广东省佛山市南海区2021届高三8月摸底测试数学试卷

2021年高三8月阶段性测试数学（文）试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.集合，，则（）A. B. C. D.3.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，......则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（）A.7B.35C.48D.634．在上的最小值是（）A． B． C． D．5. 函数对于任意实数满足条件：，若，（）A． B． C．5 ．-56．已知函数的导函数为，且满足，则（）A． B．－1 C． D．7．已知，则的值为（）A． B． C． D．8.已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是( )A.[－1，1]B.[－1，＋∞)C.[1，＋∞)D.(－∞，1]9.已知不等式成立的充分不必要条件为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.10.方程的实数解的个数为（）A.0B.1C.2D.311.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是( )A. B. C. D.12.设定义在上的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范是是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.若是一次函数，且，则= .14.函数的定义域为．15.已知为上的增函数，且对任意，都有，则______.16.定义在上的函数满足：当时，，当时，，给出以下结论：①的最小值为-1；②是周期函数；③当且仅当时，取最小值；④当且仅当时，；⑤的图像上相邻最低点的距离是.其中正确的结论序号是___________.三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（Ⅰ）求频率分布图中的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.18．的内角所对的边分别为，若.（I）求；（II）若求的面积.19.为数列{}的前项和.已知＞0，.（I）求{}的通项公式；（II）设错误！未找到引用源。

广东省佛山市普通高中2021 届高三教学质量检测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，若,，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，，∴.故选B．2.复数为虚数单位)的共轭复数( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用复数的除法法则、加法法则把化为形式，再由共轭复数的定义得解.详解：，∴.故选C.点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3已知，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：已知，由同角关系式求得，然后由两角差的余弦公式求值.详解：∵，∴，∴，故选D.点睛：在应用同角间的三角函数关系特别是平方关系求函数值时，一定要先确定角的象限，这样才能确定（或）的正负，否则易出现错误结论.4.已知等差数列的前项为，且，，则( )A. 90B. 100C. 110D. 120【答案】A【解析】分析：是等比数列，因此把两已知等式相除可化简.详解：设公差为，，∴，，，，∴，故选A.点睛：等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如是等差数列，则是等比数列，如是等比数列且均为正，则是等差数列.5.某同学用收集到的6组数据对（x i，y i）（i＝1，2，3，4，5，6）制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程：x，相关指数为r．现给出以下3个结论：①r>0；②直线l恰好过点D；③1；其中正确的结论是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】A【解析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数因为所以回归直线的方程必过点，即直线恰好过点；因为直线斜率接近于AD斜率，而，所以③错误，综上正确结论是①②，选A.6.函数的最小正周期和振幅分别是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：应用诱导公式有，从而函数易化为一个三角函数的形式：，然后利用物理意义得出结论．详解：，∴，振幅为2，故选B.点睛：函数的物理意义：表示振幅，为周期，为频率，为相位，为初相．7.下列函数中,既是奇函数又存在零点的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用奇函数的定义判断各函数是琐是奇函数，再通过解方程或画出函数的图象可判断各函数是否零点.