．因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p 为假命题．【答案】 存在性命题 假5．已知命题p ：ax 2＋2x ＋1＞0，若对∀x ∈R ，p 是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 由题意可得，∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1＞0恒成立．(1)当a ＝0时，ax 2＋2x ＋1＝2x ＋1＞0，显然不恒成立，不合题意． (2)当a ≠0时，要使ax 2＋2x ＋1＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4－4a ＜0，解得a ＞1. 综上可知，所求实数a 的取值范围是(1，＋∞)．我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题为存在性命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称 B ．棱台只有两个面平行 C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0【解析】 A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是存在性命题，故选D.【答案】 D2．下列命题为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，cos x <2 B ．∃x ∈Z ，log 2(3x －1)<0C．∀x>0,3x>3D．∃x∈Q，方程2x－2＝0有解【解析】A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0⇔0<3x－1<1⇔13<x<23，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，2x－2＝0⇔x＝2∉Q，所以D是假命题．故选A.【答案】 A3．有以下四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2x2＋cos 2x2＝12；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；p3：∀x∈[0，π]，1－cos 2x2＝sin x；p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝π2.其中的假命题是()【导学号：15460005】A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p2，p3【解析】sin2x2＋cos 2x2＝1恒成立，p1错；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，p2对；当x∈[0，π]时，sin x≥0，∴1－cos 2x2＝sin2x＝sin x，p3对；当x＝23π，y＝π6时，sin x＝cos y成立，但x＋y≠π2，p4错．【答案】 A4．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N，x为29的约数．＋其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．【答案】 C5．下列命题不是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使x2＞3B．对有些x∈R，使x2＞3C．任选一个x∈R，使x2＞3D．至少有一个x∈R，使x2＞3【解析】选项C中“任选一个”是全称量词，没有“∃”的含义．【答案】 C二、填空题6．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．【解析】由全称命题的定义可知①②④为全称命题，而③为存在性命题．【答案】①②④7．已知命题：“∃x0∈[1,2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是______．【解析】当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.【答案】[－8，＋∞)8．下列命题：①存在x<0，使|x|>x；②对于一切x<0，都有|x|>x；③已知a n＝2n，b n＝3n，对于任意n∈N*，都有a n≠b n；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________.【导学号：15460006】【解析】命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n<0，对于∀n∈N*，都有a n<b n，即a n≠b n，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．【答案】①②③三、解答题9．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对于任意的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；(4)存在实数x0，使得x0≤0.【解】(1)是一个存在性命题，用符号表示为：∃α∈R，使sin2α＋cos2α≠1，假命题．(2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l ，l 都存在斜率，假命题． (3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解，假命题．(4)是一个存在性命题，用符号表示为：∃x 0∈R ，使得x 0≤0，真命题． 10．若x ∈[－2,2]，关于x 的不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围． 【解】 设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则此问题转化为当x ∈[－2,2]时，f (x )的最小值不小于0即可．①当－a2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上单调递增， f (x )的最小值为f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73. 又因为a >4，所以a 不存在． ②当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a24≥0，解得－6≤a ≤2.又因为－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2. ③当－a2>2，即a <－4时， f (x )在[－2,2]上单调递减， f (x )的最小值为f (2)＝7＋a ≥0， 解得a ≥－7.又因为a <－4，所以－7≤a <－4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．[能力提升]1．已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)【解析】 由题知，x 0＝－b2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的，故选C.【答案】 C2．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是( ) A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x ，使sin x ＝π2 C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin α D ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β【解析】 B 是存在性命题，但为假命题，C 是全称命题，D 为全称命题． 