二次曲线化简的方法

目录摘要 (2)关键词 (2)1引言 (2)2预备知识 (2)3二次曲线的分类 (4)4二次曲线方程的化简 (4)4.1中心二次曲线方程的化简 (4)4.2无心二次曲线方程的化简 (7)4.3线心二次曲线方程的化简 (10)参考文献 (12)英文题目 (12)英文摘要 (12)英文关键词 (12)二次曲线方程的化简与作图曾XX 2008111XXXX数学科学学院数学与应用数学专业 2008级汉班指导老师李XX摘要：二次曲线方程的化简是解析几何中的重难点之一，本文简单介绍了二次曲线方程的分类，将其分为中心、无心、线心曲线三类，并运用待定系数法与配方法相结合的方法，详细介绍了这三类曲线方程的化简，并举例进行了说明.关键词：二次曲线、方程、待定系数、化简1引言我们知道，在不同的坐标系下，同一点有不同的坐标，因而同一图形有不同的方程，方程的形式越简单，它的图形的几何性质就越明显.对于给定的图形，我们就需要选取合适的坐标系，使它的方程更简单，这就涉及到方程的化简问题.二次曲线方程的化简与作图是大学空间解析几何的重点内容之一，它也是解析几何中的一个难点.如何把二次方程代表的曲线化简并作图，以便更容易看出方程所代表的二次曲线的类型，确定曲线的性质、形状以及在坐标中的位置，这具有重要的意义。

纵观有关资料对此问题的研究与讨论，给出了以下几种二次曲线方程化简的方法：坐标变化法、主直径法、不变量与半变量法、参数法、配方法、正交配方法、因式分解法等，这些方法各有优劣。

本文经过深入分析有关二次曲线方程化简的知识，在已知二次曲线分类的基础上，通过对二次曲线化简后所得方程以及其图形形状的探索，运用待定系数法与配方法、因式分解法相结合的方法求出二次曲线方程化简过程中所要知道的未知量，从而求出简化方程，为学习二次曲线方程的化简提供了一定的指导.2预备知识定义1 在平面直角坐标系中，由二元二次方程221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++= (2221112220a a a ++≠) （1） 表示的曲线称为二次曲线.为了方便起见，引进下面一些记号：22111222132333(,)222F x y a x a xy a y a x a y a =+++++；1111213(,)F x y a x a y a =++； 2122223(,)F x y a x a y a =++； 3132333(,)F x y a x a y a =++；11122I a a =+；1112221122121222a a I a a a a a ==-； 1112133122223132333a a a I a a a a a a =. 定义2 把一个点对于某一坐标系的坐标变换为同一个点对于另外一个坐标系的坐标，这种变换称为坐标变换.设在直角坐标系xoy 里给定了两条互相垂直的直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=如果取直线1l 为新坐标的横轴''o x ，而直线2l 为纵轴''o y ，并设平面上任意点p 的旧坐标与新坐标分别是(,)x y 与''(,)x y ，则由点到直线的距离公式我们有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩去掉绝对值便有''x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (2)其中正负号的选取要使'x 中的x 与'y 中的y 的系数同号.3二次曲线的分类4二次曲线方程的化简4.1中心二次曲线方程的化简对于中心二次曲线方程的化简，实质上是把坐标轴变换到与二次曲线的对称轴（即主直径）重合的位置，坐标原点与曲线中心重合，因此，对中心二次曲线方程的化简，只要先求出曲线的两条互相垂直的主直径，然后以它们作为新坐标轴，作坐标变换即可化为最简单的形式.设中心二次曲线两条互相垂直的主直径分别a kx y +=与b x k y +-=1，则以主直径为新的x 轴、y 轴可以将原方程化0)1()(22=+-++--C b x ky B a kx y A的形式，这里理论上是可以求出待定系数的，但是比较麻烦，因此我们不妨从主直径入手，先求出主直径的方程，从而得出简化方程.二次曲线的特征方程为0-212=+I I λλ，其特征根为2422112,1I I I -±=λ，如果判别式04)(421222211221=+-=-=∆a a a I I ，那么2211a a =，012=a ，这时的中心曲线为圆（包括点圆、虚圆），它的特征根为一对二重根，)0(2211≠==a a λ，任何方向都是圆的渐进主方向，从而通过圆心的任何直线都是圆的主直径.如果特征方程的判别式04)(421222211221>+-=-=∆a a a I I ，那么特征根为两不等的非零实根1λ、2λ，则由特征根1λ与2λ确定的主方向分别为122211111211:)()(::a a a a Y X -=-=λλ， （3）122221121222:)()(::a a a a Y X -=-=λλ， （4） 从而曲线的主直径为0),(),(2111=+y x F Y y x F X 与0),(),(2212=+y x F Y y x F X ，从而我们可以将方程（1）化为0)],(),([)],(),([2221222111=++++C y x F Y y x F X B y x F Y y x F X A （5） 把他与方程（1）的系数作比较，从而可以求出待定系数C B A ，，的值.现在我们把直线0),(),(2111=+y x F Y y x F X 作为新坐标的x 轴，把直线0),(),(2212=+y x F Y y x F X 作为新坐标的y 轴，这里需要注意，一般我们常将斜率大于0的主直径作为新坐标的x 轴，以确保在旋转变换时，其转角θ为锐角.假设两主直径方程中，y x 、的系数分别为11B A 、与22B A 、，作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=，，)],(),([1)],(),([121112121'22122222'y x F Y y x F X B A y y x F Y y x F X B A x （6）则二次曲线方程（1）可以化为0)()(2'21212'2222=++++C y B A B x B A A做适当变换即可得到下列五种曲线中的一种形式：[1]12222=+b y a x (椭圆)；[2] 12222-=+by a x （虚椭圆）；[3] 12222=-by a x （双曲线）；[4] 02222=+by a x （点或者相交于实点的共轭虚直线）；[5] 02222=-by a x （两相交直线）.例1 化简二次曲线方程01616854822=--+++y x y xy x ，并作出它的图形.解 因为0365228135821≠===+=I I ，，所以曲线为中心二次曲线，曲线的特征方程是03613-2=+λλ，解得两特征根为，，942,1==λλ因而由公式（3）与（4）知，曲线的两个主方向为）（2-:1)84(:2:11=-=Y X 1:28-9:2:22==）（Y X曲线的两主直径为0)852(2428=-+-++y x y x ）（与 0)852()428(2=-++++y x y x ， 即 052=+-y x 与02=+y x .设原方程可以化为0)2()52(22=++++-C y x B y x A ，与原方程系数比较可得365954-===C B A ，，，由（6），作变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=),52(51-),2(51''y x y y x x 则原方程可化为036942'2'=-+x y ，化为标准方程得1942'2'=+y x ， 这是椭圆，图形如图一所示4.2无心二次曲线方程的化简由二次曲线的分类我们知道无心二次曲线可以化为02''132''22=+x a y a 的形式，设对任意给定的无心二次曲线方程可以表示为：0)()(2=+-+++b y kx B a ky x A的形式，展开得0)()2()2(22222=++-+++++bB A a y B aAk x Bk aA y Ak Akxy Ax ，将其待定系数与方程（1）对比，我们可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+==,,22,22,22,33223131211a bB A a a B aAk a Bk aA a kA a A 解之得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-+=+-=++==,,))((2)()(,2,,112122112311131211223121311112212211332122112311131211212211231213111112a A a a a a a a a a a a a a a a a b a a a a a a a B a a a a a a a a a k （7） 现在我们分别把直线0=++a ky x 与直线0=+-b y kx 作为新坐标的x 轴、y 轴，同样的，一般我们常将斜率大于0的直线作为新坐标的x 轴，以确保'x 轴与x 轴的夹角为锐角。

