卡尔曼滤波器分类及基本公式 共40页

卡尔曼滤波算法基本原理一、概述卡尔曼滤波算法是一种基于线性系统状态空间模型的递归滤波算法，主要用于估计含有噪声的测量数据，并能够有效地消除噪声对估计的影响，提高估计精度。

本篇文章将详细介绍卡尔曼滤波算法的基本原理。

二、基本原理1.状态方程：卡尔曼滤波算法基于线性系统状态空间模型，该模型可以用状态方程来表示。

状态方程通常包含系统的内部状态、输入和输出，可以用数学公式表示为：x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)+w(t)。

其中，x(t)表示系统内部状态，u(t)表示输入，w(t)表示测量噪声。

2.测量方程：测量数据通常受到噪声的影响，卡尔曼滤波算法通过建立测量方程来处理噪声数据。

测量方程通常表示为：z(t)=h(x(t))+v(t)，其中z(t)表示测量数据，h(x(t))表示系统输出，v(t)表示测量噪声。

3.卡尔曼滤波算法：卡尔曼滤波算法通过递归的方式，根据历史状态和测量数据来估计当前系统的内部状态。

算法的核心是利用过去的估计误差和测量误差来预测当前的状态，并不断更新估计值，以达到最优估计的效果。

卡尔曼滤波算法主要包括预测和更新两个步骤。

预测步骤根据状态方程和上一步的估计值，预测当前的状态；更新步骤则根据当前的测量数据和预测值，以及系统协方差矩阵，来更新当前状态的估计值和系统协方差矩阵。

4.滤波器的选择：在实际应用中，需要根据系统的特性和噪声的性质来选择合适的卡尔曼滤波器。

常见的滤波器有标准卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器等。

选择合适的滤波器可以提高估计精度，降低误差。

三、应用场景卡尔曼滤波算法在许多领域都有应用，如航空航天、自动驾驶、机器人控制等。

在上述领域中，由于系统复杂、噪声干扰大，使用卡尔曼滤波算法可以有效地提高系统的估计精度和控制效果。

四、总结卡尔曼滤波算法是一种基于线性系统状态空间模型的递归滤波算法，通过预测和更新的方式，能够有效地消除噪声对估计的影响，提高估计精度。

本篇文章详细介绍了卡尔曼滤波算法的基本原理和应用场景，希望能对大家有所帮助。

空气流量计卡尔曼计算公式空气流量计是工业生产中常用的一种仪表，用于测量流体（通常是气体）的流量。

而卡尔曼滤波器则是一种用于估计系统状态的算法，它能够通过融合多个传感器的信息，提高状态估计的精度。

在空气流量计中，使用卡尔曼滤波器可以有效地估计流量，提高测量的精度和稳定性。

本文将介绍空气流量计卡尔曼计算公式的推导和应用。

1. 空气流量计原理。

空气流量计是通过测量流体通过管道的速度来计算流量的仪表。

常见的空气流量计有热式流量计和超声波流量计等。

热式流量计通过加热元件和测温元件来测量流体的流速，而超声波流量计则通过发送和接收超声波信号来测量流体的速度。

无论是哪种类型的空气流量计，都需要对测量的信号进行处理和滤波，以提高测量的精度和稳定性。

2. 卡尔曼滤波器原理。

卡尔曼滤波器是一种用于估计系统状态的算法，它通过融合系统模型和传感器测量值，提高状态估计的精度。

卡尔曼滤波器的核心是状态方程和观测方程。

状态方程描述系统状态的演化规律，观测方程描述测量值与系统状态之间的关系。

通过不断地更新状态估计值，卡尔曼滤波器可以不断地提高状态估计的精度。

3. 空气流量计卡尔曼计算公式推导。

在空气流量计中，我们可以使用卡尔曼滤波器来估计流量。

假设空气流量计的状态变量为流量和流速，观测变量为传感器的测量值。

我们可以建立状态方程和观测方程如下：状态方程：x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) + w(k)。