【答案】 A3．已知函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，若对任意x 1∈[－1,3]，存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为对任意x 1∈[－1,3]，f (x 1)∈[m,9＋m ]，即f (x )的最小值为m .存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，只要满足g (x )的最小值小于等于m 即可，而g (x )是单调递减函数，故g (x )的最小值为g (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，得m ≥14.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞4．已知a >12且a ≠1，条件p ：函数f (x )＝log (2a －1)x 在其定义域上是减函数；条件q ：函数g (x )＝x ＋|x －a |－2的定义域为R ，如果p ∨q 为真，试求a 的取值范围．【解】 若p 为真，则0<2a －1<1，得12<a <1. 若q 为真，则x ＋|x －a |－2≥0对∀x ∈R 恒成立． 记f (x )＝x ＋|x －a |－2， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a －2，x ≥a ，a －2，x <a ，所以f (x )的最小值为a －2，即q 为真时，a －2≥0，即a ≥2.于是p ∨q 为真时，得12<a <1或a ≥2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞).1.2 基本逻辑联结词 1．2.1 “且”与“或”1．能说出逻辑联结词“且”“或”的意义．(重点) 2．能够判断命题“p 且q ”“p 或q ”的真假．(难点)3．会使用联结词“且”“或”联结并改写成某些数学命题，会判断命题 的真假．(易错点)[基础·初探]教材整理1“且”阅读教材P10，完成下列问题．1．定义一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．【答案】p∧q p且q2．真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是________；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是________．【答案】真命题假命题判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．()(2)若命题p为假，则p∧q一定为假．()(3)逻辑联结词“且”只能出现在命题的结论中．()【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2“或”阅读教材P11倒数第1自然段～P12部分内容，完成下列问题．1．定义一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________．读作“__________________”．【答案】p∨q p或q2．真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是________________；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是________________________．【答案】真命题假命题判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若“p∨q为假命题”，则“p为假命题”．()(2)梯形的对角线相等且互相平分是“p∨q”形式的命题．()(3)若命题p为真，则命题“p∨q”为真命题．()【答案】(1)√(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型](1)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．【自主解答】(1)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．(2)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．。

怎样解逻辑用语问题
．利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：
()是的充分条件，即⊆.
()是的必要条件，即⊆.
()是的充要条件，即＝.
()是的既不充分也不必要条件，
即∩＝∅或、既有公共元素也有非公共元素．
或
例
设集合＝{，}，＝{∈<}，则“＝”是“⊆”的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
解析＝{∈<}＝{－，，}，＝时，＝{，}，所以⊆；反之，若⊆，则＝{，}或＝{，－}．所以“＝”是“⊆”的充分不必要条件．
答案充分不必要
．抓住量词，对症下药
全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．
例
()已知命题：“任意∈[，]，－≥”与命题：“存在∈，＋＋＋＝”都是真命题，则实数的取值范围为．
()已知命题：“存在∈[，]，－≥”与命题：“存在∈，＋＋＋＝”都是真命题，则实数的取值范围为．
解析()将命题转化为当∈[，]时，
(－)≥，即－≥，即≤.
命题：即方程有解，Δ＝()－×(＋)≥，
解得≤－或≥.
综上所述，的取值范围为(－∞，－]．
()命题转化为当∈[，]时，(－)≥，
即－≥，即≤.命题同()．
综上所述，的取值范围为(－∞，－]∪[，]．
答案()(－∞，－]()(－∞，－]∪[，]。

1．1.2　量　词学习目标　1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 知识点一　全称量词与全称命题思考　观察下列命题：①每一个三角形都有内切圆；②所有实数都有算术平方根；③对一切有理数x,5x＋2还是有理数．以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．　梳理　(1)全称量词“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”符号∀全称命题p含有________________的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为________________ (2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“∀x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．知识点二　存在量词与存在性命题思考　观察下列命题：①有些矩形是正方形；②存在实数x，使x>5；③至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．　梳理　(1)存在量词“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”符号∃存在性命题含有________________的命题形式“存在M 中的一个x ，使q (x )成立”可用符号简记为____________(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使q (x 0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题．类型一　全称命题与存在性命题的识别例1　判断下列语句是全称命题，还是存在性命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有些实数a ，b 能使|a －b |＝|a |＋|b |；(3)对任意a ，b ∈R ，若a >b ，则<；1a 1b (4)有一个函数，既是奇函数，又是偶函数． 