等差数列前n项和的最值问题

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法二 同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 又由因aann为＝＋1n＝－∈－2Nn2*＋（，2n7＋≥10），＋27≤0得nn≤ ≥11321212， . 所以当n＝13时，Sn有最大值，为S13＝169.
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法三 因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0.所以当n＝13时，Sn有最大值. 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，又a1＝25， 解得d＝－2， 所以 S13＝13×25＋13×2 12×(－2)＝169， 所以 Sn 的最大值为 169.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
一、基础达标
1.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( D )
A.11或12
B.12
C.13
D.12或13
解析 ∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列. 又 a1＝24，d＝－2， ∴Sn＝24n＋n（n2－1）×(－2)＝－n2＋25n＝－n－2252＋6425. ∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 最大.
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3.做一做 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天 起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天 16
计)共织390尺布，则每天比前一天多织___2_9____尺布(不作近似计算). 解析 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中 a1＝5，S30＝390， 设其公差为 d，则 S30＝30×5＋30×2 29d＝390，解得 d＝1269.故该女子织布每天增 加1269尺.

《等差数列前n项和的最值》教学设计一、教材分析教材地位：本节课内容是数列这章的重点也是难点，是在充分掌握等差数列前n项和公式基础上的延伸。

应用空间：此问题的解答蕴含了两种重要数学思想——数形结合思想和一题多解思想。

其中数形结合思想贯穿于整个高中数学课程中，是进一步学习和研究数学的有力工具。

一题多解思想，可以让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚，使得枯燥的数学解题更加丰富多彩。

二、教学目标1. 理解等差数列前n项和公式与函数的关系.2. 会灵活选取方法，求等差数列前n项和的最值.三、教学过程（一）知识回顾等差数列前n项和的公式：设计意图：本节课要用到Sn公式，为了提高课堂效率，先来回顾知识，对下一步的知识和能力提升，做好铺垫。

（二）典例剖析例.已知等差数列{an}中,a1=25且S17=S9,求n取何值时,Sn取最大值？当公差d ≠0时， 变形后的Sn 就是一个关于n 的二次函数，且常数项为0.这样求Sn 最值，就可以转化成二次函数来解决。

设计意图：本节课的突破点就是理解前n 项和公式和函数的关系，所以此处教师先引导，再留时间让学生自主探索，对学生获取思路有很大帮助。

方法1.写成n S 的表达式，通过图像来解决。

设置问题：假如不写出Sn 公式，仅仅依靠Sn 图像，可以吗？ 设计意图：直接画图像解决问题，简便快捷，进一步培养了学生数形结合的能力。

会一道题不是目的，关键是在解题中学习到什么数学思想，培养了什么能力。

上述方法都体现了数形结合思想，它是探索和研究数学的重要工具。

方法2：邻项变号法这里理解Sn 何时取得最大值，是关键。

教师引导：因为a1>0，d<0，所以此数列为递减数列。

所以当此数列的项出现负数时，它的前n 项和一定会减小。

我们要做的就是找到数列中，哪一项比0大，而它的下一项比0小。

引出⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0， 设置问题：上面an 为什么可以取等号呢？设计意图：此处理解有难度，通过提出问题，提高学生参与课堂的积极性。

( − 1)
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2

= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，

2009×2008
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−

即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−

) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .