(完整版)高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案)

高中数学不等式经典练习题1(含答案) 高中数学不等式经典练题【编著】黄勇权一、选择题1、若a∈R，下列不等式恒成立的是（）A、a²+1≥a2、已知x＞y＞0，若x+y=1，则下列数中最大的是（）D、x²+y²3、a∈R，b∈R，若a²+b²=1，则a+b（）C、有最小值24、a，b为任意实数，若a＞b，则有（）A、a²＞b²5、实数a，b＞0，则a+b的最大值是。

C、36、已知x＞0，y＞0，z＞0，且x+y+z=3，则xy+xz+yz的最大值是。

B、37、已知a，b，c∈R，若a＞b，则以下不等式成立的是（）A、ac＞bc。

8、实数a≥1，b≥0，若3a²+6a+2b²=3，则（a+1）3b²+1的最大值。

D、39、已知a、b为正实数，且满足2ab=2a+b+3，则a+b/2的最小值是。

B、310、已知x，y，z为正数，若ab+bc+ca=1，则a+b+c的最小值是A、2.二、填空题1、已知实数x，y满足x+y=2xy，则xy的最小值是1/2.2、已知m＞0，n＞0，且m+n=1，则（m-1）（n-1）的最小值是1/4.3、函数y=x+2-x的最大值是2.4、已知x、y为正数，若2x+3y=4，则x/2+y/3的最小值是8/15.5、函数f（a）=a-a²的最大值是1/4.6、m、n均为正数，若m+n=1，则mn最小值是1/4.7、已知x，y，z为正数，若3x+2y+z=2，则9x²+4y²+z²的最小值是13/9.8、x+2y=4，则x/2+3y/4的最大值是8/3.9、已知a、b、c为正实数，若a+b+c=1，则ab+bc+ca的最小值为1/3.三道数学题的解答1.已知实数 $x,y,z$ 满足$x^2+y^2=2,y^2+z^2=3,z^2+x^2=3$，求$xy+yz+zx$ 的最大值。

