初三数学中考复习专题十 多边形与四边形_15_初三数学_2

___四_____.
考点演练
5. 一个多边形除一个内角外，其余内角的和为1 510°，则这
个多边形的边数是（C）Fra bibliotekA. 九
B. 十
C. 十一 D. 十二
6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为
A. 五
B. 六
C. 七
（B） D. 八
7. 一个多边形的每个内角均为120°,则这个多边形是（ C ）
即可求得答案.
答案：C
考题再现
1. （2014广东）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形
的边数是 A. 10
B. 9
（D）
C. 8
D. 7
2. （2015广东）正五边形的外角和等于___3_6_0_°__. 3. （2016桂林）正六边形的每个外角是___6_0____度.
4. （2014梅州）内角和与外角和相等的多边形的边数为
A. 150°
B. 130°
C. 120° D. 100°
3. （2016丹东）如图1-4-6-4，在□ABCD中，BF平分∠ABC，
交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长
为
（B ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
4. （2015梅州）如图1-4-6-5，在□ABCD中，BE平分∠ABC， BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于___2_0____.
第一部分 教材梳理
第四章 图形的认识（一） 第6节 多边形与平行四边形
知识梳理
概念定理
1. 多边形的有关概念 （1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图 形叫做多边形.

总复习多边形与平行四边形【考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．(2)平行四边形A：会识别平行四边形．B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．C：会运用平行四边形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段.2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点进阶】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点进阶】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．【要点进阶】在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：边、角与对角线:1.对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关系特征；2.对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数；3.对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系.考点五：平行线间的距离1．两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.【要点进阶】1.距离是指垂线段的长度，是正值.2.平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.3.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2．平行四边形的面积：平行四边形的面积=底×高(等底等高的平行四边形面积相等).【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌例1.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=_________.举一反三：【变式】一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A.10B.11C.12D.以上都有可能例2．已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC=（用含x、y的代数式表示）；（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE 与BF 的位置关系，并说明理由．（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x、y．②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．类型二、平行四边形及其他知识的综合运用例3．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF=14 AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2 D．AB：BC=5：8举一反三：【变式】已知：如图，，M为AB上一点，使AM=BC，N为BC上一点， CN=BM，连结AN、MC交于P.求：的度数例4.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F．（1）当点P为AB的中点时，如图1，连接AF、BE．证明：四边形AEBF是平行四边形；（2）当点P不是AB的中点，如图2，Q是AB的中点．证明：△QEF为等腰三角形．例5．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE 交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．例6 .在口ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．举一反三：【变式】如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=603，则S2=__________．【巩固练习】一、选择题1．如图，四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED 的面积是，则四边形ABCD的周长为（）A．49cm B．43cm C．41cm D．46cm2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=4，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是：( ) A. ； B.2； C.3； D.4．3. 已知点A(2，0)、点B(，0)、点C(0，1)，以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD的边上，若P到BD的距离为32，则点P的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．45.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB 相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的是（）．A．①②③④B．①③④C．②③④ D．①②④6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是10+2；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②④二、填空题7. 如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为________.8.若工人师傅用正三角形、正十边形与正n边形这三种正多边形能够铺成平整的地面，则n的值为．9. 如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，AD=8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是__________．10.凸n边形的对角线的条数记作a n（n≥4），例如：a4=2，那么：①a5=_____；②a6-a5=____ ；③a n+1-a n=____．（n≥4，用n含的代数式表示）11.