2012年秋季学期 概率论考题及答案

2012-2013-1《概率论与数理统计》期末试卷(A)一、填空题（每小题4分，共28分）1．对一批次品率为p (0<p <1)的产品逐一检测, 则第二次或第二次后才检测到次品的概率为________.2．二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为j i p ， (i , j =1 , 2 ,……)，关于X 及关于Y 的边缘分布律为p i •及p •j (i , j =1,2,……)，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是_________. 3．设样本),,,(21n X X X 抽自总体22, ). ,(~σμσμN X 均未知. 要对μ作假设检验，统计假设为,:00μμ=H (0μ已知)， ,:01μμ≠H 则要用检验统计量为_________.4．若总体) ,(~2σμN X ，则~n Z σμ-X =__________其中n 为样本容量.5．设某种零件的寿命),(~2σμN Y ，其中μ未知. 现随机抽取5只，测得寿命(单位小时)为1502 , 1453 ,1367 , 1650，1498，则用矩估计可求得μˆ=________. 6．设某离散型随机变量ξ的分布律是{}⋅⋅⋅===,2,1,0,!k k Ck P kλξ，常数λ>0，则常数=C ________.7．设A ，B 是两个互不相容的随机事件，且知21)(,41)(==B P A P ， 则=)(B A P ______. 二、单项选择题（每小题4分，共40分）1．对任意两个互不相容的事件A 与B ，必有_________.(A ) 如果0)(=A P ，则0)(=B P . (B ) 如果0)(=A P ，则1)(=B P .(C ) 如果1)(=A P ，则0)(=B P . (D ) 如果1)(=A P ，则1)(=B P .2．已知随机变量X 在]1,0[上服从均匀分布，记事件}5.00{≤≤=X A ，}75.025.0{≤≤=X B ，则_________.(A ) A 与B 互不相容. (B ) B 包含A . (C ) A 与B 对立. (D ) A 与B 相互独立. 3．6.0 ,1)( ,4)(===ξηρηξD D ，则=-)23(ηξD _________.(A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.64．任一个连续型的随机变量ξ的概率密度为)(x ϕ，则)(x ϕ必满足_________.(A) 1)(0<<x ϕ (B)()⎰+∞∞-=1dx x ϕ (C) 单调不减 (D)1)(lim =+∞→x x ϕ5．设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，{1}{1}0.5P X P Y ====，{1}{1}0.5P X P Y =-==-=,则下列各式成立的是_________.(A){}0.5P X Y == (B) {}1P X Y == (C) {0}0.25P X Y +== (D) {1}0.25P XY == 6．若随机变量ξ和η相互独立，且方差21)(σξ=D 和22)(ση=D 2121,),0,0(k k >>σσ 是已知常数，则)(21ηξk k D -等于_________.（A ）222211σσk k - （B ）222211σσk k + （C ）22222121σσk k - （D ）22222121σσk k +7．设( X , Y )为二维随机变量，其概率密度函数为⎩⎨⎧≥≥=+-其他,0,0,),()(y x e y x f y x ，则下列各式正确的是_________.⎰⎰∞-∞-+-=x y y x dxdy e y x F A )(),()( ⎰∞+∞-+-=dy e x f B y x X )()()(dx e dy Y X P C y y x ⎰⎰-+-=≤+240)(2}42{)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-=dxdy xe X E D y x )()()(8．对总体的某个参数做检验，取显著性水平α，如果原假设正确，但由于样本的随机性做出拒绝原假设的决策，因而犯了错误，这类错误称第一类错误，也称“弃真错误”，犯这类错误的概率是_________.(A )α-1 (B) 21α-(C) α (D)α19．设n X X ,,1 是来自随机变量X 的样本∑=--=ni i X X n S 122)(11(样本方差),则下列结论正确的是_______. (A))()(2X D S E = (B) )(1)(2X D n nS E -=(C) )(1)(2X D nn S E -= (D) )()1()(22X D n nS E -= 10．采用包装机包装食盐，要求500g 装一袋. 已知标准差g 3=σ，要使食盐每袋平均重量的95%的置信区间长度不超过4.2g ，则样本容量n 至少为_______.（已知u 0.025=1.96）(A ) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10三、不同的两个小麦品种的种子混杂在一起，已知第一个品种的种子发芽率为90%，第二个品种的种子发芽率为96%，并且已知第一个品种的种子比第二个品种的种子多一倍，求：(1)从中任取一粒种子，它能发芽的概率；(2)如果取到的一粒种子能发芽，则它是第一个品种的概率是多少？(8分)四、设随机变量X 和Y 相互独立且)5,3(~N X , )19,3(~-N Y . 试求 Z =3X –2Y –15的概率密度. (8分)五、从一台车床加工的成批轴料中抽取15件，测量其椭圆度(设椭圆度服从正态分布),(2σμN ) ，计算得2s =0.025，问该批轴料的椭圆度的总体方差2σ与规定的方差 04.020=σ 有无显著差别？（最后结果保留3位小数），(α =0.05). (8分) (已知220.9750.025(14) 5.629,(14)26.119χχ==，220.9750.025(15) 6.262,(15)27.488χχ==）六、设某种零件长度X 服从正态分布),(2σμN ，现随机从该批零件中抽取10件，测得其样本均值)(05.10cm X =，样本标准差)(2415.0cm S =，求μ的置信度为95%的置信区间（最后结果保留3位小数）. (8分) (已知2281.2)10(,2622.2)9(025.0025.0==t t ，2281.2)10(,8331.1)9(025.005.0==t t ）答案：一、填空1．1-p ；2．j i j i p p p ••⨯=；3．,/0nS X t μ-= ；4．)1 ,0(N ；5．1494. 6.λ-e ；7. 21二、单项选择题 题号 12345678910答案C D C B A D C C A C三、A i (i =1,2)分别表示取到的一粒种子是第一，二品种的事件B =“取到的一粒种子能发芽”则()()%90,3211==A B P A P ，()()%96,3122==A B P A P 由全概率公式 ()()()2121230.90.960.92=3325i i i P B P A P B A ===⨯+⨯=∑由贝叶斯公式 ()()()()⎪⎭⎫⎝⎛≈===65.0231592.060.0111B P A B P A P B A P 四、因为)3,2(~N X , )6,3(~-N Y ，且X 与Y 独立，故X 和Y 的联合分布为正态分布，X 和Y 的任意线性组合是正态分布.即 Z ~N (E (Z ), D (Z ))015)(2)(3)(=--=Y E X E Z E 121)(4)(9)(=+=Y D X D Z D Z ~N (0, 112)则Z的概率密度函数为 2242(),()x f x x -=-∞<<+∞五、显著性水平 α = 0.05，检验假设04.0:;04.0:20212020=≠==σσσσH H22201140.0258.750.04n s χσ-⨯===（）由于()22220.0250.97521(14) 5.6298.7526.119(14)n αχχχχ-==<=<=故接受H 0 即认为该批轴料的圆度的总体方差与定的方差0.04 无显著差别. 六、当2σ未知时，μ的置信度为0.95的置信区间为22(1),(1)X n X n αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.05 2.2622,10.05 2.2622⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(9.877,10.223)=。

