下载文档原格式
目录摘要 (2)关键词 (2)1引言 (2)2预备知识 (2)3二次曲线的分类 (4)4二次曲线方程的化简 (4)4.1中心二次曲线方程的化简 (4)4.2无心二次曲线方程的化简 (7)4.3线心二次曲线方程的化简 (10)参考文献 (12)英文题目 (12)英文摘要 (12)英文关键词 (12)二次曲线方程的化简与作图曾XX 2008111XXXX数学科学学院数学与应用数学专业 2008级汉班指导老师李XX摘要：二次曲线方程的化简是解析几何中的重难点之一，本文简单介绍了二次曲线方程的分类，将其分为中心、无心、线心曲线三类，并运用待定系数法与配方法相结合的方法，详细介绍了这三类曲线方程的化简，并举例进行了说明.关键词：二次曲线、方程、待定系数、化简1引言我们知道，在不同的坐标系下，同一点有不同的坐标，因而同一图形有不同的方程，方程的形式越简单，它的图形的几何性质就越明显.对于给定的图形，我们就需要选取合适的坐标系，使它的方程更简单，这就涉及到方程的化简问题.二次曲线方程的化简与作图是大学空间解析几何的重点内容之一，它也是解析几何中的一个难点.如何把二次方程代表的曲线化简并作图，以便更容易看出方程所代表的二次曲线的类型，确定曲线的性质、形状以及在坐标中的位置，这具有重要的意义。
纵观有关资料对此问题的研究与讨论，给出了以下几种二次曲线方程化简的方法：坐标变化法、主直径法、不变量与半变量法、参数法、配方法、正交配方法、因式分解法等，这些方法各有优劣。
本文经过深入分析有关二次曲线方程化简的知识，在已知二次曲线分类的基础上，通过对二次曲线化简后所得方程以及其图形形状的探索，运用待定系数法与配方法、因式分解法相结合的方法求出二次曲线方程化简过程中所要知道的未知量，从而求出简化方程，为学习二次曲线方程的化简提供了一定的指导.2预备知识定义1 在平面直角坐标系中，由二元二次方程221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= (2221112220a a a ++≠) （1） 表示的曲线称为二次曲线.为了方便起见，引进下面一些记号：22111222132333(,)222F x y a x a xy a y a x a y a =+++++；1111213(,)F x y a x a y a =++； 2122223(,)F x y a x a y a =++； 3132333(,)F x y a x a y a =++；11122I a a =+；1112221122121222a a I a a a a a ==-； 1112133122223132333a a a I a a a a a a =. 定义2 把一个点对于某一坐标系的坐标变换为同一个点对于另外一个坐标系的坐标，这种变换称为坐标变换.设在直角坐标系xoy 里给定了两条互相垂直的直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=如果取直线1l 为新坐标的横轴''o x ，而直线2l 为纵轴''o y ，并设平面上任意点p 的旧坐标与新坐标分别是(,)x y 与''(,)x y ，则由点到直线的距离公式我们有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩去掉绝对值便有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (2)其中正负号的选取要使'x 中的x 与'y 中的y 的系数同号.3二次曲线的分类4二次曲线方程的化简4.1中心二次曲线方程的化简对于中心二次曲线方程的化简，实质上是把坐标轴变换到与二次曲线的对称轴（即主直径）重合的位置，坐标原点与曲线中心重合，因此，对中心二次曲线方程的化简，只要先求出曲线的两条互相垂直的主直径，然后以它们作为新坐标轴，作坐标变换即可化为最简单的形式.设中心二次曲线两条互相垂直的主直径分别a kx y +=与b x k y +-=1，则以主直径为新的x 轴、y 轴可以将原方程化0)1()(22=+-++--C b x ky B a kx y A的形式，这里理论上是可以求出待定系数的，但是比较麻烦，因此我们不妨从主直径入手，先求出主直径的方程，从而得出简化方程.二次曲线的特征方程为0-212=+I I λλ，其特征根为2422112,1I I I -±=λ，如果判别式04)(421222211221=+-=-=∆a a a I I ，那么2211a a =，012=a ，这时的中心曲线为圆（包括点圆、虚圆），它的特征根为一对二重根，)0(2211≠==a a λ，任何方向都是圆的渐进主方向，从而通过圆心的任何直线都是圆的主直径.如果特征方程的判别式04)(421222211221>+-=-=∆a a a I I ，那么特征根为两不等的非零实根1λ、2λ，则由特征根1λ与2λ确定的主方向分别为122211111211:)()(::a a a a Y X -=-=λλ， （3）122221121222:)()(::a a a a Y X -=-=λλ， （4） 从而曲线的主直径为0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与0),(),(2212=+y x F Y y x F X ，从而我们可以将方程（1）化为0)],(),([)],(),([2221222111=++++C y x F Y y x F X B y x F Y y x F X A （5） 把他与方程（1）的系数作比较，从而可以求出待定系数C B A ，，的值.