反思与感悟　(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或存在性命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是存在性命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)对每一个无理数x ，x 2也是无理数；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列，总存在正整数n ，使得a n 与1之差的绝对值小于0.01.　{nn ＋1}　类型二　全称命题与存在性命题的真假的判断例2　判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；(6)∃x∈R，x2－3x＋2＝0.　反思与感悟　要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判定存在性命题“∃x∈M，q(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使q(x0)成立即可；如果在集合M中，使q(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．跟踪训练2　有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N＋，x为29的约数，其中真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4类型三　全称命题与存在性命题的应用例3　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若至少存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．　反思与感悟　(1)一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max，若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.(2)有关一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的问题，一是转化为二次函数的图象运用数形结合求解，二是分离参数法求解．前者主要运用Δ＝b2－4ac的符号，转化为解不等式或不等式组，后者常常转化为求函数的最大(小)值．跟踪训练3　(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．1．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数2．下列命题是真命题的是( )A ．a >b 是ac 2>bc 2的充要条件B ．a >1，b >1是ab >1的充分条件C ．∀x ∈R,2x >x 2D ．∃x ∈R ，e x <03．下列存在性命题是假命题的是( )A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C ．有的素数是偶数D ．有的有理数没有倒数4．若∀x ∈[0，]，tan x ≤m 是真命题，则实数m 的最小值为________．π45．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有的实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)一定有整数x ，y ，使得3x －2y ＝10成立；(4)所有的有理数x 都能使x 2＋x ＋1是有理数．1312 1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假．3．判定存在性命题真假的方法．代入法：在给定的集合中找到一个元素x 0，使命题q (x 0)为真，否则命题为假．答案精析问题导学知识点一思考　命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．命题①③是真命题，命题②是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题②为假命题．梳理　(1)全称量词　∀x ∈M ，p (x )知识点二思考　命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题①②是真命题，命题③是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题①②是真命题，而任意实数x ，x 2－2x ＋2都大于0，所以命题③为假命题．梳理　(1)存在量词　∃x ∈M ，q (x )题型探究例1　解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，是全称命题．(2)含有存在量词“有些”，故是存在性命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有一个”，是存在性命题．跟踪训练1　解　(1)是全称命题，表示为∀x ∈N ，x 2≥0.(2)是全称命题，∀x ∈{x |x 是无理数}，x 2是无理数．(3)是存在性命题，∃f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数．(4)是存在性命题，∃n ∈N ＋，|a n －1|＜0.01，其中a n ＝.nn ＋1例2　解　(1)真命题．(2)真命题，如函数f (x )＝0，既是偶函数又是奇函数．(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示．22(4)假命题，方程x 2＋x ＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．(5)假命题，只有x ＝2或x ＝1时，等式x 2－3x ＋2＝0才成立．(6)真命题，x ＝2或x ＝1，都使得等式x 2－3x ＋2＝0成立．跟踪训练2　C例3　解　方法一　(1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m >－4.(2)不等式m －f (x )>0，可化为m >f (x )，若至少存在一个实数x 使不等式m >f (x )成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，所以f (x )min ＝4，所以m >4.所以实数m 的取值范围是(4，＋∞)．方法二　(1)要使不等式m ＋f (x )>0对∀x ∈R 恒成立，即x 2－2x ＋5＋m >0对∀x ∈R 恒成立．所以Δ＝(－2)2－4(5＋m )<0，解得m >－4，所以当m >－4时，m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立．(2)若至少存在一个实数x ，使m －f (x )>0成立，即x 2－2x ＋5－m <0成立．只需Δ＝(－2)2－4(5－m )>0即可，解得m >4.所以实数m 的取值范围是(4，＋∞)．跟踪训练3　解　(1)∵关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥，∴实数a 的取值范围为.74[74，＋∞)(2)∵对∀x ∈R ，p (x )是真命题．∴对∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则Error!∴a >1.当堂训练1．D 2.B 3.B 4.15．解　(1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，真命题．(2)∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解，假命题．(3)∃x ，y ∈Z,3x －2y ＝10，真命题．(4)∀x ∈Q ，x 2＋x ＋1是有理数，真命题．1312。