详解：是奇函数，但没有零点；不是奇函数；是奇函数，但没有零点；是奇函数，也有零点.故选D.点睛：解决本题首先要掌握函数奇偶性的定义，即满足恒成立，则为奇函数，满足恒成立，则为偶函数，判断奇偶性一般用定义判断，有时也可从图象是否关于原点或轴对称进行判断；其次要掌握零点的定义，即解方程以确定零点；第三本题一般要对每一个函数进行判断才可得出结论.8.执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为( )A. -2B. -1C.D.【答案】B【解析】若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，符合题意；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；综上选B.9.已知，设满足约束条件，且的最小值为-4，则( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：作出可行域，同时作出直线，由得，因此当直线向上平移时，纵截距增大，减小，从而知过点时取得最小值，求出点坐标代入后可得值.详解：作出可行域，如图内部，并作直线，当直线向上平移时，减少，可见，当过点时，取得最小值，∴，，故选C.点睛：线性规划问题，一般是作出可行域，作出目标函数对应的直线（目标函数中令），然后平移这条直线，最后所过可行域的点就是最优解；把目标函数化为直线方程的点斜式，会发现增大减小与直线的纵截距增大减小之间的关系，从而可确定直线是向上平移还是向下平移，从而得最优解．10.已知分别为双曲线的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若恒成立，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】C【解析】分析：设P点坐标为，写出直线PA、PF的斜率，利用及它们与斜率的关系可建立的方程，此即为P点的轨迹方程与双曲线标准方程比较可得关系，从而得离心率.详解：设，又，∵，∴，，又，∴，整理得，这是P点的轨迹方程，又P点轨迹方程为，∴，∴，故选C.点睛：求双曲线的离心率，一般要求出的一个关系等式，这可从双曲线的几何性质分析得出，本题中由于已知是，而这两个角可以与相应直线的斜率有关，因此可以通过正切的二倍角公式建立P点的轨迹方程，这应该是双曲线的标准方程，比较后得出的关系.这种方法比较特殊，可以体会学习.11.如图，正方形的棱长为 4 ,点分别在底面、棱上运动,且，点为线段运动时,则线段的长度的最小值为( )A. 2B.C. 6D.【答案】B【解析】【分析】由已知确定点M的轨迹，由QA⊥AP，知MA＝2，从而M在以A为圆心，2为半径的球面上，从而可求得的轨迹，由球的性质可得结论.【详解】由题意，，而M是PQ的中点，所以AM＝2，即M在以A为球心，2为半径的球面上，又，∴的最小值为.故选B.【点睛】立体几何中与动点有关的最值问题，一般可先确定动点的轨迹，如本题球面，再利用空间几何体的性质求解.12.已知函数,曲线关于直线对称,现给出如结论：①若,则存在，使；②若，则不等式的解集为；③若，且是曲线的一条切线,则的取值范围是.其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】由题意得过点，且所以，因此，①若,则由，因此存在②若，则，此时,图像如图所示，因此不等式等价于，即不等式的解集为；③若，且，如图，则是曲线的一条切线,设切点为，则，因为，所以，由，所以，综上，正确结论的个数为3，选D.点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知均为单位向量,且它们的夹角为120°,则__________．【答案】【解析】分析：由把模转化为向量的数量积计算即可.详解：，故答案.点睛：向量的数量积是平面向量的重要内容，几乎向量的大多数问题都与数量积有关，如向量的夹角，向量的模等，其公式为，.14.的展开式中的常数项是 .【答案】【解析】，常数项r=4，，填15.15.若抛物线的焦点在直线上，则直线截抛物线的弦长为__________．【答案】40【解析】分析：求出已知直线与轴的交点坐标，得抛物线的焦点，然后求出抛物线方程中的参数，联立直线方程与抛物线方程求出两交点坐标，最后由两点间距离公式求得弦长.详解：在中，令得，∴，，即抛物线方程为，由，解得或，∴弦长为，故答案为40.点睛：（1）由抛物线标准方程确定焦点的位置，从而确定要求出直线与哪个坐标轴的交点坐标，得参数，如果焦点位置不确定，则可能有两解；（2）求直线与抛物线的交点弦长，可以先求出交点坐标，再由两点间距离公式得解，也可借助于圆锥曲线中的弦长公式求解，这种方法利用韦达定理，可以避免解方程中方程根较复杂不易求的情况.16.若使得成立的最小整数，则使得成立的最小整数__________．【答案】18【解析】分析：解指数不等式，可利用取对数的方法求解，再由题意估计出的范围，同样用取对数的方法解不等式得，由刚才的的范围，得出的范围，从而可得要求的最小整数.详解：由得，∴，，即，，即，由得，，∴，即最小整数为18，故答案为18.点睛：解指数不等式一般采用两边取对数的方程，化指数不等式为一般的多项式不等式，从而求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图 ,在平面四边形中，.