现在我们把直线0),(),(2111=+y x F Y y x F X 作为新坐标的x 轴，把直线0),(),(2212=+y x F Y y x F X 作为新坐标的y 轴，这里需要注意，一般我们常将斜率大于0的主直径作为新坐标的x 轴，以确保在旋转变换时，其转角θ为锐角.假设两主直径方程中，y x 、的系数分别为11B A 、与22B A 、，作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=，，)],(),([1)],(),([121112121'22122222'y x F Y y x F X B A y y x F Y y x F X B A x （6）则二次曲线方程（1）可以化为0)()(2'21212'2222=++++C y B A B x B A A做适当变换即可得到下列五种曲线中的一种形式：[1]12222=+b y a x (椭圆)；[2] 12222-=+by a x （虚椭圆）；[3] 12222=-by a x （双曲线）；[4] 02222=+by a x （点或者相交于实点的共轭虚直线）；[5] 02222=-by a x （两相交直线）.例1 化简二次曲线方程01616854822=--+++y x y xy x ，并作出它的图形.解 因为0365228135821≠===+=I I ，，所以曲线为中心二次曲线，曲线的特征方程是03613-2=+λλ，解得两特征根为，，942,1==λλ因而由公式（3）与（4）知，曲线的两个主方向为）（2-:1)84(:2:11=-=Y X 1:28-9:2:22==）（Y X曲线的两主直径为0)852(2428=-+-++y x y x ）（与 0)852()428(2=-++++y x y x ， 即 052=+-y x 与02=+y x .设原方程可以化为0)2()52(22=++++-C y x B y x A ，与原方程系数比较可得365954-===C B A ，，，由（6），作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=),52(51-),2(51''y x y y x x 则原方程可化为036942'2'=-+x y ，化为标准方程得1942'2'=+y x ， 这是椭圆，图形如图一所示4.2无心二次曲线方程的化简由二次曲线的分类我们知道无心二次曲线可以化为02''132''22=+x a y a 的形式，设对任意给定的无心二次曲线方程可以表示为：0)()(2=+-+++b y kx B a ky x A的形式，展开得0)()2()2(22222=++-+++++bB A a y B aAk x Bk aA y Ak Akxy Ax ，将其待定系数与方程（1）对比，我们可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+==,,22,22,22,33223131211a bB A a a B aAk a Bk aA a kA a A 解之得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-+=+-=++==,,))((2)()(,2,,112122112311131211223121311112212211332122112311131211212211231213111112a A a a a a a a a a a a a a a a a b a a a a a a a B a a a a a a a a a k （7） 现在我们分别把直线0=++a ky x 与直线0=+-b y kx 作为新坐标的x 轴、y 轴，同样的，一般我们常将斜率大于0的直线作为新坐标的x 轴，以确保'x 轴与x 轴的夹角为锐角。
二次曲线- 二次曲线二次曲线- 正文也称圆锥曲线或圆锥截线，是直圆锥面的两腔被一平面所截而得的曲线。
当截面不通过锥面的顶点时，曲线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线。
当截面通过锥面的顶点时，曲线退缩成一点、一直线或二相交直线。
在截面上的直角坐标系(x,y)之下,这些曲线的方程是x,y 的二元二次方程：。
若截面不通过锥面的顶点，令截面与锥面轴线所成的角为θ,锥面的半顶角为α，则当时，所截曲线为圆；当时，截面与锥面的所有母线都相交,所截曲线为椭圆；当θ=α时，截面与锥面的一条母线平行，所截曲线为抛物线；当0≤θ<α时,截面与锥面的两条母线平行，所截曲线为双曲线。
焦点与准线如果圆锥曲线不是圆，则在圆锥曲线所在的平面上存在一定点和一定直线，使得圆锥曲线上任何一点到该定点和定直线的距离之比为常数，这个定点称为圆锥曲线的焦点，定直线称为圆锥曲线的准线。
为了得到焦点与准线，只需作一个球面内切于圆锥面并同时与圆锥曲线所在的平面σ相切。
设球面与平面σ相切于点F，球面与圆锥面相切于一个圆,这个圆所在的平面为ω，ω与σ相交于直线l，则点F，就是焦点，直线l就是准线（图1）。
二次曲线二次曲线这时,圆锥曲线上任意一点P到焦点F的距离｜PF｜与到准线l的距离｜PD｜之比为：。
其中θ,α都与P在曲线上的位置无关，所以是常数。
这个常数称为圆锥曲线的离心率，记为e。
当截线是椭圆时，e<1；当截线是双曲线时，e>1；当截线是抛物线时，e=1。