观测方程：z(k) = Hx(k) + v(k)。

其中，x(k)为系统状态向量，A为状态转移矩阵，B为控制输入矩阵，u(k)为控制输入，w(k)为状态噪声，z(k)为观测向量，H为观测矩阵，v(k)为观测噪声。

根据卡尔曼滤波器的原理，我们可以得到卡尔曼滤波器的更新公式如下：预测步骤：x^-(k+1) = Ax(k) + Bu(k)。

P^-(k+1) = AP(k)A^T + Q。

更新步骤：K(k+1) = P^-(k+1)H^T(HP^-(k+1)H^T + R)^-1。

10.6 卡尔曼滤波器简介本节讨论如何从带噪声的测量数据把有用信号提取出来的问题。

通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内。

如前所述，为了消除噪声，可以把 FIR滤波器或IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。

但在许多应用场合，需要进行时域滤波，从带噪声的信号中提取有用信号。

虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但所依据的理论,即针对随机信号的估计理论,是自成体系的。

人们对随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”。

为了“估计”，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度。

最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。

典型的线性估计器是离散时间维纳滤波器与卡尔曼滤波器。

对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先给出的。

当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作。

这项研究是用于防空火力控制系统的。

维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。

为了寻求维纳滤波器的冲激响应，需要求解著名的维纳-霍夫方程。

这种滤波理论所追求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。

这与卡尔曼滤波（Kalman filtering）是很不相同的。

卡尔曼滤波所追求的则是使均方误差最小的递推算法。

在维纳进行滤波理论研究并导出维纳-霍夫方程的十年以前，在1931年，维纳和霍夫在数学上就已经得到了这个方程的解。

对于维纳-霍夫方程的研究，20世纪五十年代涌现了大量文章，特别是将维纳滤波推广到非平稳过程的文章甚多，但实用结果却很少。

这时正处于卡尔曼滤波问世的前夜。

维纳滤波的困难问题，首先在上世纪五十年代中期确定卫星轨道的问题上遇到了。

1958年斯韦尔林（Swerling）首先提出了处理这个问题的递推算法，并且立刻被承认和应用。

1960年卡尔曼进行了比斯韦尔林更有意义的工作。

他严格地把状态变量的概念引入到最小均方误差估计中来，建立了卡尔曼滤波理论。

卡尔曼滤波离散化公式卡尔曼滤波是一种常用的估计方法，用于从不完全或包含噪声的测量数据中估计系统的状态。

它结合了系统的先验知识和测量数据，通过递归迭代的方式，不断更新系统状态的估计值。

在实际应用中，为了方便计算和实现，通常需要将卡尔曼滤波器的连续形式离散化。

离散化是指将连续时间下的卡尔曼滤波器转化为离散时间下的形式。

在离散化过程中，需要将连续时间下的状态方程和测量方程转化为离散时间下的形式。

离散化公式是实现这一转化的关键。

考虑连续时间下的卡尔曼滤波器状态方程：x(k+1) = A*x(k) + B*u(k) + w(k)其中，x(k)为系统在时刻k的状态，A为状态转移矩阵，B为控制输入矩阵，u(k)为控制输入，w(k)为过程噪声。

为了将状态方程离散化，我们引入采样时间Ts，将连续时间下的状态方程转化为离散时间下的形式：x(k+1) = F*x(k) + G*u(k) + w(k)其中，F为状态转移矩阵，G为控制输入矩阵，满足：F = exp(A*Ts)G = (A^-1)*(F-I)*B接下来，考虑连续时间下的卡尔曼滤波器测量方程：z(k) = H*x(k) + v(k)其中，z(k)为测量值，H为测量矩阵，v(k)为测量噪声。

同样地，我们引入采样时间Ts，将连续时间下的测量方程转化为离散时间下的形式：z(k) = H*x(k) + v(k)离散化公式的推导过程比较复杂，主要涉及到连续时间下的积分和离散时间下的累加的转换。

在实际应用中，可以通过数值方法或近似方法进行计算。

常用的数值方法包括欧拉法、梯形法和龙格-库塔法等。

利用离散化公式，我们可以将连续时间下的卡尔曼滤波器转化为离散时间下的形式，从而实现对系统状态的估计。

离散化后的卡尔曼滤波器可以更方便地应用于嵌入式系统、数字信号处理等领域。

总结一下，卡尔曼滤波器的离散化公式是将连续时间下的状态方程和测量方程转化为离散时间下的形式的关键。

离散化后的卡尔曼滤波器可以更方便地计算和实现，适用于各种应用场景。

1 简介在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。

跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。

1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。

1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。

我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。

如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。

对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。

他的广泛应用已经超过30年，包括机器导航、控制、传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。

近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。

2 卡尔曼滤波器的介绍为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。

但是，他的5条公式是其核心内容。

结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。

在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。

假设我们要研究的对象是一个房间的温度。

根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。

假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。

globk卡尔曼滤波平差流程及相关公式特别是解算哪些状态量卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种基于线性状态空间模型的最优估计算法，它是通过递推的方式从当前时刻的测量值和上一时刻的状态估计值中得出最优的状态估计结果。

