重庆八中2020-2021学年高一上学期11月1日数学周考试题(一) 含答案

6⎨0.5 y=x -1⎨y = 2x -1⎨0.5 y=x +1⎨y = 2x -1重庆八中初2021 级2020—2021 学年度（上）入学考试数学试题（全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题答案书写的答题卡上，不得在试卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a=++≠的顶点坐标为24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭，对称轴为2bxa=-.一、选择题：（本大题共12 小题，每小题4 分，共48 分）在每个小题的下面，都给出了A、B、C、D 四个答案，其中只有一个是正确的．1．1的相反数是（）4A．14B．-14C．4 D．-42．下列图形中，是轴对称图形的是A．B．C．D．3．国家发改委2 月7 日紧急下达第二批中央预算内投资2000000 元人民面，专项补助承担重症感染患者救治任务的湖北多家医院重症治疗病区建设，其中数据2000000 用科学记数法表示为（）A．2 ⨯107B．2 ⨯108C．20 ⨯107D．0.2 ⨯1084．如图，该立体图形的左视图为（）5．使分式x3 -x有意义的x 的取值范围为（）A．x >-3B．x < 3 C．x ≠-3D．x ≠ 36．估计 3 ⨯-1的值应在（）A．1 和2 之间B．2 和3 之间C．3 和4 之间D．4 和5 之间7．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（）A．⎧y =x + 4.5⎩B．⎧y =x + 4.5⎩C．⎧y =x - 4.5⎩D．⎧y =x - 4.5⎩3 8．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．如果a 2 = b 2 ，那么a = bB ．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C ．13 个人中至少有两个人生肖相同D ．将一枚质地均匀的硬币向上抛高，落下之后，一定正面向上9．如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成，第1 个黑色 形由3 个正方形组成，第2 个黑色 形由7 个正方形组成，…．，那么组成第 8 个黑色形的正方形个数为（）A ．20B ．31C ．33D ．3710. 若关于x 的分式方程131022ax x x -+-=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)122x x x x a ≥-⎧⎪⎨--<⎪⎩有且仅有3个负整数解，则所有满足条件的整数a 的个数为（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 411．如图，在等腰Rt △ABC 中， ∠ABC = 90︒ ， AB = BC = + 1 ，点 D 是AC 上一点，将△BCD 沿 BD 折叠至△BC 'D ，连接 AC ' 且满足 AC ' = DC ' ，则点 D 到 AB 的距离为（ ）A ．2B 2(62)-． 6+2D 312.如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴上的正半轴上，点D在对角线OB：23y x=，且满足26OD=,反比例函数(0,0)ky k xx=>>的图象经过C、D两点，已知平行四边形OABC的面积是203，则点B的坐标（）A．4727,3⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．105,3⎛⎫⎪⎝⎭C．()6,4D．23838,3⎛⎫⎪⎪⎝⎭二、填空题：（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分）将每小题的答案直接填写在对应的横线上．13．分解因式：x3 -xy2 =．14．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15 个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75 ，则袋中白球有个．15．已知一个正n 边形的每个内角都为144︒，则边数n 为．16．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90︒，CA =CB = 4 ，分别以A 、B 、C 为圆心，以1AC 为半径画2弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是．17．一条笔直的公路上顺次有A 、B 、C 三地，甲车从B 地出发往A 地匀速行驶，到达A 地后停止，在甲车出发的同时，乙车从B 地出发往A 地匀速行驶（乙车比甲上快），到达A 地停留1 小时后，调头按原速向C 地行驶，甲乙两车相遇后，甲车速度提升至原速的1.5 倍，乙车速变不变，若AB 两地相距300 千米，在两车行驶的过程中，甲，乙两车之间的距离y （千米）与乙车行驶时间x（时）之间的关系如图所示，则甲车到达A 地后，经过时乙车到达C 地．18．今年8 月20 日，重庆八中学子在第37 届全国青少年信息学奥林匹克竞赛中再创佳绩，斩获一金四银，一学子入选国家集训队，为了解我校信息竞赛同学对其它竞赛科目的兴趣程度，老师对同学们做了－次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（每位同学都填了调查表，且只选择数学、物理、化学、生物其中一个科目），其中选物理的人数比选生物的少8 人；选数学的人数是选生物人数的整数倍；选生物与数学的人数之和是物理与化学的人数之和的5 倍；选化学与数学的人数之和比选物理与生物的人数之和多24 人，则喜欢数学共有人．三、解答题（本大题7 个小题，每小题10 分，共70 分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（10 分）计算：（1）22(1)(2)(21)y y y+--+（2）2542111x x xxx x--⎛⎫++÷⎪--⎝⎭20．（10 分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，对角线AC 、BD交于点O ，BD平分∠ABC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，连接QE ，若DC = 2长．，AC = 4 ，求OE 的521．（10 分）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生暑假期间的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100 分，现从两个班分别随机抽取了20 名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x 表示，共分为五组：A:0≤x<80，B:80≤x<85，C:85≤x<90，D:90≤x<95，E:95≤x≤100），下面给出了部分信息：甲班20 名学生的成绩为：乙班20 名学生的成绩在D 组中的数据：93，91，92，94，92，92，92．甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表：班级甲班乙班平均数91 92中位数91 b众数c92方差41.227.3根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a ，b ，c 的值：a =；b =；c =；（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若甲、乙两班总人数为120，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x ≥ 95 ）的学生人数是多少？22.小明根据学习函数的经验，对函数41,(1)26, (1)xy xx x⎧+>-⎪=+⎨⎪+≤-⎩的图象和性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）如表是y 与x 的几对对应值：x…-7 -5 -1 0 1 2 3 4 …y…-1 a 5 3 73b9553…其中a =；b =；（2）函数图象与y轴的交点坐标是；（3）在平面直角坐标系中，画出函数的图象；（4）结合图象，写出函数的一条性质：；（5）观察函数图象，直线y =m（m 为常数）恰好与函数图象有两个交点，则m 的取值范围是．