《数学模型》分析

中考数学几何模型1：截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.例1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC=AB+CD，求证：CE平分∠BCD．证明：在BC上截取BF=BA，连接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE．在△BAE和△BFE中，，∴△BAE≌△BFE．∴EF=AE．∵E是AD的中点，∴DE=AE=EF．又∵BC=AB+CD，BF=AB，∴CD=CF，∴．∴△CED≌△CEF（SSS），∴∠FCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．分析：在BC上截取BF=BA．根据SAS证明△BAE≌△BFE．再证明△CEF≌△CED即可．点评：此题考查全等三角形的判定和性质，运用了截取法构造全等三角形进行证明，这是解决有关线段和差问题时常作的辅助线．变形1 如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．证明：延长CE，BA，相交于点F．∵AB∥CD，∴∠DCE=∠F，∠D=∠FAE．又∵DE=AE，∴△CDE≌△FAE（AAS），∴FA=CD=1，CE=FE．∵AB=2，BC=3，∴BC=3=BA+AF=BF ．∴CE ⊥BE ．分析：由已知AB ∥CD 和E 是AD 中点，不难想到作延长CE ，BA ，相交于点F 的辅助线．则得△CDE ≌△FAE ，得CE=CF ，结合结论CE ⊥BE 易联想到只需证BC=BF ，这容易从题中的数值中推得．变形2、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ．求证：AB+BD=AC ．证明：在AC 取一点E 使AB=AE ，在△ABD 和△AED 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAD ，AD ＝AD∴△ABD ≌△AED ，∴∠B=∠AED ，BD=DE又∵∠B=2∠C ，∴∠AED=2∠C∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠EDC=∠C ，∴ED=EC ，∴BD=EC∴AB+BD=AE+EC=AC例2、已知△ABC 中，∠A=60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并说明理由．分析 在CB 上取点G 使得CG=CD ，可证△BOE ≌△BOG ，得BE ═BG ，可证△CDO ≌△CGO ，得CD=CG ，可以求得BE+CD=BC ．解：在BC 上取点G 使得CG=CD ，∵∠BOC=180°-21（∠ABC+∠ACB ）=180°-21（180°-60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD 和△COG 中，∴△CODF ≌△COG （SAS ），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°-60°=60°=∠BOE ，∵在△BOE 和△BOG 中，∴△BOE ≌△BOG （ASA ），∴BE+CD=BG+CG=BC ．点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG 和BE=BG 是解题的关键．分析：延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，可得△ABE 是等边三角形，即可求得AC=AE ，可得∠ACE=∠AEC ，即可求得∠DCE=∠DEC ，可得DE=CD ，即可解题．变形1、 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ADB ＝90°﹣ ∠BDC ．试判 断线段 CD 、BD 与 AB 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论AB=BD+CD ，证明1：延长CD 到E ，使DE=BD ，连接AE ，∵∠ADB=90°-21∠BDC ， ∴∠ADE=180°-（90°-21∠BDC ）-∠BDC=90°-21∠BDC ，∴∠ADB=∠ADE ，在△ABD 和△AED 中AD ＝AD∠ADB ＝∠ADE BD ＝DE∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE ，∵AB=AC ，∴AE=AC ，∴△ACE 是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD ．证明2：以AD 为轴作△ABD 的对称△AB ′D （如图），则有B ′D=BD ，AB ′=AB=AC ，∠B ′=∠ABD=60°，∠ADB ′=∠ADB=90°- 21∠BDC ，所以∠ADB ′+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°，所以C 、D 、B ′在一条直线上，所以△ACB ′是等边三角形，所以CA=CB ′=CD+DB ′=CD+BD ．证明3：（1）AB=BD+CD ；（2）延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，∵∠ABD=60°，∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB ，∠AEB=60°，∵AB=AC ，∴∠ACE=∠AEC，∵∠ACD=60°，∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，即∠DCE=∠DEC，∴DE=CD，∴BE=BD+DE=BD+CD，∴AB=BD+CD例题 3. 如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．分析：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，易证△ABC≌△AEF，进而可以证明△ACD ≌△AFD，可得∠ADC=∠ADF即可解题．证明1：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，AC=AFCD=FDAD=AD∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．变形1 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE、BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°．求证：AD平分∠CDE．证明2：如图．连结AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置．因为AB＝AE，所以AB与AE重合．因为∠ABC＋∠AED＝180°，∠AEF＝∠ABC，所以∠AEF＋∠AED＝180°．所以D、E、F三点在同一直线上，AC＝AF，BC＝EF．在△ADC与△ADF中，DF＝DE＋EF＝DE＋BC＝CD，AF＝AC，AD＝AD．所以△ADC≌△ADF(SSS)．因此∠ADC＝∠ADF，即AD平分∠CDE．思路解析：要证AD平分∠CDE，则需证∠ADC＝∠ADE；而∠ADC是在四边形ABCD中，∠ADE是在△ADE中，且已知BC＋DE＝CD，AB＝AE，∠ABC＋∠AED＝180°，这时想到，连结AC，将四边形ABCD分成两个三角形，把△ABC绕A点旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，这时可知D、E、F在同一直线上，且△ADC与△ADF是全等的，因此命题即可证得．变形2 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M 是 AB 延长线上一点， N 是 CA 延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系，并给出证明．解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．变形3、如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．（3）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系．分析：（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而等量代换得到MN=BM+NC；（2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答；（3）按要求作出图形，BM、MN、NC之间的关系是MN=NC-BM，理由为：先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得证．解：（1）MN=BM+NC，理由如下：延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE，如图1所示：∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，BD=CD∠MBD=∠ECDCE=BM∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°，∴∠EDN=∠MDN，在△DMN和△DEN中，ND=ND∠EDN=∠MDNMD=ED，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=EN=NC+CE=BM+NC；（2）利用（1）中的结论得出：△AMN的周长=AM+MN+ANAB--BM+MN+AC--NC=AB--CE+NE+AC--NCAB+AC=2+2=4；（3）按要求作出图形，如图2所示，（1）中结论不成立，应为MN=NC-BM，理由如下：在CA上截取CE=BM，∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠ECD=90°，又∵CE=BM，BD=CD，在△BMD和△CED中，∵CE=BM ∠MBD=ECD=90° BD=CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DE=DM，在△MDN和△EDN中，∵ND=ND ∠EDN=∠MDN MD=ED ，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答．