卡尔曼滤波广泛应用于估计、预测和控制等领域。

卡尔曼滤波的基本思想是对目标的状态进行估计，通过当前的测量值和上一时刻的状态估计值对目标的状态进行修正。

卡尔曼滤波的核心是状态估计和协方差矩阵的更新。

卡尔曼滤波的基本流程如下：1.初始化：设定初始的状态估计值和协方差矩阵；2.预测状态：通过状态转移方程，利用上一时刻的状态估计值预测当前时刻的状态估计值；3.预测协方差：通过状态转移方程和上一时刻的协方差矩阵预测当前时刻的协方差矩阵；4.校正状态：通过测量方程，利用当前时刻的测量值和预测的状态估计值校正当前时刻的状态估计值；5.更新协方差：通过测量方程、预测的协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵更新当前时刻的协方差矩阵；6.返回第2步，继续预测和校正，形成一个递推过程。

在卡尔曼滤波中，解算的状态量通常包括目标的位置、速度、加速度等状态变量，以及传感器的噪声、系统的噪声等状态变量。

卡尔曼滤波的公式如下：1.预测状态：X(k，k-1)=F*X(k-1，k-1)+B*u(k)其中，X(k，k-1)为当前时刻的状态估计值；F为状态转移矩阵；X(k-1，k-1)为上一时刻的状态估计值；B为控制矩阵；u(k)为控制向量。

2.预测协方差：P(k，k-1)=F*P(k-1，k-1)*F'+Q其中，P(k，k-1)为当前时刻的协方差矩阵；Q为系统噪声的协方差矩阵。

3.校正状态：K(k)=P(k，k-1)*H'*(H*P(k，k-1)*H'+R)^-1X(k，k)=X(k，k-1)+K(k)*(Z(k)-H*X(k，k-1))其中，K(k)为卡尔曼增益；H为测量矩阵；R为测量噪声的协方差矩阵；Z(k)为当前时刻的测量值。

卡尔曼滤波卡尔曼滤波(Kalman filtering ) 一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。

由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。

斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。

卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。

关于这种滤波器的论文由Swerli ng (1958), Kalman (I960) 与Kalma n and Bucy (1961) 发表。

数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态•由于，它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用•中文名卡尔曼滤波器，Kalman滤波，卡曼滤波外文名KALMAN FILTER表达式X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)提岀者斯坦利施密特提岀时间1958应用学科天文，宇航，气象适用领域范围雷达跟踪去噪声适用领域范围控制、制导、导航、通讯等现代工程斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。

卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导—航电脑使用了这种滤波器。

关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与Kalma n and Bucy (1961) 发表。

2定义传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现. 20世纪40年代，N .维纳和A. H .柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。

卡尔曼滤波器射影定理卡尔曼滤波器射影定理是卡尔曼滤波理论中的一个重要定理，它为我们理解卡尔曼滤波器的工作原理提供了理论依据。

本文将从卡尔曼滤波器的基本原理出发，介绍卡尔曼滤波器射影定理的概念、推导过程以及应用场景。

一、卡尔曼滤波器基本原理回顾卡尔曼滤波器是一种用于估计系统状态的算法，它利用系统的测量值和预测模型，通过递推的方式实现对系统状态的估计。

卡尔曼滤波器的核心思想是利用系统的状态方程和观测方程，通过不断地更新状态估计值和协方差矩阵，以最优的方式估计出系统的真实状态。

二、卡尔曼滤波器射影定理的概念卡尔曼滤波器射影定理是指在卡尔曼滤波器的状态更新过程中，将当前时刻的状态估计值和协方差矩阵投影到下一个时刻的状态空间中。

简而言之，射影定理就是将当前时刻的状态估计值“投影”到下一个时刻，以更新系统的状态估计。

三、卡尔曼滤波器射影定理的推导过程为了推导卡尔曼滤波器射影定理，我们需要先了解一些基本的数学概念和运算。

卡尔曼滤波器的核心数学运算是卡尔曼增益的计算，该增益是通过系统的状态方程和观测方程计算得到的。

卡尔曼增益的计算公式如下：K = P * H^T * (H * P * H^T + R)^-1其中，K为卡尔曼增益，P为状态协方差矩阵，H为观测矩阵，R为观测噪声的协方差矩阵。