目录摘要 (1)0引言 (1)1二次曲线的化简 (1)1.1通过移轴化简二次曲线 (2)1。

2利用不变量化简二次曲线 (3)1.3利用正交变换来化简二次曲线 (4)2二次曲线的性质 (7)2。

1二次曲线的曲率 (7)2.1。

1椭圆的曲率及性质 (7)2.1。

2抛物线的曲率及性质 (8)2.1.3双曲线的曲率及性质 (8)2。

2二次曲线的重要性质 (9)2。

2。

1椭圆中的定值 (9)2。

2。

2双曲线的定值 (9)2。

2.3抛物线的定值 (10)3二次曲线的应用 (10)3。

1二次曲线的光学性质 (10)3.1.1抛物线的光学性质 (10)3.1。

2椭圆，双曲线的光学性质 (12)参考文献 (13)Abstract (13)二次曲线的化简、性质及应用作者:—-指导老师：——摘要：本文将化简二次曲线的几种常用方法进行归总结,并着重强调强调用正交合同变换来化简二次曲线.实现解析几何与高等代数的结合.并进一步总结出二次曲线的一些性质和应用。

关键词：正交变换;曲率;光学性质0 引言二次曲线与我们的生活密切相关，它们的某些性质在生产、生活中被广泛应用。

一般二次曲线的化简、性质及应用是平面解析几何的中心研究课题，如何将二次曲线方程进行化简, 是二次曲线一般理论的主要问题之一.参考文献[1]中讲述了两种方法,一是利用移轴与转轴来化简二次曲线, 这种方法的实质是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径重合的位置，它的优点在于不需要用高等代数知识.缺点是不能一步到位，且化简过程较为复杂。

二是利用不变量与半不变量方法。

先计算出二次曲线的不变量和半不变量，然后可判断已知曲线为何种曲线，同时也可直接求出它的简化方程.此法的优点是快捷，但无法画出二次曲线的图形。

针对以上两种方法的优缺点，利用参考文献［2]中二次曲线与二次型的关系,应用高等代数有关理论化简欧式平面上二次曲线方程为标准方程，通过举例说明化简二次曲线方程为标准方程的方法过程及应用的有关高等代数知识,阐述了高等代数指导学习其他几何学的意义。

二次曲线方程是指以二次项和常数项的多项式形式构成的曲线。

它的一般模式是，形式为$ax^2+bx+c=0$。

这里$a,b,c$是实数或复数，且$a≠0$。

一般而言，根据$ax^2+bx+c=0$中存在二次项次级导数存在不变加（减）点，这样的曲线叫做二次曲线。

根据方程的性质，可以将二次曲线分为以下几类：（1）抛物线：当$a>0$时，$ax^2+bx+c=0$为一抛物线，其两根为$x=-\frac{b}{2a}±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$，抛物线两端形状分别为拱顶和顶点，且$x_1<x_2$；（2）拉普拉斯曲线：当$a<0$时，$ax^2+bx+c=0$为一拉普拉斯曲线，其根绝无，拉普拉斯曲线两端形状分别为顶点和拱底，拉普拉斯曲线不具有实根；（3）直线：当$a=0$时，$bx+c=0$成立，这是一条直线，其根为$x=-\frac{c}{b}$，直线有一定的斜率；（4）静止：当$a,b,c$均为0时，$ax^2+bx+c=0$成立，这是一条不动线，一般由于不符合实际需求，所以不会出现。

二次曲线方程的化简仅到这四类，不能太具体。

而根据方程$ax^2+bx+c=0$的模式，可以将方程化简为$y=ax^2+bx+c$，并通过幂级数法作变换，得出其他分类，如可采用二次型$y=a(x-h)^2+k$，或一般型$y=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$，或极坐标$(r,\theta )=acos2\theta+bsin2\theta +c$。