变形4、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．解：（1）BM+CN=MN证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°．∵BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°．又∵∠MDN=60°，∴∠M1DN=∠MDN=60°．∴△MDN≌△M1DN．∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB．（2）附加题：CN-BM=MN证明：如图，在CN上截取CM1，使CM1=BM，连接MN，DM1∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠DBM=∠DCM1=90°．∵BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1∵∠BDM+∠BDN=60°，∴∠CDM1+∠BDN=60°．∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°．∴∠M1DN=∠MDN．∵ND=ND，∴△MDN≌△M1DN．∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．分析：根据已知先证明Rt△BDM≌Rt△CDM1从而得到BM=CM1，然后再证明△MDN≌△M1DN，从而推出MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．在证明时，需添加辅助线，采用“截长补短”法，借助三角形全等进行证明．点评：此题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质及三角形全等的判定等知识；正确作出辅助线是解答本题的关键．该题是一个纯图形探索证明题，注意培养自己的探索精神和钻研精神．例题 4. 在四边形 ABDE 中，C 是 BD 边的中点．（1）如图（1），若 AC 平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段 AE、AB、DE 的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若 ACE＝135°，求线段 AE 长度的最大值．分析（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=12BD，进而得出结论；（3）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等腰直角三角形，由勾股定理求出FG的值就可以得出结论．解：（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．如图1∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，∵AB=AF∠BAC=∠FACAC=AC，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD边的中点．∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，∵CF=CD∠ECF=∠ECDCE=CE，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE，故答案为：AE=AB+DE；（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、AE 的长 度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（2）猜想：AE=AB+DE+21BD ． 证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，∴CB=CD=21BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，∴△ACB ≌△ACF （SAS ），∴CF=CB ，∴∠BCA=∠FCA ．同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．∵CB=CD ，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG=FC=21BD ．∵AE=AF+EG+FG ．∴AE=AB+DE+21BD ．（3）如图（3），BD ＝8，AB ＝2，DE ＝8，若 ACE ＝135°，求线段 AE 长度的最大值．（3）如图（3），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，∴CB=CD=21BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，∴△ACB ≌△ACF （SAS ），∴CF=CB ，∴∠BCA=∠FCA ．同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．∵CB=CD ，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC 是等腰直角三角形．∴FC=21BD ．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=42．∵AE=AF+FG+GE ，∴AE=AB+42+DE ．∵AB=2，DE=8，∴AE=AF+FG+EG=10+42．点评 本题考查了和四边形有关的综合性题目，用到的知识点有：角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．例题 5.在△ABC 中，∠BAC ＝90°．（1）如图 1，直线 l 是 BC 的垂直平分线，请在图 1 中画出点 A 关于直线 l 的对称点 A ′，连接 A ′C ， A ′B ，A ′C 与 AB 交于点 E ；（2）将图 1 中的直线 A ′B 沿着 EC 方向平移，与直线 EC 交于点 D ，与直线 BC 交于点 F ，过点 F 作 直线 AB 的垂线，垂足为点 H ．①如图 2，若点 D 在线段 EC 上，请猜想线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点 D 在线段 EC 的延长线上，直接写出线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系．分析 （1）根据轴对称的性质画出即可；（2）过点F 作FG ⊥CA 于点G ，求出四边形HFGA 为矩形．推出FH=AG ，FG ∥AB 求出∠GFC=∠EBC ，根据线段垂直平分线的性质得出BE=EC ，求出∠ECB=∠EBC=∠GFC ，∠FDC=∠A=90°，∠FDC=∠FGC=90°，根据AAS 推出△FGC ≌△CDF ，推出CG=FD 即可；（3）过F 作FH ⊥BA 于H ，过点C 作CG ⊥FH 于G ，求出四边形ACGH 为矩形．推出AC=GH ，CG ∥AB ，证△FGC ≌△CDF ，根据全等三角形的性质得出FG=FD ，即可得出答案． 解：（1）如图：；（2）①DF+FH=CA ，①证明：过点F 作FG ⊥CA 于点G ，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH-DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH-FG=GH，∴FH-DF=AC．点评本题考查了平移的性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，此题是一道综合性比较强的题目，难度偏大．变形1 （1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC＞已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断)(2BCAC与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．分析：（1）连接BD，利用三角形三边关系可得AB+AD＞BD，再利用勾股定理和等量代换即可证明．（2）如图，作EB⊥AB，EB=2CD，利用（1）的结论即可证明．证明：（1）连接BD，∵∠ACD=∠ADC，∴AC=AD，∵AB+AD＞BD，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴BD=，∴AB+AC＞；（2）大小关系是（AC+BC）2＜AB2+4CD2，理由为：如图，作EB⊥AB，EB=2CD，∵AB+AC＞（1）的结论；两边平方得（AC+AB）2＞BC2+CD2，∴（AC+BC）2＜AB2+4CD2．点评：此题主要考查三角形三边关系和勾股定理等知识点，难易程度适中，是一道典型的题目．例题 6. 如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为AO 上一动点，过点 H 作直线 l⊥AO 于 H，分别交直线 AB、AC、BC、于点 N、E、M．（1）当直线 l 经过点 C 时（如图 2），求证：BN＝CD；（2）当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出 BN、CE、CD 之间的等量关系．解：（1 ）证明：连接ND ，∵AO 平分∠BAC ，∴∠1= ∠2 ，∵直线l ⊥AO 于H ，∴∠4= ∠5=90 °，∴∠6= ∠7 ，∴AN=AC ，∴NH=CH ，∴AH 是线段NC 的中垂线，∴DN=DC ，∴∠8= ∠9 ．∴∠AND= ∠ACB ，∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ，∠B+ ∠3= ∠7+∠9=2 ∠B ∴∠B= ∠3 ，∴BN=DN ，∴BN=DC ；（2 ）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE 。