“解含参一元二次不等式”数学练习（9.27）班级：___________ 姓名：___________一、解答题1．解关于x 的不等式：()22210x m x m m -+++<．2．解关于x 的不等式:()210x x a a --->.3．解关于x 的不等式()()21440ax a x a ---<∈R .4．若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．5．解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．6．当a ≤0时，解关于x 的不等式()21220ax a x +--≥．7．解关于x 的不等式：()2220mx m x +-->.8．解关于x 的不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈.9．解关于x 的不等式 220x x a ++>．10．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>“解含参一元二次不等式”数学练习参考答案（9.27） 1．(,1)m m +【分析】把已知不等式的左边因式分解，判断出对应方程两根大小后，利用不等式解法求得解集.【详解】解：由题意得：1m m <+又()2221()(1)0x m x m m x m x m -+++=---<∴解得不等式解为：1m x m <<+∴不等式()22210x m x m m -+++<的解集为(,1)m m +.2．见解析【解析】不等式()210x x a a ---可化为()()10x a x a --⎡⎤⎣⎦->，讨论12a >，12a =，12a <三种情况计算得到答案.【详解】不等式()210x x a a ---可化为()()10x a x a --⎡⎤⎣⎦->.①当12a >时,1a a ,解集为{x x a >，或}1x a <-； ①当12a =时,1a a ,解集为12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； ①当12a <时,1a a <-,解集为{x x a <，或}1x a >-. 综上所述, 当12a >时,原不等式的解集为{x x a >，或}1x a <-； 当12a =时,原不等式的解集为12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； 当12a <时,原不等式的解集为{x x a <，或}1x a >-. 【点睛】本题考查了含参不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，属于常考题型. 3．答案见解析【分析】分0a =和0a ≠讨论，当0a ≠时，由原不等式可得()140x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，讨论1a 与4-的大小关系即可得出不等式的解.【详解】①当0a =时，原不等式可化为40x --<，解得4x >-；①当0a >时，原不等式可化为()140x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，解得14x a -<<； ①当0a <时，原不等式可化为()140x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， <i>当14a <-，即104a -<<时，解得1x a <或4x >-； <①>当14a =-，即14a =-时，解得4x <-或4x >-； <①>当14a >-，即14a <-时，解得4x <-或1x a>. 综上所述，当14a <-时，不等式解集为14x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或； 当14a =-时，不等式解集为{}4x x ≠-； 当104a -<<时，不等式解集为14x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或； 当0a =时，不等式解集为{}4x x >-；当0a >时，不等式解集为14x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 4．答案见解析. 【分析】分类讨论求解含参数的一元二次不等式作答.【详解】当0a =时，1x >-，当0a ≠时，1()(1)0a x x a++>， 当0a <时，1()(1)0x x a ++<，解得11x a-<<-， 当0a >时，1()(1)0x x a++>， 若1a =，则1x ≠-，若01a <<，则1x a<-或1x >-，若1a >，则1x <-或1x a >-， 所以当0a <时，原不等式的解集是{}|11x x a-<<-；当0a =时，原不等式的解集是{|1}x x >-； 当01a <≤时，原不等式的解集是1{|x x a<-或1}x >-；当1a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或1}x a>-． 5．详见解析.【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；①当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 6．答案见解析【分析】不等式化简为（ax ＋1）（x －2）≥0，分类讨论a ＝0，12a =-，102a -<<及12a <-，求出不等式的解集，即可求出答案.【详解】解：由()21220ax a x +--≥可得（ax ＋1）（x －2）≥0①当a ＝0时，原不等式即x －2≥0﹐解得x ≥2﹔①当a <0时，（ax ＋1）（x －2）≥0，方程（ax ＋1）（x －2）＝0的两根为11x a =-，22x = 当12a =-时，原不等式解为：x ＝2﹔ 当102a -<<时，12a ->，原不等式的解为；12x a≤≤-， 当12a <-时，12a -<，原不等式的解为：12x a-≤≤， 综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{}2x x ≥； 当12a =-时，原不等式的解集为{}2x x =；当102a -<<时，原不等式的解集为：12x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭； 当12a <-时，原不等式的解为：12x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． 