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①方程x2-2x+1=0的解为
;
②方程x2-3x+2=0的解为
;
③方程x2-4x+3=0的解为
;
……
(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:
①方程x2-9x+8=0的解为
;
②关于x的方程
的解为x1=1,x2=n.
(3)请用配方法解方程x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.
解:(1)①x1=x2=1
4. [2018·长沙] 已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则
方程的另一个根为
.
【答案】2 【解析】在该方程中,a=1,b=-3,设两根为 x1,x2,其中 x1=1,由一元二次方程根与系数 的关系可知,x1+x2=-������������=3,所以 x2=2.
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命题点四 一元二次方程的解法
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探究二 列一元二次方程
例2 [2018·宁夏] 某企业2018年初获利润300万元,到2020年
初计划利润达到507万元. 设这两年的年利润平均增长率为
x,应列方程是 ( A. 300(1+x)=507
)B
B. 300(1+x)2=507
C. 300(1+x)+300(1+x)2=507
D. 300+300(1+x)+300(1+x)2=507
[方法模型] 列一元二次方程的基本步 骤:(1)审题;(2)设元;(3)根据题意列一元 二次方程.
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拓展1 [2017·白银] 如图8-2,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,
剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2. 若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是( )
②x1=1,x2=2
③x1=1,x2=3
(2)①x1=1,x2=8②x2-(1+n)x+n=0
(3)x2-9x+8=0,x2-9x=-8,
( ) x2-9x+81=-8+81, x-9 2=49,
4
4
24
∴x-29=±72.∴x1=1,x2=8.
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[方法模型] (1)方程右边不是 0,要将方程化简,化成右边为 0 的形式;(2)观察方程的左边,能因式分解的就因
比赛总场数为 380 场,若设参赛队伍有 x 支,则可列方程为( B )
A. 1x(x-1)=380
2
C. 1x(x+1)=380
2
B. x(x-1)=380 D. x(x+1)=380
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探究三 解一元二次方程
例3 [2017·滨州] 根据要求,解答下列问题.
(1)解下列方程(直接写出方程的解即可):
C. (x+2)2=3
D. (x+1)2=3
(B)
拓展 2 [2018·巴中] 解方程:3x(x-2)=x-2. 解:3x(x-2)=x-2, 移项得 3x(x-2)-(x-2)=0, 整理得(x-2)(3x-1)=0,x-2=0 或 3x-1=0, 解得 x1=2,x2=13.
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探究四 一元二次方程根的判别式
特别地,若关于 x 的方程 x2+px+q=0(p,q 为常数,p2-4q≥0)的两个根分别为 x1,x2,则 x1+x2=-p,x1·x2=q.
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易错警示
【失分点】 在明确一元二次方程的前提下要注意二次项系数a≠0. 已知关于x的方程(m+1)x|m-1|+mx-1=0是一元二次方程,求m的值. 解:∵关于x的方程(m+1)x|m-1|+mx-1=0是一元二次方程,∴|m-1|=2且m+1≠0,解得m=3.
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拓展1 [2018·河南] 下列一元二次方程中,有两个
不相等的实数根的是
()
A. x2+6x+9=0
B. x2=x
C. x2+3=2x
D. (x-1)2+1=0
【答案】B 【解析】本题考查了用一元二次方程ax2+bx+c=0的 根的判别式Δ=b2-4ac来判断方程根的情况,当Δ>0时, 方程有两个不相等的实数根.
方程的一边必须是0,另一边可用任何方法分解因式
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考点三 一元二次方程根的判别式
判别式Δ=b2-4ac与方程的根的关系:
(1)Δ>0⇔方程有① 两个不相等 的实数根;
(2)Δ=0⇔方程有② 两个相等 的实数根;
(3)Δ<0⇔方程③
没有
实数根;
(4)Δ≥0⇔方程有④ 两个 实数根.
【温馨提示】
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考点自查
考点一 一元二次方程的概念及一般形式
1. 一元二次方程定义的三个基本特征: (1)只含有① 一 个未知数;(2)未知数的最高次数是② 2 2. 一元二次方程的一般形式是③ ax2+bx+c=0(a≠0) .
;(3)是整式方程.
【温馨提示】 在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中,要特别注意a≠0这个条件.
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探究一 一元二次方程的解
例1 [2018·荆门] 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2-
2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为
.
[方法模型] 一元二次方程的根满足一元二次方程,注意在解题 中要满足其前提,即一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0.
【答案】-3 【解析】把x=2代入kx2+(k22)x+2k+4=0,得4k+2k2-4+2k+4=0,整理 得k2+3k=0,解得k1=0,k2=-3,因为k≠0,所 以k的值为-3.
解:(1)m<-18 (2)-18 (3)m>-18且 m≠0 (4)m≥-18且 m≠0. 取 m=1,则原方程为 x2+3x=0,
即 x(x+3)=0,
∴x1=0,x2=-3.(m 取其他符合题意的值也可以)
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[方法模型] 利用一元二次方程根的判别式解题要点:(1)将方程化成一般形式,确定a,b,c;(2)计算Δ的值; (3)由方程的根与Δ的关系得出方程或不等式;(4)解方程或不等式(注意确保二次项系数a≠0).
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拓展 [2018·凉山州] 若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的
一个根,则m+n的值是( )
A. 1
B. 2
C. -1
D. -2
【答案】D 【解析】∵n(n≠0)是关于x的方程 x2+mx+2n=0的一个 根,∴n2+mn+2n=0,∴n(n+m+2)=0, ∵n≠0,∴m+n+2=0,∴m+n=-2.故选D.
件;
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?
解:(1)26.
(2)设当每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元. 由题意,得(40-x)(20+2x)=1200.整理,得x2-30x+200=0.解得x1=10,x2=20. 又每件盈利不少于25元,∴x=20不合题意,舍去. 答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.
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考点二 一元二次方程的解法
一元二次方程一般有四种解法,四种解法对照如下:
解法 直接开平方法
配方法
适合类型
(x±m)2=n
x2+px+q=0
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
因式分解法
方程的一边为0,另一 边能够分解成两个一次 因式的乘积
注意事项 当n≥0时,有解;当n<0时,无解 二次项系数若不为1,必须先把系数化为1,再进行配方 先化为一般形式,再用公式. 当b2-4ac≥0时,方程有解;当 b2-4ac<0时,方程无解
命题点二 一元二次方程根的判别式
2. [2018·张家界] 关于x的一元二次方程x2-kx+1=0
有两个相等的实数根,则k=
.
3. [2018·娄底] 关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0 的根的情况是 ( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定
实例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).
(1)尝试:分解因式:x2+6x+8=(x+ )(x+ ); (2)应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.
解:(1)2 4 (2)由x2-3x-4=0,得(x-4)(x+1)=0, 所以x-4=0或x+1=0,即x=4或x=�������
式分解,从而转化为两个一元一次方程;(3)方程左边不能因式分解的通过求根公式 x= 2������ 求解.
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拓展1 [2017·舟山] 用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方结果正确的是
A. (x+2)2=2
B. (x+1)2=2
选项A:Δ=b2-4ac=62-4×1×9=0;选项B:先将原方程化 为一般式x2-x=0,则Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×0=1>0;选项
C:将原方程化为一般式x2-2x+3=0,则Δ=b2-4ac=(-2)2-