总而言之，二次曲线方程是以二次项和常数项的多项式形式构成的曲线，可分为抛物线、拉普拉斯曲线、直线和静止；而方程的化简还可采用二次型、一般型和极坐标等方式。

§7 二次曲线方程的化简与分类一 方程的化简：1 中心曲线方程的化简：对中心曲线F （x,y ）=0，令O ′（0x ，0y ）为其中心，若将坐标原点平移至O ′，则新方程中将不含一次项，再选取适当的θ角，作旋转变换，还可消去方程中的交叉乘积项，最终中心曲线的方程可化简为033222211='+''+''a y a x a （1）由于022112≠''='a a I ， ∴''2211,a a 全不为0，从而中心曲线（1）关于新系的x ′， y ′轴对称，即以中心曲线的二主直径作为坐标轴建立新坐标系时，则曲线的方程便简化为（1）例1：化简二次曲线方程x ²-xy+y ²+4x-2y=0解：所给二次曲线的二主直径为x+y+2=0 ，x-y+2=0 取坐标变换公式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='-+=')2(21)2(21y x y y x x 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'='-'=2)(21)(21y x y y x x代入原方程有x ′²+3y ′²-8=0即138822='+'y x 2 无心曲线方程的化简：对无心曲线F （x,y ）=0，选取适当的θ角作旋转变换，可消去方程中的交叉乘积项，即 方程简化为022332313222211='+''+''+''+''a y a x a y a x a由于02211=''a a ∴''2211,a a 有且仅有一为0，不妨设'11a =0 ，再配方有 0)(2)(0132022='+''+'+''x x a y y a作平移⎪⎩⎪⎨⎧'+'='''+'=''00y y y x x x则方程最终简化为0213222=''"+''"x a y a （2）由于 231322121211:::a a a a a a ≠= ∴013≠"a从而无心曲线（2）关于x ″轴对称，即x ″轴是其一主直径，且x ″州与曲线的交点是新坐标系的坐标原点。

山西师范大学现代文理学院（数计系）毕业论文论文题目：二次曲线方程的化简与应用学生姓名：刘彦雪学号： 1290110415专业：数学与应用数学班级： 1204班指导教师：范青龙二零一四年十一月四号目录摘要 (2)（一）、二次曲线的相关定义 (2)（二）、平面直角坐标变换 (3)2.1二次曲线方程的化简与分类 (3)2.2 利用系数的影响规律化简方程 ............................................... 错误!未定义书签。

（三）、应用举例.. (7)（四）、结束语 (10)参考文献 (11)二次曲线方程的化简与应用刘彦雪摘要二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是教学的一个难点，这方面的研究文献较多，分别总结出很多有效的方法。

文献给出了通过对二次曲线方程配方变形、直角坐标变换对二次曲线方程进行分类、化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数t 的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系的平移,旋转对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定图形具体位置等问题.本论文首先对定义进行归纳总结，运用验证类比以及大量的举例对二次曲线化简作了说明，其次给出了一些方法和过程及证明，然后作出了归纳总结。

关键词 定义； 二次曲线； 平面直角坐标变换（一）、相关定义1.1.在平面上，由二元二次方程()22111222132333,2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++= 所表示的曲线,叫做二次曲线.1.2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.1.3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换.1.4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量. 1.5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径。

二次曲线方程是一种数学形式，用来表达一条曲线的几何特征的方程。

它是一元二次方程的一般形式，其关键是表示二维坐标系中的曲线。

一般来说，二次曲线方程可以表示为 y = ax² + bx + c，其中，a, b, c 为
任一实数。

了解了这样一个形式，我们可以计算它在x轴上的拐点，
可以利用求根公式求出这样一个方程的拐点，其根是：
x1 = [-b + √(b² - 4ac) ] / 2a
x2 = [-b - √(b² - 4ac) ] / 2a
这样我们就可以以a,b,c为参数，来写出一个二次曲线的方程表达式。