对于椭圆或双曲线，存在两个合于以上要求的球面，因此椭圆或双曲线都有两个焦点与两条准线。
每个焦点与其相应的准线都有上述性质。
抛物线只有一个焦点与一条准线。
若椭圆的两个焦点为F1,F2。
如图2所示的球面与圆锥面相切的圆为C1,C2。
这时对于椭圆上任意一点P，令通过P的母线OP（O为圆锥面的顶点）与C1、C2的交点分别为A、B。
则P 到F1的距离｜PF1｜与P到F2的距离｜PF2｜之和为｜PF1｜｜PF2｜=｜P A｜｜PB｜=｜AB｜。
目录摘要 (1)0引言 (1)1二次曲线的化简 (1)1.1通过移轴化简二次曲线 (2)1.2利用不变量化简二次曲线 (3)1.3利用正交变换来化简二次曲线 (4)2二次曲线的性质 (7)2.1二次曲线的曲率 (7)2.1.1椭圆的曲率及性质 (7)2.1.2抛物线的曲率及性质 (8)2.1.3双曲线的曲率及性质 (8)2.2二次曲线的重要性质 (9)2.2.1椭圆中的定值 (9)2.2.2双曲线的定值 (9)2.2.3抛物线的定值 (10)3二次曲线的应用 (10)3.1二次曲线的光学性质 (10)3.1.1抛物线的光学性质 (10)3.1.2椭圆,双曲线的光学性质 (12)参考文献 (13)Abstract (13)二次曲线的化简、性质及应用作者:——指导老师:——摘要:本文将化简二次曲线的几种常用方法进行归总结,并着重强调强调用正交合同变换来化简二次曲线.实现解析几何与高等代数的结合.并进一步总结出二次曲线的一些性质和应用.关键词:正交变换;曲率;光学性质0 引言二次曲线与我们的生活密切相关,它们的某些性质在生产、生活中被广泛应用.一般二次曲线的化简、性质及应用是平面解析几何的中心研究课题, 如何将二次曲线方程进行化简, 是二次曲线一般理论的主要问题之一.参考文献[1]中讲述了两种方法,一是利用移轴与转轴来化简二次曲线, 这种方法的实质是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置,它的优点在于不需要用高等代数知识.缺点是不能一步到位,且化简过程较为复杂.二是利用不变量与半不变量方法.先计算出二次曲线的不变量和半不变量,然后可判断已知曲线为何种曲线,同时也可直接求出它的简化方程.此法的优点是快捷,但无法画出二次曲线的图形.针对以上两种方法的优缺点,利用参考文献[2]中二次曲线与二次型的关系,应用高等代数有关理论化简欧式平面上二次曲线方程为标准方程,通过举例说明化简二次曲线方程为标准方程的方法过程及应用的有关高等代数知识,阐述了高等代数指导学习其他几何学的意义.对于二次曲线的性质,通过查看各种资料将二次曲线的一些重要性质进行了系统的归纳总结.1 二次曲线的化简我们知道二次型理论源于化二次曲线和二次曲面为标准形式的问题,其理论在数学和物理学中都有重要的应用.任一个实对称矩阵都可化为对角形,则任一条二次曲线可通过坐标变换化为标准形式.化二次型为标准型通常有合同变换和特征根两种方法.相应的二次曲线就可通过合同变换和正交变换来化简. 1.1 通过移轴化简二次曲线我们知道如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为(),x y 与(),x y '',那么移轴公式为00x x x y y y '=+⎧⎨'=+⎩,式中()00,x y 为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标.转轴公式为cos sin sin cos x x y y x y αααα''=-⎧⎨''=+⎩,式中的α为坐标轴的旋转角.例1 化简二次曲线方程2244y 12y 10x xy x +++-+=解 因为二次曲线的方程含有xy 项,因此我们可以先通过转轴消去xy 项.设旋转角为α,那么由112212cot 22a a a α-=得3cot 24α=- 即21tan 32tan 4αα-=- 所以 22tan 3tan 20αα--=,从而得tan α=-21或2.取tan α=2,那么 αsin =52,cos α=51,所以得转轴公式为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='-'=y x y y x x 251251代入原方程化简整理得转轴后的新方程为5x '2+25x '-55y '+1=0.利用配方是上式化为,05552='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'y x再作移轴⎪⎩⎪⎨⎧''='-''='y y x x 55 ,曲线方程化为最简形式:x ''2-5y ''=0.因此,上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线的方法,实际上是把坐标轴变换与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置.如果是中心曲线,坐标原点与曲线的中心重合；如果是线心二次曲线,坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合.因此,二次曲线方程的化简,只要先求出曲线的主直径,然后以它作为新的坐标轴,作坐标变换即可[]1. 