7．答案见解析【分析】对m 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集.【详解】当0m =时，不等式化为220x -->，解得1x <-；当0m >时，不等式化为()()210mx x -+>，解得1x <-，或2x m >； 当20m -<<时，21m <-，不等式化为2(1)0x x m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭， 解得21x m<<-； 当2m =-时，不等式化为()210x +<，此时无解；当2m <-时，21m >-，不等式化为2(1)0x x m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭， 解得21x m-<<； 综上，0m =时，不等式的解集是{}1x x <-；0m >时，不等式的解集是{|1x x <-或2x m ⎫>⎬⎭； 20m -<<时，不等式的解集是21x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭； 2m =-时，不等式无解；2m <-时，不等式的解集是21x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 8．答案见解析.【分析】对a 分0a =、0a <、01a <<、 1a =和1a >五种情况讨论得解.【详解】当0a =时，不等式240x -+>的解为2x <；当0a ≠时，不等式对应方程的根为2x a=或2， ①当0a <时，不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈即 ()()220ax x --+<的解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ①当01a <<时，不等式()()220ax x -->的解集为 2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； ①当1a =时，不等式()220x +>的解集为 (,2)(2,)-∞⋃+∞；①当1a >时，不等式()()220ax x -->的解集为 2,(2,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a =时，不等式解集为(),2-∞；当0a <时，不等式的解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当01a <<时，不等式的解集为2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当1a =时，不等式的解集为(,2)(2,)-∞⋃+∞；当1a >时，不等式的解集为2,(2,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】易错点睛：解答本题有两个易错点：（1）漏掉0a =这一种情况，因为不确定不等式是不是一元二次不等式，所以要讨论；（2）当0a ≠时，分类出现错误或遗漏. 9．分类讨论，答案见解析.【分析】利用含参一元二次方程不等式的解法求解.【详解】方程220x x a ++=中()4441a a =-=-，①当10a -<即1a >时，不等式的解集是R ，①当10a -=，即1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，①当10a ->即1a <时，由220x x a ++=解得：1211x x =-=-1a ∴<时，不等式的解集是{|1>-x x 1<-x ，综上，1a >时，不等式的解集是R ，1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，1a <时，不等式的解集是{|1>-x x 1<-x ，10．答案不唯一，具体见解析【分析】原不等式可化为()()120x ax a +-+>．然后分0a =，0a >和0a <三种情况求解不等式【详解】解：关于x 的不等式2220ax x a +-+>可化为()()120x ax a +-+>．（1）当0a =时，()210x +>，解得{}|1x x >-．（2）当0a >，所以()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭． 所以方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为-1和2a a -， 当21a a --<，即1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a ->}， 当21a a --=，即1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-． 当21a a -->，即01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1x >-}，． （3）当0a <时，()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 因为方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为—1和2a a -， 又因为2211a a a-=->，所以21a a --<，． 即不等式()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集是2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， 综上所述：当0a <时，不等式的解集为2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 当0a =时，不等式的解集为{}1x x -，当01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1}x >- 当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，当1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a->}，。