在卡尔曼滤波器的状态更新过程中，我们需要利用当前时刻的状态估计值和协方差矩阵，通过观测方程得到当前时刻的测量值。

然后，利用卡尔曼增益将测量值与状态估计值进行比较，得到新的状态估计值和协方差矩阵，即完成了一次状态更新。

在射影定理中，我们需要将当前时刻的状态估计值和协方差矩阵投影到下一个时刻的状态空间中。

具体来说，我们需要通过系统的状态方程将当前时刻的状态估计值进行预测，然后利用预测值和协方差矩阵计算得到下一个时刻的状态估计值和协方差矩阵。

射影定理的推导过程比较复杂，其中涉及到许多数学运算和推导步骤。

为了简化讲解，这里不再详细叙述推导过程，但需要强调的是，射影定理是卡尔曼滤波器中一个重要的理论定理，它为我们理解卡尔曼滤波器的状态更新过程提供了重要的线索和方法。

1.绪论1.1 概述在滤波器的发展过程中，早期的维纳滤波器涉及到对不随时间变化的统计特性的处理，即静态处理。

在这种信号处理过程中，有用信号和无用噪声的统计特性可与它们的频率特性联系起来，因此与经典滤波器在概念上还有一定的联系。

由于军事上的需要，维纳滤波器在第二次世界大战期间得到了广泛的应用。

但是，维纳滤波器有如下不足之处：第一，必须利用全部的历史观测数据，存储量和计算量都很大；第二，当获得新的观测数据时，没有合适的递推算法，必须进行重新计算；第三，很难用于非平稳过程的滤波。

为了克服维纳滤波器的上述不足之处，卡尔曼等人在维纳滤波的基础上，与60年代初提出了一种递推滤波方法，称为卡尔曼滤波。

与维纳滤波不同，卡尔曼滤波是对时变统计特性进行处理。

他不是从频域，而是从时域的角度出发来考虑问题。

30多年来。

卡尔曼已在各个领域得到了广泛的应用，包括机器人导航、控制、传感器数据融合甚至军事方面的雷达系统以及导弹追踪等。

近年来更被应用于计算机图象处理，例如头脸识别、图象分割、图象边缘检测等等。

1.2滤波器的发展滤波器最初是指某种具有选频特性的电子网络，一般由线圈、电容器和电阻器等元件组成。

滤波器将使它所容许通过的频率范围（即通带）内的电信号产生较小的衰减，而使它所阻止通过的频率范围（即阻带）内的电信号产生较大衰减。

划分通带和阻带的频率，称为滤波器的截止频率。

按组成电路的元件，滤波器可分为LC、RLC、RC、晶体和陶瓷滤波器等。

我们也可以用机械元件代替电子元件，制成机械式滤波器，或利用物质的铁磁共振原理制成可点电调谐的滤波器。

按容器通过的频率范围，滤波器可分为低通，高通，带阻和带通滤波器等。

具有选频特性的串联或并联谐振回路，是一种常用的滤波器。

收音机或其他差式接收机中的中频放大器，也是一中滤波器。

也是一种滤波器。

各级中频放大器中回路靠放大器和变压器来耦合，形成一定的通带和阻带。

信号在通过中放级时，通带内的成分将被放大，而阻带内的成分将大大衰减，而且对通带内的信号还有放大作用。

卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波(Kalman Filter)是一种用于估计系统状态的算法，广泛应用于控制系统、信号处理、机器人导航等领域。

卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型和测量数据的信息来对系统状态进行估计，同时最小化估计误差的方差。