需要注意的是，当参数a的值为0的时候，方程实际上就是一个一次函数，不再是二次函数了。

二次曲线方程的化简对数学中一些概念的理解非常重要，例如，曲线
的极值，切线斜率，矩形轴对称，椭圆形等等。

其实，二次曲线方程化简的技巧可以分为三种：平移法、标准形式化
简法和具体数值求解法。

（1）平移法：将原始方程中的每一项的常数项“平移”到右边，令原始方程的左边变为0，从而表达出一个标准的二次曲线方程。

（2）标准形式化简法：把方程中的变量变为标准形式，这样只要把变量重新合并就可以得到一个标准的二次曲线方程。

（3）具体数值求解法：意味着直接利用求根公式计算出二次曲线方程
的解。

总的来说，二次曲线方程的化简是一个非常重要的数学知识点，对于理解数学形状的概念有很大的帮助。

要想掌握其中的知识，需要深入研究，努力理解，并在此基础上不断练习。

化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。

在二次曲面的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最基本的性质。

设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。

如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

－92－§5.8 二次曲线方程的化简与分类1．坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律设二次曲线Γ 的方程为F (x , y )≡022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a(1)为了选择适当的坐标变换以使曲线Γ在新坐标系下的方程最为简单，我们必须先了解在坐标变换下二次曲线方程的系数的变化规律．因为一般的坐标变换总可以看成是由移轴与转轴组成的，我们首先分别考察在移轴与转轴下，二次曲线Γ 的方程（1）的系数是怎样变化的．在移轴（5.7－1）⎩⎨⎧+'=+'=00y y y x x x下，设二次曲线Γ 的新方程为 ))((2)(),(0012201100y y x x a x x a y y x x F +'+'++'≡+'+'0)(2)(2)(330230132022=++'++'++'+a y y a x x a y y a化简整理得：022233231322212211='+''+''+''+'''+''a y a x a y a y x a x a这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++='=++='=++='='='='),(222),(),(,,00330230132022001220113300223022012230011301201113222212121111y x F a y a x a y a y x a x a a y x F a y a x a a y x F a y a x a a a a a a a a (2)因此可得命题5.8.1 在移轴（5.7－1）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为： 1°二次项系数不变；2°一次项系数变为),(2001y x F 与),(2002y x F ； 3°常数项变为),(00y x F ．因为当（x 0，y 0）为二次曲线（1）的中心时，有),(001y x F = 0，0),(002=y x F ，所以当二次曲线有中心时，作移轴使新原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中就不再包含一次项．把转轴公式（5.7－3），即⎩⎨⎧'+'='-'=ααααcos sin sin cos y x y y x x 代入（1），得在转轴（5.7－3）下二次曲线（1）的新方程为022233231322212211='+''+''+''+'''+''a y a x a y a y x a x a这里－93－⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧='+-='+='+-='-+-='++='3333231323231313222122112222121122122221221111cos sin sin cos cos cos sin 2sin )sin (cos cos sin )(sin cos sin 2cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a αααααααααααααααα (3)于是有命题5.8.2 在转轴（5.7－3）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为： 1°二次项系数一般要改变．新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关．2°一次项系数一般要改变．新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，与二次项系数及常数项无关．3°常数项不变． 从（3）中的ααααcos sin sin cos 231323231313a a a a a a +-='+='中解出2313,a a ，得ααααcos sin sin cos 231323231313a a a a a a '+'='-'=则可看到，在转轴下，二次曲线方程（1）的一次项系数2313a a 、的变换规律与点的坐标x ，y 的变换规律完全一致．当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项；当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项．二次曲线方程（1）里，若012≠a ，我们往往使用转轴使新方程中的012='a ．为此，只要取旋转角α，使0)sin (cos cos sin )(2212112212=-+-='ααααa a a a 即可． 令 02cos 22sin )(121122=+-ααa a a 得 12221122cot a a a -=α (5.8－1)因为余切的值可以是任意实数，所以总有α 满足（5.8－1），也就是说总可以经过适当的转轴消去（1）中的xy 项．2．确定坐标变换步骤的基本原则对任何一条二次曲线的方程，我们都可以先移轴、后转轴进行坐标变换，也可以先转轴、后移轴进行坐标变换，两种方法都可以将方程化简．如果决定先转轴，则根据（5.8－1）可以确定坐标系的旋转角．因而无论对于何种类型的二次曲线，先转轴总是可行的．如果决定先平移，就得先确定把旧坐标系的原点移到何处．对于中心二次曲线，我们一般把新坐标系的中心定为曲线的中心，而中心可以先求出．但对于无心二次曲线，为了得到曲线的标准方程，应该把新坐标系的中心定为曲线的顶点，而顶点却不易先求出．于是，我们在利用坐标变换对二次曲线的方程进行化简时，一般都按照下面的原则进行： 先根据I 2判断曲线的类型．如果I 2 ≠ 0，说明曲线是中心型的．应先求出中心，再移轴，然后转轴．－94－如果I 2＝0，说明曲线是非中心型的，先转轴，消去交叉项xy 后把所得的方程配方，一般就可以确定新坐标系的原点，再移轴．经验证明，这里给出的原则可以在一定程度上减少方程化简的运算量．3．二次曲线方程的化简实例与方法分析以下通过对几个例题的分析，说明如何具体地对一个给定的二次曲线方程进行化简． 例1 化简二次曲线方程01124422=+-+++y x y xy x ，并画出它的图形． 解 I 2 = 1 × 4 － 2 2 = 0，曲线是抛物型（非中心型）的，应先转轴． 设旋转角为α，则应有：434412cot -=-=α 即 43tan 2tan 12-=-αα所以 02tan 3tan 22=--αα从而得 21tan -=α 或 tan α＝2取tan α＝2（若取tan α＝－ 1 / 2，同样可将原方程化简），则有51cos ,52sin ==αα所以得转轴公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+'='-'=)2(51)2(51y x y y x x 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为01555252=+'-'+'y x x配方得05552='-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+'y x 再作移轴⎪⎩⎪⎨⎧'=''+'=''y y x x 55曲线方程就化为最简形式052=''-''y x或写成标准方程为y x ''=''52这是一条抛物线．