高一数学不等式的性质试题答案及解析1.若则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得又有基本不等式可得，且，对不四个选项可得.【考点】基本不等式；不等关系与不等式.2.如果，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，不等式两边同时乘以，得，其他三项不一定正确，符号不确定，，.【考点】不等式的大小判定.3.,,则与的大小关系为．【答案】【解析】作差法比较大小，，,,所以p-q,【考点】利用不等式比较大小4.下列结论正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>bC．若a>b,c<0，则 a+c<b+c D．若<，则a<b【答案】D【解析】的正负不定，故A错；的正负不定，故B错；不等式两边加上同一个数，不等号方向不变，故C错。

【考点】不等式基本性质的应用。

5.已知不等式的解集是．（1）若，求的取值范围；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，说明元素2满足不等式，代入即可求出的取值范围；（2）由，是方程的两个根，由韦达定理即可求出，代入原不等式解一元二次不等式即可；（1）∵，∴，∴（2）∵，∴是方程的两个根，∴由韦达定理得解得∴不等式即为：其解集为．【考点】一元二次不等式的解法6.设，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，（舍去）；当时，；综上所述，不等式的解集为.【考点】不等式的解法、等价转换思想.7.如果, 设, 那么（）A．B．C．D．M与N的大小关系随t的变化而变化【答案】A【解析】,已知，所以，.【考点】比较大小.8.如果且，那么下列不等式中不一定成立的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】A是不等式两边同乘-1，正确；B，，C，由，得所以正确，D，不等式两边同乘，但不知道的符号，不一定成立.【考点】不等式的基本性质.9.若为实数，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】试题分析. A 若，则不成立；C 对两边都除以，可得，C不成立；D令则有所以D不成立，故选B.【考点】不等式的基本性质.10.函数，的值域为_________.【答案】【解析】,又，则，，可知.所以.【考点】本题主要考查分离变量法求函数的值域，不等式的性质.11.若，则下列不等式一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于，则根据倒数性质可知成立，对于对数函数性质，底数大于1是递增函数，故成立，对于D, 根据作差法可知成立，而对于C，应该是大于等于号，即左边大于等于右边，故选C。

一元二次不等式的解法【教学目标】1. 会解一元二次不等式、高次不等式和分式不等式2. 利用分类讨论的思想解含参不等式【教学重难点】分类讨论的数学思想【教学过程】题型一.解一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）02322>--x x （2）0262≥+--x x（3）07422<+-x x （4）0962>+-x x方法总结：【变式练习】1-1.已知不等式02>++c bx ax 的解集为（2,3），求不等式02<++a bx cx 的解集 题型二.解高次不等式例2.求不等式0)6)(4(22≤--x x 的解集方法总结：【变式练习】2-1. 解不等式0)2()1()1(32≥++-x x x x题型三.解分式不等式例3-1.解下列不等式 （1）012<-+x x ； （2）221≤-+x x ； （3）12731422<+-+-x x x x 方法总结：题型四.解含参数的一元二次不等式例4-1：解关于x 的不等式)(0222R a ax x ∈>++方法总结：【变式练习】1.已知a ∈R ，解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax2.解不等式12)1(>--x x a 题型五.不等式恒成立问题 例5-1：若不等式02)1()1(2>+-+-x a x a ，对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围方法总结：【变式练习】1. 已知xa x x x f ++=2)(2对任意的0)(),,1[≥+∞∈x f x 恒成立，求a 的取值范围。