在实际应用中，卡尔曼滤波能够对系统状态进行高效、准确的估计，并具有良好的鲁棒性和适应性。

卡尔曼滤波的核心思想可以简单概括为“测量并补偿”，即先通过传感器测量得到当前的状态信息，然后利用系统动态模型来预测下一时刻的状态，再将测量值与预测值进行比较，通过加权平均的方式得到最终的估计值。

要实现这个过程，需要建立卡尔曼滤波的基本模型，包括状态转移方程、观测方程、协方差矩阵和初始状态。

卡尔曼滤波的核心步骤包括预测阶段和更新阶段。

预测阶段主要利用系统动态模型对状态进行预测，以及计算预测误差的方差。

预测阶段包括以下几个步骤：1. 状态预测：根据系统动态模型和当前状态估计值，预测下一时刻的状态估计值。

2. 协方差预测：根据系统动态模型和当前状态协方差矩阵，预测下一时刻的协方差矩阵。

3. 估计误差的量化：计算预测值与真实值之间的估计误差，以及预测误差的方差。

更新阶段主要利用测量数据对状态进行修正，以及更新协方差矩阵。

更新阶段包括以下几个步骤：1. 估计增益：根据协方差矩阵和观测噪声方差，计算估计值与观测值之间的加权比例。

2. 状态修正：利用估计增益和测量值对状态进行修正。

3. 协方差修正：利用估计增益对协方差矩阵进行修正。

卡尔曼滤波的应用非常广泛，包括导航系统、车辆控制、信号处理、自动驾驶、机器人导航等领域。

卡尔曼滤波能够对系统状态进行高效、准确的估计，并且具有良好的鲁棒性和适应性，对噪声和误差具有较好的鲁棒性。

此外，卡尔曼滤波具有良好的数学基础和理论支撑，能够直接应用于许多复杂的系统中。

CKF（Cubature Kalman Filter）是一种基于卡尔曼滤波器的状态估计算法，它通过对非线性系统进行线性化来提高卡尔曼滤波器的性能。

下面我们将详细介绍CKF算法的数学原理及应用。

一、卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器是一种用于估计系统状态的算法，其主要思想是利用系统的观测值和控制量来对系统状态进行预测和更新。

卡尔曼滤波器主要由两个步骤组成：预测和更新。

预测步骤中，根据系统的动态模型和控制量，预测系统的状态，并计算出状态的协方差矩阵。

更新步骤中，根据观测量和预测值计算出卡尔曼增益，并用其来更新预测值和协方差矩阵。

二、CKF算法CKF算法是一种基于卡尔曼滤波器的非线性系统状态估计算法。

CKF算法通过对非线性系统进行线性化来提高卡尔曼滤波器的性能。

CKF算法采用多维高斯积分来对非线性函数进行近似，从而将非线性系统线性化。

CKF算法的数学原理如下：1. 卡尔曼滤波器模型假设系统状态为$x_k$，控制量为$u_k$，观测值为$z_k$。

则卡尔曼滤波器模型可以表示为：预测：$$\hat{x}_{k} = f(\hat{x}_{k-1},u_{k-1})$$$$P_{k} = F_{k-1} P_{k-1} F_{k-1}^T + Q_{k-1}$$更新：$$K_k = P_k H_k^T(H_k P_k H_k^T + R_k)^{-1}$$$$\hat{x}_k = \hat{x}_k + K_k(z_k - H_k \hat{x}_k)$$ $$P_k = (I - K_k H_k)P_k(I - K_k H_k)^T + K_k R_k K_k^T$$其中$f$为系统的动态模型，$F_{k-1}$为状态转移矩阵，$Q_{k-1}$为过程噪声协方差矩阵，$H_k$为观测矩阵，$R_k$为观测噪声协方差矩阵，$K_k$为卡尔曼增益，$\hat{x}_k$为估计值，$P_k$为估计协方差矩阵。

2. CKF算法CKF算法中，首先需要对非线性函数进行线性化，将非线性函数转化为多维高斯分布函数。

什么是卡尔曼滤波？卡尔曼滤波器（Kalman Filter ）是一个最优化自回归数据处理算法（optimal recursive data processing algorithm ）。

卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。

它适合于实时处理和计算机运算。

现设线性时变系统的离散状态防城和观测方程为：X(k) = F(k,k-1)·X(k-1)+T(k,k-1)·U(k-1)Y(k) = H(k)·X(k)+N(k)其中X(k)和Y(k)分别是k 时刻的状态矢量和观测矢量F(k,k-1)为状态转移矩阵U(k)为k 时刻动态噪声T(k,k-1)为系统控制矩阵H(k)为k 时刻观测矩阵N(k)为k 时刻观测噪声则卡尔曼滤波的算法流程为：预估计)(X k = F(k,k-1)·X(k-1)计算预估计协方差矩阵Q(k) = U(k)×U(k)')(k C =F(k,k-1)×C(k)×F(k,k-1)'+T(k,k-1)×Q(k)×T(k,k-1)'计算卡尔曼增益矩阵R(k) = N(k)×N(k)'K(k) = )(k C ×H(k)'/[H(k)×)(k C ×H(k)’+R(k)]更新估计)(X ~k =)(X k +K(k)×[Y(k)-H(k)×)(X k ]计算更新后估计协防差矩阵)(C ~k = [I-K(k)×H(k)]×)(k C ×[I-K(k)×H(k)]'+K(k)×R(k)×K(k)'X(k+1) = )(X ~kC(k+1) =)(C ~k重复以上步骤。

第4章 卡尔曼（Kalman ）滤波卡尔曼滤波的思想是把动态系统表示成状态空间形式，是一种连续修正系统的线性投影算法。

功能 1） 连续修正系统的线性投影算法。

2）用于计算高斯ARMA 过程的精确有限样本预测和精确的似然函数。

3） 分解矩阵自协方差生成函数或谱密度。

4）估计系数随时间变化的向量自回归。

第一节 动态系统的状态空间表示一．假设条件令t y 表示时期t 观察到变量的一个()1n ×向量。

则t y 的动态可以用不可观测的()1r ×向量t ξ来表示，t ξ为状态向量。

t y 的动态系统可以表示为如下的状态空间模型：11t t t F v ξξ++=+ （1）t t t t y A x H w ξ′′=++ （2）其中′′F,A ,H 分别为()r r ×，()n k ×和()n r ×矩阵，t x 是外生变量或前定变量的()1k ×向量。

方程（1）称为状态方程，方程（2）称为观察方程。

其中()1r ×向量t v 和()1n ×向量t w 为向量白噪声：()()00t t Qt E v v t R t E w w t ττττττ=⎧′=⎨≠⎩=⎧′=⎨≠⎩ （3）其中,Q R 为()(),r r n n ××矩阵。

假定扰动项t v 和t w 在所有阶滞后都不相关：()0t t E v w ′= 对所有的t 和τ （4）t x 为前定或外生变量，意味着对0,1,2,....,s =除包含在121,,...,t t y y y −−之内的信息外，t x 不再能提供关于t s ξ+以及t s w +的任何信息。

即t x 可能包含y 的滞后值或所有与τ、τξ和w τ不相关变量。

状态空间系统描述有限观察值序列{}1,...,T y y ，需要知道状态向量的初始值1ξ，根据状态方程（1），t ξ可写作()123,,,...,t v v v ξ的线性函数： 2211221....t t t t t t v Fv F v F v F ξξ−−−−=+++++ 2,3,...,t T = （5）这里假定1ξ与t v 和t w 的任何实现都不相关：()()1101,2,...,01,2,...,t t E v TE w Tξτξτ′==′== （6）根据（3）和（6），得t v 和ξ的滞后值不相关：()0t E v τξ′= 1,2,...,1t t τ=−− （7） ()0t E w τξ′= 1,2,...,T τ= （8） ()()()0t t E w y E w A x H w ττττξ′′′=++= 1,2,...,1t t τ=−− （9） ()0t E v y τ′= 1,2,...,1t t τ=−− （10）二．状态空间系统的例子例1 ()AR p 过程，()()()112111...t t t p t p t y y y y µφµφµφµε+−−++−=−+−++−+ （11）()2t t E t τστεετ⎧==⎨≠⎩ （12） 可以写作状态空间形式。

9 卡尔曼滤波器的稳定性9.1 稳定性定义滤波的稳定性问题是研究滤波初值的选取对估计值和估计的误差方差阵的影响。

xˆ和误差方差阵k P都不受所选如果随着滤波时间的增长，估计值k初值的影响，则滤波器是稳定的。

否则估计是有偏的，估计误差方差阵也不是最小的。

对于随机线性离散动态系统()()()()()k k G k k A k w x x +=+1设()01x、()02x 为滤波器的两个任意初始状态，()k 1x 、()k 2x 是对应于两个初始状态在k 时刻的状态。