①如图（1）,四边形ABCD中，AB∥E1F1∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形；②如图（2），四边形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形；③如图（3），四边形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形；一般地，若四边形ABCD中，E1，E2，E3，…，都是AD上的点，F1，F2，F3，…，都是BC上的点，且AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥…∥∥CD，AD∥BC，则图中共有________平行四边形.12.如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为___________.三、解答题13.问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角．问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：90x+(82)1808-⨯•y=360，整理得：2x+3y=8，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为12 xy=⎧⎨=⎩．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．验证2：_______；结论2：_______．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：_______；验证3：_______；结论3：_______．14. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补．（1）求∠C的度数；（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；（3）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值．15. 如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF．（1）如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形．（2）如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由．16．如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2-CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．。

多边形与平行四边形1．(2020·河北中考)如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（）A．嘉淇推理严谨，不必补充B．应补充：且AB＝CD，C．应补充：且AB∥CD，D．应补充：且OA＝OC，2．(2016·河北中考)如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A.66°B．104°C．114°D．124°3．(2019·河北中考)下列图形为正多边形的是（）4．(2020·河北中考)正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n ＝12．5.六边形的内角和为（）A．720° B．360° C．540° D．180°6.一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．6 D．127.不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD＝BCB．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BCD．∠A＝∠C，∠B＝∠D8.(2020·河北模拟)用若干个全等的正方形和正三角形按如图所示的方式进行拼接，围成一圈后中间形成一个正多边形，则该正多边形的内角和为．9．(2020·石家庄市一模)如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为（）A.18°B．36°C．54°D．72°9.如图，四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD＝5，BC＝13，点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；(2)若BD＝BC，求四边形BDFC的面积．10．在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不能是（）A．AF＝CE B．AE＝CFC．∠BEA＝∠ECF D．∠BAE＝∠FCD11．在▱ABCD中，点E，F在直线AC上，连接BE，BF，DE，DF.(1)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线，四边形BEDF还是平行四边形吗？若BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线呢？请说明理由．多边形与平行四边形1．(2020·河北中考)如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是(B)A．嘉淇推理严谨，不必补充B．应补充：且AB＝CD，C．应补充：且AB∥CD，D．应补充：且OA＝OC，2．(2016·河北中考)如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(C)A.66°B．104°C．114°D．124°3．(2019·河北中考)下列图形为正多边形的是(D)4．(2020·河北中考)正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n ＝12．5.六边形的内角和为(A)A．720° B．360° C．540° D．180°6.一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是(B)A．3 B．4 C．6 D．127.不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(A)A．AB∥CD，AD＝BCB．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BCD．∠A＝∠C，∠B＝∠D8.(2020·河北模拟)用若干个全等的正方形和正三角形按如图所示的方式进行拼接，围成一圈后中间形成一个正多边形，则该正多边形的内角和为720°．9．(2020·石家庄市一模)如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为(C)A.18°B．36°C．54°D．72°9.如图，四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD＝5，BC＝13，点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；(2)若BD＝BC，求四边形BDFC的面积．【解答】(1)证明：∵BC∥AF，∴∠CBE＝∠DFE.∵点E是边CD的中点，∴CE＝DE.又∵∠BEC＝∠FED，∴△BEC≌△FED(AAS).∴BE＝FE.∴四边形BDFC是平行四边形；(2)解：由(1)知，△BEC≌△FED.∴DF＝BC＝13.∵BC∥AF，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°.∵BD＝BC＝13，AD＝5，∴AB＝BD2－AD2＝132－52＝12.∴S四边形BDFC＝DF·AB＝13×12＝156.10．在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不能是(B)A．AF＝CE B．AE＝CFC．∠BEA＝∠ECF D．∠BAE＝∠FCD11．在▱ABCD中，点E，F在直线AC上，连接BE，BF，DE，DF.(1)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线，四边形BEDF还是平行四边形吗？若BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线呢？请说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE，DF分别是△ABO，△CDO的中线，∴OE＝12 OA，OF＝12 OC.∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形；(2)解：四边形BEDF仍是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB∥CD.∴∠ABO＝∠CDO.∵BE，DF分别是△ABO，△CDO的角平分线，∴∠OBE＝∠ODF.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(ASA).∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形．同理可得，BE，DF分别是△ABO，△CDO的高线时，四边形BEDF仍是平行四边形．。