(Ⅰ)若,求的面积；(Ⅱ)若，求.【答案】（1）（2）【解析】分析：(Ⅰ)由余弦定理求出，再用公式求得面积；(Ⅱ)设，在中用正弦定理表示出，然后在中把用表示后，再由正弦定理得的等式，从而可求出.详解：(Ⅰ)在中，由余弦定理得，，即，解得或(舍去)，所以的面积.(Ⅱ)设，在中，由正弦定理得，,即，所以.在中，，则，即，即，整理得.联立，解得，即.点睛：在已知两边和一边对角时一般可用正弦定理求出另一边所对角，从而得三角形的第三角及第三边，也可直接利用余弦定理列出关于第三边的方程，解方程得第三边长.18.如图，在多面体中，平面，直线与平面所成的角为30°，为的中点.(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）60°【解析】分析：(Ⅰ)由BD⊥平面ABC得BD⊥AC，上AC⊥AB，得AC⊥平面ABDE，从而知∠CDA是直线CD与平面ABDE 所成的角为30°，这样可求得AC与BC的关系从而确定是等腰直角三角形，于是取BC中点为O，有AO⊥BC，因此可证AO⊥平面CBD，又可证AOME是平行四边形，即得AO//EM，于是有EM⊥平面BCD，最终可证得面面垂直；(Ⅱ) 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设,写出各点坐标，然后求出平面BCE和平面BEM的法向量，利用向量法可求得二面角.详解：(Ⅰ)连接，取的中点为，连接.因为平面平面，所以，又,所以平面，则为直线与平面所成的角，即.所以,所以是等腰直角三角形，则，又平面,所以，所以平面.又分别是的中点，所以又，所以,故四边形是平行四边形,所以,所以平面,又平面，所以平面平面.(Ⅱ)以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设,则,所以.设平面的法向量为,则，即,解得,令，得；设平面的法向量为，则,即,解得,令，得；所以,所以二面角的大小为60°.点睛：立体几何中求二面角有两种基本方法，第一种方法是根据二面角的定义作出二面角的平面角，通过解三角形求出平面角，得二面角大小；第二种方法是建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解，此法关键是求平面的法向量，同时要判断二面角是钝角还是锐角.19.单位计划组织55名职工进行一种疾病的筛查,先到本单位医务室进行血检,血检呈阳性者再到医院进一步检测．已知随机一人血检呈阳性的概率为 1% ,且每个人血检是否呈阳性相互独立.(Ⅰ) 根据经验,采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下：将待检人员随机等分成若干组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验；若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验．现有两个分组方案：方案一: 将 55 人分成 11 组,每组 5 人；方案二：将 55 人分成5组,每组 11 人；试分析哪一个方案工作量更少？(Ⅱ) 若该疾病的患病率为 0.4% ,且患该疾病者血检呈阳性的概率为99% ,该单位有一职工血检呈阳性,求该职工确实患该疾病的概率.(参考数据:)【答案】（1）方案二工作量更少.（2）39.6%.【解析】分析：(Ⅰ)方案一中化验次数为1或者6，方案二中化验次数为1或13，分别求出两种方案化验次数的分布列，求出期望，通过比较期望大小可得结论；(Ⅱ) 设事件：血检呈阳性；事件:患疾病．则题意有,利用条件概率公式可得，注意要求的概率是P(B|A).详解：(Ⅰ)方法1：设方案一中每组的化验次数为，则的取值为1，6.所以，所以的分布列为1 60.951 0.049所以.故方案一的化验总次数的期望为:次.设方案二中每组的化验次数为，则的取值为1，12，所以，所以的分布列为1 120.895 0.105所以.故方案二的化验总次数的期望为：次.因，所以方案二工作量更少.方法 2:也可设方案一中每个人的化验次数为,则的取值为.方案二中每个人的化验次数为 ,则的取值为.同方法一可计算得,因,所以方案二工作量更少.(Ⅱ)设事件：血检呈阳性；事件:患疾病．则由题意有,由条件概率公式，得,故, 所以血检呈阳性的人确实患病的概率为 39.6%.点睛：本题是概率的实际应用，要比较工作量的多少，从概率角度考虑，可求出两种方案的工作量的平均值，这可通过化验次数的概率分布率，求出平均值（期望）.条件概率公式，要注意字母的顺序，如，否则易出错.20.已知椭圆的左、右焦点为.过作直线交椭圆于，过作直线交椭圆于，且垂直于点.(Ⅰ)证明：点在椭圆内部；(Ⅱ)求四边形面积的最小值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(Ⅰ)由可求得，从而椭圆标准方程，再由已知求出点轨迹方程为，而此圆在题设椭圆内部，因此可证P点在椭圆内部；(Ⅱ)分类讨论，当斜率不存在时，可求出四边形ABCD的面积，同理当斜率不0时，与刚才一样，当斜率存在且不为0时，设方程为，这样就有方程为，设，利用圆锥曲线中的弦长公式求得弦长，同理可得弦长，于是可得面积为的函数，利用函数的知识可求得的最小值，从而得出结论.详解：(Ⅰ)由题意得,故,所以椭圆方程为.