九年级数学上册-旋转小专题七旋转中的计算与证明练习新版新人教版

第二十三章—旋转一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。

）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

（3）旋转前、后的图形全等。

3、作旋转后的图形的一般步骤（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；（3）顺次连结。

4、欣赏较复杂旋转图形图形是由什么基本图形，以哪个点为中心，按哪个方向（顺时针或逆时针）旋转多少度，连续旋转几次，便得到美丽的图案。

5、有关图形旋转的一些计算题和证明题例题练习1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( )2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（）A.60°B.105°C.120°D.135°3.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°4.数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是 ( )A.国旗上升的过程B.球场上滚动的足球C.工作中的风力发电机叶片D.传输带运输东西5.如图,将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 ( )6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=30°,点D、E分别为AB、AC上的点,且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上,连接BD、EC.下列结论:①△ADE的旋转角为120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC.其中正确的为( )A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④7.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,且点D恰好在AC上,∠BAE=∠CDE=136°,则∠C的度数是（）8.如图,以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,连接BE、CF.(1)求证:△FAC≌△BAE;(2)图中可以通过旋转△BAE而得到△FAC,请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数.9.如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的动点(不与B,C重合),将线段AE 绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接AF,EF、AF分别与CD交于点M、N,连接EN,作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证:BE=CG;(2)若BE=2,DN=3,求EN的长.二、中心对称图形1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

小专题(七) 旋转中的计算与证明类型1 基于“半角”的旋转在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角，小角正好是大角的一半(如例1)．当面对这样的信息时，往往可以考虑使用旋转变换，并且旋转后，多半还有一对轴对称的全等三角形出现，此时，很多问题即可迎刃而解了．总结此类问题解题的思路即是：半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形．【例1】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于O.设E，F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF ＝45°，请你用等式表示线段AE，BF和EF之间的数量关系，并证明．【思路点拨】将△OFB绕点O顺时针旋转90°，得△OHA.连接HE，利用条件可证△EOH≌△EOF，从而得EH＝EF.然后在Rt△AEH中，利用勾股定理得EH2＝AH2＋AE2，进而得出结论．1．已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连接D′E.(1)如图1，当∠BAC＝120°时，∠DAE＝60°时，求证：DE＝D′E；(2)如图2，当DE＝D′E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．(3)如图3，在(2)的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D′EC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必说明理由)类型2 基于“等边三角形”的旋转方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．【例2】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度数．【思路点拨】将△APC绕点A顺时针旋转60°，得△ADB.连接DA，DP，DB，得AD＝AP，DB＝PC＝3，∠DAP＝60°.从而可证△ADP为等边三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°.在△DPB中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.从而可得∠APB＝120°.2．如图所示，点P是等边△ABC内一点，PB＝2，PC＝1，∠BPC＝150°，求PA的长．3．如图所示，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一角等于60°.角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连接MN ，构成一个△AMN，求△AMN 的周长．参考答案【例1】 AE 2＋BF 2＝EF 2.证明：将△OFB 绕点O 顺时针旋转90°，得△OHA.连接HE ，∴OH ＝OF ，AH ＝BF ，∠BOF ＝∠AOH，∠HOF ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝90°，∠AOB ＝90°.∵∠EOF ＝45°，∴∠AOE ＋∠BO F ＝∠AOB－∠EOF＝90°－45°＝45°.∴∠AOE ＋∠AOH ＝∠EOH＝45°.∴∠EOH ＝∠EOF.在△EOH 和△EOF 中，OH ＝OF ，∠EOH ＝∠EOF，OE ＝OE ，∴△EOH ≌△EOF(SAS)．∴EF＝EH.∵在Rt △AEH 中，由勾股定理得EH 2＝AH 2＋AE 2，AH ＝BF ，∴AE 2＋BF 2＝EF 2.1.(1)证明：∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACD′，∴AD ＝AD′，∠CAD ′＝∠BAD.∵∠BAC＝120°，∠DAE ＝60°，∴∠D ′AE ＝∠CAD′＋∠CAE ＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC －∠DAE＝120°－60°＝60°.∴∠DAE ＝∠D′AE.在△ADE 和△AD′E 中，AD ＝AD′，∠DAE ＝∠D′AE，AE ＝AE ，∴△ADE ≌△AD ′E(SAS)．∴DE＝D′E. (2)∠DAE＝12∠BAC.理由如下：在△ADE 和△AD′E 中，AD ＝AD′，AE ＝AE ，DE ＝D′E，∴△ADE ≌△AD ′E(SSS)．∴∠DAE ＝∠D′AE.∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE.∴∠DAE＝12∠BAC. (3)∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB＝∠ACD′＝45°.∴∠D ′CE ＝45°＋45°＝90°.∵△D ′EC 是等腰直角三角形，∴D ′E ＝2CD ′.由(2)可得DE ＝D′E，∵△ABD 绕点A 旋转得到△ACD′，∴BD ＝CD′.∴DE＝2BD.【例2】 ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，得△ADB.连接DA ，DP ，DB ，得AD ＝AP ＝2，DB ＝PC ＝3，∠DAP ＝60°.∴△ADP 为等边三角形，所以DP ＝AP ＝2，∠DPA ＝60°.在△DPB中，DB ＝3，BP ＝1，DP ＝2，∴DP 2＋BP 2＝DB 2.∴∠DBP ＝90°，∠DPB ＝60°.∴∠APB ＝∠DPB＋∠DPA＝60°＋60°＝120°.2.将△APC 绕点C 按逆时针旋转60°，使CA 移至CB 处，PC 移到P ′C ，PA 移到P′B.∵∠PCP′＝60°，∴△PCP ′是等边三角形．∴∠P′PC＝60°，PP ′＝PC ＝1.∵∠BPC＝150°，∴∠BPP ′＝90°.在Rt △BP ′P 中，BP ＝2，PP ′＝PC ＝1，由勾股定理得P′B＝22＋1＝5＝PA.∴PA＝ 5.3.因为△ABC 为等边三角形，△DBC 为等腰三角形，∠BDC ＝120°，所以以D 为旋转中心，按顺时针方向将△DBM 旋转120°如图，且N 、C 、E 三点在同一条直线上．所以DM ＝DE ，CE ＝BM ，∠BDM ＝∠CDE.因为∠MDN＝60°，所以∠BDM＋∠NDC＝60°.所以∠NDE＝60°.在△DMN 和△DEN 中，DM ＝DE ，∠MDN ＝∠EDN，DN ＝DN ，所以△DMN≌△DEN.所以NE ＝MN.所以△AMN 的周长＝AM ＋MN ＋AN ＝AM ＋NE ＋AN ＝AM ＋NC ＋CE ＋AN ＝AM ＋NC ＋MB ＋AN.即△AMN 的周长＝AB ＋AC.因为AB ＝AC ＝1，故△AMN 的周长为2.。