甲班82 85 96 73 91 99 87 91 86 9187 94 89 96 96 91 100 93 94 9923．（10 分）“无夜景，不重庆”，以“祖国万岁”为主题的庆祝中华人民共和国成立70 周年灯光秀，9 月21 日至10 月10 日在“山水之城，美丽之地”重庆上演．据了解，此次以重庆大剧院灯光“领舞”，临近的12 栋楼字灯光联动变化的“梦幻江北嘴”灯光秀共使用LED 照明灯和LED 投射灯共50 万个，共花费860 万元．已知LED 照明灯的售价为每个8 元，LED 投射灯的售价为每个100 元．请用方程或方程组的相关知识解决下列问题：（1）本次“梦幻江北嘴”灯光秀使用LED 照明灯和LED 投射灯各多少个？（2）某栋楼宇计划安装LED 照明灯18000 个，LED 投射灯500 个，因楼宇本身的设计原因，实际安装时LED 投射灯比计划多安装了20% ，LED 照明灯的数量不变，商家为祖国70 华诞而让利把LED 照明灯和LED 投射灯售价分别降低了m% 、3m% ，实际上这栋楼宇LED 5照明灯和LED 投射灯的总价为159000 元，请求出m 的值．24：（10 分）根据阅读材料，解决问题．材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．（例如：1、232、4554 是对称数）材料2：对于一个三位自然数 A ，将它各个数位上的数字分别2 倍后取个位数字，得到三个新的数字x ，y ，z ，我们对自然数 A 规定一个运算；K (A)=x2 +y2 +z2 ，例如：A = 191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别 2 倍后取个位数字分别是：2、8、2．则K (191)= 22 + 82 + 22 =72 ．请解答：（1）请你直接写出最大的两位对称数：，最小的三位对称数：；（2）如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100 个对称数；（3）一个四位的“对称数” B ，若K (B)= 8 ，请求出 B 的所有值．25．（10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(-6, 0) ，点 B 的坐标是(4, 0) ．等腰Rt △BOC的顶点C 在 y 轴正半轴．（1）求直线 AC 的解析式；（2）如图 2，点 D 为线段 BC 上一动点， E 为直线 AC 上一点，连接 DE 且满足 DE 平行于 y 轴，连接 BE ，求△BDE 面积取得最大值，并求出此时 E 的坐标；（3）在第（2）问 △BDE 面积取得最大值条件下，如图 3，将 △AOC 绕点O 顺时针旋转得到△A 1OC 1 ，点C 1 恰好落在直线 DE 上，将△A 1OC 1 沿着直线 AC 平移得到△A 2O 2C 2 ，平移过程中是否存在某一时刻，使得△A 2O 2C 是以O 2C 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点O 2 的坐标；若不存在，说明理由．四、解答题（本大题 1 个小题，共8 分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．（8 分）在Rt ABC 中，∠CAB=90︒，点D是边AB的中点，连接CD ，点E 在边BC 上，且AE⊥CD 交CD 于点F.（1）如图1，当∠ACB = 60︒时，若CD = ，求AF 的长；（2）如图2，当∠ACB = 45︒时，连接BF ，求证：CD +DF =AF +（3）如图3，当∠ACB = 75︒时，直接写出FA的值．CF2BF；7。

2020-2021学年重庆市第八中学校高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{0M =，2}，{1N =，2}，则M N ⋃为（ ） A ．{}0,1 B ．{}2 C ．{}0,1,2 D ．{}0【答案】C【分析】根据并集运算的法则，即可求得答案 【详解】因为集合{0M =，2}，{1N =，2}， 所以={0,1,2}M N ⋃. 故选：C2．命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是（ ） A ．2,210x R x x ∃∈-+≤ B ．2,210x R x x ≥∃∈-+ C ．2,210x R x x ∃∈-+< D ．2,210x R x x ∀∈-+<【答案】C【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词并否定结论，即可得到原命题的否定.【详解】因为x R ∀∈的否定为x R ∃∈，2210x x -+≥的否定为2210x x -+<， 所以原命题的否定为：2,210x R x x ∃∈-+<. 故选：C.【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.注意全称命题的否定为特称命题.3．已知:23p x <≤，:14q x <<，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由已知写出p 、q 的集合，根据集合的包含关系即可判断它们之间的充分、必要性，进而确定正确选项.【详解】由{|23}p x x =<≤，{|14}q x x =<<，即p q ≠⊂， ∴p 是q 的充分不必要条件. 故选：B4．已知函数()243,03,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩，则()()5=f f （ ）A ．0B ．2-C ．1-D ．1【答案】C【分析】利用解析式先求()5f ，再求()()5f f ，得出答案．【详解】()()()()()()25352,5224231f f f f =-=-∴=-=-+⨯-+=-故选：C【点睛】本题考查函数求值问题，考查分段函数的应用，属于基础题． 5．已知a c >，b d >，则下列结论正确的是（ ） A ．22()()a b c d +>+ B ．()()0a c d b --< C ．11a c< D ．a b c d ->-【答案】B【分析】由已知条件，结合特殊值法及不等式性质，即可判断各项的正误.【详解】A ：当1,2a b c d ====-时，有22()(416)a b c d +<+==，错误；B ：由题设知：0,0a c d b ->-<，即()()0a c d b --<，正确；C ：当1,2a c ==-时，11a c>，错误； D ：当1,2a b c d ====-时，有a b c d -=-，错误. 故选：B6．函数1y ax =-+与2y ax =在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】讨论0a >、0a <时，1y ax =-+、2y ax =的图象性质，应用排除法即可确定正确选项.【详解】当0a >时，1y ax =-+在x ，y 轴上截距分别是10,1a>，而2y ax =开口向上，顶点为原点且对称轴为y 轴，排除B ； 当0a <时，1y ax =-+在x ，y 轴上截距分别是10,1a<，而2y ax =开口向下，顶点为原点且对称轴为y 轴，排除C 、D ； 故选：A7．已知函数228,1()2,1x ax x f x x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，()f x 在定义域上单调递减，则实数a 的范围为（ ） A ．7(1,)2B ．(1,)+∞C ．712⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．7(,]2-∞【答案】C【分析】先利用二次函数得出a 的范围，再利用分段函数的单调性求解即可.【详解】228,1()2,1x ax x f x x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，()f x 在定义域上单调递减，当1x ≤时，()228f x x ax =-+，对称轴为x a =，开口向上， 则17112822a a a ≥⎧⇒≤≤⎨-+≥⎩，则实数a 的范围为：712⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.8．