第 1 页 共 3 页一、单项选择题（每小题3分，共21分）1．对于事件B A ,，若∅=B A ，则下列说法中正确的是 （ ） A 、B A ,为对立事件B 、0)(=A P 或0)(=B PC 、B A ,互不相容D 、B A ,独立2．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列说法中错误的是 （ ） A 、)(x F 是不减函数B 、)(x F 必为),(+∞-∞上的连续函数C 、0)(=-∞FD 、1)(≤x F3．设连续型二维随机变量的联合概率密度函数为),(y x f ，则必有 （ ）A 、1),(0≤≤y x fB 、),(y x f 为xOy 平面上的连续函数C 、1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f D 、1),(=+∞+∞f4．设Y X ,是两个随机变量，则下式中一定成立的是 （ ）A 、)()()(Y E X E Y X E +=+B 、)()()(Y E X E XY E =C 、)()()(YD X D Y X D +=+ D 、)()()(Y D X D XY D =5．随机变量 n X X X ,,,21 相互独立，服从同一分布，且具有期望和方差，0)(,)(2>==σμk k X D X E ，当n 充分大时，近似服从)1,0(N 的是 （ ）A 、σμn n Xnk k∑=-1B 、21σμn n Xnk k∑=-C 、σμn n Xnk k∑=-1D 、21σμn n Xnk k∑=-6．设4321,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布的样本，其中θ未知， 以下估计量中哪个不是θ的无偏估计量？ （ ） A 、443211X X X X T +++=B 、722343211X X X X T +++=C 、3643211X X X X T +++=D 、5243211X X X X T +++= 7．对于一个原假设为0H 的假设检验问题，有可能犯的第一类错误是指（ ）A 、0H 成立时，检验结果接受0HB 、0H 成立时，检验结果拒绝0HC 、0H 不成立时，检验结果接受0HD 、0H 不成立时，检验结果拒绝0H二、填空题（每小题3分，共24分）1．设C B A ,,为三个事件，则事件“C B A ,,都不发生” 可以用C B A ,,的运算关系表示为 ．2．10片药片中有5片是安慰剂，从中任取2片，其中至少有1片是安慰剂的概率为 ．3．三人独立地去破译一份密码，各人能译出的概率分别为3.0,2.0,1.0， 三人中至少有一人能将此密码译出的概率为 ．第 2 页 共 3 页4．一射击运动员每次射击命中的概率为7.0，以X 表示他首次命中时 累计已射击的次数，则{}3=X P 为 ．5．随机变量X 在4,3,2,1中等可能地取一个值，随机变量Y 在X ~1中 等可能地取一个整数值，则{}4=Y P 为 ． 6．随机变量)2,0(~U X ，则=)(X D ． 7．总体)6(~2χX ，1021,,,X X X 是来自X 的样本，则=)(X D．8．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，X 是样本均值， 则~X ．三、解答题（第1题8分，第2题9分，共17分）1．对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为80%，而当机器发生某种故障时，产品的合格率为30%．每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为90%．（1）求每天早上第一件产品是合格品的概率；（2）若某天早上第一件产品是合格品，求此时机器调整良好的概率．2．设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=其它,031,10,1)(x kxx xx f（1）确定常数k ； （2）求()20<<X P ．四、解答题（第1题10分，第2题10分，共20分）1．设随机变量X 与Y 的联合分布律为 求：（1）常数a 值；（2）X 与Y 是否独立？为什么？(3) 设Y X Z +=，求Z 的分布律．第 3 页 共 3 页X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎪≤>-0,00,313x x e x．1000800元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．五、解答题（第1题8分，第2题10分，共18分）X 具有分布律 )1<<θ为未知参数．,2,1,3321===x x x 求θ的矩估计值．2．某批铁矿石的9个样品中的含铁量，经测定为（%）35 36 36 38 38 39 39 40 41设测定值总体服从正态分布，但参数均未知， （1）求样本均值和样本标准差；（2）在01.0=α下能否接受假设：这批铁矿石的含铁量的均值为39%？ （3554.3)8(005.0=t ）。