巧用旋转进行计算类型之一利用旋转构造等腰三角形由旋转性质1：对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点与旋转中心所构成的三角形是等腰三角形．1．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′相交于点O，则∠COA′的度数是( )图1A．50°B．60°C．70°D．80°2．如图2，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为( )图2A．90°－αB．αC．180°－αD．2α3．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( )图3A．6 B．4 3 C．3 3 D．34．如图4，△COD是由△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形．若点C恰好落在AB 上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是________．图4类型之二利用旋转构造等腰直角三角形如果旋转角为90°，那么对应点与旋转中心构成的三角形是等腰直角三角形．5．如图5，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，连接BB′.若∠A′B′B＝20°，则∠A的度数是________．图56．如图6，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1.把△ADE以点A为中心顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于________．图6类型之三利用旋转构造等边三角形如果旋转角是60°，那么对应点与旋转中心构成的三角形是等边三角形．7．如图7所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n(n<90)度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为( )图7A．30，2 B．60，2 C．60，32D．60， 38．如图8所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，将△ABC绕点C 逆时针旋转至△A′B′C的位置，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长为________．图89.如图9，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝________．图910．如图10，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC等于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)求∠OAD的度数；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？图1011．如图11，在等边三角形ABC中，D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE.(1)求证：AD＝DE；(2)求∠DCE的度数；(3)若BD＝1，求AD，CD的长．图1112．请阅读下列材料：问题：如图12①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝3，PC＝1，求∠BPC 的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边三角形ABC的边长为7，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝5，PB＝2，PC＝1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．图121．B [解析] ∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝50°， ∴∠A ＝180°－∠ACB －∠B ＝40°. 由旋转的性质可知BC ＝B ′C ， ∴∠B ＝∠BB ′C ＝50°.又∵∠BB ′C ＝∠A ＋∠ACB ′＝40°＋∠ACB ′， ∴∠ACB ′＝10°，∴∠COA ′＝∠OB ′C ＋∠ACB ′＝∠B ＋∠ACB ′＝60°.2．C [解析] 由题意可得，∠ABE ＝α，BE ＝BA ，∴∠BAE ＝∠E ＝12(180°－∠ABE)＝12(180°－α)＝90°－12α，∴∠BAC ＝90°－12α，∴∠CAD ＝∠BAC ＋∠BAE ＝180°－α，故选C.3．A [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠CAB ＝30°.∵BC ＝2，∴AB ＝4.∵△A ′B ′C 由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到的，其中点A ′与点A 是对应点，点B ′与点B 是对应点，且点A ，B ′，A ′在同一条直线上，∴AB ＝A ′B ′＝4，AC ＝A ′C ，∠A ′B ′C ＝∠B ＝60°，∴∠A ′＝30°.又∵AC ＝A ′C ，∴∠CAA ′＝∠A ′＝30°，∴∠ACB ′＝∠A ′B ′C －∠CAA ′＝60°－30°＝30°，则∠ACB ′＝∠B ′AC ，∴AB ′＝B ′C ＝2，∴AA ′＝2＋4＝6.4．60° [解析] 由旋转的性质，得∠AOC ＝∠BOD ＝40°，OA ＝OC ，则∠A ＝∠ACO ＝70°. 由∠AOD ＝90°，得∠BOC ＝∠AOD －(∠AOC ＋∠BOD)＝10°.∴∠B ＝∠ACO －∠BOC ＝70°－10°＝60°.5．65° [解析] ∵Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ，∴△BCB ′是等腰直角三角形，∴∠CBB ′＝45°.∴∠B ′A ′C ＝∠A ′B ′B ＋∠CBB ′＝20°＋45°＝65°.由旋转的性质得∠A ＝∠B ′A ′C ＝65°.6．2 5 [解析] ∵DE ＝1，AD ＝3，∠D ＝90°，∴AE 2＝AD 2＋DE 2＝32＋12＝10. 由旋转的性质得∠EAE ′＝90°，AE ＝AE ′，∴EE ′2＝AE 2＋AE ′2＝10＋10＝20，即EE ′＝2 5.7．C [解析] ∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2， ∴∠B ＝60°，AB ＝2BC ＝4，AC ＝AB 2－BC 2＝2 3. ∵△EDC 是由△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转得到的， ∴CD ＝BC ＝2，∠CDE ＝∠B ＝60°. ∵∠B ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD ＝60°，∴∠DCF ＝30°， ∴∠DFC ＝90°， 即DE ⊥AC ，∴DE ∥BC. ∵BD ＝BC ＝12AB ＝2，∴DF 是△ABC 的中位线，∴DF ＝12BC ＝12×2＝1，CF ＝12AC ＝12×2 3＝3，∴S 阴影＝12DF ·CF ＝12×1×3＝32.故选C.8. 3 [解析] ∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1，∴A ′C ＝AC ＝1，AB ＝2，BC ＝ 3.∵∠A ＝60°，∴△AA ′C 是等边三角形， ∴AA ′＝12AB ＝1，∴A ′C ＝A ′B ，∴∠A ′CB ＝∠A ′BC ＝30°. ∵△A ′B ′C 是由△ABC 旋转而成的， ∴∠A ′CB ′＝90°，BC ＝B ′C ， ∴∠B ′CB ＝90°－30°＝60°，∴△BCB ′是等边三角形，∴BB ′＝BC ＝ 3. 9．5 [解析] 连接BE.∵△DCB 绕点C 顺时针旋转60°得到△ACE ，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝30°， ∴∠BCE ＝60°，CB ＝CE ，AE ＝BD ， ∴△BCE 是等边三角形， ∴∠CBE ＝60°，BE ＝BC ＝4，∴∠ABE ＝∠ABC ＋∠CBE ＝30°＋60°＝90°，∴AE＝AB2＋BE2＝32＋42＝5.又∵AE＝BD，∴BD＝5.10．解：(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，∴OC＝CD，∴△OCD是等边三角形．(2)∵∠AOB＝105°，∠BOC＝α，∴∠AOC＝360°－∠AOB－∠BOC＝360°－105°－α.∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，∴∠ADC＝∠BOC＝α.∴∠OAD＝360°－∠AOC－∠OCD－∠ADC＝360°－(360°－105°－α)－60°－α＝45°.(3)∵由(1)知△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°.由(2)知∠OAD＝45°.若△AOD是等腰三角形，则分以下三种情况讨论：当OA＝OD时，∠AOD＝90°，α＝360°－105°－60°－90°＝105°；当OA＝AD时，∠AOD＝67.5°，α＝360°－105°－60°－67.5°＝127.5°；当AD＝OD时，∠AOD＝45°，α＝360°－105°－60°－45°＝150°.综上所述，当α＝105°，127.5°或150°时，△AOD是等腰三角形．11．解：(1)证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°.∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE.(2)∵∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC－∠DAE＝90°.(3)∵△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°.又∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2.∴AD＝DE＝2.在Rt△DCE中，CD＝DE2－CE2＝22－12＝ 3.12．解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A. ∴AP′＝PC＝1，BP′＝PB＝ 2.连接PP′，如图．在Rt△BP′P中，∵PB＝BP′＝2，∠PBP′＝90°，∴PP′＝2，∠BP′P＝45°.在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，PA＝5，∵12＋22＝(5)2，即AP′2＋PP′2＝PA2，∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°.∴∠AP′B＝135°，∴∠BPC＝∠AP′B＝135°.过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形，∴∠EP′B＝45°.又∵BP′＝2，∴EP′＝BE＝1，∴AE＝2.在Rt△ABE中，∵BE＝1，AE＝2，∴由勾股定理，得AB＝ 5.综上可得，∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为 5.。

