群论考试题

- sin2 ( + 120o ) / 2 - sin2 ( - 120o ) / 2 ] = 0
P123 F = ( 31/2 / 6 ) ( PB - PC + PD – PF ) F = ( 31/2 / 6 ) [ sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 240o - )
+ sin2 ( + 120o ) - sin2 ( - 120o ) ]
再由 P213 13 得 23 = 2 1/2 cos sin ]
[ 问题5: 由 P213 F 可得 23, 是否可由P123 F 可得 13 ? 为什么? ]
[ 答案: 因为 F 中没有 23, 所以不能由P123 F 可得 13 ]
*
[ sin2 ( - 120o ) – sin2 ( + 120o ) ]
= (31/2/3)(sincos120o +cossin120o-cossin120o+sincos120o )
(sincos120o-cossin120o-sincos120o-cossin120o )
= (31/2/3) 2 sincos120o(-2cossin120o )
= ( 31/2 / 6 ) [ sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 120o + )
+ sin2 ( + 120o ) - sin2 ( - 120o ) ] = 0
*
P213 F = ( 31/2 / 6 ) ( PB - PC - PD + PF ) F
4
= ( 31/2 / 6 ) [ sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 240o - )

群论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足以下哪些条件？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 存在逆元答案：ABCD2. 以下哪个不是阿贝尔群的性质？A. 群的运算满足交换律B. 群中任意两个元素的乘积仍然在群中C. 群中存在唯一的单位元D. 群中每个元素都有唯一的逆元答案：B3. 群的阶数是指：A. 群中元素的个数B. 群中元素的最小公倍数C. 群中元素的最大公约数D. 群中元素的乘积答案：A4. 以下哪个不是子群的性质？A. 子群是群的一个非空子集B. 子群中的元素对群的运算封闭C. 子群包含群的单位元D. 子群的阶数必须小于原群的阶数答案：D5. 群的同态映射满足以下条件：A. 保持运算结构B. 映射到的群与原群是同构的C. 保持单位元和逆元D. 映射是双射答案：A二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述群的定义及其基本性质。

答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件： - 封闭性：对于任意的a, b ∈ G，有a * b ∈ G。

- 结合律：对于任意的a, b, c ∈ G，有(a * b) * c = a * (b * c)。

- 存在单位元：存在一个元素e ∈ G，使得对于任意的a ∈ G，有e * a = a * e = a。

- 存在逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b ∈ G，使得a * b = b * a = e。

2. 什么是群的同构映射？请给出一个例子。

答案：群的同构映射是指两个群之间的一个双射函数f: G → H，它保持群的运算结构，即对于任意的a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) * f(b)。

例如，考虑整数加法群(Z, +)和模n的剩余类群(Zn, +)，映射f: Z → Zn，定义为f(k) = k mod n，这是一个同构映射。

3. 解释什么是群的正规子群，并给出一个例子。

答案：群的正规子群是指满足以下条件的子群N：对于G中的任意元素g和N中的任意元素n，都有g * n * g^-1 ∈ N。

ak 1 g 1 g
RG
RG i
x
k
( R )* x( R )
j
1 g
RG
x( R)
x ( R) x
( Байду номын сангаас)
由正交定理可知：
1 g
RG
x ( R) x
i *
j
( R ) ij ，由 D i 与 D j 为不等价不可约表示有
1 g
代入上式
ak 1 g 1 g
C 1 D i D j C ak D k
k
其中 ak
1 g
RG
x
k
( R )* x( R ) x( R) 为 Di D j 表示的特征标且 x( R) xi ( R) x j ( R)
（1）若 D k 为恒等表示，则 x k ( R ) =1，则代入上式计算重数 ak 为：
3 3 3 3 2 C4 z z；C4 xy xy; C4 ( x 2 y 2 ) y 2 x 2 ; C4 x y 2 ( x 2 y 2 ) x 2 ;
mx z z; mx xy xy; mx ( x 2 y 2 ) x 2 y 2 ; mx x 2 x 2 ; m y z z; m y xy xy; m y ( x 2 y 2 ) x 2 y 2 ; m y x 2 x 2 ;
1.设A和B都是群G的子群，证明：AB是G的子群，当且仅当AB BA； 【证明】如果AB是G的子群，a A，b B, (ab) 1 b 1a 1 AB, 又b 1a 1 (ab) 1 BA, 则AB BA； 如果AB BA, ab ba, ab AB，有b 1a 1 BA和AB, 即AB中元素的逆在AB中， a1b1 , a2b2，在a （ 1 b1a2）b2中，有b1a2 BA和AB, 令b1a2 a3b3， a （ （ 1 b1a2）b2 a 1 a3b3）b2 ( a1a3 )(b3b2 ) AB,已知A和B都是群G的子群，封闭 AB是G的子群；证毕 2.一个阿贝尔群G没有非平凡子群的充要条件是：群G的阶 G 是1或者是素数； [证明]充分性：阿贝尔群只有平凡子群, 要证当 G 1或者素数p； 反证法：假设H是G的非平凡子群，则H中存在G中的非单位元h， 对于有限群，元素的阶整除群阶，则h的阶 1或者p，由h e 则ord（h） 1，而H中包含了G中的由h生成的循环子群，则 H ord（h） p， 只能是H G，这与H是G的平凡子群的假设矛盾； G是单位元时，没有非平凡子群，群阶为1. 必要性：要证阿贝尔群G的阶是1或者p时，G没有非凡子群； 当 G 1，G没有非平凡子群； 当 G p时，假设G存在非平凡子群H， 则由拉格朗日定理： G k H， k是H左陪集的个数， G kH p 与假设矛盾，因此必要性得证；证毕

群论考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 群论中，群的定义不包括以下哪一项？A. 封闭性B. 结合律C. 单位元D. 可逆性答案：D2. 以下哪个不是群的同态性质？A. 保持群的运算B. 保持群的单位元C. 保持群的逆元D. 保持群的子群答案：D3. 群论中，哪个概念描述了群元素的阶？A. 单位元B. 子群C. 元素的阶D. 同构答案：C4. 群论中，哪个概念描述了两个群结构之间的一一对应关系？A. 同态B. 同构C. 同余D. 同素答案：B5. 群论中，哪个概念描述了群的元素在群运算下可以被划分成的等价类？A. 正规子群B. 陪集C. 商群D. 同余答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足结合律，即对于群G中的任意元素a、b、c，有（）。

答案：(a * b) * c = a * (b * c)2. 群G的单位元e满足对于群G中的任意元素a，有（）。

答案：e * a = a * e = a3. 群G中的元素a的逆元记为a^(-1)，满足（）。

答案：a * a^(-1) = a^(-1) * a = e4. 群G的一个子集H是子群，当且仅当H满足（）、（）和（）。

答案：封闭性、结合律、存在单位元和逆元5. 群G的一个正规子群N，满足对于群G中的任意元素a和N中的任意元素b，有（）属于N。

答案：a * b * a^(-1)三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述群论中的拉格朗日定理。

答案：拉格朗日定理指出，对于任意有限群G和G的任意子群H，H的阶数能够整除G的阶数。

2. 请解释群论中的群同构概念。

答案：群同构是指两个群之间存在一个双射同态，即一个保持群运算的一一对应关系，使得两个群在结构上是相同的。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个群G，其元素为{e, a, a^2, a^3}，满足a^4 = e，求证G 是一个循环群，并找出其生成元。

答案：G是一个循环群，因为存在元素a使得G中的所有元素都可以表示为a的幂次。