1.2 利用不变量化简二次曲线二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a ≡+++++=由参考文献[1]我们知道,二次曲线在直角坐标变换下,有三个不变 量123,,I I I ,与一个半不变量1K ：11122I a a =+,111221222a a I a a =,1112133122223132333a a a I a a a a a a =,11132223113332333a a a a K a a a a =+例2 求二次曲线2256540x xy y -+-+-=的简化方程.解 因为I 1=10 I 2=16 I 3=-128.所以23I I =16128-=-8, 而特征方程2λ-10λ+16=0的两根为1λ=2,2λ=8, 所以曲线的简化方程为:2x 2+8y 2-8=0,曲线的标准方程为11422=+y x ,这是一个椭圆.以上1.1和1.2是用通常的方法化简二次曲线,现在我们用二次型的理论来求解化简二次曲线.1.3 利用正交变换来化简二次曲线我们知道,因为任意实二次型()12,,1,,nn ij i j i j f x x x a x x X AX ='==∑L ,()12,,,n X x x x '=L ,()ij n n A a ⨯=都可以用正交变换化为平方和2221122n n f y y y λλλ=+++ ,这里i λ()1,2,,i n = 是A 的全部特征值.利用高等代数里面所学的相关知识,化一个二次型为标准型通常用的方法是特征根法,相应的将一条二次曲线化为标准型可以用正交变换,用它来化简出的标准型是唯一的.从而离心率、面积、双曲线的渐近线及其斜率等性质都可以知道,有利于研究曲线的几何性质. 例3 化简二次曲线22240x xy y x y -++-= 解 因为 I 2=1-41=43≠0 所以曲线为中心二次曲线.解()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-==+-=0221,0121,21y x y x F y x y x F 得中心坐标为()2,0,取()2,0为新原点 作移轴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11002100011y x y x 则原方程变为: []2211121001001,,1010120124020210011120x x y y x x y y ⎡⎤-⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''''''--=-+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦现在的二次型为11021102004A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求出矩阵112112B ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的特征值为132λ=,212λ=. 对于132λ=,其单位正交的基础解系为, 对于212λ=,其单位正交的基础解系为,作0001T ⎤⎥⎥⎥=⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,转轴公式11x x y T y '''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'''=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,化为22134022x y ''''+-= 所以标准方程为:2211883x y -''''+=⨯ 例5 化简二次曲线22120x xy y ++-+= 解 因为式子中的二次项构成了实二次型()22,12f x y x xy y =++ 它的矩阵 1661A =,其特征多项式为:()()()167561f E A λλλλλλ--=-==-+-- 即A 的特征值17λ=,25λ=-当17λ=,25λ=-时A 的特征向量分别为()11,1α=,()21,1α=-单位化得1β=,2β⎛= ⎝以12,ββ为列向量作正交矩阵Q =⎥⎥⎦,正交变换为x x y y x y ⎧''=⎪⎪⎨⎪''=+⎪⎩带入原方程得227580x y y '''-+= 再进行配方移轴可得标准方程:2216755x y ''''-=-(双曲线). 例6 求二次曲线222840x xy y x ++-+=标准方程[]3解 二次曲线的矩阵形式[]114,,111004041x x y y -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦易知该曲线的主直径方程为20x y +-= 所以曲线与主直径的交点为()1,1.又因为20I =,所以20E I λ-=得12λ=,20λ=.当12λ=,20λ=时,其特征向量分别()11,1α=,()21,1α=-.史密特正交化得1β=,2β⎛= ⎝则令Q =⎥⎥⎦作正交变换11x x Q y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 可化简为()01114,,10110104041111001x x y y ⎛⎫⎫⎪⎪'⎪⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪'''= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得2x =-（抛物线）.2 二次曲线的性质2.1 二次曲线的曲率在解析几何中,我们学习了曲线论,知道曲线在平面中的一些性质,我们学习了如何用曲线的主直径,渐近线,渐进方向和曲线的中心来刻画曲线的性质.