旋转（讲义）课前预习1.平移是，只改变图形的，不改变图形的．2.平移与轴对称知识点睛1.旋转（1）旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为，这个定点称为，转动的角称为．旋转不改变图形的和．（2）旋转的性质对应点到旋转中心的距离；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于；旋转前、后的图形．2.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某一点旋转°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或，这个点叫做（简称中心）．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的．， （2）中心对称的性质中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所．中心对称的两个图形是．3. 中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．如果一条直线经过中心对称图形的对称中心，那么这条直线将该中心对称图形分割成面积相等的两部分．4. 坐标系中的对称点（1）平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P (x ，y )关于原点的对称点为 P ′（ ， ）．（2）平面直角坐标系中，若两个点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点 C 对称，则点 C 为线段 AB 的中点，此时点 C 的坐标为 (x 1 + x 2 y 1+ y 2 ) ． 2 2精讲精练1.如图，在网格纸中有一 Rt △ABC ．（1）将△ABC 以点 C 为旋转中心，顺时针旋转 180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ；（2）将△ABC 以点 A 为旋转中心旋转 90°，画出旋转后对应的△AB 2C 2．BC2.如图，在 4×4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（ ） A ．点 A B ．点 B C ．点 C D ．点 DN 1M 13.如图，△OAB 绕点 O 逆时针旋转 80°到△OCD 的位置，已知∠AOB =45°，则∠AOD = ．ADE ACBOD第 3 题图 第 4 题图4. 如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ．若 ∠CAE =65°，∠E =70°，且 AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为 ．5.如图，在△ABC 中，∠CAB =70°．在同一平面内，将△ABC 绕点 A 旋转到△AB ′C ′的位置，使得 CC ′∥AB ，则∠BAB ′= （ ） A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°B'C'CABDO6.如图，已知菱形 OABC 的两个顶点 O (0，0)，B (2，2)，若将菱形绕点 O 旋转 α°（0≤α≤360），恰好使 OB 与 x 轴正半轴重合，则 α= ．7.如图，点 O 是等边三角形 ABC 内一点，∠A OB =110°，∠B OC = 145°．将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得到△ADC ， 连接 OD ，则∠AOD =（ ） A ．40° B ．45° C ．50° D ．55°AB'B 第 7 题图 第 8 题图8.如图，将等腰 Rt △ABC 绕点 A 逆时针旋转 15°后得到△AB ′C ′， 若 AC =1，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．3 3B ．3 C ． 6D ． 3 9.下列图形：①线段；②平行四边形；③等边三角形；④等腰直角三角形；⑤菱形；⑥长方形；⑦正方形；⑧圆．其中是中心对称图形的有．10. 下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．43311. 如图，在□ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC =6，BC 边上的高为 4，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．2412. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是正方形，点 B 的坐标为(4，4)，直线 y = mx - 2 恰好把正方形 ABCO 分成面积相等的两部分，则 m 的值为．第 12 题图 第 13 题图13. 如图，在平面直角坐标系中，已知多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O (0，0)，A (0，6)，B (4，6)，C (4，4)，D (6，4)， E (6，0)．若直线 l 经过点 M (2，3)，且将多边形 OABCDE 分成面积相等的两部分，则下列各点在直线 l 上的是（ ）A ．(4，3)B ．(5，2)C ．(6，2)D ．(0， 10)314. 已知点 A (2a -3b ，-1)与 B (-2，3a -2b )关于坐标原点对称，则5a -b = ．15. 在同一平面直角坐标系中，点 A ，B 分别是函数 y =x -1 与 y =-3x +5 的图象上的点，且点 A ，B 关于原点对称，则点 A 的横坐标为 ．16.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(-3，5)，B(-2，1)，C(-1，3)．（1）将△ABC 绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，写出A1，B1 的坐标；（2）若△ABC 和△A2B2C2 关于原点O 中心对称，画出对应图形，并写出△A2B2C2 各顶点坐标；（3）若△ABC 和△A3B3C3 关于点D(1，0)中心对称，画出对应图形，并写出△A3B3C3 各顶点坐标．【参考答案】课前预习1.全等变换；位置；形状和大小．2.平行四边形；垂直平分．知识点睛1.（1）旋转；旋转中心；旋转角；形状；大小．（2）相等；旋转角；全等．2.（1）180；中心对称；对称中心；对称点．（2）对称中心；平分；全等图形．4. -x；-y精讲精练1.略2. B3. 35°4. 85°5. C6. 45°7. B8. B9. ①②⑤⑥⑦⑧10.B11.C12. 213.B114.515. -116. （1）A1(5，3)，B1(1，2)（2）A2(3，-5)，B2(2，–1)，C2(1，–3)A3(5，–5)，B3(4，–1)，C3(3，–3)赠送相关资料考试答题的技巧拿到试卷之后，可以总体上浏览一下，根据以前积累的考试经验，大致估计一下试卷中每部分应该分配的时间。