数学模型和物理模型在动力学仿真中的比较分析数学模型和物理模型在动力学仿真中都起着非常重要的作用，它们都用来描述和预测复杂系统的运动行为。

然而，它们之间存在一些显著的区别，可以通过比较分析来更好地理解它们在动力学仿真中的作用和适用情况。

一、数学模型和物理模型的定义和特点数学模型是一种用数学语言和符号描述系统行为和特性的模型。

它通常以方程或者图形的形式表示，能够精确描述系统的运动规律，提供了对系统的定量分析和预测能力。

数学模型的特点是抽象性强，可以忽略系统的具体物理结构和机制，着重于描述系统的数学关系和规律。

物理模型是一种用物理理论和实验数据建立的模型，它通过对系统的物理结构和特性进行建模，描述系统的运动和行为。

物理模型常常是通过实验数据和物理定律得到的，更直观地反映了真实系统的性质和特征。

物理模型的特点是具体性强，能够直观地展现系统的物理特性和行为。

二、数学模型和物理模型在动力学仿真中的作用和应用数学模型在动力学仿真中具有重要的作用，它能够通过建立数学方程来描述系统的动力学行为，并进行数值计算和仿真分析。

例如，在机械系统动力学仿真中，可以利用牛顿运动方程和拉格朗日方程建立机械系统的数学模型，对系统的运动轨迹和受力情况进行仿真分析。

数学模型能够提供对系统的精确描述和深入分析，具有广泛的应用领域和灵活的建模方法。

物理模型在动力学仿真中也扮演着重要的角色，它能够通过对系统实际物理结构和特性的建模来进行仿真分析。

例如，在流体动力学仿真中，可以利用纳维-斯托克斯方程建立流体系统的物理模型，对流场和压力场进行仿真分析。

物理模型能够直观地展现系统的物理特性和行为，具有较强的可视化效果和直观性。

三、数学模型和物理模型的优缺点比较分析数学模型的优点包括：1.精确性高：数学模型能够提供对系统的精确描述和深入分析，能够准确预测系统的行为和性能。

2.灵活性强：数学模型具有灵活的建模方法和丰富的数学工具，能够适应不同系统的建模需求和仿真分析。

《数学建模》课程教案一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章第二节，详细内容为多变量线性回归模型的构建与应用。

通过本节课的学习，使学生了解多变量线性回归模型的基本原理，掌握模型的建立、求解及分析步骤。

二、教学目标1. 知识与技能：掌握多变量线性回归模型的建立与求解方法，能够运用所学知识解决实际问题。

2. 过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数据分析、逻辑思维和团队协作能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极进取的精神。