已知区间(,)a b 是关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集，则32a b +的最小值是（ ）A ．32+ B ．5+C ．52+D ．3【答案】C【分析】由题知2a b m +=，1ab m =，0m >，则可得12a bab+=，则()32322a b a b a b ab +⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.【详解】由题知a b ，是关于x 的一元二次方程221=0mx x -+的两个不同的实数根， 则有2a b m +=，1ab m =，0m >，所以12a bab+=，且a b ，是两个不同的正数，则有()13213232=5+5222a b a b a b a b ab b a ⎛+⎛⎫⎛⎫+=+⋅+≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ (15225=+=当且仅当32=a b b a 时，等号成立，故32a b +的最小值是52+故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了基本不等式“1”的妙用求最值，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.二、多选题9．(多选)下列各组函数是同一函数的是（ ） A ．()221f x x x =--与()221g s s s =--B ．()f x =()g x =C ．()x f x x =与()01f x x=D ．()f x x =与()g x =【答案】AC【分析】利用同一函数的概念判断即可.【详解】对于A 选项，解析式可以看作相同，且定义域相同，是同一函数；对于B 选项，()0f x =≥，()g x 的定义域为(],0-∞，()0g x =≤，故不是同一函数；对于C 选项，解析式可化为相同，且定义域都为{}|0x x ≠相同，是同一函数；对于D 选项，()g x x ==，解析式不同，故不是同一函数；故选：AC.【点睛】本题考查同意以函数的概念，属于基础题，解答时只需保证所给函数的定义域相同，解析式相同或可化为相同即可. 10．下列函数中值域为R 的有（ ）A ．()31f x x =-B ．()f x =C ．2,02()2,2x x f x x x ⎧≤≤=⎨>⎩D ．3()1f x x =-【答案】AD【分析】根据函数解析式，逐项判断函数值域，即可得出结果. 【详解】A 选项，()31f x x =-的值域显然为R ，即A 正确；B 选项，()0f x =，即()f x =[)0,+∞，故B 错；C 选项，当02x ≤≤时，2()f x x =单调递增，所以[]20(,)4f x x ∈=；当2x >时，()2f x x =单调递增，所以()2(,)4x f x ∈=+∞；综上，2,02()2,2x x f x x x ⎧≤≤=⎨>⎩的值域为[)0,+∞，故C 错；D 选项，因为3y x R =∈，所以3()1f x x R =-∈，即3()1f x x =-的值域为R ，即D 正确； 故选：AD.11．若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B C ．11a b+有最小值2 D ．22a b +有最大值12【答案】AB【分析】对A,根据基本不等式求ab 的最大值；对B,对C,根据()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开求解最小值； 对D,对1a b +=平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B,22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误. 对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb+=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选：AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则函数()f x 满足（ ） A ．(0)0f =B ．()y f x =是增函数C ．()f x 在[m ，]n 上有最大值()f nD ．(1)0f x ->的解集为(,1)-∞【答案】AD【分析】用赋值法，令0x y ==，可判断A 正确；根据函数奇偶性与单调性的定义，判断函数奇偶性和单调性，可判断B ，C 错误；结合单调性解不等式，可得出D 正确. 【详解】令0x y ==，则()()020f f =，故()00f =.选项A 正确；令y x =-，则()()()0f f x f x =+-，则()()0f x f x +-=，即()()f x f x =--，故函数()f x 为奇函数，选项B 正确；设12x x <，则120x x -<，由题意可得，()120f x x ->，即()()()()12120f x f x f x f x +-=->，即()()12f x f x >，故函数()f x 为R 上的减函数，()f x ∴在[],m n 上的最大值为()f m ，选项B ，C 错误；()10f x ->等价于()()10f x f ->，又()f x 为R 上的减函数，故10x -<，解得1x <，选项D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，解题方法是赋值法．赋值时注意函数性质的定义，如奇偶性中需要出现()f x -()f x 的关系，因此有令y x =-这个操作．三、填空题13．函数1()21f x x =-的定义域为_________ 【答案】11[1,)(,1]22- 【分析】根据根式、分式的性质：被开方数非负、分母不为0，即可求函数定义域.【详解】由函数解析式知：210210x x ⎧-≥⎨-≠⎩，即2112x x ⎧≤⎪⎨≠⎪⎩，解得11[1,)(,1]22x ∈-⋃. 故答案为：11[1,)(,1]22-. 14．函数()f x =________．【答案】[)3,+∞【分析】求出函数()y fx =的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()f x =.【详解】令2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥， 函数()f x =(][),13,-∞-+∞.内层函数223u x x =--的减区间为(],1-∞-，增区间为[)3,+∞. 外层函数y =[)0,+∞上为增函数，由复合函数法可知，函数()f x =[)3,+∞.故答案为[)3,+∞.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 15．已知定义域为R 的()f x 为减函数，若不等式2(1)(2)f ax f x ->+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______________ 【答案】(2,2)-【分析】由()f x 单调减，不等式在x ∈R 恒成立，知：210x ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，根据判别式即可求a 的取值范围.【详解】由()f x 在R 上为减函数，且2(1)(2)f ax f x ->+对任意的x ∈R 恒成立， ∴212ax x -<+对任意的x ∈R 恒成立，整理可得210x ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，∴240a ∆=-<，即22a -<<. 故答案为：(2,2)-.16．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品___________件. 【答案】80【分析】求出平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和的函数关系式，然后基本不等式求得最小值，得出结论，【详解】设每批生产x 件，由题意平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为8008xy x =+，800208x y x =+≥=，当且仅当8008x x =，即80x =时等号成立． 