广西工学院鹿山学院 2012 — 2013 学年第 1 学期课程考核试题考核课程 概率论 （A 卷） 考核班级 电子111、港口111、112 学生数 印数 考核方式 闭卷 考核时间 120 分钟一、填空题:(每空3分,共30分)1、袋中有5个白球和3个黑球，从中任取两个，求取到两个球颜色相同的概率 .2、已知()0.3,()0.7P A B P A -==，()0.6P B =，则()P A B ⋃= .()P B A =__________.3、掷一枚均匀的硬币3次，则恰好出现2次正面的概率 .4、设离散型随机变量X 的分布函数为0,1;0.2,11;()0.7,12;1,2.x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则{01}P X <≤= .5、已知连续型随机变量X 的密度函数为cos ,()____.220,k x x f x k ππ⎧-<<⎪==⎨⎪⎩，其他. 6、设离散型随机变量X 的分布律，则_____.A =7、已知(2)0.9772,~(3,16),X N Φ=则{311}P X <<= .8、已知1~()3X P ，则(35)E X += ，(31000)D X -+= .二、(12分)某仓库有同样规格的产品六箱，其中三箱是甲厂生产的，两箱是乙厂生产的，另一箱是丙厂生产的，且它们的次品率依次为111,,101520，现从中任取一件产品，则（1）取得产品为正品的概率.（2）已知取出的一件是正品，则此产品是甲厂生产的概率. 三、(6分)设离散型随机变量X 分布律，则2(1)Y X =-的分布律.四、（12分）已知随机变量X 的概率密度为()23,11;20,x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它求3Y X =的概率密度.五、(14分)设(,)X Y 的联合分布律 求:（1）常数c;（2）求Y X 、的边缘分布律; （3）(),().E X E Y六、(14分)设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数()01;01,(,)0,.k x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩其它 求: （1） 系数k;（2）求Y X 、的边缘密度函数X Y f (x),f (y)； （3）判断Y X 、是否相互独立.七、(12分)设X Y （，）的联合分布律，求:（1）求Z XY =的分布律; （2）求cov(,).X Y。