三、教学难点与重点重点：多变量线性回归模型的建立与求解。

难点：模型的适用条件及其在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备多媒体设备、黑板、粉笔、计算器、教材、《数学建模》学习指导书。

五、教学过程1. 导入（5分钟）利用多媒体展示实际案例，如房地产价格影响因素分析，引导学生思考如何运用数学知识解决此类问题。

2. 知识讲解（15分钟）（1）回顾一元线性回归模型，引导学生思考多变量线性回归模型的建立方法。

（2）介绍多变量线性回归模型的基本原理及其适用条件。

（3）讲解模型的建立、求解及分析步骤。

3. 例题讲解（20分钟）（1）给出一个实际案例，如多因素影响下的学绩分析。

（2）引导学生根据所学知识建立多变量线性回归模型，并求解。

（3）分析模型的拟合程度，讨论各因素对成绩的影响。

4. 随堂练习（10分钟）（1）发放练习题，要求学生独立完成。

（2）教师巡回指导，解答学生疑问。

5. 小组讨论（10分钟）（1）多变量线性回归模型在实际问题中的应用。

（2）如何判断模型的适用性。

（3）如何改进模型的拟合效果。

六、板书设计1. 多变量线性回归模型基本原理2. 建立与求解步骤3. 模型适用条件4. 实际案例：学绩分析七、作业设计1. 作业题目：根据教材第四章第二节课后习题，选取两道多变量线性回归模型的题目。

2. 答案：教材课后习题答案。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生掌握程度，教学难点是否讲解清楚。

数学模型在财务分析中的应用随着数字时代的到来，财务分析在企业中的重要性越来越突出，而数学模型也扮演着越来越重要的角色。

数学模型，是指通过数学理论和方法对特定问题进行描述、表达和预测的方法。

将数学模型引入财务分析中，可以更加准确、高效地解决一些复杂的财务分析问题。

接下来，本文将从以下三个方面来介绍数学模型在财务分析中的应用。

一、风险评估模型风险是企业面临的一个重要问题。

产生风险的原因可能包括市场变化、政策调整、行业竞争等。

如何对风险进行评估，是企业财务分析中必须要解决的问题之一。

风险评估模型是一种通过数学方法对风险进行量化评估的模型。

目前，最常用的风险评估模型之一是VaR模型，也称之为价值风险模型。

VaR模型是一种对投资组合风险进行量化的方法，它通过对投资组合的历史收益率数据进行分析，确定一个最坏情况下的亏损幅度，并计算出该亏损幅度发生的概率。

VaR模型既可以用于单个投资品种的风险评估，也可以用于投资组合的风险评估。

通过VaR模型对投资组合进行风险评估，可以帮助企业较为精细地把握风险情况，减少投资失败的风险。

二、利润预测模型企业经营的目的是获取最大的利润。

为了实现这个目标，财务分析师需要对未来的利润进行预测。

然而，由于市场环境的复杂性和不确定性，利润预测难度很大。

这时，利润预测模型可以派上用场了。

利润预测模型是一种将数学模型应用于财务分析的解决方案。

它可以通过对过去的业绩数据进行分析、建立数学模型，来预测未来的业绩变化趋势。

在建立利润预测模型时，需要将企业的财务指标作为参考，包括收入、成本、资产负债等，以便更加全面地考虑企业经营情况。

三、现金流模型现金流量是企业经营的生命线，企业要保证现金流量的稳定性，才有可能实现良好的经营业绩。

在财务分析中，现金流模型就是一种对现金流量进行量化分析的方法。

现金流模型可以帮助企业预测未来现金流量变化趋势、分析现金流量的来源和去向，并针对具体问题建立相应的数学模型。

高中数学数形结合法的运用探讨——《数形结合与数学模型》
读后感
近年来，随着社会的发展，中国的中学教育正在不断的进步，其中，高中数学教育是必不可少的。

本文以《数形结合与数学模型》为
主要内容，利用数学知识和工具，以涉及数学模型及构建数学模型，探讨高中数学数形结合法的运用。

首先，《数形结合与数学模型》提出了高中数学数形结合法的概
念和原理，它是将数学的解决思路与形式思维、推理、抽象和空间思
维相结合，使之成为一种完整的数学思维模式。

它不仅涉及数学的基
础知识，还要求学生完成证明和推理，把数学的基础提升到一个新的
高度。

书中指出，数学模型有许多种类，比如线性模型、极限模型、函数模型和封闭模型等，并且，以数学模型驱动的数据分析也已经成
为现代数学课程的重要组成部分。

其次，《数形结合与数学模型》涉及的内容很全面，其中涉及了
许多重要的概念和思想，比如，对数形结合法的概念、对空间思维的
认识以及如何构建数学模型以及如何从数据中进行数学推理等。