2. 设函数m mx mx x f +--=6)(2(1) 若对于]3,1[∈x ，f(x)<0恒成立，求实数m 的取值范围.(2) 若对于]2,2[-∈m ，f(x)<0恒成立，求实数m 的取值范围. 【课后练习】1. 不等式01692≤++x x 的解集是_______________________2. 不等式02732≤+-x x 的解集是_______________________3. 022>++bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则a-b=_________ 4. 已知不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是∅，则( )A. 0,0>∆<aB. 0,0≤∆<aC. 0,0≤∆>aD. 0,0>∆>a5. 不等式2)1(52≥-+x x 的解集是_______________________ 6. 函数43)1ln(2+--+=x x x y 的定义域为___________________7. 若a>1,则不等式0)1)((>--ax a x 的解集是_______________________ 8. 设函数⎩⎨⎧≤++>-=)0()0(2)(2x c bx x x x f ，若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x 的不等式f(x)1≤的解集为____________________9. 若关于x 的不等式0)1)((>--a x a x a 的解集为)1,(aa ，则a 的取值范围为____________________ 10.若集合A={}=<+-012ax ax x ∅，则实数a 的范围是_____________ 11.。

科 教学设计不等式一．考试内容：不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.二．考试要求：(1)理解不等式的性质及其证明.(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法.(5)理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │【注意】不等式在数学的各个分支中都有广泛的应用，同时还是继续学习高等数学的基础.纵观历年试题，涉及不等式内容的考题大致可分为以下几类：①不等式的证明； ②解不等式；③取值范围的问题；④应用题.三．基础知识: 1.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.2.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.3.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外； 如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.4.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.5.指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩四．基本方法和数学思想1.掌握不等式性质，注意使用条件；2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法； 3.掌握用均值不等式求最值的方法：在使用a+b ≥ab 2(a>0,b>0)时要符合“一正二定三相等”； 注意均值不等式的一些变形，如2222)2(;)2(2b a ab b a b a +≤+≥+；4.不等式的证明方法.在其他知识的应用. 如数列中不等式的证明方法.构造函数证明不等式的思想和方法.五．高考题回顾1.（福建卷）下列结论正确的是 ( B )A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>xx x 时当C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2. （辽宁卷）在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则( C )A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 3. (全国卷Ⅰ) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a4. (重庆卷)不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log 2|2|22x x 的解集为 ( )(A) (0,3) (B) (3,2)；(C) (3,4)；(D) (2,4)5. （04年辽宁卷.2）对于01a <<，给出下列四个不等① 1log (1)log (1)a a a a+<+ ②1log (1)log (1)a a a a+>+③111aaaa++< ④111aaaa++>其中成立的是（ ）.A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④6. （04年全国卷一.文理12）2222221,2,2,a b b c c a +=+=+=则ab bc ca ++的最小值为（ ）.A 12B ．12 C ． 12- D ．127.若x,y 是正数,则2211()()22x y y x+++的最小值为( ) A.3 B.72 C. 4 D. 928. 04年湖南卷.理7）设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是（ ）. A. 11()()a b a b++≥4 B. 33a b +≥22abC. 222a b ++≥22a b +D.9.(江西卷）已知实数a 、b 满足等式,)31()21(b a =下列五个关系式： ①0<b <a②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.解关于x 的不等式20x ax a -<- 11.已知函数x x x f -+=)1ln()(，x x x g ln )(=.（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）设b a <<0，证明2ln )()2(2)()(0a b ba gb g a g -<+-+<.能力测试题(本卷共150分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( )A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．a ＞b ⇒a 2＞b 2C ．a ＞b ⇒a 3＞b 3D ．a 2＞b 2⇒a ＞b2．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N3．当|x |≤1时，函数y ＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥－13B ．a ≤－1C ．－1<a <－13D ．－1≤a ≤－134．二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <13}，则ab 的值为( )A ．－6B ．6C ．－5D ．55．已知全集U ＝R ，且A ＝{x ||x －1|＞2}，B ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，则(∁U A )∩B 等于( )A ．[－1,4)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(－1,4)6．函数y ＝3xx 2＋x ＋1(x ＜0)的值域是( )A ．(－1,0)B ．[－3,0)C ．[－3,1]D ．(－∞，0)7．当x ≥0时，不等式(5－a )x 2－6x ＋a ＋5>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4)C ．[10，＋∞)D ．(1,10]8．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞29．(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域为( )10．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于( )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1bD ．x <－1b 或x >1a11．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)12.函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )A.⎣⎡⎭⎫－1，－255∪(0,1] B ．[－1,0)∪⎝⎛⎭⎫0，255C.⎣⎡⎭⎫－1，－255∪⎝⎛⎭⎫0，255D.⎣⎡⎭⎫－1，－255∪⎝⎛⎦⎤255，1二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)13．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图象上运动，则9x ＋3y 的最小值为________．14．已知不等式axx －1＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a ＝________.15．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝y x －xy 的取值范围是________．16．已知点A (53，5)，过点A 的直线l ：x ＝my ＋n (n >0)，若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0的外接圆的直径为20，则实数n 的值是________．三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．18．求z ＝3x －2y 的最大值和最小值，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋21≥0，x －3y ＋7≤0，2x ＋y －7≤0.19．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12]成立，求a 的取值范围．20．某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？21．整改校园内一块长为15 m ，宽为11 m 的长方形草地(如图A)，将长减少1 m ，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m ，宽增加x m(x >0)，试研究以下问题：x 取什么值时，草地面积减少？ x 取什么值时，草地面积增加？22．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f (x )≥x ，且当x ∈(1,3)时，有f (x )≤18(x ＋2)2成立．(1)证明：f (2)＝2；(2)若f (－2)＝0，求f (x )的表达式；(3)设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y ＝14的上方，求实数m 的取值范围．。

高一不等式练习题在高中数学学习中，不等式是一个十分重要的概念和工具。

不等式不仅能够描述数值的大小关系，还可以用于解决实际问题以及证明数学定理。

因此，掌握不等式的基本性质和解题方法对于高一学生来说至关重要。

本文将为你提供一些高一不等式练习题，帮助你巩固知识和提升解题能力。

一、简单的一元一次不等式1. 解不等式5x - 7 < 3x + 5。

解：首先，将不等式中的x项移到一边，常数项移到另一边，得到2x < 12。

然后，将系数为2的x除以2，得到x < 6。

因此，不等式的解集为x < 6。

2. 解不等式2 - 3x > 4x + 5。

解：首先，将不等式中的x项移到一边，常数项移到另一边，得到-7x > 3。

然后，将系数为-7的x除以-7，并改变不等式的方向，得到x < -3/7。

因此，不等式的解集为x < -3/7。

二、一元一次不等式的综合运用1. 若3x - 2 > 4x + 1，则x的取值范围是多少？解：首先，将不等式中的x项移到一边，常数项移到另一边，得到-x > 3。

