三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23.解：（Ⅰ）由题意得f(
4
π
)=2 sin
4
π
cos
4
π
=1
（Ⅱ）∵f(x)= sin2x∴函数f(x)的最小正周期为T=π
（Ⅲ）∵g(x)= sin2x+ sin(2x+
2
π
)= sin2x+cos2x=2sin(2)4
xπ
+
∴当,8
x kπ
π
=+k∈Z时，函数g(x)的最大值为2
24.解：（Ⅰ）因为椭圆的长轴长2a=22，焦距2c=2.
又由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a
所以△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=22+2
（Ⅱ）由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为y=k(x+1)(k≠0)
于是直线l与直线x=－
1
2交点Q的纵坐标为2
Q
k
y=
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1，x2≠1，
所以直线F2A的方程为1
1
(1)
1
y
y x
x
=-
-
故直线F2A与直线x=－
1
2交点P的纵坐标为
1
1
3
2(1)
P
y
y
x
-
=
-
同理，点R 的纵坐标为2
232(1)
R y y x -=
-
因为P ，Q ，R 到x 轴的距离依次成等比数列，所以|y P |·|y R |=|y Q |2
即2
121233||2(1)2(1)4
y y k x x --⨯=-- 即2212129(1)(1)
|
|(1)(1)
k x x k x x ++=-- 整理得121212129|()1||()1|x x x x x x x x +++=-++。（*）
联立22
(1),1,2
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2－2=0 所以x 1+x 2=22412k k -+ ，x 1x 2
=2
2
2212k k -+
代入（*）得22222222
2242249|1||1|12121212k k k k k k k k ----++=-+++++ 化简得|8k 2－1|=9 解得
k= 经检验，直线l 的方程为
y=(x+1) 25. （Ⅰ）解：因为f(－x)=－ax 1111x x ++-+--=－( ax 11
11
x x +++-)=－f(x)
又因为f(x)的定义域为{x ∈R |x≠－1且x≠1} 所以函数f(x)为奇函数。
（Ⅱ）证明：任取x 1，x 2∈(0，1)，设x 1f(x 1)－f(x 2)=a(x 1－x 2)+ 2121
1212(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x x --+--++
=12121211()[](1)(1)(1)(1)
x x a x x x x -----++ =121222
122(1)
()[](1)(1)
x x x x a x x +--
-- 因为02，0<(x 12－1)(x 22－1)<1
所以
1222122(1)
2(1)(1)x x a
x x +>>--
所以1222122(1)
(1)(1)
x x a x x +-
<--
又因为x 1－x 2<0，所以f(x 1)>f(x 2) 所以函数f(x)在(0，1)上单调递减 （Ⅲ）解：因为(x －1)[f(x)－
2x ]=(x －1)[ ax 221x x +-－2x
] =2222(1)22(1)(1)ax x x x x x -+--+=22(1)2
(1)
ax x x x -++
所以不等式ax 2(x 2－1)+2≥0对任意的x ∈(0，1)∪(1，+∞)恒成立。 令函数g(t)=at 2－at+2，其中t=x 2，t>0且t≠1. ①当a<0时，抛物线y=g(t)开口向下，不合题意； ②当a=0时，g(t)=2>0恒成立，所以a=0符合题意； ③当a>0时，因为g(t)=a(t －12)2－4
a
+2 所以只需－4
a
+2≥0 即0综上，a 的取值范围是0≤a≤8