人教版数学九年级上册 旋转几何综合专题练习（word 版一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【解析】【分析】 （1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点，//PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．2．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转()090a α︒<<︒，其它条件不变，线段ED 与线段EB 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22=最小值322=． 【解析】【分析】（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值．【详解】（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF∴DE=EB∵AB=BC ，∴∠DAB=45°∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB)=360°－2×135°=90°∴DE ⊥EB（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长MF 交CB 于点H∵ME=EB，点E是AF的中点∴四边形MFBA是平行四边形∴MF∥AB，MF=AB∴∠MHB=180°－∠ABC=90°∵∠DCA=∠FCB=a∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a∵∠DCF=45°，∠CDF=90°∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a∴∠DCB=∠DFM∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形∴DC=DF，BC=AB=MF∴△DCB≌△DFM(SAS)∴∠MDF=∠BDC，DB=DM∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°∴△DMB是等腰直角三角形∵点E是MB的中点∴DE=EB，DE⊥EB（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，AC=62∵CF=32，∴AF=32∴CE=CF+FE=CF+12AF922=当点F在AC延长线上时，CE有最小值，图形如下：同理，CE=EF－CF322 =【点睛】本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM是等腰直角三角形．3．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC中，把AB点A顺时针旋转α (0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，请问△AB′C′边B′C′上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．猜想论证：(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用(3)如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠A+∠B=120°，BC=12，CD=6，DA=63，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出△PDC的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．【答案】(1)①12；②4(2) AD=12BC，理由见解析(3)存在，313【解析】【分析】(1)①由已知条件可得AD⊥B′C′，由α+β=180°可得∠BAC+∠B′AC′=180°，已知∠BAC=60°，可求得∠B′AC′=120°继而∠B′=∠C′=30°，可得AD=12AB′=12BC②当∠BAC=90°时，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可证得△BAC≌△B′AC′，推出对应边相等，已知BC=8求出AD的长.（2）先做辅助线，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：因为B′D=DC′，AD=DM，对角线相互平分，可得四边形AC′MB′是平行四边形，得出对应边相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可证明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，AD=12 BC；(3)先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O假设P点存在，再证明理由.根据已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CMDM在；∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=12 BMDE=EM﹣DM﹣由已知DAAE=DE且BE⊥AD，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得PA=PD因为PB=PC，PF∥CD，可求得CF=12BC，利用线段长度可求得∠CDF=60°利用全等三角形判定定理可证得△FCP≌△CFD(AAS)，进而证得四边形CDPF是矩形，得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等边三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ长度.【详解】(1)①∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60°∵DB′=DC′∴AD⊥B′C′∵∠BAB′+∠CAC′=180°∴∠BAC+∠B′AC′=180°∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°∴∠B′=∠C′=30°∴AD=12AB′=12BC故答案：1 2②∵∠BAB′+∠CAC′=180°∴∠BAC+∠B′AC′=180°∵∠BAC=90°∴∠B′AC′=∠BAC=90°在△BAC和△B′AC′中，''"90"AB ABBAC B ACAC AC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△BAC≌△B′AC′(SAS)∴BC=B′C′∵B′D=DC′∴AD=12B′C′=12BC=4故答案：4(2)AD与BC的数量关系：AD=12BC；理由如下：延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC，∵∠BAB′+∠CAC′=180°，∴∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠BAC=∠AB′M，在△BAC和△AB′M中，'''AC B MBAC AB MAB AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC≌△AB′M(SAS)，∴BC=AM，∴AD=12 BC；(3)存在；作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示：∵∠A+∠B=120°，∴∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM3DM3，∠M=90°﹣∠MDC=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM333，∠MBE=90°﹣∠M=30°，∴EM=12BM3∴DE=EM﹣DM333∵DA∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，∵PF是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，PF∥CD，在Rt△CDF中，∵CD=6，CF=12 BC∴tan∠CDF=CFCD=6，∴∠CDF=60°，∴∠MDF=∠MDC+∠CDF=30°+60°=90°，∴∠ADF=90°=∠AEB，∴∠CBE=∠CFD，∵∠CBE=∠PCF，∴∠CFD=∠PCF=30°，∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∴∠CPF=∠CDF=60°，在△FCP和△CFD中，CPF CDFPCF CFD CF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCP≌△CFD(AAS)，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠APD=60°，∵∠BPF=∠CPF=90°﹣30°=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系；在Rt△PDQ中，∵∠PDQ=90°，PD=DADN=12CD=3，∴PQ．【点睛】本题考查了三角形的边旋转的问题，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系.在证明某点知否存在时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性.4．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．【答案】（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴【解析】试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．(2) 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED 得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长．(1)∠B+∠D=180°（或互补）．(2)∵ AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．∴ EC2+CG2=EG2．在△AEG与△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED ．∴DE=EG．又∵CG=BD,∴ BD2+EC2=DE2．∴．考点：1．面动旋转问题；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理．5．(1)观察猜想如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点．以点D为顶点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG，则线段BG和AE的数量关系是_____；(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值．【答案】（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝【解析】解：（1）BG＝AE．（2）成立．如图②，连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．∴AF＝．即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．6．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．试题解析：（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AO C′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．7．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=12AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=12AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=12AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=12AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM ，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN ∥AE ，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM ⊥MN ．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．8．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB =42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′． （1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． （3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2142y x =-+；（2）2＜m ＜223）m =6或m 17﹣3．【解析】 【分析】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （20），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （220）代入可得a =12-，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--，由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解不等式组即可解决问题； （3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题． 【详解】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A（0），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A（0）代入可得a =12-， ∴抛物线C 的函数表达式为2142y x =-+．（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--， 由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-= ，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩， 解得2＜m＜∴满足条件的m 的取值范围为2＜m＜ （3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-+上，∴()212242m m -=-++，解得m =17﹣3或﹣17﹣3（舍弃），∴m =17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，()212242m m -=--+，解得m =6或0（舍弃），∴m =6时，四边形PMP ′N 是正方形．综上所述：m =6或m 17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．9．两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点．（1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．【解析】试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，即可推出答案；（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．试题解析：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG ，FH ⊥FG ．连接AD ，BE ，两线交于Z ，AD 交BC 于X ，同（1）可证 ∴FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∵三角形ECD 、ACB 是等腰直角三角形，∴CE=CD ，AC=BC ，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE ， 在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠EBC=∠DAC ，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB ，∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD ⊥BE ，∵FH ∥AD ，FG ∥BE ，∴FH ⊥FG ，即FH=FG ，FH ⊥FG ，结论是FH=FG ，FH ⊥FG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．10．（操作发现）（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ，在三角板斜边上取一点F ，使CF=CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE=30°，连接AF ，EF ．①求∠EAF 的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；（类比探究）（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：①∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2【解析】试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．试题解析：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②DE=EF．理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°．∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD 中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．。