然后，将两边的不等式同时乘以-1，并改变不等式的方向，得到x < -3。

因此，不等式的解集为x < -3。

2. 若2(x - 3) - 5 < 4 - (x + 1)，求解集。

解：首先，将不等式中的括号展开并整理，得到2x - 6 - 5 < 4 - x - 1。

然后，将不等式中的x项移到一边，常数项移到另一边，得到3x < 16。

最后，将系数为3的x除以3，得到x < 16/3。

因此，不等式的解集为x < 16/3。

三、含绝对值的不等式1. 解不等式|x - 2| < 3。

解：根据绝对值的定义，不等式可以化为两个不等式：x - 2 < 3 和 -(x - 2) < 3。

解第一个不等式得到x < 5，解第二个不等式得到x > -1。

高中数学基本不等式训练题(含答案)1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是()A．有最大值－2 B．有最小值2C．无最大值和最小值 D．无法确定答案：B2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A．400 B．100C．40 D．20答案：A3．已知x2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．答案：2 44．已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，12x，4x＞0.12x＋4x212x4x＝83.当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，当x＞0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x＜0，－x＞0.则－f(x)＝12－x＋(－4x)212－x－4x＝83，当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．当x＜0时，f(x)的最大值为－83.一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1C．2x＋2－x D．x(1－x)答案：C2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()A．32－3 B．－3C．62 D．62－3解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)3(22－1)＝62－3.3．已知m、nR，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100C．50 D．20解析：选A.m2＋n22mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，＋)，ba＋ab2baab＝2；②∵x，y(0，＋)，lgx＋lgy2lgxlgy；③∵aR，a0，4a＋a 24aa＝4；④∵x，yR，，xy＜0，xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]－2－xy －yx＝－2.其中正确的推导过程为()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a，b(0，＋)，ba，ab(0，＋)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x，y(0，＋)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的；③∵aR，不符合基本不等式的条件，4a＋a24aa＝4是错误的；④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy ＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．22C．4 D．5解析：选C.∵1a＋1b＋2ab2ab＋2ab222＝4.当且仅当a＝bab ＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()A．最大值64 B．最大值164C．最小值64 D．最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy＝8x＋2y28x2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．xy64.二、填空题7．函数y＝x＋1x＋1(x0)的最小值为________．答案：18．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．解析：1＝x＋4y4y＝4xy，xy116.答案：大1169．(2019年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y42xy12，xy3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案：3三、解答题10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．解：(1)∵x＞－1，x＋1＞0.y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋52 x＋14x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．x＝1时，函数的最小值是9.(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，x－1＞0.(x－1)＋9x－1＋22x－19x－1＋2＝8.当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，y有最小值8.11．已知a，b，c(0，＋)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)(1b －1)(1c－1)8.证明：∵a，b，c(0，＋)，a＋b＋c＝1，1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca2bca，同理1b－12acb，1c－12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a－1)(1b－1)(1c－1)8.当且仅当a＝b＝c时取等号．12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．总造价f(x)＝400(2x＋2200x)＋100200x＋60200＝800(x＋225x)＋120191600x225x＋12019＝36000(元)当且仅当x＝225x(x＞0)，即x＝15时等号成立．。