中考数学专题复习：多边形与平行四边形【基础知识回顾】一、多边形：1、定义：在平面内,由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形,各边相等也相等的多边形叫做正多边形2、多边形的内外角和：n(n≥3)的内角和事外角和是正几边形的每个外角的度数是,每个内角的度数是3、多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段,从几边形的一个顶点出发有条对角线,将多边形分成个三角形,一个几边形共有条对边线【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形,正n边形共有条对称轴,边数为数的正多边形也是中心对称图形】二、平面图形的密铺：1、定义：用、完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间地铺成一起,这就是平面图形的密铺,称作平面图形的2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺,可以用、或⑵用两正多边形密铺,组合方式有：和、和、和合等几种【名师提醒：密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时,其和等于并使相等的边互相平合】三、平行四边1、定义：两组对边分别的四边形是平行四边形,平行四边形ABCD可写成2、平行四边形的特质：⑴平行四边形的两组对边分别⑵平行四边形的两组对角分别⑶平行四边形的对角线【名师提醒：1、平行四边形是对称图形,对称中心是过对角线交点的任一直线被一组对边的线段该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】3、平行四边形的判定：⑴用定义判定⑵两组对边分别的四边形是平行四边形⑶一组对它的四边形是平行四边形⑷两组对角分别的四边形是平行四边形⑸对角线的四边形是平行四边形【名师提醒：特别的：一组对边平行,另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形两个命题都不被保证是平行四边形】4、平行四边形的面积：计算公式X同底（等底）同边（等边）的平行四边形面积【名师提醒：夹在两平行线间的平行线段两平行线之间的距离处】【重点考点例析】考点一：多边形内角和、外角和公式例 1 （•南京）如图,∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4= ．思路分析：根据题意先求出∠5的度数,然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．解：由题意得,∠5=180°－∠EAB=60°,又∵多边形的外角和为360°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠5=300°．故答案为：300°．点评：本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质,是基础题,比较简单．对应训练1．（•广安）如图,四边形ABCD中,若去掉一个60°的角得到一个五边形,则∠1+∠2= 度．1．240考点：多边形内角与外角．专题：数形结合．分析：利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数,进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．解：∵四边形的内角和为（4－2）×180°=360°,∴∠B+∠C+∠D=360°－60°=300°,∵五边形的内角和为（5－2）×180°=540°,∴∠1+∠2=540°－300°=240°,故答案为240．点评：考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点．考点二：平面图形的密铺例 2 （•贵港）如果仅用一种正多边形进行镶嵌,那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（）A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形思路分析：分别求出各个正多边形的每个内角的度数,再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．解：A、正三角形的一个内角度数为180°－360°÷3=60°,是360°的约数,能镶嵌平面,不符合题意；B、正四边形的一个内角度数为180°－360°÷4=90°,是360°的约数,能镶嵌平面,不符合题意；C、正六边形的一个内角度数为180°－360°÷6=120°,是360°的约数,能镶嵌平面,不符合题意；D、正八边形的一个内角度数为180°－360°÷8=135°,不是360°的约数,不能镶嵌平面,符合题意；故选D．点评：本题考查平面密铺的问题,用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面,这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180°－360°÷边数．对应训练考点三：平行四边形的性质例3 （•阜新）如图,四边形ABCD是平行四边形,BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,BE、CF交于点G．若使EF=14AD,那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）A．∠ABC=60°B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2 D．AB：BC=5：8思路分析：根据四边形ABCD是平行四边形,利用平行四边形的性质得到对边平行且相等,然后根据两直线平行内错角相等,得到∠AEB=∠EBC,再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC,等量代换后根据等角对等边得到AB=AE,同理可得DC=DF,再由AB=DC得到AE=DF,根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE,当EF=14AD时,设EF=x,则AD=BC=4x,然后根据设出的量再表示出AF,进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB=CD,AD=BC,∴∠AEB=∠EBC,又BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,同理可得：DC=DF, ∴AE=DF,∴AE－EF=DE－EF, 即AF=DE,当EF=14AD时,设EF=x,则AD=BC=4x,∴AF=DE=12（AD－EF）=1.5x,∴AE=AB=AF+EF=2.5x,∴AB：BC=2.5：4=5：8．故选D．点评：此题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的性质,角平分性的定义以及等式的基本性质,利用了等量代换的数学思想,要求学生把所学的知识融汇贯穿,灵活运用．例4 （•广安）如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,且BE=AD,点F在AD 上,AF=AB,求证：△AEF≌△DFC．思路分析：由四边形ABCD是平行四边形,利用平行四边形的性质,即可得AB=CD,AB∥CD,又由平行线的性质,即可得∠D=∠EAF,然后由BE=AD,AF=AB,求得AF=CD,DF=AE,继而利用SAS 证得：△AEF≌△DFC．