故答案为：80．【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，解题关键是列出函数关系式，然后由基本不等式求得最小值．四、解答题17．已知集合{}2|20A x x x =+-<，集合{}12B x x =-<．求：（1）A B ；（2）()RAB ．【答案】（1）{}23x x -<<；（2）{}21x x -<≤-．【分析】（1）先解不等式，化简集合A ，B ，再由并集的概念，即可得出结果； （2）根据交集和补集的概念，由（1）的结果，即可得出结果. 【详解】（1）由题意得：{}{}|(2)(1)021A x x x x x =+-<=-<<，{}{}1213B x x x x =-<=-<<， {}23A B x x ∴⋃=-<<；（2）由（1）可得：{1RB x x =≤-或}3x ≥，{}()21R A B x x ∴⋂=-<≤-.18．已知关于x 的不等式230x mx ++<的解集为{}3x n x << （1）求,m n 的值； （2）解关于x 的不等式2nx mx x -≤-． 【答案】（1）4,1m n =-=；（2）[1,2)[4,)∞-⋃+．【分析】（1）由一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系，知3，n 是方程230x mx +=+的两根，即可求参数；（2）由（1）并整理得23402x x x -++≤-，根据分式不等式的解法，即可求解集.【详解】（1）由题意得：13x =，2x n =是方程230x mx +=+的两根， 将13x =代入方程得9330m ++=，即4m =-，将2x n =代入方程得2430n n -+=，即1n =或3n =(舍去)， 综上：4,1m n =-=（2）由（1）知：42x x x +≤-，即23402x x x -++≤-， ∴(1)(2)(4)020x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩，解得：[)[)1,24,x ∈-+∞.19．已知命题[]:1,1p x ∀∈-，20x x m -+<是真命题．（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设(2)(1)0x a x a ---<的解集为B ，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|2}m m <-；（2）3a ≤-或1a =．【分析】（1）由命题为真命题知在[1,1]x ∈-上2m x x <-恒成立，即min ()m g x <即可，进而求实数m 的范围；（2）由题意得B A ≠⊂，讨论1a =、1a >、1a <分别求集合B ，根据集合包含关系列不等式求参数范围，最后整合即可.【详解】（1）由题意得：[1,1]x ∀∈-，2m x x <-恒成立，令2(),g x x x =-∴问题转化为在[1,1]x ∈-上min ()m g x <即可，又()g x 在1[1,]2-单调递增，在1[,1]2单调递减，∴min ()(1)2g x g =-=-，故2m <-，即{|2}A m m =<-（2）由题意得：B A ≠⊂， 由（1）知：(,2)A =-∞-，而B 为(2)(1)0x a x a ---<的解集， ∴①1a =时，B =∅成立；②1a >时，则21a a >+，即(1,2)B a a =+，所以22a ≤-，即1a ≤-，无解； ③1a <时，则21a a <+，即(2,1)B a a =+，所以12a +≤-，即3a ≤-； 综上，3a ≤-或1a =．【点睛】结论点睛：不等式的恒成立问题，可按如下规则转化： （1）[],x a b ∀∈，()m f x <，则min ()m f x <即可； （2）[],x a b ∀∈，()m f x >，则max ()m f x >即可.集合包含关系求参数范围时，如B A ≠⊂或B A ⊆，注意B =∅的情况. 20．今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库．已知建造隔离病房的所有费用w （万元）和病房与药物仓库的距离x （千米）的关系为：()0835kw x x =<≤+．若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元．为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造病房与修路费用之和．（1）求()f x 的表达式；（2）当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用()f x 最小？并求出最小值．【答案】（1）()()800650835f x x x x =++<≤+；（2）当5x =时，总费用最小为75万元．【分析】（1）将1x =代入35k w x =+，求出w 的值，结合题意可求得()f x 的表达式； （2）利用基本不等式可求得()f x 的最小值及其对应的x 的值，即可得出结论.【详解】（1）当1x =时，100315k =⨯+，所以，800k =，则80035w x =+， 所以，()()800650835f x x x x =++<≤+； （2）()()800235557535f x x x =++-≥=+， 当且仅当()80023535x x =++时，因为08x <≤，所以，当5x =时，等号成立. 因此当5x =时，总费用()f x 最小，且最小值为75万元.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.21．已知()223f x x ax =-+ （1）若函数()()g x f x x =-在(),1-∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当[]0,2x ∈，求()f x 的最小值()h a ．【答案】（1）1[,)2a ∈+∞；（2）23,0()3,0274,2a h a a a a a ≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩． 【分析】（1）由二次函数的性质：区间单调性及对称轴，即可求参数a 的取值范围； （2）应用分类讨论的方法，讨论()f x 对称轴x a =与区间[]0,2的位置，求最值即可.【详解】（1）由题意，2()(21)3g x x a x =-++在(,1)-∞单调递减，且()g x 对称轴为12x a =+， ∴112a +≥，即12≥a ，故1[,)2a ∈+∞. （2）由题意得：()f x 开口向上且对称轴为x a =，①2a ≥时，()(2)74h a f a ==-，②0a ≤时，()(0)3h a f ==，③02a <<时，2()()3h a f a a ==-，23,0()3,0274,2a h a a a a a ≤⎧⎪∴=-<<⎨⎪-≥⎩.22．对于定义域为I 的函数，如果存在区间[,]m n I ⊆，同时满足下列两个条件： ①()f x 在区间[,]m n 上是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ．则称[,]m n 是函数()y f x =的一个“黄金区间”．（1）请证明：函数11(0)y x x=->不存在“黄金区间”． （2）已知函数246y x x =-+在R 上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果[,]m n 是函数22()1(0)a a x y a a x+-=≠的一个“黄金区间”，请求出n m -的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）[2,3]；（3． 【分析】（1）由11y x=-为(0,)+∞上的增函数和方程的解的情况可得证； （2）由2(2)22y x =-+≥可得出2m ≥，再由二次函数的对称轴和方程246x x x -+=，可求出函数的“黄金区间”；（3）化简222()111()a a x a f x a x a a x+-+==-得函数的单调性，由已知(,)m n m n <是方程211a x a a x+-=的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示n m -=1a >或3a <-，可得n m -的最大值． 