第二十三章旋转测试1 图形的旋转学习要求1．通过实例认识图形的旋转变换，理解旋转的含义；通过探索它的基本特征，理解旋转变换的基本性质．2．能按要求作出简单平面图形旋转后的图形．课堂学习检测一、填空题1．在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换叫做旋转．这个点O 叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的．2．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两点叫做这个旋转的______．3．如图，△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′=90°，则旋转中心是点______．旋转角是______．点A的对应点是______．线段AB的对应线段是______．∠B的对应角是______．∠BOB′=______．3题图4．如图，△ABC绕着点O旋转到△DEF的位置，则旋转中心是______．旋转角是______．AO=______，AB=______，∠ACB=∠______．4题图5．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转______度，可与其自身重合．5题图6．一个平行四边形ABCD，如果绕其对角线的交点O旋转，至少要旋转______度，才可与其自身重合．7．钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了______度．8．旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______．二、选择题9．下图中，不是旋转对称图形的是( )．10．有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )．①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为( )．A．∠BOF B．∠AODC．∠COE D．∠COF12．如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有( )个．A．1 B．2C．3 D．413．下面各图中，哪些绕一点旋转180°后能与原来的图形重合?( )．A．①、④、⑤B．①、③、⑤C．②、③、⑤D．②、④、⑤综合、运用、诊断14．如图，六角星可看作是由什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的?15．如图，五角星可看作是由什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的?16．已知：如图，四边形ABCD及一点P．求作：四边形A′B′C′D′，使得它是由四边形ABCD绕P点顺时针旋转150°得到的．17．如图，已知有两个同心圆，半径OA、OB成30°角，OB与小圆交于C点，若把△ABC每次绕O点逆时针旋转30°，试画出所得的图形．拓广、探究、思考18．已知：如图，当半径为30cm的转动轮按顺时针方向转过120°角时，传送带上的物体A向哪个方向移动?移动的距离是多少?19．已知：如图，F是正方形ABCD中BC边上一点，延长AB到E，使得BE=BF，试用旋转的性质说明：AF=CE且AF⊥CE．20．已知：如图，若线段CD是由线段AB经过旋转变换得到的．求作：旋转中心O点．21．已知：如图，P为等边△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，试说明：以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数．测试2 中心对称学习要求1．理解两个图形关于某一点中心对称的概念及其性质，能作一个图形关于某一个点的中心对称图形．2．理解中心对称图形．3．能熟练掌握关于原点对称的点的坐标．4．能综合运用平移、轴对称、旋转等变换解决图形变换问题．课堂学习检测一、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转______，如果它能够与另一个图形______，那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______．2．关于中心对称的两个图形的性质是：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连______都经过______，而且被对称中心所______．(2)关于中心对称的两个图形是______．3．把一个图形绕着某一个点旋转______，如果旋转后的图形能够与原来的图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的______．4．线段不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______．5．平行四边形是______图形，它的对称中心是____________．6．圆不仅是轴对称图形，而且是______图形，它的对称中心是______．7．若线段AB、CD关于点P成中心对称，则线段AB、CD的关系是______．8．如图，若四边形ABCD与四边形CEFG成中心对称，则它们的对称中心是______，点A的对称点是______，E的对称点是______．BD∥______且BD=______．连结A，F的线段经过______，且被C点______，△ABD≌______．8题图9．若O点是□ABCD对角线AC、BD的交点，过O点作直线l交AD于E，交BC于F．则线段OF与OE的关系是______，梯形ABFE与梯形CDEF是______图形．二、选择题10．下列图形中，不是．．中心对称图形的是( )．A．圆B．菱形C．矩形D．等边三角形11．以下四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )．A．4个B．3个C．2个D．1个12．下列图形中，是中心对称图形的有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个13．下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )．综合、运用、诊断14．如图，已知四边形ABCD及点O．求作：四边形A′B′C′D′，使得四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于O点中心对称．15．已知：如图，四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明理由．16．如下图，图(1)和图(2)是中心对称图形，仿照(1)和(2)，完成(3)，(4)，(5)，(6)的中心对称图形．17．如图，有一块长方形钢板，工人师傅想把它分成面积相等的两部分，请你在图中画出作图痕迹．18．已知：三点A(－1，1)，B(－3，2)，C(－4，－1)．(1)作出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出各顶点的坐标；(2)作出与△ABC关于P(1，－2)点对称的△A2B2C2，并写出各顶点的坐标．拓广、探究、思考19．(1)到目前为止，已研究的图形变换有哪几种?这些变换的共同性质有哪些?(2)如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可由△OBC旋转得到的三角形有a个，可由△OBC平移得到的三角形有b个，可由△OBC轴对称得到的三角形有c个，试求(a＋b＋c)a＋b －c的值．20．已知：直线l的解析式为y=2x＋3，若先作直线l关于原点的对称直线l1，再作直线l1关于y 轴的对称直线l2，最后将直线l2沿y轴向上平移4个单位长度得到直线l3，试求l3的解析式．21．如图，将给出的4张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，你能判断出被旋转过的1张牌是哪一张吗?为什么?测试3 旋转的综合训练一、填空题1．如图，用等腰直角三角板画∠AOB =45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______°．1题图2．如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形A ′B ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积等于______．2题图3．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1，0)，将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得到P 1，延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°，得点P 3，则P 3的坐标是______．4．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =3，BC =5，AB =1，把线段CD 绕点D 逆时针旋转90°到DE 位置，连结AE ，则AE 的长为______．4题图5．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B ，E 在C ，D 的同侧．若,2=AB 则BE =______．5题图6．如图，已知D，E分别是正三角形的边BC和CA上的点，且AE=CD，AD与BE交于P，则∠BPD______°．6题图二、选择题7．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )．A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．平行四边形8．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合?甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是( )．8题图A．甲B．乙C．丙D．丁9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是( )．A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的10．以下图的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折后，再绕中心旋转180°，所得到的图形是( )．三、解答题11．已知：如图，四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B =30°，AD =CD ．求证：BD 2=AB 2＋BC 2．12．已知：如图，E 是正方形ABCD 的边CD 上任意一点，F 是边AD 上的点，且FB 平分∠ABE ．求证：BE =AF ＋CE ．13．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D =180°，AB =AD ，E ，F 分别是线段BC ，CD 上的点，且BE ＋FD =EF ． 求证：.21BAD EAF ∠=∠14．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 中点，DE 、DF 分别交AC 于E ，交BC 于F ，且DE ⊥DF ．(1)如果CA =CB ，求证：AE 2＋BF 2=EF 2；(2)如果CA ＜CB ，(1)中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．答案与提示第二十三章旋转测试11．一点O，一个角度，旋转中心，旋转角，旋转中心，旋转角．2．对应点．3．O，90°，A'点，A'B'，∠B'，∠AO A'＝90°．4．O点，∠DOA或∠FOC或∠EOB，DO，DE，∠DFE．5．120．6．180．7．270．8．距离，旋转角，全等．9．B．10．D．11．D．12．C．13．A．14．答案不唯一，如可看成正△ACE绕其中心旋转60°得到的．15．可看成四边形AFOJ绕O点每次旋转72°，共旋转了四次得到的．16．略．17．略．18．物体A向右平移，移动的距离是20πcm．19．△CBE可看成由△ABF按顺时针旋转90°得到的，所以△CBE≌△ABF，并且CE＝AF，AF ⊥CE．20．分两类：(1)A与C是对应点．(2)B与C是对应点，对(1)的作法：(1)连结AC，作线段AC的垂直平分线l1；(2)连结BD，作线段BD的垂直平分线l2，与l1交于O点，则O点为所求．同理可作出(2)的O′选点．21．提示：如图1，以C为旋转中心，将△APC绕C点逆时针旋转60°得到△BDC，易证△PCD 为等边三角形，△PBD是以BP，AP(＝BD)，CP(＝PD)为三边的三角形．∠PBD＝53°，∠BPD＝64°，∠PDB＝63°．图1测试21．180°，重合，对称中心，对称点．2．(1)线段，对称中心，平分；(2)全等图形．3．180°，重合，对称中心．4．中心对称，它的中点．5．中心对称，它的两条对角线的交点．6．中心对称，它的圆心．7．AB＝CD且AB∥CD或AB与CD共线．8．C点，点F，D点，EG，EG，C点，平分，△FGE．9．OF＝OE，全等．10．D．11．B．12．C．13．C．14．略．15．作法：分别连结CG、BF，则它们的交点O为两四边形的对称中心．其理由是关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而CG、BF两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心．16．略．17．18．(1)A 1(1，－1)、B 1(3，－2)、C 1(4，1)．(2)A 2(3，－5)、B 2(5，－6)、C 2(6，－3)．19．(1)平移变换、轴对称变换、旋转变换．一个图形经过平移、轴对称、旋转变换，它的形状和大小都不会改变．即所得的图形与原图形全等．(2)a ＝5，b ＝2，c ＝5，(a ＋b ＋c )a ＋b －c ＝122＝144．20．l 1∶y ＝2x －3， l 2∶y ＝－2x －3， l 3∶y ＝－2x ＋1．21．第2张，是中心对称图形．测试3 1．22． 2．⋅33 3．⋅-)3,1( 4．.52 5．1 6．60．7．B ． 8．B ． 9．A ． 10．A ．11．提示：如图，以BC 为边向形外作等边△BCE ，连结AC ，AE ．可证△BCD ≌△ECA ，AE ＝BD ，∠ABE ＝90°，在Rt △ABE 中，有AB 2＋BE 2＝AE 2，即AB 2＋BC 2＝BD 2．11题图12．提示：如图，延长EC 到M ，使CM ＝AF ，连结BM ．易证△AFB ≌△CMB ，∠4＝∠M ．又AD ∥BC ，∴4＝∠2＋∠5＝∠1＋∠5＝∠3＋∠5．∴∠M ＝∠EBM ．∴BE ＝EM ＝AF ＋CE ．12题图13．提示：延长FD 到H ，使DH ＝BE ，易证△ABE ≌△ADH ．再证△AEF ≌△AHF ． 21=∠=∠∴FAH EAF .21BAD EAH ∠=∠ 14．提示：如图，(1)连结CD ，证△CDE ≌△BDF ．CE ＝BF ．∵CA ＝CB ， ∴ AE ＝CF ．在Rt △CEF 中，CE 2＋CF 2＝EF 2，∴AE 2＋BF 2＝EF 2．(2)延长FD到M，使DM＝DF，连结AM、EM，先证△BFD≌△AMD．∴AM＝BF，∠DAM ＝∠B，再证EM＝EF．14题图。