它的顶点是新坐标系O"－x"y" 的原点，原方程的图形可以根据它在坐标系O"－x"y" 中的标准方程作出，如图5.8.1所示．作图要点：坐标系O －xy 旋转角度︒≈44.63)5/2arcsin(，成O'－x'y'，再把坐标系O'－x'y' 平移到（5/5-，0），图5.8.1－95－得 O"－x"y"．在新坐标系O"－x"y" 中可 根据抛物线的标准方程y x ''=''52作图．为了看出曲线在原坐标系中的位置，作图时需要将新旧坐标系同时画出． 例2 化简二次曲线方程018122424522=+--++y x y xy x并画出它的图形．解 因 I 2＝5 × 2 － 22＝6≠0，所以曲线为中心二次曲线．解方程组⎩⎨⎧=-+≡=-+≡0622),(01225),(21y x y x F y x y x F 得中心为 (2，1)．取 (2，1) 为新原点，作移轴⎩⎨⎧+'=+'=12y y x x 原方程变为0424522=-'+''+'y y x x①这里实际上只需计算F (2，1)＝－ 4，因为移轴时二次项系数不变．再转轴消去y x ''项．令434252cot =-=α 即 43tan 2tan 12=-αα所以 02tan 3tan 22=-+αα从而得 21tan =α 或 tan α＝－ 2取tan α＝1 / 2，可得51sin ,52cos ==αα，用转轴公式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''+''='''-''='y x y y x x 52515152代入①，可将方程化简为12622=''+''y x标准方程是112222=''+''y x 这是一个椭圆，它的图形如图5.8.2图5.8.2所示．要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形，必须掌握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角．本题中坐标轴的旋转角︒≈=6.26)5/1arcsin(α．注 本题转轴时若取tan α＝－ 2，则可得52s i n ,51c o s -==αα（旋转角是︒-≈-=4.6352arcsin α），所得的转轴公式是－96－⎪⎪⎩⎪⎪⎨''+''-='y x y 515255 得到的标准方程为 121222=''+''y x ，图形相对于原坐标系的位置不变．此时O"x"轴的正向恰好是图5.8.2中y" 轴的反向．利用转轴消去二次曲线方程的xy 项的几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置．这是因为，如果二次曲线的特征根λ确定的主方向为X ︰Y ，那么有⎩⎨⎧=-+=+-0)(0)(22121211Y a X a Y a X a λλ 由此可得平行于主方向的斜率为12112212tan a a a a X Y-=-==λλα ∴122211221212112212221222212222121tan 2tan 12cot a a a a a a a a a a a a a -=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=λλλλλααα 因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置．如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合．根据消去二次曲线方程中交叉项的几何意义，我们在化简二次曲线（1）的方程时，也可以先求出曲线的主直径，然后以它作为新坐标轴，作坐标变换．例3 化简二次曲线方程021*******=+-++-y x y xy x并作出它的图形．解法1 I 2＝1 × 1 － 45232-=⎪⎭⎫⎝⎛- < 0，所给的二次曲线是双曲型的．令 ⎩⎨⎧=-+-=+-0102301032y x y x解得中心坐标为 (－ 2，2) ． 作坐标平移⎩⎨⎧+'=-'=22y y x x 就将原方程化为01322=+'+''-'y y x x令 03112cot =--=α 得转轴应取的旋转角为 π / 4．故转轴xx'yy'x"y"OO'图5.8.3－97－⎪⎪⎩⎪⎪⎨''+''=')(212y x y就把二次曲线的方程化简为01252122=+'+'-y x 即15/2222='-'y x 这是一条双曲线，其图形如图5.8.3所示．解法2I 1＝1 ＋ 1＝2， I 2＝1 × 1 － 45232-=⎪⎭⎫⎝⎛-于是曲线的特征方程是04522=--λλ 解得两特征根为25,2121=-=λλ因而曲线的两个主方向为1X ︰231-=Y ︰1)121(=--︰12X ︰232-=Y ︰1)125(-=-︰1曲线的两条主直径为0523523=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x y x与0523523=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--y x y x 即x ＋ y ＝0 与x － y ＋ 4＝0取x － y ＋ 4＝0为x' 轴，x ＋ y ＝0为y' 轴，根据（5.7－7）可取坐标变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='+='242y x y y x x 反解出x 与y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'=-'-'=2212122121y x y y x x代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系下的标准方程为15/2222='-'y x 这是一条双曲线．在作图时，必须首先确定x' 轴的正向．在变换公式的x' 表达式的右端，x 项的系数为,21y 项的系数为,21把这些系数与公式（5.7－7）比较就知道21cos ,21sin ==αα，－98－因此x' 轴与x 轴的交角为4π=α，同时从坐标变换公式也可以直接看到新坐标系的原点的旧坐标是 (－ 2，2)．当新坐标系确定之后，曲线就可以在新坐标系里按标准方程作出，其图形还是图3－7，可认为移轴和转轴是一次完成的． 两种解法相比，解法1显得简便一些，其计算量小，步骤也比较规范，具有较强的“可操作性”．但解法2强调直接根据主直径得出一般坐标变换公式，在理论上有一定的价值．无心二次曲线只有一条主直径，若按解法2选其为坐标轴后，另一条坐标轴如何确定呢？我们可以求出这条主直径与二次曲线的交点——二次曲线的顶点，然后取过顶点垂直于已知主直径的直线作为另一条坐标轴，则可写出一般坐标变换公式，进而将二次曲线的方程化简．例4 化简二次曲线方程02222=++++y x y xy x ．解 由于I 1 = 1 ＋ 1 = 2，I 2 = 1 × 1 － 12= 0，曲线是非中心型的． 解特征方程022=-λλ，得特征根为 λ 1 = 2， λ 2 = 0．曲线的非渐近主方向为对应于λ 1 = 2的主方向X ︰Y ＝1︰1，所以曲线的主直径为021)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++y x y x即 x ＋ y ＋43= 0将此主直径的方程与原曲线的方程02222=++++y x y xy x 联立，即求得曲线的顶点为(3 / 16，－15 / 16)．过顶点且以求得的非渐近主方向为方向的直线为116/15116/3+=-y x 即 x － y －89= 0这也是过顶点垂直于主直径的直线．取主直径043=++y x 为新坐标系的x' 轴，取直线089=--y x 为y' 轴，作坐标变换，则变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='--='24/328/9y x y y x x 解出x 与y 得到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'+'-=+'+'=1615)(21163)(21y x y y x x代入已知方程，经过整理得02222='+'x y ，化为标准方程就是 x y '-='422 这是一条抛物线．