而在微分几何中我们进一步学习了曲线在空间中的性质,我们用曲率[]4来刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度.我们知道二次曲线的三大代表类型有椭圆、抛物线、双曲线,现在我们由曲率来推导一些二次曲线的性质. 2.1.1椭圆的曲率及性质椭圆的方程为22221x y a b +=,可得其参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩则椭圆可表为()()cos ,sin ,0r a b θθθ=uuuu r ,()()cos ,sin ,0r a b θθθ''=--uuuuu r则()()()123sin cos 00,0,cos sin 0e e e r r a b ab a b θθθθθθ'''⨯=-=--u r u r u r uuuu r uuuuu r又因为曲线的曲率方程为()()3322222sin cos r r abk r a b θθθ'''⨯=='⋅+⋅u r u r u r 因为椭圆的对称性,现在只考虑y 轴上半轴. 再判断椭圆曲率的单调性,不妨先设a b >,()()()()22352222222222sin 232sin cos sin cos a b ab k a b a b θθθθθθ'⎛⎫--⎪'== ⎪ ⎪⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭⑴ 当a b >时02θπ<< sin 20θ>,()k θ'<0 所以()k θ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数;22πθπ<<sin 20θ<,()k θ'<0,所以()k θ在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为增函数.由以上可知当θ=2π时,椭圆的弯曲程度是最小的为22bk aπ⎛⎫= ⎪⎝⎭;当θ=0或π时,椭圆的弯曲程度是最大的为()2ak b π=. ⑵当a=b 时,易知()k θ'=0,即曲线的弯曲程度是一样的.也就是曲线为圆.这一结论与椭圆图形的性质相符. 2.1.2 抛物线的曲率及性质抛物线的方程为22y px =,则其参数表示为222x pt y pt ⎧=⎨=⎩则抛物线在空间的参数表示:()()22,2,0r t pt pt =uuu r,()()4,2,0r t pt p '=uuuu r , ()()4,0,0r t p ''=uuuu r ,()()()20,0,8r t r t p '''⨯=-uuuu r uuuu r所以()()()2333322228181414r r p k t r p t p t '''⨯-==='⋅+⋅+u r u r u r 因为双曲线的对称性,现只考虑x 轴上半部分. 由()k t 的表达式可得如下结论:当t=0时, ()k t 最大即在()0,0点曲线的弯曲程度最大.随着t 的增加,曲线的弯曲程度逐渐减小;当t →∞时, ()0k t →即曲线近似没有弯曲.此结论在p>0或p<0都是成立的. 2.1.3 双曲线的曲率及性质令双曲线的方程为22221x y a b -=,其参数方程表示为sec tan x a y b θθ=⋅⎧⎨=⋅⎩,双曲线在空间的参数表示为()()sec ,tan ,0r a b θθθ=⋅⋅uuuu r.则()22sin ,,0cos cos a b r θθθθ⋅⎛⎫'= ⎪⎝⎭uuuur ,()()2331sin 2sin ,,0cos cos a b r θθθθθ⎛⎫⋅+⋅'' ⎪= ⎪⎝⎭uuuuu r 可得()()30,0,cos ab r r θθθ⎛⎫'''⨯=- ⎪⎝⎭uuuu r uuuuu r 双曲线的曲率,(因为曲率恒为正)()k θ=()3332222cos sin ab ab abθθ⋅=+.所以可的以下结论当cos 0θ>时,即在x 的正半轴,弯曲程度最大是在cos θ=1时双曲线的曲率()2ak b θ=,又因为双曲线是中心对称,所以在x 的负半轴最大弯曲程度仍为2ab.2.2 二次曲线的重要性质首先规定,当二次曲线给定后这二次曲线中不改变的量,成为这二次曲线的定值.研究发现,二次曲线中有很多定值.现在我们把它们总结在一起.2.2.1 椭圆中的定值[]5 例 1(ⅰ)椭圆的两个焦点到它的任一切线的距离之积,为定值. (ⅱ)过椭圆长轴端点的两条切线,夹在长轴与任一切线间的线段的积为一定值.(ⅲ)椭圆中互相垂直的两半直径的倒数平方和为定值. (ⅳ)椭圆的任意两共轭直径长的平方和为定值. 2.2.2 双曲线的定值[]6 例 2(ⅰ)双曲线上任一点到两条渐近线距离之积是定值.(ⅱ)双曲线准线上任一点到两焦点距离平方差的绝对值为一定值.(ⅲ)以双曲线两共轭直径的端点为顶点的四边形,这四边形是平行四边形且面积为定值.﹙ⅳ﹚双曲线任一焦点弦的两个端点到焦点的距离的倒数和为一定值.2.2.3 抛物线的定值[]7例 3(ⅰ)过抛物线对称轴上一定点的任一弦的端点到这对称轴的距离之积为常数.(ⅱ) 抛物线任一焦点弦两个端点到焦点的距离倒数之和为一定值.3 二次曲线的应用3.1 二次曲线的光学性质细心发现,生活中充满着二次曲线的影子.