【详解】解：（1）证明：由11y x =-为(0,)+∞上的增函数，则有()()f m m f n n =⎧⎨=⎩， ∴21110x x x x-=⇔-+=，无解，∴11(0)y x x =->不存在“黄金区间”； （2）记[,]m n 是函数246y x x =-+的一个“黄金区间”()m n <，由2(2)22y x =-+≥及此时函数值域为[,]m n ，可知2m ≥而其对称轴为2x =，∴246y x x =-+在[,]m n 上必为增函数，令246x x x -+=，∴2560x x -+=，∴122,3x x ==故该函数有唯一一个“黄金区间”[2,3]； （3）由222()111()a a x a f x a x a a x+-+==-在(,0)-∞和(0,)+∞上均为增函数， 已知()f x 在“黄金区间”[,]m n 上单调，所以[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞，且()f x 在[,]m n 上为单调递增，则同理可得()f m m =，()f n n =，即(,)m n m n <是方程211a x a a x +-=的两个同号的实数根，等价于方程222()10a x a a x -++=有两个同号的实数根， 又210mn a=>，则只要222()40a a a ∆=+->，∴1a >或3a <-， 而由韦达定理知221a a a n m a a+++==，21mn a =，所以n m -====其中1a >或3a <-，所以当3a =时，n m -取得最大值3． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决.。

重庆市八中2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}*|4U x N x =∈≤,集合{1,2},{2,4}A B ==,则()U A C B =( )A. {}1B. ()1,3C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】由集合,,U A B ,根据补集和并集定义即可求解. 【详解】因为{}*|4U x N x =∈≤,即{}1,2,3,4U =集合{1,2},{2,4}A B == 由补集的运算可知{}1,3U C B = 根据并集定义可得(){}{}{}1,21,31,2,3U A C B ==故选:C【点睛】本题考查了补集和并集的简单运算,属于基础题. 2.下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是( ) A. ||y x =- B. y x = C. 1y x -= D. 3y x =-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式,即可判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】对于A,||y x =-为偶函数,所以A 错误;对于B,y x =为奇函数,且在R 上为单调递增函数,所以B 错误;对于C,1y x -=是奇函数,在定义域()(),0,0,-∞+∞内不具有单调性,所以C 错误;对于D,3y x =-为奇函数,在R 上为单调递减函数,所以D 正确. 综上可知,D 为正确选项. 故选:D【点睛】本题考查了根据函数的解析式,判断函数的奇偶性及单调性,属于基础题. 3.已知tan 2,tan 5αβ==,则tan()αβ+=( )A. 79B.711 C. 79-D. 711-【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的和角公式,代入即可求解. 【详解】由正切函数的和角公式()tan tan tan 1tan tan αβαββ++=-⋅因为tan 2,tan 5αβ==,代入可得()257tan 1259αβ++==--⨯故选:C【点睛】本题考查了正切函数和角公式的简单应用,属于基础题. 4.设2log 0.2a =,0.23b -=,0.22c =,则( ) A. a b c >> B. c b a >> C. c a b >> D. b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,可通过中间值法比较大小,即可得解. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知22log 0.2log 10a =<=0.203310b -<<== 0.20221c =>=所以c b a >> 故选:B【点睛】本题考查了指数、对数图像与性质的简单应用,函数值大小的比较,属于基础题. 5.在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点,若(,)BP BA BC R λμλμ=+∈,则λμ=( )A. 116B.118 C. 14D. 12【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性的加法运算,即可求解.【详解】在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点 由平面向量的线性加法运算,可知()111222BP BD BA BC ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦()14BA BC =+ 1144BA BC =+ 因为(,)BP BA BC R λμλμ=+∈ 所以11,44λμ== 则116λμ= 故选:A【点睛】本题考查了平面向量的线性加法运算,属于基础题. 6.函数()[]sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数，排除,B C ；由02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除D ，从而得到结果. 【详解】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C又sin 02222f ππππ⎛⎫==>⎪⎝⎭，排除D 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型. 7.函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为( )A. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. (2,)+∞D. (,1)-∞【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数的定义域,根据复合函数单调性的性质即可求解. 【详解】函数()2()ln 32f x x x =-+所以定义域为2320x x -+>,解得2x >或1x <由复合函数“同增异减”的性质,可知函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为2x > 即(2,)x ∈+∞为函数()f x 的单调递增区间 故选:C【点睛】本题考查了对数函数的定义域求法,复合函数单调性的性质,属于基础题. 8.若直线6x π=是函数()cos(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴,则ϕ=( )A. 6π-B. 3π-C. 23π-D. 56π-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的图像与性质,可求得()cos(2)f x x ϕ=+的对称轴,结合6x π=及0πϕ-<<即可求得ϕ的值.【详解】函数()cos(2)f x x ϕ=+由余弦函数的图像与性质可知,其对称轴为2,x k k Z ϕπ+=∈ 而6x π=为其一条对称轴,所以2,6k k Z πϕπ⨯+=∈解得,3k k Z πϕπ=-+∈因为0πϕ-<< 所以当0k =时,解得3πϕ=-故选:B【点睛】本题考查了余弦函数的图像与性质,根据余弦函数的对称轴求参数,属于基础题. 9.已知函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最大值为2,则(1)(2)(2020)f f f ++=( )A. -2B. 0C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的最大值,可求得函数的解析式.