由于分别为过两焦点, 且垂直相交于点,则的轨迹为以为直径的圆，即的轨迹方程为,又因为，所以点在椭圆内部.(Ⅱ)①当斜率不存在时,直线的方程为, 此时直线的方程为,此时四边形的面积为.同时当斜率为0时,此时的斜率不存在,易得.②当斜率存在且不为0时，设直线方程为,直线方程为,设,联立，消去整理得,所以,所以.同理得则令，则即当，即时，综合上式①②可得，当时，.求最值的其它方法:,令,得,因为,当时，,且是以为自变量的增函数，所以. 综上可知,. 即四边形面积的最小值为.方法二:①当斜率为0,此时直线轴,此时四边形的面积为.同时当斜率为0时，此时轴，易得.②当斜率存在且不为0时,设直线方程为,直线方程为,设，联立,消去整理得,所以,所以.同理得则下同解法一.点睛：要圆锥曲线中直线与圆锥曲线相交的弦长问题，一般是把直线与圆锥曲线方程联立方程组，消元得一元二次方程，同时设两交点坐标为，利用韦达定理得（或），再由弦长公式得弦长，这是解析几何中的“设而不求”思想.21.已知,函数.(Ⅰ)若有极小值且极小值为0，求的值；(Ⅱ)当时，, 求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：(Ⅰ)求出导函数，通过研究的解，确定和的解集，以确定的单调性，从而确定是否有极小值，在有极小值时，由极小值为0，解得值，如符合上述范围，即为所求；(Ⅱ)先把不等式f(x)+f(-x)≥0具体化为：，可分类讨论此不等式成立的情形，时恒成立，由于对恒成立，因此只要，不等式满足恒成立，接着还要研究时，不等式恒成立的的范围，此时再分类：当时，恒成立，当时，恒成立，这时可换元，设，则问题转化为对恒成立，对恒成立，可利用导数求最值，由最值＞0或＜0确定出的范围．详解：(Ⅰ). ①若，则由解得,当时，递减；当上，递增；故当时，取极小值，令，得（舍去）.若，则由，解得.(i)若，即时，当，.递增；当上，递增.故当时，取极小值，令，得（舍去）（ii ）若，即时，递增不存在极值；(iii)若，即时，当上，递增；，上，递减；当上，递增.故当时，取极小值,得满足条件.故当有极小值且极小值为0时,(Ⅱ)等价于，即当时，①式恒成立；当时，，故当时，①式恒成立；以下求当时,不等式恒成立，且当时不等式恒成立时正数的取值范围.令,以下求当恒成立，且当,恒成立时正数的取值范围.对求导，得，记.(i)当时，,故在上递增，又，故,即当时，式恒成立；(ii)当时，,故的两个零点即的两个零点和,在区间上，是减函数，又，所以，当时①式不能恒成立.综上所述,所求的取值范围是.点睛：本题中在研究时，不等式恒成立，可转化为恒成立，因此可设，问题为求的最小值，求导得，要确定它的正负，为此设，再求导有，恒成立，即在上单调递增，又，∴时，，当时，，因此，递减，时，递增，又，因此有当时，，从而有，即．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数，).以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线上一点的极坐标为，曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)设点在上，点在上（异于极点），若四点依次在同一条直线上，且成等比数列,求的极坐标方程.【答案】（1）.（2）【解析】试题分析：（1）先根据平方关系消元得曲线的直角坐标方程，再根据将直角坐标方程化为极坐标方程，最后代入A点坐标解出,（2）先设直线的极坐标方程为，代入，得交点极径或关系，根据成等比数列得，代入化简可得.试题解析：(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为，化简得,又，所以代入点得，解得或（舍去）.所以曲线的极坐标方程为.(Ⅱ) 由题意知,设直线的极坐标方程为，设点,则.联立得，，所以.联立得，.因为成等比数列，所以，即.所以,解得.经检验满足四点依次在同一条直线上,所以的极坐标方程为.23.选修4-5：不等式选讲设函数.(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若函数的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值定义化为分段函数形式，作图可得形状为梯形，根据梯形面积公式列不等式，解不等式可得的取值范围. 试题解析：(Ⅰ)当时，不等式为.若，则，解得或，结合得或.若，则，不等式恒成立，结合得.综上所述,不等式解集为.(Ⅱ)则的图象与直线所围成的四边形为梯形,令,得,令，得,则梯形上底为, 下底为 11,高为..化简得，解得，结合，得的取值范围为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2021 年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数5ꊸ对应的点位于（ ）1剠ࡎꊸA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5 分）已知集合 A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x ||x |＞1}，则 A ∩B ＝（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．