旋转与半角倍角证明及计算
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1.阅读下面文字,解决下列问题
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别为BC,CD上的点,且∠EAF=45°,求证:BE+DF=EF.
他的方法是将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG(如图2),此时GE即是DF+BE.
请回答:在图2中,∠GAF的度数是、△AGE≌△.
(2)拓展研究如图3,若E,F分别在四边形ABCD的边BC,CD上,∠B+∠D=180°,AB=AD,要使(1)中线段BE,EF,FD的等量关系仍然成立,则∠EAF与∠BAD应满足的关系是.
(3)构造运用运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下面问题:如图4,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=22.5°,点E在AB上,且∠DCE=67.5°,DE⊥AB于点E,若AE=,试求线段AD,BE的长.
2.在四边形ABCD中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF.
(1)在图1中,求证:DE=DF.
(2)在图1中,若点G在AB上且∠EDG=60°,试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验知识,完成下题:如图2,在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=30°,E在AB上,DE⊥AB,且∠DCE=60°,若AE=5,求BE的长.
3.在四边形ABCD中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E是AC上一
点,F是AB延长线上一点,且CE=BF.
(1)在图1中,求证:DE=DF;
(2)在图1中,若点G在AB上且∠EDG=60°,试猜想CE,EG,BG之间的数量关系并证明;
(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=30°,点E在AB上,DE⊥AB,且∠DCE=60°,若AE=3,求BE的长.
4.同学们,在初一学习正多边形和圆这节课时,我们就学习过四边形的内角和等于360°.下面我们就在四边形中来研究几个问题:
在四边形ABCD中,AC=AB,DC=BD,∠CAB=60°且∠CDB=120°,E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF.
(1)求证:DE=DF;
(2)在图1中,若G在AB上且∠EDG=60°,试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明你的结论;
(3)若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α且∠CDB=180°﹣α,G 在AB上,∠EDG满足什么条件时,(2)中的结论仍成立?(只写结果不要证明)
(4)运用(1)(2)(3)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=30°,E在AB上,DE⊥AB,且∠DCE=60°,若AE=3,求BE的长.
5.在四边形ABCD中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF.
思考验证:
(1)求证:DE=DF;
(2)在图1中,若G在AB上且∠EDG=60°,试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明;
归纳结论:
(3)若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α,∠CDB=180°﹣α,G 在AB上,∠EDG满足什么条件时,(2)中结论仍然成立?(只写结果不要证明)
探究应用:
(4)运用(1)(2)(3)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=30°,E在AB上,DE⊥AB,且∠DCE=60°,若AE=3,求BE的长.
6.在四边形ABCD中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF.
(1)求证:DE=DF;
(2)在图1中,若G在AB上且∠EDG=60°,试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论;
(3)若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α,∠CDB=180°﹣α,G 在AB上,∠EDG满足什么条件时,(2)中结论仍然成立?(只写结果不要证明).
(4)运用(1)(2)(3)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=30°,E在AB上,DE⊥AB,且∠DCE=60°,若AE=3,求BE的长.
7.(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下列两题:
①如图3,在四边形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是
AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,则DE=.
②如图4,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC,且BD=2,AD=6,求△ABC的面积.
8.(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
分析:由BE=DF,∠EBC=∠CDF=90°,BC=CD可得△EBC≌△FDC,从而CE=CF.(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCB=45°,请你利用(1)的思路证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在四边形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求四边形ABCD的面积.
9.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;
(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,探索GE、BE、GD之间的数量关系,并加以证明;
(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=10,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=3,求DE的长.
10.(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠ECG=45°,请你利用(1)的结论证明:S
=S△BCE+S△CDG.
△ECG
(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCG中,AG∥BC(BC>AG),∠B=90°,AB=BC=6,E是AB 上一点,且∠ECG=45°,BE=2.求△ECG的面积.