书中
还深入浅出地阐释了数形结合法的重要性，将其作为决定数学应用能
力和拓宽数学思维视野的基石。

最后，书中还结合实例，详细地介绍了数形结合法的应用，以及
对数学模型建模的技术，同时，还探讨了如何利用数学的解决思路，进行数据推理和建模。

总之，《数形结合与数学模型》不仅丰富了我们对高中数学数形
结合法的研究，还推动了现代数学教育的发展，帮助学生更好地掌握数学知识和技能，建立数学模型，促进对数学问题的深入理解和分析。

本文的研究分析，深刻地反映了《数形结合与数学模型》的重要性，它是中学数学教学的重要参考书籍，值得教师、学生和学者深入研究和研究。

企业利润数学模型的建立与分析摘要利润是企业可持续发展的基石，如何用最小的成本获得更多的利润是股东继续经营企业的根本。

本文以企业利润最大化为目标，通过对其进行数学模型的建立及相应的方法分析，并以某企业往年利润数据为例，进行企业过程数据分析，为将数学模型分析方法应用于企业经营等日常经济管理提供思路。

关键词利润数学模型数据分析最值一、引言随着社会生产的专业化与规模化发展，在社会资源有限的情况下，人力成本越来越高、环保压力越来越大，造成企业的生产压力不断增大，利润空间也饿越来越小。

很多情况下，企业会通过升级技术装备、减少用工成本，进而提高实际盈利能力，但是装备设施的升级成本也很高，很多企业无法承受，这就给许多企业带来困扰，甚至由于经营不善最终导致破产。

近些年随着一些先进管理理念的引进，企业家们开始不断尝试采用基于数学分析的方法，为企业经营提供新的思路与方法。

基于数学分析的管理方法主要是借助数学模型对企业全过程进行精密管理，通过对实际经营过程的不断分析优化，为企业生产节约资源，减少不必要的成本支出，给企业带来新的利润空间。

本文主要结合数学建模方法，阐述了经济分析中的典型数学工具，并以某工厂的利润进行了应用分析，为企业经营发展提供新的方向与基础。

二、经济分析中的数学工具（一）数学模型数学模型从概念上说，是借助数理逻辑与数学语言建立的一种描述对象的某种特性所呈现的关系表达式。

从广义上来理解，数学模型是由数学中的相关概念、公式与理论所组成，建立数学模型就是要对现实物理世界进行抽象描述，从某种意义上来说，整个数学基础可以看成是一门有关建立数学模型，并进行数学分析的科学。

从狭义上来理解，数学模型是指描述那些特定问题或特定事物及系统的数学关系式，这也可理解为是对一个系统内各变量间关系的一种数学表达方式。

数学模型的应用历史可以追溯到早期使用数字的时代，随着人类采用数字来进行简单的计数到现在进入数字化时代，就开始不断地采用并建立各种对象的数学模型，以解决日常生产生活中的各种现实问题。

