07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案
一、 填空题（满分15分）：
1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为
10
1
。 解答：10
1
!5!321=⨯=
p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =⋃==则=)(B A P q r - 。 解答：q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-⋃=-⋃=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3)(===k a
k X P k
则a =
3
2
. 解答：32233
111310
=⇒=-⋅==
∑
∞
=a a a a k
k
4.设随机变量为ξ与η，已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答：
37
4.065236252)(),cov()
,cov(2)(,,=⨯⨯⨯-+=-+=-=
-+=-ηξηξρηξηξηξη
ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D
5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1
===-k p q
k P k ξ。则ξ的特征函数
=)(t f ξ 。
()()
.1)(:1
1
1
1
it it k k it it
k k itk it qe
pe qe pe
p q
e e E t
f -====∑∑∞
=--∞
=ξ
ξ解 二、 单项选择题（满分15分）：
1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ).
① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++ ③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++
2.下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.
①.()⎪⎩
⎪⎨⎧≥<=010
x x e x F x
②()⎪⎩
⎪⎨⎧≥<=-010
x x e x G x
③()⎩
⎨⎧≥-<=Φ0100
x e x x x
④()⎩
⎨⎧≥+<=-0100
x e x x H x
3.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为（② ）。
①n k p p p k n k P k n k ,...,1,0,10,)1()(=<<-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-ξ .
②,...2,1,3
1
)3)1((==-=k k P k k k
ξ. ③..2,1,0,0,!
)(=>=
=-k e k k P k
λλξλ .
④. ,...2,1,10 ,)1()(1
=<<-==-k p p p k P k ξ
4.设),(ηξ服从二维正态分布);,;,(2
22
121r a a N σσ，0=r 是ηξ,独立的（ ③ ）。 ①充分但不必要条件 . ②必要但不充分条件.
③充分且必要条件 . ④.既不充分也不必要条件.
5. 设随机变量21ξξ、为相互独立的随机变量，下面给出的分布中不具有再生性的为（ ③ ）。
① 二项分布 ②. 泊松分布 ③均匀分布. ④ 正态分布
三、（满分20分）
（1）把长度为a 的线段，任意折成三折，求此三线段能构成三角形的概率。
解：设y x 、分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为)(y x a +-，则
{}a y x a y a x y x ≤+<≤≤≤≤=Ω0,0,0),(，
又设
A =“三条线段能构成一个三角形”
={}
x y x a y y y x a x y x a y x y x >+-+>+-++->+)(,)(),(),( =()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<>
+2,2,2,a y a x a y x y x ,
A 的面积为8
)2(212
2a a =
⋅，则 41
2
81)(22
==Ω=a
a
A A P 的面积的面积。
（2）炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为、、,而在各处射击时命中目标的概率分别为、、,现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。
解：设A 表示“目标被击中”，1B 表示“炮弹距目标250米射出”，2B 表示“炮弹距目标200米射出”，3B 表示“炮弹距目标150米射出”，
23
1
2.02.01.07.005.01.005.01.0)
()()
()()(3
1
111=
⨯+⨯+⨯⨯=
=
∑=i i
i
B A P B P B A P B P A B P = 四、（满分16分）设ηξ,的密度函数为
()其他
1
00
8,<<<⎩⎨
⎧=y x xy
y x p
求：（1）求ηξ,的边际密度函数；（2）ηξ,是否相互独立？为什么？（3）()
y x p ；（4）ηE 。
解：(1)
()
.
100
4)(,
100141
00
8),()(3
2
1
其他
同理其他其他
<<⎩⎨
⎧=<<⎩
⎨⎧-=<<⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰∞
+∞
-y y y p x x x x ydy
x dy y x p x p x
ηξ
（2）.)()(),(不独立与，故因为ηξηξy p x p y x p = （3）当10<()其它
其它y
x y
x
y x y xy y x p <<⎪⎩⎪⎨⎧=<<⎪⎩⎪
⎨⎧=00
200482
3