比如我们把汽车的镜前灯卸掉,会发现它是一个抛物面,而抛物面是由抛物线的旋转得到的,那么抛物线等二次曲线有什么光学性质呢？3.1.1 抛物线的光学性质如图一,设抛物线的焦距为f,焦点(),0F f.那么易得抛物线的方程为24y fx=.设从焦点F发出的光线与抛物线交与2,2mP mf⎛⎫⎪⎝⎭.不妨设m>0,则py=由导数公式算出P处切线斜率:p pfk ym'====根据光的反射性质,反射面切线平分入射光线与反射光线的夹角[]8.当PF斜率不存在时,(),2p f f ,P处的切线斜率为1,因此反射光线斜率为0.即反射光线平行于x轴.当PF 斜率存在时(设为1k ),则122222m m fk m m f f f⋅==--,因为222222tan 21p fm fm f m f mθ⋅==--.因此1tan 2p k θ=.即PF 仰角为P 点处切线仰角的两倍,因此反射光线PQ 与x 轴平行. 因此,二次曲线的一条重要的光学性质:从抛物线焦点处发出的光线,经抛物线反射后,反射光线平行于抛物线主光轴.由于光路可逆,平行于抛物线的主光轴光线经过抛物线反射后,反射光线所在的直线会聚于焦点.根据这个性质,可以制作抛物线形状的镜子-凸面镜和凹面镜. 如图二,当物体A,B 位于主轴附近时,可近似的认为PO 垂直OA而AB PO OF fA B A B FA v f==='''''-,又因为AB u A B v ='' 因此f uv f v=- 因此面镜成像与透镜有相似的性质:(v<0为虚像,凹面镜f<0)111f u v=+ (u:物距,v:像距) 凸面镜与凹透镜相似,总能形成正立,缩小的虚像(因为f<0);凹面镜成像与凸透镜相似,当u<f 时呈正立,放大的虚像,当u=f 时不成像,当f<u<2f 时呈倒立,放大的实像,当u=2f 时呈倒立等大的实像,当u>2f 时呈倒立缩小的实像.抛物线的光学性质非常有用,前面提到的汽车前灯,就是灯泡装在抛物面的焦点处,用平行光线照亮路面;太阳能热水灶的原理就是利用巨大的抛物面聚集日光来加热;将光线通过红宝石激光器可得激光,这通常需要大量的红宝石,而如果用凹面镜把光线聚集起来,则可大大减少红宝石的用量[]9. 3.1.2 椭圆,双曲线的光学性质抛物线有奇特的光学性质,同样椭圆双曲线也有一些光学性质:从椭圆或双曲线的一个焦点发射的光线,经反射后,反射光线所在的直线过另一个焦点[]10.如图三,设双曲线方程为22221y x b a-=,取它x 轴以上的部分,则它是一个函数图像.y b =焦点(1F,(20,F取双曲线上任意一点P(P 不在y 轴上),设(),P m n ,则 P 点处切线斜率: p b k a ⎛⎫=⋅=1PF 斜率: 111F p F p y y b a k x x a m-==-⋅1PF 斜率: 222Fp F p y y k x x -==-因此可以求出1PF 与2PF 仰角之和(设为α)的正切值:1222422122tan 1k k a b m k k a m a b m α+⋅⋅==-⋅⋅+-⋅ 也可求出P 点处切线仰角p θ二倍角的正切值:22tan 21p p p k k θ==-因此tan 2tan p θα=,即2p αθ=因此P 点处切线平分1PF 与2PF 的夹角.即从一个焦点处发出的光线经双曲线反射后,反射光线所在直线过另一个焦点.同样也能证明:从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点.参 考 文 献[1] 吕林根．《解析几何》[M].北京:高等教育出版社,2006.4. [2] 王萼芳．《高等代数》[M].北京:高等教育出版社,2007.11.[3]徐光顺．二次曲线度量分类中的标准方程[J].高等函授学报(自然科学版),2010,10(4):223-224. [4] 梅向明．《微分几何》[M]. 北京:高等教育出版社,2008,5.[5] 姜衡年.二次曲线的定值[J]. 昆明师专学报(自然科学版),10(1):254-255. [6]二次曲线的一个重要性质及其应用[J].数学教学,2007.2（26）[7]非退化二次曲线的另一类分类及其性质[J].数学学报,数学教学,2007.2（26）:24-25[8] 百度文库 http///《奥数教程》,2011,3 [9]何郁波.线性代数中二次型应用的研究[J].怀化学院学报,2009,2（28）：30-35.[10] 李尔源．二次曲线的判定、化简及作图[J]. 绍兴文理学院报,2001,21(4):34-37Simplification, properties and applications of the second curveREN Li-juanAbstract:This will simplify the second curve and be summarized in several ways.And to highlight the way of using the contract and the orthogonal transformation to simplify the simple quadratic curve.To achieve a combination of analytic geometry and advanced algebra.And further summarizes some properties of quadratic curves and applications.Key words: Orthogonal change;Curvature;Optical properties.。