（0，1）D ．（1，2）3．（5 分）已知 x ，y ∈R ，且 x ＞y ＞0，则（ ）A ．cos x ﹣cos y ＞0B ．cos x +cos y ＞0C ．lnx ﹣lny ＞0D ．lnx +lny ＞04．（5 分）函数 f （x ）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与 y ＝e x 关于 y 轴对称，则 f （x ）＝（ ）A ．e﹣x +1B ．e﹣x ﹣1C ．e x ﹣1D ．e x +15．（5 分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔 宾斯基三角形）． 在如图第 3 个大正三角形中随机取点， 则落在黑色区域的概率为（ ）3 9A ．B ．7ࡎC ．D ．5161656．（5 分）已知等比数列{a n }满足 a 1﹣a 2＝36，a 1﹣a 3＝24，则使得 a 1a 2…a n 取得最大值的 n 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．（5 分）已知α为锐角，cos α= 3π α tan （ 剠）＝（ ）1 1A ．B ．3ࡎ x ࡎ 5，则y ࡎ 4 ࡎC ．2D ．38．（5 分）已知双曲线 C ：a ࡎ− b1 = ࡎ，O 为坐标原点，直线 x ＝a 与双曲线 C 的两条渐近线交于 A ，B 两点，若△OAB 是边长为 2 的等边三角形，则双曲线 C 的方程为（）x ࡎ22y ࡎA ． 3−y ＝1B ．x − 3 =11017ࡎx 剠1 x ࡎ y ࡎ x ࡎ y ࡎC ．11=4− ࡎD ． 4− 11= ࡎ9．（5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW ，达到 114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上 信 息 ， 正 确 的 统 计 结 论 是 （）A ．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值B ．10 年来全球新增装机容量连年攀升C ．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW1D ．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过310．（5 分）已知函数 f （x ）= 1剠2x +1，且 f （a 2）+f （2a ）＞3，则 a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C ．（﹣2，0）D ．（﹣1，3）11．（5 分）已知函数 f （x ）＝sin x +sin （πx ），现给出如下结论：①f （x ）是奇函数； ②f （x ）是周期函数； ③f （x ）在区间（0，π）上有三个零点； ④f （x ）的最大值为 2．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．412．（5 分）已知正三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 的侧棱长为 4，底面边长为 2，用一个平面截此棱柱，与侧棱 AA 1， BB 1，CC 1 分别交于点 M ，N ，Q ，若△MNQ 为直角三角形，则△MNQ 面积的最大值为（ ）A ．3B ．C ．D ．3 ࡎ43）． 4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．13．（5 分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）→→14．（5 分）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则A P •B C =．15．（5 分）函数 f （x ）＝lnx 和 g （x ）＝ax 2﹣x 的图象有公共点 P ，且在点 P 处的切线相同，则这条切线方程为．16．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对曲线 C 上任意一点 P ，P 到直线 x +1＝0 的距离与该点到点 O 的距离之和等于 2，则曲线 C 与 y 轴的交点坐标是；设点 A （− 5，0），则|PO |+|PA |的最小值为 ．三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12 分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片， 若带走照片则需支付 20 元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1） 若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2） 要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？18．（12 分）在△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a sin B ＝b sin （A − π（1）求 A ；（2）D 是线段 BC 上的点，若 AD ＝BD ＝2，CD ＝3，求△ADC 的面积．x ࡎy ࡎ1319．（12 分）已知椭圆 C ： aࡎ 剠 b1= ࡎ（a ＞b ＞0）的离心率为ࡎ，点 A （1， ）在椭圆 C 上，直线 l 1 过椭圆C 的有交点与上顶点，动直线 l 2：y ＝kx 与椭圆 C 交于 M 、N 两点，交 l 1 于 P 点．（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 已知 O 为坐标原点，若点 P 满足|OP |= 1|MN |，求此时|MN |的长度．ࡎ20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F 分别是棱AB，PB 的中点，点G 是△BCE 的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C 的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．请考生在第22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=4mࡎ（m为参数）．y = 4m（1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1 与曲线C 交于A，B 两点，l2 与C 交于M，N 两点，l1 与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|．（1）若f（a）＜2，求a 的取值范围；（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k 的值．。

2021年高三8月联考数学文试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：椎体体积公式：一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1、集合，，则（）A．B．C．D．2、已知复数的实部是，虚部是，则（其中为虚数单位）在复平面对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、函数（且）的定义域是（）A． B．C． D．4、圆上的点到直线的距离最大为（）A．B．C．D．5、“平面向量平行”是“平面向量满足”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A． B. C． D. 第6题图7、已知实数满足约束条件，则的最小值是（）A．B．C．D．8、已知，，且与垂直，则与的夹角是（）A． B．C．D．9、已知等差数列的前项和为，若，则（）A． B． C．D．10、定义在R上的奇函数和定义在上的偶函数分别满足，，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．(一)必做题（11～13题）11、已知中，角、、的对边分别为、、，且，，，则．12、阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于31，则输入的整数的最大值为．13、若不等式对任意的恒成立，则的最大值是．第12题图(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线=与圆相切于极轴上方，则．15．（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的直径，是半圆上异于的点，，垂足为. 若，，则半圆的面积为．第15题图三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（本题满分12分）已知函数的最大值是2，且．（1）求的值；（2）已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的值．17、（本题满分12分）某体育杂志针对xx年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队历史上的的实力和表现有没有关系”，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”40岁以上（含40岁）100 150 300 （1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率.18、（本题满分14分）如图，直角梯形中，,,平面平面,为等边三角形，分别是的中点，.(1)证明：;(2)证明：平面;(3)若,求几何体的体积.19、（本题满分14分）已知各项均为正数的等差数列满足：，各项均为正数的等比数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足：，其前项和为，证明.20、（本题满分14分）已知抛物线C:与直线相切，且知点和直线，若动点在抛物线C上（除原点外），点处的切线记为，过点且与直线垂直的直线记为.