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押题2018年中考数学之提升解题能力训练专题15 巧用旋转进行证明与计算【母题重现】（2017山东省潍坊市第24题）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=（1）如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）【解析】【分析】（1）先判断出四边形MCND'为平行四边形，再由菱形的性质得出CN=CM，即可求出CC'；（2）①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD≌△BCE'即可得出结论；②先判断出点A，C，P三点共线，先求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出结论．点睛：此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是四边形MCND'是平行四边形，解（2）的关键是判断出点A，C，P三点共线时，AP最大．考点：四边形综合题；平移的性质；旋转的性质；最值问题；探究型；压轴题．【方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口．【中考回顾】（2017山东德州市第11题）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b(a ＞b),M在边BC上，且BM=b，连AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF。
专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算【经典母题】已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形；(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断．图Z15－1 经典母题答图解：(1)如答图所示；(2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略．【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口．【中考变形】1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数是 ( D )图Z15－2A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝( B )A．1∶ 2 B．1∶2C.3∶2 D．1∶ 3图Z15－3 中考变形2答图【解析】如答图，连结AP，PP′，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP ＝∠CBP′.在△ABP 和△CBP′中，⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝BP′，∠ABP ＝∠CBP′，AB ＝CB ，∴△ABP ≌△CBP ′(SAS)，∴AP ＝P′C.∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP ＝3P′A.∵△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P ＝45°，PP ′＝2PB.∵∠AP ′B ＝135°，∴∠AP ′P ＝135°－45°＝90°，∴△APP ′是直角三角形．设P′A＝x ，则AP ＝3x ，根据勾股定理，得PP′＝AP 2－P′A 2＝（3x ）2－x 2＝22x ，∴P ′B ＝PB ＝2x ，∴P ′A ∶PB ＝x∶2x＝1∶2.3．[2019·徐州]如图Z15－4，已知AC⊥BC，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连结DC ，DB. (1)线段DC ＝__4__； (2)求线段DB 的长度．图Z15－4中考变形3答图解：(1)∵AC＝AD ，∠CAD ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴DC ＝AC ＝4； (2)如答图，作DE⊥BC 于点E. ∵△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD ＝60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE ＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，在Rt △CDE 中，DE ＝12DC ＝2，CE ＝DC·cos30°＝4×32 ＝23，∴BE ＝BC －CE ＝33－23＝ 3.在Rt △BDE 中，BD ＝DE 2＋BE 2＝22＋（3）2＝7.4．如图Z15－5①，在△ABC 中，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝BE ，D 是AE 上的一点，且DE ＝CE ，连结BD ，CD. (1)判断BD 与AC 的位置关系和数量关系，并给出证明；(2)如图②，若将△DCE 绕点E 旋转一定的角度后，BD 与AC 的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？(3)如图③，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD 与AC 夹角的度数．图Z15－5解：(1)BD 与AC 的位置关系是BD⊥AC，数量关系是BD ＝如答图①，延长BD 交AC 于点F. ∵AE ⊥BC 于点E ， ∴∠BED ＝∠AEC＝90°. ∵AE ＝BE ，DE ＝CE ， ∴△DBE ≌△CAE(SAS)，∴BD ＝AC ，∠DBE ＝∠CAE，∠BDE ＝∠ACE.∵∠BDE ＝∠ADF，∴∠ADF ＝∠ACE.∵∠ACE ＋∠CAE＝90°，∴∠ADF ＋∠CAE＝90°，∴BD ⊥AC ； (2)否．证明：如答图②，AC 与BD 交于点F ， ∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠AED＝∠DEC＋∠AED， 即∠BED＝∠AEC. ∵AE＝BE ，DE ＝CE ， ∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD＝AC ，∠BDE＝∠ACE，∠DBE＝∠CAE.