美赛数学建模常用模型及解析
数学建模是数学与实际问题的结合，解决实际问题的具体数学模型是数学建模的核心。

以下是一些美赛中常用的数学模型及其解析。

1. 线性规划模型
线性规划模型是一种最常见的优化模型，它的目标是在给定的约束条件下，寻找一个线性函数的最大值或最小值。

线性规划模型可以用于解决资源分配、生产计划、运输优化等问题。

2. 整数规划模型
整数规划是线性规划的一个扩展，它要求决策变量只能取整数值。

整数规划模型可以应用于旅行商问题、装配线平衡问题等需要整数解决方案的实际问题。

3. 动态规划模型
动态规划是一种将多阶段决策问题转化为单阶段决策问题求解的方法。

动态规划模型可以用于解决背包问题、序列对齐问题等需要在不同阶段做出决策的问题。

4. 排队论模型
排队论模型用于分析系统中的排队现象，包括到达率、服务率、系统稳定性等指标。

排队论模型可以用于研究交通流量、电话系统、服务器排队等实际问题。

5. 随机过程模型
随机过程模型用于描述随机事件的演变过程，其中最常见的是马尔可夫链和布朗运动。

随机过程模型可以用于模拟金融市场、天气预测、股票价格等随机变化的问题。

这些模型只是数学建模中常用的几种类型，实际问题通常需要综合运用多种模型进行分析和求解。

对于每个具体的问题，需根据问题的特点和要求选择合适的数学模型，进行合理的建模和求解。

初中数学模型思想渗透现状分析及策略研究近年来，随着改革开放的推进和教育理念的不断发展，现行的中国初中数学教育呈现出诸多新变革，深受学校、家长和学生的普遍欢迎。

在新教育理念的指导下，初中数学教学不仅拓宽了学生视野，健全提高了数学水平，还更加重视了数学模型思想的渗透。

数学模型思想是当今中国教育界不可忽视的热门话题，随着教育改革的推进，学校开展数学模型思想渗透教学也备受关注。

然而，由于诸多原因，当前初中数学模型思想渗透的现状仍然不太理想，存在的一些问题需要重视和解决。

首先，教师的知识和技能不足是影响数学模型思想渗透教学的一个重要原因。

目前，许多中学教师在进行数学模型思想渗透教学时存在缺乏教学讲授、实验教学、活动教学等知识和技能的问题，这对于提高开展数学模型思想渗透教学质量有一定的负面影响。

此外，学校教学环境也是影响数学模型思想渗透教学的重要因素。

当前，许多初中学校的数学实验设备落后，同时，课上教学时间有限，学生自主学习也较少，这都是影响数学模型思想渗透教学的一大障碍。

针对上述问题，应采取一系列积极和有效的措施。

首先，加强教师教学能力建设，帮助教师学会运用数学模型思想在教学实践中。

学校应重视教师的专业技能培训，扩大教师的知识面，提高教师的专业教学能力。

其次，学校应加大对教学环境的改善，以确保教师在教学中拥有良好的环境。

学校可以投入资金，多采用数学实验仪器、数学软件，同时，学校也可以通过拓宽学生的学习时间和开展学生自主学习活动，来提高学生的学习水平。

最后，学校要重视数学模型思想在教学中的重要性，把数学模型思想渗透教学作为当前中学教育重要内容之一。

学校要制定有针对性的课程，引入相关数学模型思想课程，便于教师将知识融入教学实践，实现数学模型思想的深入渗透。

综上所述，我们可以看出，开展初中数学模型思想渗透教学具有重要意义，但由于诸多原因，当前初中数学模型思想渗透的现状仍然不太理想。

应当采取一系列积极措施，从教师培训、教学环境改善以及重视数学模型思想渗透等方面努力，提高开展数学模型思想渗透教学的质量，增强初中学生的数学知识，为培养初中生的创新思维和综合能力打下良好的基础。