一、填空、选择题（每题3分，共30分）1、 设,A B 为随机事件，则“,A B 不同时发生”可表示为_________。

2、 设事件,A B ，且()0.7,()0.1p B p AB ==，则()p AB =____________。

3、 三人独立编写同一计算机程序，各自能成功的概率分别是123,,354，则此程序能被编写成功的概率是_____________。

4、 设有5件产品（其中2件次品、3件正品），从中任取2件产品，取到2件次品的概率是_______。

5、 随机变量X 在区间(1,4)-上服从均匀分布，则关于t 的方程210t Xt -+=有实根的概率_______。

6、 设(2,1)X N ，且{}0.5p X a <=，那么a =________。

7、 设随机变量(4)X π （泊松分布），用切比雪夫不等式估计：{|4|5}p X ->≤______。

8、 设总体2(,)X N μσ ，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，X 是样本均值，则()E X =_________。

9、 设123,,X X X 是来自总体2(,3)N μ的样本，未知参数μ的下列无偏估计量中最有效的是（ ） A.231122X X + B.123111442X X X ++ C.123111333X X X ++ D.123111632X X X ++ 10、设总体2(,)X N μσ ，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，参数2,μσ均未知，为检验2200:H σσ=，可选用（ ）进行检验。

A ． Z 检验法B ． t 检验法C ． F 检验法D ． 2χ检验法二、解答下列各题：（每题10分，共40分） 1、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全场的50%、30%、20%，各车间产品的次品率分别为2%、4%、3%，（1）求全厂产品的次品率； （2）若随机抽取一件产品发现是次品，求此次品是乙车间生产的概率。

重庆大学概率论与数理统计课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年 第 二 学期开课学院： 数统学院 课程号：10029830 考试日期：考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间： 120分钟分位数：220.0050.975(39)20,(39)58.12χχ==，0.975 1.96u =，(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=，0.025(35) 2.0301t =一、填空题（每空3分，共42分）1.已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P AB =，则()P B A B ⋃= 0.25 。

2.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），则取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率为 0.602 。

3.从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。

4.一个有5个选项的考题，其中只有一个选择是正确的。

假定应 考人知道正确答案的概率为p 。

如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率为541pp +。

5.重复抛一颗骰子5次得到点数为6 的次数记为X ，则(3)P X >= 13/3888 。

6.设X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则(4)P X ==0.0902 。

7.设圆的直径X 服从区间（0,1）上的均匀分布，则圆的面积Y 的密度函数为1//4()0 ,Y y f y elseπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩。

8.已知(,)(1,9;0,16;0.5) ,32X YX Y N Z -=+且，则Z 的密度函数21()36z Z f --（z ）。

9.设总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，从该总体中抽取容量为40n =的样本1,240,,X X X ，则()222110.5 1.453nii P X X n σσ=⎧⎫≤-≤⎨⎬⎩⎭∑= 0.97。

10.设1,210,,X X X 是来自总体2(0,)XN σ的样本，则Y =服从 t(8) 。

2013-2014学年第一学期2012级经管类《概率统计1》(课程)期末试卷（标准答案）一、1．( 本题12分 )设B A ,是两随机事件，且4.0)(,5.0)(==B P A P（1）若B A ,互不相容，求)(B A P0)()(B A,==⇒φP AB P 互不相容由9.004.05.0)()()()(=-+=-+=∴AB P B P A P B A P （2）若B A ,相互独立，求)(B A P2.0)()()(B A, =⨯=⇒B P A P AB P 相互独立由7.02.04.05.0)()()()(=-+=-+=∴AB P B P A P B A P （3）若2.0)(=B A P ，求)(B A P3.0)(2.0)()(2.0)(=⇒=-⇒=AB P AB P A P B A P 由，6.03.04.05.0)()()()(=-+=-+=∴AB P B P A P B A P （4）若4.0)|(=B A P ，求)(B A P16.0)(4.0)()(4.0)|(=⇒=⇒=AB P B P AB P B A P 由74.016.04.05.0)()()()(=-+=-+=∴AB P B P A P B A P2. ( 本题10分 ) 已知某地区20%的人口享受了社会低保保障，但调查显示享受了低保的有四成为非低保对象人群，同时未享受到低保的有五成应为低保对象人群。