由周期公式可得函数的周期,即可求得(1)(2)(2020)f f f ++的值.【详解】函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最大值为2所以()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭由周期公式2T πω=,代入可得263T ππ==则(1)(2)(3)(4)+(5)(6)f f f f f f ++++()()()2112110=++-+-+-+=而202033664=⨯+ 所以(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)f f f f f f f ++=+++而(1)2sin 1236f ππ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭(2)2sin 2136f ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3136f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭(4)2sin 4236f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭所以()()(1)(2)(3)(4)21120f f f f +++=++-+-= 即(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)0f f f f f f f ++=+++=故选:B【点睛】本题考查了正弦函数的周期性,根据正弦函数的周期性求值,属于基础题.10.已知实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞,则a 的取值范围是( ) A.()1,2B. (2,)+∞C. (0,1)(1,2]⋃D. [2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论01a <<和1a >两种情况.结合函数的值域为[4,)+∞,即可求得a 的取值范围. 【详解】实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞, 当01a <<时,当2x >时,()f x 的值域为()20,a ,与值域为[4,)+∞矛盾,所以01a <<不成立当1a >时,对于函数()6f x x =-,2x ≤,函数的值域为[4,)+∞.所以只需当2x >时值域为[4,)+∞的子集即可.即24a ≥,解得2a ≥（舍去2a ≤-）综上可知a 的取值范围为[2,)+∞ 故选:D【点睛】本题考查了指数函数的单调性与值域的综合应用,分类讨论思想的应用,属于中档题. 11.若3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,且2sin cos 3αα+=,cos2=α( )B. C. 59-D.59【答案】B 【解析】 【分析】将2sin cos 3αα+=平方后化简,结合3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可进一步确定α及2α的取值范围.再根据正弦的二倍角公式及同角三角函数关系式,求得cos2α的值. 【详解】因为2sin cos 3αα+=,两边同时平方可得 224sin 2sin cos cos 9αααα++=,即52sin cos 9αα=-则sin ,cos αα异号 又因为2sin cos 03αα+=>,3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos20α<由正弦的二倍角公式可知52sin cos sin 29ααα==-根据同角三角函数关系式可得cos 29α===- 故选:B【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦二倍角公式的化简与应用,关键在与确定角的取值范围,属于中档题. 12.已知函数12()21x f x e x x -=+-+,则使得不等式(2)(1)f m f m <+成立的实数m 的取值范围是( ) A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将函数解析式变形,即可判断出其对称轴.结合函数的单调性及不等式,即可得关于m 的不等教育文档 可修改 欢迎下载式,解不等即可求得m 的取值范围. 【详解】函数|1|2()21x f x ex x -=+-+,变形后可得()()2|1|1x f x e x -=+-所以()f x 的图像关于1x =对称由函数单调性可知,当1x >时,函数()f x 单调递增 因为(2)(1)f m f m <+ 所以满足|21|||m m -<变形可得()2221m m -<,展开可知23410m m -+< 因式分解可得()()3110m m --< 解不等式可得113m << 即实数m 的取值范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:A【点睛】本题考查了函数对称性及单调性的综合应用,根据单调性解不等式,绝对值不等式的解法.关键在于对函数解析式进行变形及判断出对称轴,属于中档题.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题卡相应位置 13.设向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行,则实数λ=___________. 【答案】4- 【解析】 【分析】根据平面向量共线基本定理,可设()22a b a b λμ-=+,即可求得λ的值. 【详解】因为向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行 由平面向量共线基本定理可设()22a b a b λμ-=+则根据向量数乘运算可得22μλμ=⎧⎨-=⎩解得4λ=- 故答案为:4-教育文档 可修改 欢迎下载【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,由平面向量共线求参数,属于基础题. 14.计算:23348log 4log 9-⨯=___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据指数幂的运算及对数的换底公式,化简即可得解. 【详解】由指数幂的运算及对数的换底公式,化简可得23348log 4log 9-⨯()233333log 92log 4log 4=-⨯422=-=故答案为:2【点睛】本题考查了指数幂及对数换底公式的应用,属于基础题.15.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据()f x 为偶函数且周期为4,结合解析式可画出函数()f x 的图像.由零点定义可知,令1()()103g x f x x =--=,可得1()13f x x =+.画出()113h x x =+的图像,通过判断()f x 与()h x 图像交点个数即可判断()g x 的零点个数.【详解】因为(4)()f x f x +=,即()f x 是周期为4的周期函数()f x 为偶函数,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,画出函数图像如下图所示:令1()()103g x f x x =--= 可得1()13f x x =+. 画出()113h x x =+的图像如上图所示: 由图像可知,()f x 与()h x 图像共有6个交点 所以1()()13g x f x x =--共有6个零点 故答案为:6【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数零点的概念及函数图像的画法,属于中档题.16.将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位,得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,则ω的取值范围是___________. 【答案】30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换求得()y g x =的解析式.