(1)求抛物线C的方程；（2）求证：直线相交于同一点.21、（本题满分14分）已知函数和（1）若函数在区间不单调，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的最大值.xx届高三上学期六校第一次联考文科数学答案一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．(一)必做题（11～13题）11、 12、5 13、9(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、2 15、三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、解：（1）∵函数的最大值是2，∴……………………………………………………………………………………………2分∵又∵∴……………………………………………………………4分（2）由（1）可知…………………………………………6分……………8分∵∴，………10分∴…………………………………………………………………12分17、解：（Ⅰ）由题意，得n30015010020045080045100800+++++=+ …………………………2分从持“无关系”态度的人中，应抽取人…………………………3分 从持“不知道”态度的人中，应抽取人…………………………4分 （Ⅱ）设所选取的人中，有m 人在40岁以下，则，解得m=2. ……6分就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作则从中任取2人的所有基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(32312121322212312111B B B B B B A A B A B A B A B A B A B A 共10个……………………………………………………………………………9分 其中至少有1人在40岁以下的基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(21322212312111A A B A B A B A B A B A B A 共7个 (11)分记事件“选取2人中至少一人在40岁以下”为,则所以选取2人中至少一人在40岁以下的概率为 ………………………12分18、(1)证明： 为等边三角形，是的中点………………………………………………………………1分 又因为平面平面，交线为,平面根据面面垂直的性质定理得 平面; ………………………3分 又平面………………………………………………………………4分 (2)证明：取中点G ，连接,且 ………………6分,,且 ………………8分四边形是平行四边形………………9分 又平面，平面平面 ………………10分 (3)解：依题，直角梯形中，,,1,2,2AB CD AB BC AB CD BC ⊥===则直角梯形的面积为11()(12)2322ABCD S AB CD BC =+⨯=+⨯=梯形 ……12分 由（1）可知平面，是四棱锥的高在等边中，由边长,得 ………13分 故几何体的体积为 1133333E ABCDABCD V S EF -=⋅⋅=⨯=梯形 ………14分19、解：（1）设的公差为，的公比为，则依题意有121123*********()3()(2)1534a a a a d a a a d a d b b b b q b b q =+=⎧⎪=++=⎪⎨+=+=⎪⎪==⎩解得,，．…………………………4分所以，．…………………………6分（2）．…………………………7分，① ，②②－①得，…………………………11分又因为，所以，所以…………………13分 综上 得证. …………………14分 20、（1）解：联立消去得因为抛物线C 与直线相切，所以 ………3分解得（舍）或 ………4分所以抛物线的方程为 …………………5分 （2）证明：由得，求导有 ………………6分 设，依题其中，则处的切线方程为：切线方程 …………………8分 与直线联立得：，即直线相交于 …………9分 直线的斜率为因为与直线垂直，所以 …………………11分 因为过点，所以的方程为 …………………12分 与直线联立得：，即直线也相交于 ………13分故直线相交于于同一点. ………………14分21、解：（1） …………………1分 ①当时，，所以在单调递减，不满足题意；………2分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增，因为函数在区间不单调，所以，解得 ………4分综上的取值范围是. …………………5分 （2）令3()()()(2)2xh x f x g x x e kx x =-=--++依题可知在上恒成立 …………………6分 ，令=，有且 …………………7分 ①当即时，因为，所以所以函数即在上单调递增，又由 故当时，，所以在上单调递增又因为，所以在上恒成立，满足题意；…………………10分②当即时，当，，函数即单调递减，又由，所以当，所以在上单调递减，又因为，所以时，这与题意在上恒成立相矛盾，故舍. …………………13分综上，即的最大值是. …………………14分35805 8BDD 话21602 5462 呢24727 6097 悗31956 7CD4 糔]22410 578A 垊36252 8D9C 趜~35443 8A73 詳i 31063 7957 祗33126 8166 腦。