（1）若从该地区随机抽取一人,求其属于低保对象人群的概率；（2）已知随机调查一公民得知其属于低保对象人群，求其未享受到社会低保保障的概率.解：设=A “抽到的是享受了社会低保保障人群”,=B “抽到的属于低保对象人群” ,8.0)(,2.0)(==A P A P 4.0)|(=A B P ,5.0)|(=A B P(1) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P *+*=52.08.05.02.06.0=⨯+⨯= (2) 13/108.05.02.06.08.05.0)()()|()()()|(=⨯+⨯⨯===B P A P A B P B P B A P B A P3. （本题10分）随机变量X ～⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=他其,022,cos 5.0)(ππx x x f ，求：(1) X 的分布函数)(x F解： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤≤-+=-<=⎰-x x x tdt x x F x2,122,sin 5.05.0cos 5.02,0)(2πππππ（2） )44(ππ≤≤-X P 22)4()4(=--=ππF F 二、1．（本题8分）已知随机变量X ，Y 的联合概率分布如下表（1） 已知),max(Y X Z =，在下表中写出Z 的概率分布(2)计算)(Z D85.120.0345.0235.01)(=⨯+⨯+⨯=Z E 95.320.0345.0235.01)(2222=⨯+⨯+⨯=Z E)(Z D =5275.0)(22=-EZ EZ (3) 5.0)21,2()1,2,2()1,2(=≤≤≤=≥≤≤=≥≤Y X P Y Y X P Y Z P 2．(本题8分) 城市园林部门在环城路上种植了一种树木10000株，已知这种树木的成活率为0.9。

