2、运用公式法进行因式分解
【知识精读】
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式
a b
a
b a b 2
2
()()完全平方公式a ab b a
b 2
2
2
2()
立方和、立方差公式
a
b
a b a ab b 3
3
2
2
()()
补充：欧拉公式：
a
b
c
abc a b c a
b
c
ab bc ca 3
3
3
2
2
2
3()()
122
2
2
()[()()
()]
a b
c a
b b
c c a 特别地：（1）当a b
c
0时，有a
b
c
abc
3
3
3
3（2）当
c 0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时
需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，
解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正
确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a
a b
b 2
2
22分解因式的结果是（
）
A. ()()()a b a b 22
B. ()()
a b a
b
2C. ()()
a b a
b 2
D.
()()
a b b
a 2
2
22分析：
a
a b b a
a b
b a b 2
2
2
2
2
2
222121
11()
()。
再利用平方差公式进行分解，最后得到
()()a
b a b
2，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式
23
2
x
x
m 有一个因式是21x ，求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可
求出
m 的值。
解：根据已知条件，设2213
2
2
x
x
m
x x ax b ()()则222123
2
3
2
x
x
m
x a x
a b x
b
()()由此可得
211120
23a
a b m
b
()()()
由（1）得a 1
把a 1代入（2），得b
12把b
12
代入（3），得m
12
3. 在几何题中的应用。例：已知a b c 、、是ABC 的三条边，且满足a
b
c
ab bc ac
2
2
2
0，试判
断
ABC 的形状。
分析：因为题中有
a b ab 22
、、
，考虑到要用完全平方公式，首先要把
ab 转成
2ab 。所以两边同乘以
2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为
0，从而得解。
解：
a
b
c ab bc ac
2
2
2
02222220
2
2
2
a b
c
ab
bc
ac
()()()
a a
b b b
bc c c
ac a 2
2
2
2
2
2
2220
()()()
a b b c c
a 2
2
2
0()
()
()
a
b b
c c a 2
2
2
000
，，a b
b
c
c
a
000
，，a
b
c
ABC 为等边三角形。
4. 在代数证明题中应用
例：两个连续奇数的平方差一定是
8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2123n n ，（n 为整数）
则()
()
23212
2
n
n ()()
()()
2321232124481n n n n n n 由此可见，
()
()23212
2
n n 一定是8的倍数。
5、中考点拨：
例1：因式分解：x
xy
3
2
4________。
解：
x
xy
x x y x x y x y 3
2
2
2
4422()()()
说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻
底。
例2：分解因式：2883
22
3
x y
x y
xy
_________。
解：
2882443
2
2
3
2
2
x y
x y
xy xy x xy y ()
222
xy x y ()
说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示：例1. 已知：a m b m c
m
12112
212
3，，，
求a
ab
b
ac
c bc 2
2
2
222的值。解：a ab b ac c
bc
2
2
2
222