根据()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,可得关于ω的不等式组,解不等式组即可求得ω的取值范围. 【详解】由题意可知将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位可得2sin ()sin 332x g x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+-⎪=⎢⎥⎝⎭⎣⎦若()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,且()g x 过原点 于是6232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解不等式组可得302ω<≤,即30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为: 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查了三角函数的平移变换,根据三角函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.三.解答题:本大题共6小题,共70分､请在答题卡相应作答,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设α为第二象限角,sin α. (1)求tan α的值;(2)求222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)12-(2)43-【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式,结合角α为第二象限角,即可求得tan α的值.（2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简,根据（1）中的结论,代入即可求解.【详解】（1）由于,,sin 2παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭由同角三角函数关系式22sin cos 1αα+=于是cos α= 所以sin 1tan cos 2ααα==- （2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简可得222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭222sin 22sin cos ααα=+224sin cos 2sin cos αααα=+24tan 2tan 1αα=+ 由（1）可知1tan 2α=-所以22144tan 422tan 131212αα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-+⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角公式的综合应用,属于基础题.18.已知函数()1(1)xf x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之差为3.(1)求a 的值;(2)证明:函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数. 【答案】(1)2a =(2)见解析 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性,由最大值与最小值之差为3代入即可求得a 的值. （2）先求得()F x 的解析式,再根据定义设12x x <,利用作差法即可证明函数的单调性.【详解】（1）由于1a >,所以()1xf x a =+在定义域内单调递增, 于是()f x 在区间[]0,2的最大值与最小值之差为()()203f f -= 即213a -= 又1a >,解得2a =（2）证明:()()()22xxF x f x f x -=--=-,不妨设12x x <,则()()()12122211121122222222x x x x x x x x f x f x ---=---=-+- ()121212212122122221222x x x x x x x x x x +-⎛⎫=-+=-+ ⎪⋅⎝⎭由于12x x <,所以12220x x -<,211102x x ++>于是()()120f x f x -<,即()()12f x f x < 所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数【点睛】本题考查了指数函数的单调性应用,根据定义证明函数单调性的方法,属于基础题.19.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若8253f απαπ⎛⎫⎛⎫=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求sin α的值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)3sin 10α+= 【解析】 【分析】（1）由图像即可求得A 和T ,进而得ω.得到函数()f x 的解析式,将最高点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式,即可求得ϕ的值,即可求得函数()f x 的解析式;（2）将2α代入解析式,即可得4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,利用正弦的和角公式变形即可求得sin α的值.【详解】（1）由函数图象可知2A =,44T π=,即T π=, 所以22Tπω==,从而函数()2sin(2)f x x ϕ=+ 将,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 解析式得232k ππϕπ+=+,26k πϕπ=+,又||2ϕπ<,故6π=ϕ 所以函数解析式()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为82sin 265f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 又,3παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,从而7,626πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以3cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,于是sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210+⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭,即3sin 10α+=. 【点睛】本题考查了已知部分图像求三角函数解析式的方法,正弦和角公式的简单应用,属于基础题.20.已知函数2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π （2）最大值为0；最小值为12- 【解析】 【分析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简,由正弦函数的周期公式即可得解. （2）根据自变量x 的取值范围为,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求得23x π-的范围,结合正弦函数的图像与性质即可求得函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）根据余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,结合余弦的降幂公式和辅助角公式,展开化简可得2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭21cos sin 22x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =-1sin 2cos 2444x x =--1sin 2234x π⎛⎫=--⎪⎝⎭ 所以由周期公式可知222T πππω=== 即最小正周期为π （2）因为,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 则52,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像与性质可知sin 21,32x π⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦所以11sin 223424x π⎡⎤⎛⎫----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 即函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12- 【点睛】本题考查了余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,余弦的降幂公式和辅助角公式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.21.