系别 专业 年级 姓名 学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 专 业 概率论与数理统计 课2011——2012学年度第二学期期末考查试卷(B 卷)一、判断题（在题前的括号内打√或×，每小题2分，共20分）（ ）1.若P (A )=1，则A 一定为必然事件. （ ）2.若P (A )=0,则A 与任何事件都相互独立. （ ）3.设ξ为随机变量,若()D ξ=0,则X 为常数．（ ）4.F (x )是随机变量的分布函数,则F (x )是x 的非增函数. （ ）5.若ξ与η相互独立，则ξ与η的相关系数0ρ=. （ ）6.如果随机变量~(20,0.3)b ξ，则() 4.2.D ξ=. （ ）7. 设~(1,2)N ξ-，则(1)0.5P ξ>=.（ ）8.若,)ξη（服从二维正态分布，且ξ与η不相关，则ξ与η一定相互独立. （ ）9.若ξ与η相互独立，且方差都存在，则()()D D ξηξη+=-.（ ）10.如果12,,ξξ…是相互独立，都服从参数为5的泊松分布，则01.051lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=∞→n k k n X n P .二、填空题（每小题2分，共２0分）1.在1个，求其为次品的概率 .2. 已知事件,A B 互不相容，则()P AB 的值是 .3.某家庭有两个小孩，已知该家至少有一个是女孩，则“此家另一个也是女孩”的概率为 .4设连续随机变量ξ的分布函数为20,0;(),01;1, 1.x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩则常数A= .5.设ξ为一随机变量，()2E ξ=-,2()5E ξ=，求(13)D ξ-= .6.设随机变量ξ～(5,9)N ，则c =_______时，()12P c ξ>=.7.设随机变量ξ与η相互独立，且(1,3)N ξ ，(2,4)N ξ ，235Z ξη=--，则()D Z = .8. 已知随机变量ξ的密度函数为;()0.xce x t p x x t -⎧>=⎨≤⎩ ，则常数c 为 .9.设ξ服从参数为2的泊松分布，32ηξ=-，则ov(,)C ξη= .10.已知随机变量ξ~N (0,1)，η~N (3,5)，且ξ与η相互独立，随机变量21Z ξη=-+，则Z ~_________.三、单项选择题 (每小题2分, 共10分)1. 设A 、B 、C 为三个相互独立的随机事件，且0<P(C)<1，则下列给定的事件中不相互独立的是（ ）（A ）C B A 与⋃ （B ）C AC 与 （C ）A-B 与C （D ）AB 与C2. 设随机变量,)~(3,2,4,9,0.5)N ξη（，则（ ）（A ）()6E ξη= （B ）()9E ξη= （C ）()12E ξη= （D ）()15E ξη=3. 设随机变量12,,,,n ξξξ 相互独立，根据辛钦大数定律，当n →+∞时，X 要是依概率收敛于其数学期望，需要随机变量序列{}n X 还满足（ ）（A ）有相同的数学期望 （B ）有相同的方差（C ）服从相同的分布 （D ）期望和方差均相同但未必服从相同分布4.下列n P 能成为概率分布（即分布列或分布律）的是（ ）（A ）1(2)n P n n =≥ （B ）1(1)(2)n P n n n =-≥ （C ）21(2)n P n n =≥ （D ）1(1)(2)n P n n n =+≥5. 设~(10)t η，则()E η=（ ）（A ）0 （B ）10 （C ）5（D ）20 四、计算题（每小题10分，共４0分）1. 设二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布列为问其中α、β取何值时ξ与η相互独立？（10分）2. 设随机变量,)ξη（的密度函数为221,1(,)0,x y p x y π⎧+<⎪=⎨⎪⎩其他（！）求()X p x ,()Y p y （4分）；（2）判断ξ与η的独立性（2分）；（3）求ov(,)C ξη（4分）.3. 设随机变量,)ξη（的密度函数为()1(),0,0;(,)20,.x y x y ex y p x y -+⎧+>>⎪=⎨⎪⎩其它（1）问ξ与η是否相互独立； （2）求Z ξη=+的密度函数()Z p t .4．设某厂一车床生产的纽扣，据经验其直径服从正态分布2(,)N μσ，0σ未知．为了检验这一车床生产是否正常，现抽取容量37n =的子样，其子样均值26.56x =，29nS =且生产正常时026μμ==，而生产不正常时0μμ≠．要求在显著性水平0.05α=下检验生产是否正常（()()0.9750.9536 2.0281,36 1.6883t t ==）．（10分）五、证明题（每小题10分，共50分）设0()1,0()1P A P B <<<<，试证：A 与B 独立的充要条件是(|)(|)1P A B P A B +=．。