若要画出这条抛物线，必须确定代表x' 轴的直线的正向．设x' 轴与x 轴的交角为α，则根据变换公式有21sin -=α，21cos =α，因此4π-=a ，于是x '轴的正向就能确定了．新坐标轴作出后，就能在新坐标系下，根据抛物线的标准方程来作出它的图形（图形略）．－99－例5 化简二次曲线的方程 0322222=--++-y x y xy x ． 解 所给二次曲线的矩阵为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----311111111 A 的第一行和第二行的元素成比例，这表示F 1 (x ，y ) = 0和F 2 (x ，y ) = 0是同一条直线，曲线为线心曲线，它的惟一的一条直径即曲线的中心直线，也就是曲线的主直径，其方程就是F 1 (x , y ) = 0：x － y ＋ 1 = 0取其为新坐标系的x' 轴，再取任意垂直于此中心直线的直线，比如x ＋ y ＝0为新坐标系的y' 轴作坐标变换，则变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--='+='212y x y y x x 解出x 与y ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+'+'=-'-'=212121212121y x y y x x代入已知方程，经过整理得0422=-'y即 2y '= 2 或 y'＝2± 这是两条平行直线（图5.8.4）．对于线心曲线，我们可以直接从原方程分解为两个一次因式，从而可立即作出它的图形．如例5的方程可以改写为 03)(2)(2=--+-y x y x 就是 0)1)(3(=--+-y x y x因此原方程表示两条直线图5.8.4x － y ＋ 3 = 0 与 x － y － 1 = 0它们的图象如图5.8.4所示．当二次曲线的方程表示两条实直线时，直接分解得到两个一次方程通常是最简单有效的化简方法，因为这样可避免进行坐标变换．除了线心曲线外，中心二次曲线是两条相交直线时，也可对原方程直接分解．例6 化简二次曲线方程021*******=+---+y x y xy x ．解 计算得I 2 < 0，I 3 = 0，可知所给二次曲线是退化的双曲型曲线，表示两条相交直线．直接将原方程左边分解因式，得(x － y ＋ 3)(2x ＋ 3y － 7) = 0故原二次曲线的方程表示两条相交直线x － y ＋ 3 = 0 和 2x ＋ 3y － 7 = 0－100－ 4．二次曲线的简化方程通过上面的例子，我们可以得出下面的一般结论．命题 5.8.3 通过适当的坐标变换，二次曲线的方程总可以化成下面三个简化方程中的一个：（I ）0,0221133222211≠=++a a a y a x a ；（II ）0,021********≠=+a a x a y a ； （III ）0,02233222≠=+a a y a ．证 二次曲线可分为中心曲线、无心曲线与线心曲线三类，现按这三种情况来讨论． 1°当已知二次曲线为中心曲线时，取它的一对既共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系．设二次曲线在这样的坐标系下的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为这时原点就是曲线的中心，所以方程中没有一次项，即02313==a a其次，二次曲线的两条主直径（即坐标轴）的方向为1︰0与0︰1，它们互相共轭，因此必有012=a ．所以曲线的方程为（I ）033222211=++a y a x a又因为它是中心曲线，所以又有0221121222112≠=-=a a a a a I2°当已知二次曲线为无心曲线时，取它的惟一主直径为x 轴，取过顶点（即主直径与曲线的交点）且以非渐近主方向为方向的直线（即过顶点垂直于主直径的直线）为y 轴建立坐标系，这时假设曲线的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为这时主直径的共轭方向为X ︰Y ＝0︰1，所以主直径的方程为0232212=++a y a x a它就是x 轴，即与直线y ＝0重合，所以有0,0222312≠==a a a又因为顶点与坐标原点重合，所以 (0，0) 满足曲线方程，从而又有a 33 = 0．其次，由于曲线为无心曲线，所以231322121211a aa a a a ≠=，而,0,02212≠=a a 所以有0,01311≠=a a ．因而曲线的方程为（II ）0,02132213222≠=+a a x a y a3°当已知二次曲线为线心曲线时，取它的中心直线（即曲线的惟一直径，也是主直径）为x 轴，任意垂直于中心直线的直线为y 轴建立坐标系，设曲线的方程为022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a因为线心曲线的中心直线的方程是0131211=++a y a x a与0232212=++a y a x a中的任何一个，而第二个方程表示x 轴的条件为－101－02312==a a ，022≠a但第一个方程在012=a 的条件下，不可能再表示x 轴，所以它必须是恒等式，因而有01311==a a ，所以线心曲线的简化方程为： （III ）0,02233222≠=+a a y a命题证毕．5．二次曲线的分类根据命题5.8.3中二次曲线的三种简化方程系数的各种不同情况，我们可以写出二次曲线的各种标准方程，从而得出二次曲线的分类．（I ）中心曲线0,0221133222211≠=++a a a y a x a当033≠a 时，方程可化为122=+By Ax其中 33223311,a a B a a A -=-=． 如果A > 0，B > 0，那么设221,1b B a A ==就得方程[1]12222=+b y a x （椭圆） 如果A < 0，B < 0，那么设221,1b B a A -=-= 就得方程[2]12222-=+b y a x （虚椭圆） 若A 与B 异号，不失一般性，可设A ＞0，B ＜0（在相反情况下，只要把两坐标轴Ox 和Oy 对调）．设221,1b B a A -==则得方程[3]12222=-by a x （双曲线） 当033=a 时，如果a 11与a 22同号，可以假设a 11＞0，a 22＞0（在相反情况只要在方程两边同乘 － 1），再设2222111,1b a a a ==就得方程[4]02222=+b y a x （点椭圆，也可看作相交于实点的二共轭虚直线） 如果a 11与a 22异号，那么类似地有－102－ [5] 02222=-b y a x （两相交直线） （II ）无心曲线0,021********≠=+a a x a y a不妨设a 13与a 22异号（同号时令x = － x'，y = y'即异号），令p a a =-2213，即得 [6] px y 22= （抛物线）（III ）线心曲线033222=+a y a ，a 22≠0 方程可以改写为：22332a a y -= 当a 33与a 22异号时，设2233a a -2a =，则得方程 [7] 22a y = （两平行实直线）若a 33与a 22同号，设2233a a 2a =，则得方程 [8]22a y -= （两平行共轭虚直线） 当a 33＝0时，得方程为[9] 02=y （两重合实直线） 于是我们就得到了下面的命题：命题5.8.4 通过适当地选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面9种标准方程中的一种形式： [1] 12222=+b y a x （椭圆）； [2] 12222-=+b y a x （虚椭圆）； [3] 12222=-b y a x （双曲线）； [4] 02222=+b y a x （点椭圆，或看成相交于实点的两共轭虚直线）； [5] 02222=-b y a x （两相交直线）； [6] px y 22=（抛物线）； [7]22a y = （两平行直线）； [8] 22a y -= （两平行共轭虚直线）；[9] 02=y （两重合直线）．根据此命题，二次曲线共分为9类．其中，把圆、虚圆和点圆分别归入 [1]、[2] 和 [4]类中．。