∵∠BFC＝∠ACD＋∠CDE＋∠BDE＝∠ACD＋∠CDE＋∠ACE＝90°，∴BD⊥AC； (3)如答图③，AC 与BD 交于点F. ∵△ABE 和△DEC 是等边三角形，∴AE＝BE ，DE ＝EC ，∠EDC＝∠DCE＝60°， ∠BE A ＝∠DEC＝60°，∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝AE ，∠BED＝∠AEC，DE ＝CE ，∴△BED≌△AEC(SAS)，∴∠BDE＝∠ACE， 中考变形4答图②中考变形4答图③∴∠DFC＝180°－(∠BDE＋∠EDC＋∠DCF)＝60°，∴BD与AC的夹角度数为60°或120°.5．阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题：如图Z15－6①，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图②，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连结PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你回答：图①中∠APB＝__150°__；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(2)如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝22，PB＝1，PD＝17，求∠APB的度数和正方形的边长．图Z15－6解：(1)如答图①，把△APB绕点A逆时针旋转60°得△AP′C，由旋转的性质，得P′A＝PA＝3，P′C＝PB＝4，∠PAP′＝60°，∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25，∴PP′2＋P′C2＝PC2，∴∠PP′C＝90°，∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°，∴∠APB＝∠AP′C＝150°；(2)如答图②，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AP′D，由旋转的性质，得P′A＝PA＝22，P′D＝PB＝1，∠PAP′＝90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′＝2PA＝2×22＝4，∠AP′P＝45°，∵PP′2＋P′D2＝42＋12＝17，PD2＝(17)2＝17，∴PP′2＋P′D2＝PD2，∴∠PP′D＝90°，中考变形5答图①中考变形5答图②∴∠AP ′D ＝∠AP′P＋∠PP′D＝45°＋90°＝135°， ∴∠APB ＝∠AP′D＝135°.∵∠APB ＋∠APP′＝135°＋45°＝180°， ∴P ′，P ，B 三点共线．过点A 作AE⊥PP′于点E ，则AE ＝PE ＝12PP ′＝2，∴BE ＝PE ＋PB ＝2＋1＝3，在Rt△ABE 中，AB ＝AE 2＋BE 2＝22＋32＝13. 【中考预测】(1)如图Z15－7①，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高线AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数；(2)如图②，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，M ，N 是BD 边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°至△ADH 位置，连结NH ，试判断MN 2，ND 2，DH 2之间的数量关系，并说明理由；(3)在图①中，若EG ＝4，GF ＝6，求正方形ABCD 的边长．图Z15－7解：(1)在正方形ABCD 中，∠B ＝∠D＝90°， ∵AG ⊥EF ，∴△ABE 和△A GE 是直角三角形． 在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AG ，AE ＝AE ， ∴△ABE ≌△AGE(HL)，∴∠BAE ＝∠GAE. 同理，∠GAF ＝∠DAF.∴∠EAF ＝∠EAG＋∠FAG＝12∠BAD ＝45°；(2)MN 2＝ND 2＋DH 2.由旋转可知，∠BAM ＝∠DAH， ∵∠BAM ＋∠DAN＝45°， ∴∠HAN ＝∠DAH＋∠DAN＝45°. ∴∠HAN ＝∠MAN.在△AMN 与△AHN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AH ，∠MAN ＝∠HAN，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AHN(SAS)，∴MN ＝HN.∵∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，∴∠B ＝∠ADB＝45°， ∴∠HDN ＝∠HDA＋∠ADB＝90°， ∴NH 2＝ND 2＋DH 2，∴MN 2＝ND 2＋DH 2； (3)由(1)知，BE ＝EG ＝4，DF ＝FG ＝6.设正方形ABCD 的边长为x ，则CE ＝x －4，CF ＝x －6. ∵CE 2＋CF 2＝EF 2，∴(x －4)2＋(x －6)2＝102， 解得x 1＝12，x 2＝－2(不合题意，舍去)． ∴正方形ABCD 的边长为12.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知二次函数y=kx 2﹣7x ﹣7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为（ ） A ．k ＞﹣74B ．k ＞﹣74且k≠0 C ．k≥﹣74D ．k≥﹣74且k≠0 2．有理数﹣12的倒数是（ ） A ．12B ．﹣2C ．2D ．13．下列计算中，不正确的是( ) A ．222a 2ab b (a b)-+=- B ．2510a a a ⋅=C ．()a b b a--=-D ．32223a b a b 3a ÷=4．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a ＝4，b ＝5，则该矩形的面积为（ ）A.50B.40C.30D.205．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ．动点D 从点C 出发，沿线段CB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时动点O 从点B 出发，沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t （s ），以点O 为圆心，OB 长为半径的⊙O 与BA 交于另一点E ，连接ED ．