二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。
它由二次方程所表示，是平面上的曲线。
在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。
二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。
在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。
在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。
在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。
本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。
我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。
通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。
接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。
然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。
最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。
在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。
无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。
文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。
其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。
1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。
最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。
221340;x ktx y xy y y k t=+⎧+--=⎨=+⎩与二次曲线交于一点{}{}()()00,,1,,1,v X Y k x y k ===r第五章 二次曲线的一般理论§5.1 二次曲线与直线的相关位置1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得()()()222112110,00x x x x x x --------==即故直线在二次曲线上.2.试决定k 的值,使得(1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点;(2) 直线(3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点;(4) 已知直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩ 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k的值解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得()()22250245041604,x x k k k k -++>--+>-->∴<-Q 时直线与二次曲线有两个不同的实交点.(2). 二次曲线的矩阵为12231/201/20----且 .()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120,k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2210,11210,650,4k k k k ∆=+---=-+=即即{}{}()()00,,1,,1,0,v X Y k x y ==r121,5,k k ==()22211,2011011X Y X XY Y X Y I φ=++==-==Q 时，：：，同时，()()()()()21211002002100200430,1,3,11).1,,10,2132).3,,,150,21,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为11011(1)/20(1)/21k k -----且令解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点.(4). 二次曲线的系数矩阵为221/2211/21k----且:1:(1)X Y =-取00(,)(1,1),0,x y =<V 令即27[(1)(1)](2)(3)02k k k ++---+<解得 4924k >，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 4924k ∴>时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。