二次曲线方程的化简一、平面坐标变换1.移轴和转轴：如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为 (x, y)与(x', y')，则移轴公式为或式中(x0, y0)为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标. 转轴公式为或式中α为坐标轴的旋转角. 前一公式为正变换公式，后一公式为逆变换公式. 注意两个变换的矩阵互为逆矩阵，因是正交变换，从而互为转置矩阵.2. 一般坐标变换公式为或3.设在直角坐标系里给定了两条相互垂直的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,其中A1A2＋B1B2＝0，如果取l1 为新坐标系中的横轴O'x'，而直线l2为纵轴O'y'，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是 (x, y)与 (x'，y'), 则有其中正负号的选取应使第一式右端x的系数与第二式右端y的系数相等，即要使得这两项的系数是同号的.二、坐标变换对二次曲线方程系数的影响1．在移轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数不变；（2）一次项系数变为 2F1(x0, y0)与 2F2(x0, y0)；（3）常数项变为F(x0, y0).从而当二次曲线有中心时，可作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失.2．在转轴下，二次曲线F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0的方程变为即新方程为这里因此，在转轴下，二次曲线方程系数的变化规律为：（1）二次项系数一般要改变. 新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关.（2）一次项系数一般要改变. 新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，而与二次项系数及常数项无关. 当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不能产生一次项.（3）常数项不变. 从而当二次曲线方程中a12≠0时，选取旋转角α，使,则在新坐标系下二次曲线的新方程中xy项消失.三、二次曲线的方程化简1．利用坐标变换化简二次曲线的方程，在中心曲线时一般应先移轴后转轴；在非中心曲线时则一般应先转轴后移轴.例1．利用移轴与转轴, 化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.（1）5x2＋4xy＋2y2－24x－12y＋18＝0；（2）x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0；（3）5x2＋12xy－22x－12y－19＝0；（4）x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＝0.解：（1）因为I2＝＝6≠0，所以曲线为中心曲线，由解得中心为(2, 1)，作移轴变换代入曲线原方程，整理得5x'2＋4x'y'＋2y'2－12＝0.由ctg2α＝，即,得 tgα＝－2，tgα＝.不妨取tgα＝，则由图5-1可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述化简方程得6 x"2＋y"－12＝0.即.（如图5-2）.（2）因为I2＝＝0，故曲线为无心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝.作转轴变换代入原方程，整理得＝ 0,配方得＝0.作移轴变换得到x"2＋y"＝0, 即x"2＝－y". （如图5-3）.（3）因为I2＝＝－36≠0，所以曲线是中心曲线，由,得中心 (1, 1)，作移轴变换代入原方程，整理得5x'2＋12x'y'－36＝0.由ctg2α＝, 即,解得tg α＝－，tg α＝.不妨取tg α＝，则由图5-４可得sinα＝，cosα＝,作转轴变换代入上述方程整理得9 x"2－4y"2＝36,即.（如图5 – 5）.（４）因为I2＝＝0，故曲线为线心曲线，由ctg2α＝＝0,得α＝，作转轴变换代入原方程，整理得＝0, 配方：. 作移轴变换就有x"2＝, （如图5- 6）.2. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，其几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.如果二次曲线的特征根确定的主方向为，则由得，所以.因此通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上就是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置. 如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 因此二次曲线方程的化简，也可以先求出二次曲线的主直径，以它作为新坐标轴，作坐标变换即可.例2. 以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，写出相应的坐标变换公式，并作出图形.（1）8x2＋4xy＋5y2＋8x－16y－16 ＝0；（2）x2－4xy－2y2＋10x＋4y ＝0；（3）4x2－4xy＋y2＋6x－8y＋3＝0；（4）4x2－4xy＋y2＋4x－2y＝0.解：（1）因为I1＝8＋5＝13，I2＝＝36≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2－13λ＋36＝0,解之得λ1＝4，λ2＝9，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－1:2，X2 : Y2＝2:1.由于F1(x, y)＝8x＋2y＋4，F2(x, y)＝2x＋5y－8，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x－2y＋5＝0, (x')2x＋y＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式（注意此变换的系数矩阵就是上一变换矩阵的转置矩阵）代入原方程并整理得9 x'2＋4y'2－36＝0,即.同时 cosα＝，sinα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，由图6-7可得tgα＝，从而可确定α并作出图形，如图5-8.（２）因为I1＝1－2＝－1，I2＝＝－6 ≠0，故曲线为中心曲线，特征方程为λ2＋λ－6＝0.解之得λ1＝2，λ2＝－3，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝－2: 1，X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝x－2y＋5，F2(x, y)＝－2x－2y＋2，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为2x－y＋4＝0, (x')x＋2y－3＝0, (y')得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得－3 x'2＋2y'2－1＝0.即－.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝(－1, 2)，如图5—10.（3）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0,,故曲线为无心曲线，特征方程为λ2－5λ＝0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋3，F2(x, y)＝－2x＋y－4，，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋2＝0,将它取为O'x'轴，由解得曲线的顶点为，过它且垂直于2x－y＋2＝0的直线方程为x＋2y＋＝0,将它取为轴O 'y'，得坐标变换公式为，从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －x'＝0.即y' 2 ＝x'.同时sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝, 如图5-12.（4）因为I1＝4＋1＝5, I2＝＝0, ，故曲线为线心曲线，特征方程为λ2－5λ＝ 0,解之得λ1＝5，λ2＝0，由λ1确定的非渐近主方向X1 : Y1＝－2: 1，由λ2确定的渐近主方向为X2 : Y2＝1: 2,由于F1(x, y)＝4x－2y＋2，F2(x, y)＝－2x＋y－1，从而由λ1确定的唯一主直径为2x－y＋1＝0,将它取为O'x'轴，过原点与它垂直的直线x＋2y＝0取为O'y'轴，得坐标变换公式为从而有正变换公式代入原方程并整理得5y' 2 －1＝0,即y' 2 ＝.同时 sinα＝，cosα＝，(x0, y0)＝,如图5-14.四、二次曲线的分类1.不论采用哪种方法化简方程，尽管所化简的曲线方程其形式可能不一致，但它们所刻划的几何图形相对于原坐标系而言是完全一致的.2.适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：(I) 中性心线：a11x2＋a22y2＋a33＝0，a11a22≠ 0；(II)无心曲线： a22y2＋2a13 x＝0，a22a13≠ 0；(III) 线心曲线： a22y2＋a33＝0，a22≠ 0.3.二次曲线以上三种简化方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：(I) 中性心线：[1] ＝ 1 (椭圆)；[2] ＝－1 (虚椭圆)；[3] ＝ 1 (双曲线)；[4] ＝ 0 (点或称两相交于实点的共轭虚直线)；[5] ＝ 0 (两相交直线)；(II) 无心曲线：[6] y2＝2px (抛物线)；(III) 线心曲线：[7] y2＝a2 (两平行直线)；[8] y2＝－a2 (两平行共轭虚直线)；[9] y2＝ 0 (两重合直线).例3. 试证中心二次曲线ax2＋2hxy＋ay2＝d的两条主直径为x2－y2＝0，曲线的两半轴的长分别是及.证明：因为曲线为中心曲线，所以I1＝a＋a＝2a，I2＝＝a2－h2 ≠ 0, a ≠±h,特征方程为λ2－2aλ＋(a2－h2)＝ 0,解之得λ1＝a＋h，λ2＝a－h，由它们确定的非渐近主方向分别为X1 : Y1＝1: 1，X2 : Y2＝－1: 1,由于F1(x, y)＝ax＋hy，F2(x, y)＝hx＋ay，从而由λ1，λ2确定的主直径分别为x＋y＝0, (y') x－y＝0, (x')即曲线的两条主直径为x2－y2＝0. 将它们分别取作O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为从而求得正变换公式代入曲线原方程整理得（依题意d ≠0）,即.所以两半轴长分别为和.例4. 已知≠0，且a1 a2＋b1 b2＝0，试求二次曲线(a1x＋b1y＋c1)2＋(a2x＋b2y＋c2)2＝1的标准方程与所用的坐标变换公式.解：因为a1 a2＋b1 b2＝0，所以直线a1x＋b1y＋c1＝0 与a2x＋b2y＋c2＝0互相垂直，分别取为O'y'轴与O'x'轴，得坐标变换公式为[其中a i, b i (i=1,2)不全为0]式中正负号的选取使得第一式中x的系数与第二式中y的系数相同，代入原方程得.由a1 a2＋b1 b2＝0 知λ≠ 0则a1＝λb2，b1＝－λa2，从而,注意到a2，b2不全为0，≠ 0, 代入得＝1,或令λ'=≠ 0，有＝1.作业题：1. 试证在任意转轴下，二次曲线新旧方程的一次项系数满足关系式.2. 利用坐标变换方法或主直径方法，化简下列二次曲线的方程，并画出它们的图形.(1) 2xy－4x－2y＋3＝0；(2) 5x2＋8xy＋5y2－18x－18y＋9＝0；(3) x2＋2xy＋y2－4x＋y－1＝0;(4) x2－3xy＋y2＋10x－10y+21＝0;(5) x2－xy＋y2＋2x－4y＝0；(6) x2+6xy＋y2＋6x+2y－1＝0；(7) x2－2xy＋y2＋2x－2y－3＝0；(8) x2+2xy＋y2＋2x＋y＝0.。