证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠D=∠EAF,∵AF=AB,BE=AD,∴AF=CD,AD－AF=BE－AB,即DF=AE,在△AEF和△DFC中,AE DFEAF DAF DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEF≌△DFC（SAS）．点评：此题考查了平行四边形的性质与全等三角的判定．此题难度不大,注意数形结合思想的应用．对应训练3．（•永州）如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10,则平行四边形ABCD的周长为．3．20考点：平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等,即可得OB=OD,AB=CD,AD=BC,又由OE⊥BD,即可得OE是BD的垂直平分线,然后根据线段垂直平分线的性质,即可得BE=DE,又由△CDE的周长为10,即可求得平行四边形ABCD的周长．解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AB=CD,AD=BC,∵OE⊥BD,∴BE=DE,∵△CDE的周长为10,即CD+DE+EC=10,∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．故答案为：20．点评：此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．4．（•大连）如图,▱ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且ED=BF,EF与AC相交于点O,求证：OA=OC．4．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据ED=BF,可得出AE=CF,结合平行线的性质,可得出∠AEO=∠CFO,∠FCO=∠EAO,继而可判定△AEO≌△CFO,即可得出结论．证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠AEO=∠CFO,∠FCO=∠EAO,又∵ED=BF,∴AD－ED=BC－BF,即AE=CF,在△AEO和△CFO中,AE CFAEO CFOFCO EAO=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩,∴△AEO≌△CFO,∴OA=OC．点评：此题考查了平行四边形的性质,根据平行四边形的性质得出ED=BF及∠AEO=∠CFO,∠FCO=∠EAO是解答本题的关键．考点四：平行四边形的判定例 5 （•资阳）如图,△ABC是等腰三角形,点D是底边BC上异于BC中点的一个点,∠ADE=∠DAC,DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A．一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B．有一组对边平行的四边形是梯形C．一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形思路分析：已知条件应分析一组边相等,一组角对应相等的四边不是平行四边形,根据全等三角形判定方法得出∠B=∠E,AB=DE,进而得出一组对边相等,一组对角相等的四边形不是平行四边形,得出答案即可．解：A．一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,根据等腰梯形符合要求,得出故此选项错误；B．有一组对边平行的四边形是梯形,若另一组对边也平行,则此四边形是平行四边形,故此选项错误；C．一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形,∵△ABC是等腰三角形,∴AB=AC,∠B=∠C,∵DE=AC,AD=AD,∠ADE=∠DAC,即DE ACADE DAC AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADE≌△DAC,∴∠E=∠C,∴∠B=∠E,AB=DE,但是四边形ABDE不是平行四边形,故一组对边相等,一组对角相等的四边形不是平行四边形,因此C符合题意,故此选项正确；D．对角线相等的四边形是矩形,根据等腰梯形符合要求,得出故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定,结合已知选项,得出已知条件应分析一组边相等,一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键．例6 （•湛江）如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．思路分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF；（2）由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC,又由AE=CF,即可证得DE=BF,然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD,在△ABE和△CDF中,∵AB CDA CAE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵AE=CF,∴AD－AE=BC－CF,即DE=BF,∴四边形BFDE是平行四边形．点评：此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大,注意数形结合思想的应用,注意熟练掌握定理的应用．对应训练5．（•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理；菱形的判定；正方形的判定；命题与定理；轴对称图形；中心对称图形．分析：根据平行四边形的各种判定方法、正方形的各种判定方法、菱形的各种判定方法以及正多边形的轴对称性逐项分析即可．解：①一组对边平行,且一组对角相等,则可以判定另外一组对边也平行,所以该四边形是平行四边形,故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形,也可以是普通的四边形（例如筝形,如图所示）,故该命题错误；③因为矩形的对角线相等,所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线,所以四边相等,所以是菱形,故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形,故该命题错误；所以正确的命题个数为2个,故选B．点评：本题考查菱形的判定,平行四边形的判定以及正方形的判定定理以及真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．（•沈阳）已知,如图,在▱ABCD中,延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF,连接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）先根据平行四边形的性质可得出AD ∥BC ,∠DAB =∠BCD ,再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E =∠F ,∠EAM =∠FCN ,从而利用ASA 可作出证明；（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM ∥DN ,则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠DAB =∠BCD , ∴∠EAM =∠FCN , 又∵AD ∥BC , ∴∠E =∠F ． 在△AEM 与△CFN 中,EAM FCN AE CF E F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AEM ≌△CFN ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥= CD , 又由（1）得AM =CN , ∴BM ∥DN ,∴四边形BMDN 是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定及性质,全等三角形的判定,属于基础题,比较简单．【聚焦山东中考】1．（•烟台）如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案,其形状近似看作为正七边形,则一个内角为度（不取近似值）。