数学建模统计模型教学教案教学内容反思：
在教学《数学建模》第五章——统计模型时，我深刻认识到统计学不仅是数学的一个分支，更是应用数学解决实际问题的有力工具。

统计模型的建立和应用是研究和解决社会、经济、科学等领域问题的有效手段。

因此，在本节课中，我致力于使学生掌握描述统计的基本方法，理解概率分布的概念，熟练运用假设检验、回归分析和方差分析等统计方法。

教学方法反思：
在教学过程中，我注重理论与实践相结合，通过生动的例子和实际问题引出统计模型的概念，让学生在解决问题的过程中体会统计学的价值。

同时，我鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和回答问题，以增强学生的互动性和参与感。

我也注重时间管理，确保每个知识点都有足够的讲解和练习时间，使学生在有限的课堂时间内掌握更多的知识。

教学效果评估：
根据课后收到的学生反馈和作业完成情况来看，学生们对统计模型的理解和应用能力有了显著提高。

他们能够运用所学的知识对实际问题进行建模和分析，这说明本节课的教学目标是基本达到了。

但同时，我也注意到部分学生在概率分布的计算和假设检验的推导上还存在一定的困难，这需要在今后的教学中进行针对性的辅导和强化。

教学改进：
1. 对于难点内容，如概率分布的计算和假设检验的推导，需要放慢讲解速度，给予学生更多的时间理解和消化。

2. 通过增加案例分析和课后实践项目，让学生在实际操作中加强对统计模型的应用能力。

3. 鼓励学生提出问题，及时解答学生的疑惑，提高学生的学习效率。

4. 开展小组讨论和同伴学习，让学生在讨论中加深对统计模型的理解，并培养合作学习能力。

中考数学经典几何模型之胡不归最值模型名师点睛 拨开云雾 开门见山在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kP ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆． 【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小． 2M【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值． 【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC=，CH =kAC ．M将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．M【模型总结】在求形如“P A+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“P A+kPB”型问题转化为“P A+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，△ABC中，AB=AC=10，tan A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD的最小值是_______．AB CDEHEDCBA AB CDEH【分析】本题关键在于处理”，考虑tan A=2，△ABE三边之比为1:2sin∠，故作DH⊥AB 交AB 于H 点，则55DH BD =．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此时45CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsin α=55HEDC BAEDCB变式练习>>>1．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则32PB PD +的最小值等于________．ABCDPMHPDCBAABCDP HM【分析】考虑如何构造“32PD ”，已知∠A =60°，且sin60°=32，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，即可得32PH PD =，将问题转化为：求PB +PH 最小值．当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．例题2. 如图，AC 是圆O 的直径，AC ＝4，弧BA ＝120°，点D 是弦AB 上的一个动点，那么OD +BD 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C ＝60°，∵AC 是直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，故选：B．变式练习>>>2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝﹣．【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵P A＝P A，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴P A＝PG，∴P A+PB+PC＝CP+PG+GM，∴当M，G，P，C共线时，P A+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．故答案为﹣．例题3. 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC 边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y 轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为（0，）．【解答】解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），在Rt△AMG中，GM＝AG，∴电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝所以点G的坐标为（0，﹣）．故答案为：（0，﹣）．变式练习>>>3．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P 从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．例题4. 直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是（3，）．【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），∵点D在点C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．（3）①依照题意画出图形，如图1所示．过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．∵直线BC的解析式为y＝x，∴BE＝CE，由勾股定理得：BC＝＝CE．∵CD＝CB，∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，∴m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．∵直线BC的解析式为y＝x，FM⊥BC，∴tan∠FCM＝＝，∴sin∠FCM＝．∵B、B′关于对称轴对称，∴BF＝B′F，∴BF+CF＝B′F+FM．当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x＝3，∴B′点的坐标为（0，8）．又∵B′M⊥BC，∴tan∠NB′F＝，∴NF＝B′N•tan∠NB′F＝，∴点F的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．变式练习>>>4．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．（1）填空：点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2）；（2）直线l1的表达式为y＝2x﹣2；（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．【解答】解：（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，故答案为（﹣2，0）、（0，2）；（2）y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，则直线l1的表达式为：y＝2x﹣2，故：答案为：y＝2x﹣2；（3）∵S△AOE＝2S△ABO，∴y E＝2OB＝4，将y E＝4代入l1的表达式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，则点E的坐标为（3，4）；（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，直线l2：y＝x+2，则∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．例题5. 已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，∴y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝x+3，①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∴直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，解得，（不合题意，舍去），∴P（﹣，）；②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解y＝得，，∴P（，﹣），综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+32DE=BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．变式练习>>>5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q 从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+8）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4；当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+4＝4，则C（0，4）∴BC＝4，AC＝2，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴AB为直径，∴圆心M点的坐标为（﹣3，0）；（2）以AP•AN为定值．理由如下：如图1，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∵∠APB＝∠AON，∠NAO＝∠BAP，∴△APB∽△AON．∴AN：AB＝AO：AP，∴AN•AP＝AB•AO＝20，所以AP•AN为定值，定值是20；（3）∵AB⊥CD，∴OD＝OC＝4，则D（0，﹣4），易得直线BD的解析式为y＝﹣x﹣4，过F点作FG⊥x轴于G，如图2，∵FG∥OD，∴△BFG∽△BDO，∴＝，即＝＝＝，∴点Q沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，∴当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，作∠EBI＝∠ABE，BI交y轴于I，作FH⊥BI于H，则FH＝FG，∴AF+FG＝AF+FH，当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，作DK⊥BI，垂足为K，∵BE平分∠ABI，∴DK＝DO＝4，设DI＝m，∵∠DIK＝∠BIO，∴△IDK∽△IBO，∴＝＝＝，∴BI＝2m，在Rt△OBI中，82+（4+m）2＝（2m）2，解得m1＝4（舍去），m2＝，∴I（0，﹣），设直线BI的解析式为y＝kx+n，把B（﹣8，0），I（0，﹣）代入得，解得，∴直线BI的解析式为y＝﹣x﹣，∵AH ⊥BI ，∴直线AH 的解析式可设为y ＝x +q ，把A （2，0）代入得+q ＝0，解得q ＝﹣，∴直线AH 的解析式为y ＝x ﹣，解方程组，解得，∴F （﹣2，﹣3），即当点F 的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在平面直角坐标系中，点()3,3A ，点P 为x 轴上的一个动点，当OP AP 21+最小时，点P 的坐标为___________.