旋转基础练习附答案时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J23-1-1，将△ABC旋转至△CDE，则下列结论中一定成立的是()A．AC＝CE B．∠A＝∠DEC C．AB＝CD D．BC＝EC2．如图J23-1-2，将三角尺ABC(其中∠ABC＝60°，∠C＝90°)绕点B按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于()A．120°B．90°C．60°D．30°图J23-1-1 图J23-1-2 图J23-1-3 图J23-1-4二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J23-1-3，△ABC绕点C旋转后得到△CDE，则∠A的对应角是__________，∠B＝________，AB＝________，AC＝________.4．如图J23-1-4，AC⊥BE，AC＝EC，CB＝CF，则△EFC可以看作是△ABC绕点________按________方向旋转了__________度而得到的．三、解答题(共11分)5．如图J23-1-5，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE＝BC，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF，△ABC旋转后能与△FBE重合，请回答：(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AC与EF的关系如何？图J23-1-5基础知识反馈卡·23.2.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是()2．如图J23-2-1，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是()A．OC＝OC′B．OA＝OA′C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′图J23-2-1 图J23-2-2 图J23-2-3二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J23-2-2，△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，如果连接线段AA′，BB′，CC′，它们都经过点_____，且AB＝________，AC＝________，BC＝________.4．如图J23-2-3，将等边△ABD沿BD中点旋转180°得到△BDC.现给出下列命题：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD是中心对称图形；③四边形ABCD是轴对称图形；④AC＝BD.其中正确的是________(写上正确的序号)．三、解答题(共11分)5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图J23-2-4所示，将△ABC沿y 轴翻折得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°得到△A2B2C2.请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2.图J23-2-4基础知识反馈卡·23.2.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．若点A(n,2)与点B(－3，m)关于原点对称，则n－m＝()A．－1 B．－5C．1 D．52．点P关于原点的对称点为P1(3,4)，则点P的坐标为()A．(3，－4) B．(－3，－4)C．(－4，－3) D．(－3,4)3．若点A(2，－2)关于x轴的对称点为B，点B关于原点的对称点为C，则点C的坐标是()A．(2,2) B．(－2,2)C．(－1，－1) D．(－2，－2)二、填空题(每小题4分，共8分)4．点A(－2,1)关于y轴对称的点坐标为________，关于原点对称的点的坐标为________．5．若点A(2，a)关于x轴的对称点是B(b，－3)，则ab的值是________．三、解答题(共8分)6．如图J23-2-5，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB 关于原点对称的图形．图J23-2-5基础知识反馈卡·23.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．下列选项中，能通过旋转把图a变换为图b的是()2．图J23-3-1的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的有()图J23-3-1A．1个B．2个C．3个D．4个3．在下图右侧的四个三角形中，不能由左侧的三角形经过旋转或平移得到的是()二、填空题(每小题4分，共8分)4．正六边形可以看成由基本图形________经过________次旋转而成．5．如图J23-3-2，一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是__________；在前16个图案中“”有______个．图J23-3-2三、解答题(共8分)6．认真观察图J23-3-3中的四个图案，回答下列问题：图J23-3-3(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：____________________；特征2：____________________________.(2)请你在图J23-3-4中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．图J23-3-4基础知识反馈卡·23.2.11．B 2.D3．O A′B′A′C′B′C′ 4.①②③5．解：如图DJ1.图DJ1基础知识反馈卡·23.2.21．D 2.B 3.D4．(2,1)(2，－1) 5.66．解：如图DJ2.图DJ2基础知识反馈卡·23.31．A 2.D 3.B4．正三角形 65. 56．解：(1)是轴对称图形是中心对称图形(2)如图DJ3(答案不唯一)．图DJ3。