已知函数44()log 2x xmf x +=为偶函数. (1)求m 的值;(2)若()4()log 2xf x a a ≥⋅-在区间(1,2]上恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)1m =(2)170,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）根据偶函数定义()()f x f x =-,代入化简即可求得m 的值;（2）根据不等式恒成立,分离参数a 可得()211221x x x a +≤+-,并构造函数()()211221x x x y g x +==+-.用换元法,令21(35)x t t =+<≤,化简为打勾函数形式,根据函数单调性即可求得a 的范围;同时,满足对数函数的定义域要求,综合上述条件即可求得a 的取值范围.【详解】（1）44()log 2x x m f x --+-=,由于函数44()log 2x xmf x +=为偶函数 所以()()f x f x =-代入可得4444log log 22x x x x m m--++= 即4422x x x xm m --++=,化简可得()2222x x x xm --=-- ∴1m =（2）由题得()4441log log 22x xxa a +≥⋅-恒成立, 即4122x x xa a +≥⋅-恒成立, 所以()211221x x x a +≤+-恒成立,令()()211221x x x y g x +==+-,令21(35)xt t =+<≤则2()1123213t y h t t t t t==+=+-++-,由于函数()h t 在(]3,5上单调递减,故()()min 17512h t h == ∴1712a ≤又()210xa ->在(]1,2x ∈上恒成立 所以0a >,于是a 的取值范围是170,12⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查了偶函数的定义及指数形式的化简,对数不等式的解法,分离参数及构造函数法求参数的取值范围,打勾函数在求最值中的应用,属于中档题. 22.设函数()cos 2sin f x x a x a =++.(1)当1a =时,求函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域; (2)设函数()x ϕ的定义域为I ,若0x I ∈,且()1x ϕ=,则称0x 为函数()y x ϕ=的“壹点”,已知()f x 在区间[0,2]π上有4个不同的“壹点”,求实数a 的取值范围.【答案】(1)117,28⎤⎥⎣⎦(2)01a << 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系式化简()f x ,代入1a =,利用换元法将()f x 化为二次函数形式,即可根据二次函数的单调性求得在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. （2）根据题意,将函数化为2()2sin sin y g x x a x a ==-++在区间[]0,2π上有4个零点.利用换元法将函数转化为二次函数形式,通过分离讨论即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）2()cos 2sin 2sin sin 1f x x a x a x a x a =++=-+++当1a =时,2()2sin sin 2y f x x x ==-++,令sin 0t x t ⎛=<≤ ⎝⎭则2()22y g t t t ==-++所以函数()g t 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,1,42⎛ ⎝⎭上单调递减∴min 3122y g ⎛⎫==⎪⎝⎭,max 11748y g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为117,28⎤⎥⎣⎦ （2）由题意22sin sin 11x a x a -+++=在区间[]0,2π有四解,令2()2sin sin y g x x a x a ==-++,则()y g x =在区间[]0,2π上有4个零点,令sin [1,1]t x =∈-,则2()2y h t t at a ==-++.(i )若()h t 在()1,1-上有两个非零 ,则2(1)0(1)0801114(0)0h h a a a a h -<⎧⎪<⎪⎪∆=+⇒<<⎨⎪-<<⎪⎪≠⎩(ii )若()h t 的两个零点为0,1,则012a a =⎧⎪⎨=⎪⎩,无解,故舍去;(iii )若()h t 的两个零点为0,-1,则012a a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,无解,故舍去.综上:01a <<【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形及应用,换元法在三角函数中的应用,二次函数的综合应用,属于中档题.。

1高2023级高一（上）数学半期模拟试卷参考答案一、选择题1.D 解：要使函数有意义，则210x-≠，解得：0x ≠，即00∞∞（－，）∪（，＋），故选D .2.解：A ．()1f x =的定义域为R ，()x g x x=的定义域为{|0}x x ≠，定义域不同；.()B f x =的定义域为{|1}x x，()g x =的定义域为{|1x x - 或1}x ，定义域不同；.()C f x x =的定义域为R，2()g x =的定义域为{|0}x x ，定义域不同；21.()11x D f x x x -==+-的定义域为{|1}x x ≠，()1(1)g x x x =+≠的定义域为{|1}x x ≠，定义域和解析式都相同，是同一函数．故选：D ．3.解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设x Z ∈，集合A 是偶数集，集合B 是奇数集．若命题:p x A ∀∈，1x B -∈，则:p x A ⌝∃∈，1x B -∉．故选：C ．4.解：函数定义域为0, 2.x ≥≤即是在定义域上单调递减，故当2x =时，1y =-可以取到最小值；[)11,1.y x +→-→∞时，，故取值范围为当故选：B ．5.解：令1,,x t a t a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦225y t t =+-1t a =当时，取得最大值10.21215103a a a +-=∴=故选：C ．6.解：由于函数||22()x y x x R =-∈是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ．再由0x =时，函数值1y =，可得图象过点(0,1)，故排除C ；故选：A ．7.解：111(()1333b a <<< ，且10,13∈（）01a b ∴<<<，因此a b a a >，,A C 错误；又0,a y x =+∞ 函数是（）上的增函数∴a a b a >，可得b a a a a b <<.故选：B ．8.解：将不等式化为11,14m x x +≥-只需当1(0,)4x ∈时，min 11()14m x x +≥-即可,由1111()(414)1414x x x x x x+=++---14441554914x x x x -=+++≥++=-,当且仅当15x =时取等号，故9m ≤，故m 的最大值为9.故选B .。