基本不等式●知识梳理），都是正数；）积（或和）为定值（有时需要通过“配凑、拆分”找出定值））与必须能够相等（等号能够取到）．●题型训练题型一（直接运用基本不等式）已知正数、满足，则的最小值是？已知正实数，满足，则的最大值为？设，求函数题型二型（配凑法）1.若，则当取最小值时，此时，分别为？2.函数的最小值是？3.当时，求函数的最大值为？4.设，求函数的最大值为？5.已知为正实数且时，则的最大值为？6.已知，则的最大值为？7.当时，求函数的最大值为？8.当，时，求函数的最大值．题型三型（分离常数法、换元法）1.当时，函数的最小值为？2.已知，则的最小值为？3.函数的最小值为？4.求函数的最大值．5.求函数的最大值．6.函数的最大值为？题型四乘“1”法1.若，，且，则的最小值为？2.已知正实数，满足，则的最小值为？3.若正数，满足，则的最小值为？4.设，均为正数．且时，则的最小值为？5.若正数，满足，则的最小值为？1.正实数，满足，则的最小值为？2.正实数，满足，则的最小值为？3.已知，，，则的最小值为？4.已知正数，满足，则的最小值为？5.已知，，，则的最小值为？1.若正实数，满足，则的最小值为？2.若实数，满足，则的最小值为？3.若，，且，则的最小值为？4.设，，，则（）A.有最大值B.有最小值C.有最大值D.有最小值5.已知，且满足，则的最小值为？6.设，均为正数，且则的最小值为？7.若正数，满足，则的最小值为？题型七其他类型（难）1.已知，求的最大值为？解：，，，当且仅当时取等号，，当且仅当，即时取等号，，即当时，有最大值，即有最大值．2.函数的最大值为？3.正数，满足，则的最小值为？解：令，，，，，，，，，当且仅当时，即时，取等号，故的最小值为．4.设，是正实数，且，则的最小值为？解：令，，则，，，原式，当且仅当时取等号，即的最小值为．易错题1.已知时，求函数的最值为？2.下列命题正确的是（）A．函数的最小值为B．若，且，则C．函数的最小值为D．函数的最小值为3.已知正实数，满足，则的最小值为（）解：，当且仅当时等号成立，，，，4.设正实数，满足，则（）A ．有最大值4B ．有最小值C ．有最大值D ．有最小值解：选项，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为．故不正确．选项，由不等式得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为．故不正确．选项，()ab b ab a b a 2122+=++=+易知的最大值为．所以()22121212=⨯+=++ab b a 有最大值，所以2的最大值为b a +故正确．选项，()abb a b ab a b a 211222222-=+=++=+易知ab 的最大值为41．所以21412122=⨯-+有最小值b a 故不正确．。

高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模、解决实际问题的基础。

学好基本不等式需要掌握一定的方法和技巧，下面我们来详细介绍高一基本不等式的题型及解题方法。

一、绝对值不等式1. |x|<a或|x|>a当绝对值小于a时，解集是(-a,a)的补集，即x<-a或x>a；当绝对值大于a时，解集是(-∞,-a)并(-a,a)的并集，以及(a,+∞)的并集。

一般来说，解绝对值不等式的步骤是：（1）首先分情况讨论|x|的取值范围，即|x|<a或|x|>a。

（2）接着用|x|号内的式子可以得到两个不等式，分别求解。

（3）最后将所得的解合并，得到最终的解集。

例如：求不等式|3x-2|<4的解集。

由不等式|3x-2|<4可以得到两个不等式：3x-2<4和3x-2>-4解得x<2和x>-2，最终合并得到解集为-2<x<2。

2. |ax+b|<c类似于上面的绝对值不等式，也是需分情况讨论|x|的判断条件，然后解方程。

例如：求不等式|3x+2|<10的解集。

同样首先得到两个不等式：3x+2<10和3x+2>-10解得x<8/3和x>-12/3，最终合并得到解集为-4<x<8/3。

3. |ax+b|>c同样可以按照上面的方法求解，即分情况讨论判断条件，然后解方程。

例如：求不等式|3x+2|>10的解集。

首先得到两个不等式：3x+2>10或3x+2<-10解得x>8/3或x<-12/3，最终合并得到解集为x<-4或x>8/3。

绝对值不等式是基本不等式的重要内容，解题时需要根据不等式的形式来分情况讨论，并运用代数知识进行解答，所以掌握绝对值不等式的方法是非常重要的。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高中不等式中的重要内容，经常在不同的数学题型中出现，解题时可以分为以下几种情况：1. ax^2+bx+c>0，ax^2+bx+c<0对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，首先要求出二次函数对应的二次方程的零点，然后根据二次函数的开口方向判断解集。

、选择题:1 .不等式(1 + x)(1 — |x|)> 0的解集是 B. {x|xv 0 且 x J 1}C. {x|— 1v xv 1}D. {x|x<1 且 x 」1}2.直角三角形 ABC 的斜边AB = 2,内切圆半径为r,贝U r 的最大值是A .艘 B. 1C.学D.客—13.给出下列三个命题bT~by 29上任一点，圆。