当直线DE 与⊙O 相切时，t 的取值是（ ）A. B. C. D.6．如图，四边形ACBD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，点E 是DB 延长线上的一点，且∠DCE ＝90°，DC 与AB 交于点G ．当BA 平分∠DBC 时，BDDE的值为（ ）A ．12B ．13C ．-2D ．27．下列运算中正确的是（ ） A ．236x x x ⋅=B ．238()x x =C ．222()xy x y -=- D ．633x x x ÷=8．下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩，根据统计图中的信息，下列结论正确的是（ ）A ．甲队员成绩的平均数比乙队员的大B ．乙队员成绩的平均数比甲队员的大C ．甲队员成绩的中位数比乙队员的大D ．甲队员成绩的方差比乙队员的大9．点A ，点B 的位置如图所示，抛物线y ＝ax 2﹣2ax 经过A ，B ，则下列说法不正确的是（ ）A.点B 在抛物线对称轴的左侧;B.抛物线的对称轴是x ＝1C.抛物线的开口向上 ;D.抛物线的顶点在第四象限.10．小红同学5月份各项消费情况的扇形统计图如图所示，其中小红在学习用品上共支出100元，则她在午餐上共支出（ ）A ．50元B ．100元C ．150元D ．200元11．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是( )已知：如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE //BC ，DF//AC ， 求证：ADE ∽DBF ． 证明：①又DF//AC ，DE //BC ②，A BDF ∠∠∴=③，ADE B ∠∠∴=④，ADE ∴∽DBF ．A.③②④①B.②④①③C.③①④②D.②③④①12．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学知道自己的成绩后，要判断能否进入决赛，还需知道这9名同学成绩的（ ） A ．众数 B ．中位数C ．平均数D ．方差二、填空题13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点,A B 均在格点上，12,l l 是一条小河平行的两岸. (Ⅰ)AB 的距离等于_____；(Ⅱ)现要在小河上修一座垂直于两岸的桥MN (点M 在1l 上，点N 在2l 上，桥的宽度忽略)，使AM MN NB ++最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出MN ，并简要说明点M ，N 的位置是如何找到的(不要求证明)_________________________________.14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D 是AB 的中点，点P 是直线AC 上一点，将△ADP 沿DP 所在的直线翻折后，点A 落在A 1处，若A 1D ⊥AC ，则点P 与点A 之间的距离为______．15．用48m 长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，则其面积为______2m16．如图，△ABC 中，点D 、E 分別在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB=1：2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为__________．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝4，点A 在y 轴上，点C 在x 轴上，则点A 在移动过程中，BO 的最大值是_____．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3）在x 轴上方的部分，记作1C ，它与x 轴交于点O ，1A ，将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，2C 与x 轴交于另一点2A ．请继续操作并探究：将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，与x 轴交于另一点3A ；将3C 绕点3A 旋转180°得4C ，与x 轴交于另一点4A ，这样依次得到x 轴上的点1A ，2A ，3A ，…，n A ，…，及抛物线1C ，2C ，…，n C ，…则n C 的顶点坐标为_____.三、解答题19．如图，直线y 1＝2x+1与双曲线y 2＝kx相交于A （﹣2，a ）和B 两点． （1）求k 的值；（2）在点B上方的直线y＝m与直线AB相交于点M，与双曲线y2＝kx相交于点N，若MN＝32，求m的值；（3）在（2）前提下，请结合图象，求不等式2x＜kx﹣1＜m﹣1的解集．20．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某市某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进A，B两种型号的净水器共55台进行试销，其中A型净水器为m台，购买两种净水器的总资金不超过10.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，该公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公司售完55台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值．21．2﹣|1|﹣tan45°+（π﹣1978）0．22．如图，在平面直角坐标系中，圆心为P（x,y）的动圆经过点A（1,2）且与x轴相切于点B.（1）当x=2是，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，在图②中画出此函数图像；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图像进行定义：此函数图像可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合；（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，则cos∠APD= ．23．《中国诗词大会》栏目中，外卖小哥击败北大硕士引发新一轮中华优秀传统文化热。