2012年概率论考研真题与答案1. （2012年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与4的指数分布，则{}P X Y <=_________. 【A 】A ．15 B. 13 C. 25 D. 45解：X 与Y 的概率密度函数分别为：,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩， 44,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ 因为X 与Y 相互独立，所以X 与Y 的联合密度函数为44,0,0(,)()()0,x y X Y e x y f x y f x f y --⎧>>=⋅=⎨⎩其他 {}40(,)4x y xx yP X Y f x y dxdy dx e dy +∞+∞--<∴<==⎰⎰⎰⎰450145xyx xe dx edy e dx +∞+∞+∞---===⎰⎰⎰2. （2012年数学一）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为______.A ．1 B.12 C. 12- D. 1- 答案：D.解：设两段长度分别为X 和Y ，显然满足1X Y +=，即1Y X =-+，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为1-.3. （2012年数学三）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，{}221P X Y +≤=_________. 【D 】A ．14 B. 12 C. 8π D. 4π解：X 与Y 的概率密度函数分别为：1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他， 1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他又X 与Y 相互独立，所以X 与Y 的联合密度函数为1,0,1(,)()()0,X Y x y f x y f x f y <<⎧=⋅=⎨⎩其他， 从而 {}222211(,)4D x y P X Y f x y dxdy S π+≤+≤===⎰⎰.4. （2012年数学三）设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)(0)N σσ>的简单随机样本，则统计量12342X X X X -+- 的分布为_________. 【B 】A. (0,1)NB. (1)tC.2(1)χ D. (1,1)F解：因为2(1,)i X N σ ，所以212(0,2)X X N σ-(0,1)N 234(2,2)X X N σ+(0,1)N ，22342(2)(1)2X X χσ+- . 因为1234,,,X X X X2342(2)2X X σ+-也相互独立， 从而1234(1)2X X t X X -=+-5. （2012年数学一、三）设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，11(),()23P AB P C ==，则()____P AB C =. 【34】解：由于A 与C 互不相容，所以AC φ=，则ABC φ=，从而()0P ABC =;10()()()32()14()()13P ABC P AB P ABC P AB C P C P C --====-6. （2012年数学一、三）设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布为（1）求{}2P X Y =；（2）求(,)Cov X Y Y -.解：（1）{}{}{}120,02,14P X Y P X Y P X Y ====+===.（2） 由(,)X Y 的概率分布可得,,X Y XY 的概率分布分别为，，所以 23EX =,1EY =,2522,,()333EY DY E XY ===(,)()0Cov X Y E XY EX EY =-⋅=故： 2(,)(,)3Cov X Y Y Cov X Y DY -=-=-7. （2012年数学一）设随机变量X 和Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ和2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且0σ>. 设Z X Y =-. （1）求Z 的概率密度2(,)f z σ；（2）设12,,,n Z Z Z 是来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ；（3）证明 2σ是2σ的无偏估计量. 解：（1） 因为2(,)X N μσ ，2(,2)Y N μσ ，且X 和Y 相互独立，故2(0,3)Z X Y N σ=-2226(;),z f z z R σσ-∴=∈（2）似然函数为 2116221()(;)ni i nz i i L f z σσσ=-=∑==∏两边取对数，得222211l n ()l n 26nii nL n zσσσ==--∑关于2σ求导，得2222221ln ()1+26()nii d L n z d σσσσ=-=∑ 令22ln ()0,d L d σσ= 解得λ的最大似然估计值 22113n i i z n σ==∑ 因此，λ的最大似然估计量 22113n i i Z n σ==∑（3） 2221111()()()33n n i i i i E E Z E Z n n σ====∑∑2221111[()()]333n n i i i i E Z D Z n n σσ===+==∑∑ 故 2σ是2σ的无偏估计量. 8. （2012年数学三）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为1的指数分布. 记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =，则（1）求V 的概率密度()V f v ；（2）求()E U V +. 解：（1） X 与Y 的分布函数均为1,0()0,0x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩{}min ,V X Y =的分布函数为{}{}{}{}()min ,1min ,V F v P X Y v P X Y v =≤=-> {}21,1(1())P X v Y v F v =->>=--21,00,0v e v v -⎧-≥=⎨<⎩故V 的概率密度为22,0()()0,0v V V e v f v F v v -⎧>'==⎨≤⎩（2） min(,)max(,)U V X Y X Y X Y +=+=+()()()()2E U V E X Y E X E Y ∴+=+=+=.。

北邮人：一、填空题1. 设事件,A B 满足()0.7,()0.3P A P AB ==, 则()P AB =2. 袋中有10个球，其中1个红球，10个人不放回地依次抽取，每次抽取一个，问最后一个人取到红球的概率是3. 设平面区域D 由1,0,x y y x ===围成，平面区域1D 由21,0,x y y x ===围成。

现向D 内依次随机地投掷质点，问第3次投掷的质点首次落在1D 内的概率是4. 设随机变量(1,2),(2,4)X N Y N 且相互独立，求23X Y +-的概率密度函数()f x =5. 设平稳过程{(),0}X t t ≤≤+∞的功率谱密度为28()+14X S ωω=+，则其自相关函数为6.设一灯管的使用寿命X 服从均值为1/λ的指数分布，现已知该灯管用了10小时还没有坏，该灯管恰好还能再用10小时的概率为7.设电话总机在(0,]t 内接受到电话呼叫次数()N t 是强度（每分钟）为0λ>的泊松过程，(0)0N =， 则2分钟收到3次呼叫的概率8.设随机过程(),0X t tY t =≥，其中Y 服从正态分布，即(1,4)Y N ，求103()E tX t dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 二、设二维随机变量(X,Y)具有概率密度, 0(,)0, 其他y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩(1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，(2) 求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y ，(3)求条件概率(1|1),{1}P Y X P X Y ≤≤+<.三、在某交通路口设置了一个车辆计数器，记录南行北行的车辆总数。

设X(t)和Y(t)分别表示在[0,t]内南行和北行的车辆数，它们是强度分别为1λ和2λ的possion 过程，且相互独立。

如果在t(>0)时记录的车辆总数为n ，求其中南行车辆有k(0<k<n)辆的概率。