新人教版九年级数学上册小专题旋转性质的运用题组1 运用旋转性质进行计算1.(南京中考)如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=110°，则∠α=____2.(西宁中考)如图，是两块完全一样的含30°角的直角三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上.当∠A=30°，AC=10时，则此时两直角顶点C、C1的距离是____.3.(海南中考)如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是____.4.如图，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°到△ECD 的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长.5.把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6 cm，DC=7 cm.把三角板DCE 绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙).这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F.(1)求∠OFE1的度数；(2)求线段AD1的长；(3)若把三角形D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由.题组2 运用旋转性质进行作图或证明1.我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点称为旋转中心.(1)如图1，△ABC≌△DEF.△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由；(2)如图2，△ABC≌△MNK.△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由.(保留必要的作图痕迹)2.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A(-7，1)，B(1，1)，C(1，7).线段DE的端点坐标是D(7，-1)，E(-1，-7).(1)试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；(3)画出(2)中的△DEF，并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出旋转后的图形.3.(娄底中考)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM=AN；(2)当旋转角α=30°时，四边形ABPE是什么样的特殊四边形？并说明理由.参考答案题组11.20°2.53.60°4.由∠BAC=120°知∠ABC+∠ACB=60°，又∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=∠DCE ，∠CBD=∠BCD=60°，∴∠ACB+∠BCD+∠DCE=∠ACB+∠BCD+∠ABC+∠CBD=180°，即点A 、C 、E 在一条直线上.又∵AD=ED ，∠ADE=60°，∴△ADE 为等边三角形.∴∠BAD=∠E=60°，AD=AE=AC+CE=AC+AB=5.5.(1)设BC 与E 1F 相交于点H.∵∠BCE 1=15°，∠E 1=90°，∴∠BHF=∠CHE 1=75°.又∵∠B=45°，∴∠OFE 1=∠B+∠ BHF=75°+45°=120°.(2)∵∠OFE 1=120°，∴∠D 1FO=60°.∵∠CD 1E 1=30°，∴∠BOC=90°.又∵AC=BC ，AB=6，∴OA=OB=3.∵∠ACB=90°，∴CO=21AB=21×6=3.又∵CD 1=7，∴OD 1=CD 1-OC=7-3=4.在Rt △AD 1O 中，AD 1=212OD OA +=2243+=5. (3)点B 在△D 2CE 2内部.理由：设BC(或延长线)交D 2E 2于点P ，则∠PCE 2=15°+30°=45°.在Rt △PCE 2中，CP=2CE 2=227，∵CB=32<227，即CB<CP ，∴点B 在△D 2CE 2内部. 题组21.(1)能.；(2)能..2.(1)将线段AC 先向右平移6个单位，再向下平移8个单位(答案不唯一).(2)F(-1,-1).(3).3.(1)证明：∵∠α+∠EAC=90°，∠NAF+∠EAC=90°，∴∠α=∠NAF.又∵∠B=∠F,AB=AF ，∴△ABM ≌△AFN （ASA ）.∴AM=AN.(2)四边形ABPF 是菱形.理由：∵∠α=30°，∠EAF=90°，∴∠BAF=120°.又∵∠B=∠F=60°，∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°，∠F+∠BAF=60°+120°=180°.∴AF ∥BC ，AB ∥EF.∴四边形ABPF 是平行四边形.又∵AB=AF ，∴四边形ABPF 是菱形.。