[答案]：()0,2P2. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M 为对角线BD （不含点B ）上的一动点，则BM AM 21+的最小值为___________.2[答案]：33. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值．【解答】解：（1）由题意，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）；（2）设点M的坐标为（，y）．∵A（﹣1，0），B（0，﹣），∴AB2＝1+3＝4．①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，则（+1）2+y2＝4，解得y＝±，即此时点M的坐标为（，）或（，﹣）；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，则（）2+（y+）2＝4，解得y＝﹣+或y＝﹣﹣，即此时点M的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，则（+1）2+y2＝（）2+（y+）2，解得y＝﹣，即此时点M的坐标为（，﹣）．综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣+）或（，﹣﹣）或（，﹣）；（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．4. 【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）【综合运用】（4）如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．【解答】解：（1）如图①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，在Rt△BCM中，DE＝CD sin30°＝CD；（2）如图①过点A作AE′⊥CM交BC于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点；（3）如图②，过点C作射线CM，使得sin∠BCM＝，过点A作AE⊥CM，垂足为E交BC于点D，则点D为为所用时间最短的登陆点；（4）由题意得：t＝＝EF+CF，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过点F作GF⊥CD交CD于点G，∠ACB＝∠DCB＝α，sin∠ABC＝＝，则EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，点E是OB中点，其坐标为：（3，0），当x＝3时，对于y＝﹣x+3，y＝，点F坐标为（3，），t＝＝EF+CF，当H、F、E三点共线时，EF+FH＝OC＝3，即：最小时间为3秒．5. 如图，△ABC是等边三角形．（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图1中∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，∵△PCQ是等边三角形，∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．（2）证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．∵△ACD≌△ABQ，∴AQ＝AD，CD＝BQ，∵∠DAQ＝60°，∴△ADQ是等边三角形，∴AD＝DQ，∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中△BDQ）．（3）如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．∵PE＝P A，∴P A+2PC＝2（P A+PC）＝2（PE+PC），根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，P A+2PC的值最小，最小值为2CF．由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝P A，∴P A＝BQ＝AG＝CG＝y，FG＝y，∴x＝2（y+y），∴y＝x．6. 如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F 的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线y＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y＝﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b＝0，解得b＝，∴直线BD解析式为：y＝﹣x+．当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∴k＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）．即y＝x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△P AB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠P AB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠P AB，即：，∴y＝x+k．∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k＝．②若△ABC∽△P AB，则有∠ABC＝∠P AB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠ABC＝tan∠P AB，即：＝，∴y＝x+．∴P（x，x+），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△P AB，＝，∴＝，解得k＝±，∵k＞0，∴k＝，综上所述，k＝或k＝．（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，∴tan∠DBA＝＝＝，∴∠DBA＝30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AF+DF，∴t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y＝﹣x+，∴y＝﹣×（﹣2）+＝2，∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t＝，∵l BD：y＝﹣x+，∴F X＝A X＝﹣2，∴F（﹣2，）．7. 已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ的最大值；（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN 的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为（﹣1，0）、（3，0），令x＝0，则y＝3，则点C的坐标为（0，3），直线BC过点C（0，3），则直线表达式为：y＝kx+3，将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2+2m+3，则点Q坐标为（3﹣n，n），则PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，∵a＝﹣1＜0，则PQ有最大值，当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；（2）过直线CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，当sinα＝时，HG＝GC，则BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，则∠GBO＝α，∵sinα＝，则cosα＝，tanα＝，OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G（0，），CG＝3﹣＝，而BG＝，BG+CG的最小值为：；（3）作点A关于直线BG的对称点A′，过A′作A′N⊥x轴，交BG于点M，交x轴于点N，则此时AM+MN取得最小值，即为A′N的长度，则：∠GBA＝∠AA′N＝∠OGB＝α，AA ′＝2AB sin ∠ABG ＝2×4×sin α＝，A ′N ＝A ′A cos α＝×＝， 即：AM +MN 的最小值为．8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，点D 、F 分别是边AB ，BC 上的动点，连接CD ，过点A 作AE ⊥CD 交BC 于点E ，垂足为G ，连接GF ，则GF +FB 的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：延长AC 到点P ，使CP ＝AC ，连接BP ，过点F 作FH ⊥BP 于点H ，取AC 中点O ，连接OG ，过点O 作OQ ⊥BP 于点Q ， ∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝4，∴AC ＝CP ＝2，BP ＝AB ＝4 ∴△ABP 是等边三角形，∴∠FBH ＝30° ∴Rt △FHB 中，FH ＝FB∴当G 、F 、H 在同一直线上时，GF +FB ＝GF +FH ＝GH 取得最小值 ∵AE ⊥CD 于点G ，∴∠AGC ＝90° ∵O 为AC 中点，∴OA ＝OC ＝OG ＝AC∴A 、C 、G 三点共圆，圆心为O ，即点G 在⊙O 上运动 ∴当点G 运动到OQ 上时，GH 取得最小值 ∵Rt △OPQ 中，∠P ＝60°，OP ＝3，sin ∠P ＝ ∴OQ ＝OP ＝，∴GH 最小值为故选：C ．9. 抛物线2623663y x x =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．E B 1O 1P A BCFy xO【分析】根据抛物线解析式得A ()32,0-、B ()2,0、C ()0,6，直线AC 的解析式为：363y x =+，可知AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC， 问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，设2623,663P m m m ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，则3,63E m m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，30,63H m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2636PE m m =--，33CH m =-，()22643646=226363PE CH m m m +=---++∴当PE +EC 的值最大时，x ＝﹣2，此时P （﹣2，），∴PC ＝2，∵O 1B 1＝OB ＝，∴要使四边形PO 1B 1C 周长的最小，即PO 1+B 1C 的值最小，如图2，将点P 向右平移个单位长度得点P 1（﹣，），连接P 1B 1，则PO 1＝P 1B 1， 再作点P 1关于x 轴的对称点P 2（﹣，﹣），则P 1B 1＝P 2B 1， ∴PO 1+B 1C ＝P 2B 1+B 1C ，∴连接P 2C 与x 轴的交点即为使PO 1+B 1C 的值最小时的点B 1， ∴B 1（﹣，0），将B 1向左平移个单位长度即得点O 1，此时PO 1+B 1C ＝P 2C ＝＝，对应的点O 1的坐标为（﹣，0），∴四边形PO 1B 1C 周长的最小值为+3.H O yFC BA P O 1B 1EC 1O yF CBAP O 1B 1E。