定义1：若对于任意给定正数0>ε，都可以找到正数()0,0>t εδ，使得对任意()()()021,00t εδ<−x x恒有()()ε<−k k 21x x ，k ∀成立，则称滤波器是稳定的。

定义2：若滤波器稳定，且有()()0lim 21=−∞→k k k x x则称滤波器渐近稳定。

定义3：若滤波器稳定，而且对任意初始状态总有()()0lim 21=−∞→k k k x x则称滤波器一致渐近稳定。

注：对于定常系统，渐近稳定与一致渐近稳定两者等价。

9.2 随机线性系统的可控性与可观测性设随机线性离散系统为()()()()()()()()()1111,11++++=+++Φ=+k k k H k k k G k k k k v x z w x x式中，()[]0w =k E ，()()[]()kj Tk Q j k E δ=ww()[]0v =k E ， ()()[]()kj Tk R j k E δ=v v()()[]0=j k E Tv w随机离散系统的完全随机可控的充要条件是：随机可控性矩阵满足()()()()()()0,,1,1>ΦΦ=+−∑+−=kN k i TT i k i G i Q i G i k N k k CN 为与k 无关的正整数。

随机离散系统的一致完全随机可控的充要条件是：如果存在正整数N 和01>α，01>β，使得当N k ≥时，有()IN k k C I 111,βα≤+−≤随机离散系统的完全随机可观测的充要条件是：()()()()()()0,,1,11>ΦΦ=+−∑+−=−kN k i T T k i i H i R i H k i N k k M()1,+−N k k M 为离散型随机可观测矩阵。

卡尔曼滤波一维
卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种用于在有噪声的测量中估计系统状态的最优滤波方法。

它是由统计学家Rudolf E. Kálmán在1960年提出的，并且被广泛应用于估计和控制问题。

对于一维的卡尔曼滤波，假设我们有一个线性的系统，可以通过以下两个方程来描述：
1. 状态更新方程：
x(k) = A * x(k-1) + B * u(k-1) + w(k-1)
其中，x(k)表示在时刻k的状态，A是状态转移矩阵，描述了状态在两个连续时刻之间的变化关系，B是控制输入矩阵，u(k-1)是在时刻k-1的控制输入，w(k-1)是系统过程噪声。

2. 测量方程：
z(k) = H * x(k) + v(k)
其中，z(k)是在时刻k的测量输出，H是测量矩阵，描述了状态到测量之间的映射关系，v(k)是测量噪声。

卡尔曼滤波通过不断的观测测量值和状态更新方程，递归地计算出系统的最优估计值和协方差矩阵。

最优估计值表示对系统当前状态的最优猜测，协方差矩阵表示估计值的精确程度。

卡尔曼滤波的关键在于对状态和测量噪声的统计特性进行建模，并利用这些统计特性来优化状态估计。

它在估计问题中具有最小均方误差的优点，能够有效地抑制噪声和不确定性的影响，提供更可靠的状态估计结果。

需要注意的是，一维的卡尔曼滤波只是卡尔曼滤波的一种简化形式，适用于
线性的、单变量的系统。

在实际应用中，卡尔曼滤波还可以扩展到多维、非线性问题，并且可以通过参数调整和扩展协方差矩阵等方式进行优化。

卡尔曼滤波pk取值
卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器，能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。

卡尔曼滤波分为预测过程和更新过程两个过程，其中，预测过程的公式为：$ˆxk=aˆxk−1+buk$；更新过程的公式为：$gk=pkh\div(hpkh+r)$。

当卡尔曼增益为0时，预测过程采用上一个周期的预测误差；当卡尔曼增益为1时，预测过程采用上一个周期的测量误差。

其中，$a$为状态转移矩阵，$b$为控制矩阵，$uk$为控制向量，$h$为缩放系数，$r$为过程噪声协方差矩阵，$pk$为预测误差协方差矩阵。

卡尔曼滤波的取值会影响预测和更新过程的结果，具体取值应根据实际情况进行调整。