2以Q （a,b ）为圆心且半径为1.当（& x 〔）2（b y 〔）21时，圆O I 与圆。

2相切其中假命题的个数为C. 24.不等式 |2x — log 2x|<2x+ |log 2x|的解集为C. (1, +8 )5.如果x, y 是实数，那么 xyv 0”是钏一y|= |x|+ |y| '的9.某工厂第一年年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则不等式②若正整数m 和n 满足mn ，贝U Jm(n m)A . (x|0 夹v 1} ③设 P （x 〔，y 〔）为圆。

1 : x 2A. 充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件 皿 ln2 「 ln3 6. 若 a =顶，b=—, ln5 时 c=则 D .非充分条件非必要条件A . a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD . b<a<c7.已知a 、b 、c 满足c b a ,且ac 0, 那么下列选项中不一定成立的是A. ab acB. c(b a) D. ac(a c) 08.设0 a 1,函数 f (x) log a (a 2xx2a 2),则使 f(x)的x 的取值范围是A . ( — 8, 0)B. (0, +8 )C. ( — 8, log a 3)D . (log a 3, +8 )A . x=皿 B.、q C. x> J D. xJ2 2 2 210. 设方程 2x + x+ 2 = 0 和方程 log 2x+ x + 2= 0 的根分别为 p 和 q ，函数 f(x) = (x + p)(x+q)+2 , 则A . f(2) = f(0)<f(3)B . f(0)<f(2)<f(3) C. f(3)<f(0)= f(2) D . f(0)< f(3)<f(2)二、填空题：11. _____________________________________________________________________ 对于一1<a<1,使不等式(2)x 2 ax< (2)2x+a 1成立的x 的取值范围是 ________________________________12.若正整数 m 满足 10m 12512 10m ，则 m = . (lg2 - 0. 3010)1,给出下列四个不等式_ 1① log a (1 a) log a (1) a11 1③ a ' a a其中成立的是 三、解答题：16. (本题满分l2分)设函数f(x) 2|x1| |x1|，求使f(x) > 2*/2的x 取值范围.17. （本题满分12分）13.已知 f (x)14.已知 a> 0,1, x 0, 1,x 0,2b 2』rb>0,且 a — 1,贝U2则不等式x (x 2) f (x 2)<5的解集是 aj1 b 2的最大值是15.对于0 a _1② log a (1 a) log a (1已知函数f （x） 2sin 2 x sin 2x, x [0, 2 ].求使f（x）为正值的x的集合.18.（本题满分14分）⑴已知a,b是正常数，a b , x, y （0,2 2），求证：——（a b）,指出等号成x y x y立的条件；........ …一，， 2 9 ⑵利用⑴的结论求函数f一1x （0,项）的取小值, 指出取最小值时x的1 (x)x 1 2x 值.19.（本题满分14分）设函数f(x)= |x— m|— mx,其中m为常数且m<0.⑴解关于x的不等式f(x)<0；⑵试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值20.(本题满分14分)已知a>0,函数f(x)= ax — bx2 .⑴当b>0时，若对任意x€ R都有f(x) 1,证明a 2 J b ;⑵当b>1时，证明对任意x [0, 1],都有|f(x)| 1的充要条件是b— 1 a 2无；⑶当0<b 1时，讨论：对任意x [0, 1],都有|f(x)| 1的充要条件.21 (本题满分14分)⑴设函数f(x) xiog2x (1 x) log 2 (1 x) (0 x 1),求f (x)的最小值;⑵设正数P1, P2, P3, , p2n 满足P1 P2 P3 P2n 1 ,证明P1 log 2 P1 P2 log 2 P2 P3 log 2 P3 P2n log 2 P2nn.［不等］符- 号定, 比较技巧深参考答案、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D A C A B C C B A二、填空题11. x< 0 或xA 2; 12. 155; 13. (，-] ；14. ^2；15.②④三、解答题3 -16.解：由于y= 2x是增函数，f(x)>2寸2等价于|x+1|- |x- 1|>① (2)分(i)当x> 1 时，|x+1|-|x- 1|= 2。