第二型曲面积分

§2 第二型曲面积分教学目的：掌握第二型曲面积分的定义和计算公式．教学内容：曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式．(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式．(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系． 教学建议：(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握． 教学程序： 曲面的侧双侧曲面的概念、曲面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一 第二型曲面积分的概念与性质定义 设函数P ，Q ，R 与定义在双侧曲面S 上的函数．在S 所指定的一侧作分割T 它把S 分成n 个小曲面n S S S ,,21 （n i ,,2,1 =），分割T 的细度{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，以yzi S ∆，zx i S ∆，xy i S ∆分别为i S 在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由i S 的方向来确定．如iS 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ∆为正，反之，如i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xyi S ∆为负（n i ,,2,1 =）．在每个小曲面i S 任取一点()i i i ζηξ,,，若极限 ()∑=→∆ni i iiiT yzSP 1,,limζηξ+()∑=→∆ni i iiiT zxSQ 1,,limζηξ+()∑=→∆ni i iiiT xySR 1,,limζηξ存在且与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为函数P ，Q ，R d 曲面S 所指定的一侧的第二型曲面积分，记为()()()⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,, (1)上述积分(1)也可写作()⎰⎰Sdydz z y x P ,,+()⎰⎰Sdzdx z y x Q ,,+()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,第二型曲面积分的性质（1） 若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P （n i ,,2,1 =）都存在，i c （n i ,,2,1 =），为常数，则有dxdy R c dzdz Q c dydz P c n i i i n i i i S n i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=∑⎰⎰=++ni Si i i i dxdy R dzdx Q dydz p c 1（2）若曲面S 由两两无公共内点的曲面块21,S S …n S 所组成，⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz （n i ,,2,1 =）都存在，则()()()⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,也存在，且()()()⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,=∑⎰⎰=++ni S iRdxdy Qdzdx Pdydz 1二 第二型曲面积分的计算定理22．2设R 为定义在光滑曲面S ：()()xy D y x y x z z ∈=,,，上的连续函数，以S 的上侧为正侧（这时S 的法线正向与z 轴正向成锐角 ），则有()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,=()()⎰⎰xyD dxdy y x z y x R ,,, （2）证 由第二型曲面积分的定义()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,=()∑=→∆n i i iiiT xyS R 1,,limζηξ=()()∑=→∆ni i iiiid xyS R 1,,,lim ηξζηξ这里()xyiS d ∆=max ，因{}的直径i ni S T ≤≤=1max 0→，立刻可推得()xyi S d ∆=max 0→，由相关函数的连续性及二重积分的定义有()()⎰⎰xyD dxdy y x z y x R ,,,=()()∑=→∆ni i iiiid xySR 1,,,limηξζηξ所以()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,=()()⎰⎰xyD dxdy y x z y x R ,,,类似地：P 为定义在光滑曲面S ：()()yz D z y z y x x ∈=,,上的连续函数时，而S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有()⎰⎰Sdydz z y x P ,,=()()⎰⎰xyD dydz z y z y x P ,,,Q 为定义在光滑曲面S ：()()zx D x z x z y y ∈=,,上的连续函数时，而S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有()⎰⎰Sdzdx z y x Q ,,=()()⎰⎰ZXD dzdx y x z y x Q ,,,注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S 的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号例1计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面1222=++z y x 在0,0≥≥y x 部分并取球面外侧． 解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为1S ： 2211y x z --=，()(){0,0,1,,22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy 2S ：2221y x z ---=，()(){0,0,1,,22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy ，⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221⎰⎰----xyD dxdy y x xy 221 =⎰⎰--xyD dxdy y x xy 2212=⎰⎰=-201231521sin cos 2πϑθθdr r r d ．例2 计算积分⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(， ∑为球面2222R z y x =++取外侧.解 对积分⎰⎰∑+dydzy x )(, 分别用前∑和后∑记前半球面和后半球面的外侧, 则有前∑ : ,222z y R x --= 222 :R z y D yz ≤+; 后∑: ,222z y R x ---= 222 :R z y D yz ≤+. 因此, ⎰⎰∑+dydzy x )(=⎰⎰∑前+⎰⎰∑后=()⎰⎰-+--=yzD dydz y z y R 222()⎰⎰=+---yzD dydz y z y R 222=-===========--=⎰⎰⎰⎰≤+==2222022sin ,cos 222 82R z y Rr z r y rdr r R d dydz z y R πθθθ()323223432214R r R R r r ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--===.对积分dx dz z y ⎰⎰∑-)(, 分别用右∑和左∑记右半球面和左半球面的外侧, 则有右∑: ,222x z R y --= 222 :R z x D zx ≤+; 左∑: ,222x z R y ---= 222 :R z x D zx ≤+. 因此, =-⎰⎰∑dydz z y )(⎰⎰∑右+⎰⎰∑左=()()⎰⎰⎰⎰--------=zxzxD D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222⎰⎰≤+=--=2223222342R z x R dzdx x z R π.对积分dxdy x z ⎰⎰∑+)3(, 分别用上∑和下∑记上半球面和下半球面的外侧, 则有 上∑: ,222y x R z --= 222 :R y x D xy ≤+;下∑: ,222y x R x ---= 222 :R y x D xy ≤+. 因此, dxdy x z ⎰⎰∑+)3(=⎰⎰∑上+⎰⎰∑下=()()⎰⎰⎰⎰=+----+--=xyxyD D dxdy x y x R dxdy x y x R33222222⎰⎰≤+=--=2223222342R y x R dxdy y x R π.综上,⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=334343R R ππ=⨯作业P 289:1;2.。