一般二次曲线化成标准型公式一般二次曲线是指具有二次项的代数方程。

它可以表示为形如 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 的标准方程。

然而，有时我们可能需要将一般二次曲线化简为标准型公式，以便更好地理解和分析。

要将一般二次曲线化成标准型公式，我们需要完成以下步骤：第一步，观察二次项的系数。

如果B ≠ 0，则我们需要对方程进行旋转，以消除交叉项。

通过适当的旋转角度，我们可以让新的方程中的交叉项变为零。

第二步，完成旋转后，我们得到一个新的方程，其中交叉项已经消除。

这个方程可以表示为 Ax'^2 + Cy'^2 + Dx' + Ey' + F = 0。

第三步，判断方程的类型。

如果 A 和 C 的符号相同，那么我们可以通过平移和缩放来将方程进一步化简为标准型。

如果 A 和 C 的符号不同，则这个方程表示一个双曲线，无法化为标准型。

第四步，如果 A 和 C 的符号相同，我们可以通过平移和缩放来将方程化简为标准型。

首先，我们可以通过平移来使方程中的线性项（即 Dx' + Ey'）消失。

然后，通过适当的缩放，我们可以使方程中二次项的系数相等。

最终，通过完成上述步骤，我们可以将一般二次曲线化成标准型公式，即表示为 x'^2/a^2 + y'^2/b^2 = 1（椭圆）、x'^2/a^2 - y'^2/b^2 = 1（双曲线）或 y'^2 = 4ax'（抛物线）。

这些标准型方程具有简洁的形式，更容易理解和分析。

总之，将一般二次曲线化成标准型公式需要经过一系列的步骤，包括旋转、判断类型以及平移和缩放。

通过化简，我们可以获得更加简洁和易于理解的标准型方程，以便更好地研究二次曲线的性质和特点。