单元测试1．以下正确描述旋转特点的说法是（）A．旋转后取得的图形与原图形形状与大小都发生转变．B．旋转后取得的图形与原图形形状不变，大小发生转变．C．旋转后取得的图形与原图形形状发生转变，大小不变．D．旋转后取得的图形与原图形形状与大小都没有转变．2．以下描述中心对称的特点的语句中，其中正确的选项是（）A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不必然通过对称中心B．成中心对称的两个图形中，对称中心不必然平分连接对称点的线段C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线必然通过对称中心，但不必然被对称中心平分D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线必然通过对称中心，且被对称中心平分3．4．以下图形中即是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（）A．（l）（2）B．（l）（2）（3）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3（4）5．以下图形中，是中心对称的图形有（）①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形。

A．5个 B．2个 C．3个 D．4个6．在平面直角坐标系中，点P（2，—3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3） B．（—2，3） C．（—2，—3） D．（—3，2）7．将图形按顺时针方向旋转900后的图形是( )A B C D8．将一图形绕着点O顺时针方向旋转700后，再绕着点O逆时针方向旋转1200，这时若是要使图形回到原先的位置，需要将图形绕着点O什么方向旋转多少度？（）A 、顺时针方向 500B 、逆时针方向 500C 、顺时针方向 1900D 、逆时针方向 1909．如下图，图中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后形成的个数是（ ）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个10．如下左图，ΔABC 和ΔADE 都是等腰直角三角形，∠C 和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，ΔABC 绕着A 点通过逆时针旋转后能够与ΔADE 重合取得图23—A —4，再将图23—A —4作为“大体图形”绕着A 点通过逆时针持续旋转取得右图.两次旋转的角度别离为（ ）.A ．45°，90°B ．90°，45°C ．60°，30°D ．30°，60°11．以下这些漂亮的图案都是在“几何画板”软件中利用旋转的知识在一个图案的基础上加工而成的，每一个图案都能够看做是它的“大体图案”绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转的角度为（ ）A ．︒30B ．︒60C ．︒120 D12．一条线段绕其上一点旋转90°与原先的线段位置 关系．13．以下大写字母A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J ，K ，L ，M ，N ，O ，P ，Q ，R ，S ，T ，U ，V ，W ，X ，Y ，Z 旋转90°和原先形状一样的有 ，旋转180°和原先形状一样的有 ． 14．钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，它的旋转中心是____________，通过20分钟，分针旋转了____________。