2020-2021学年高一数学下学期第三次周考试题

19．已知复数z满足 ， 的虚部为2，
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）

高一数学下学期第三学段考试试题 理（含解析）一、选择题（每题只有一个选项正确，请你将所选选项涂在答题卡相应位置，每题3分共36分）1.()sin 585-°=（）A. 2-B.22C.3 D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算，即可得到结果． 【详解】由题意，可得()sin 585sin585sin(360225)sin 225-=-=-=-ooo o o +2sin(18045)sin 452=-==o o o +． 故选B ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，其中解答中熟练掌握诱导公式是解本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.已知α是第一象限角，那么2α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角【答案】D 【解析】试题分析：∵α的取值范围22?2k k πππ+（，）（k∈Z）∴2α的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时2α的取值范围是5224n n ππππ++（，）即2α属于第三象限角．②当k=2n （其中n∈Z）时2α的取值范围是22?4n n πππ+（，）即2α属于第一象限角．故答案为：D ． 考点：象限角、轴线角．3.下列说法正确的是（）A. 锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B. 如果向量a 0b ⋅=r r，则a b ⊥rr；C. 在ABC △中，记AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量a b +rr 与a b -r r 可以作为平面ABC 内的一组基底；D. 若a r，b r 都是单位向量，则a b =r r. 【答案】C 【解析】 【分析】可举390o 的角在第一象限，但不是锐角，可判断A ；考虑两向量是否为零向量，可判断B ；由,a b r r 不共线，推得a b +r r 与a b -r r不共线，可判断C ；考虑两向量的方向可判断D ，得到答案．【详解】对于A ，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角， 比如390o 的角在第一象限，但不是锐角，故A 错误；对于B ，如果两个非零向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，则a b ⊥r r，若存在零向量，结论不一定成立，故B 错误；对于C ，在ABC ∆中，记,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，可得a b +r r 与a b -r r不共线，则向量a b +r r 与a b -r r可以作为平面ABC 内的一组基底，故C 正确；对于D ，若,a b r r 都是单位向量，且方向相同时，a b =r r；若方向不相同，结论不成立，所以D 错误． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题．4.角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（）A. -3B. 3C. 3±D. 5【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，建立方程关系，即可求解．【详解】由题意，角α的终边经过点(,4)P b -且3cos5α=-，则3cos 5α==-，又由3cos 05α=-<，所以0b >，则2291625b b =+，解得3b =或3b =-（舍去）， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.设(2,1)a =r ，(3,2)b =r ，(5,4)c =r ，若c a b λμ=+r r r则λ，μ的值是（）A. 3λ=-，2μ=B. 2λ=-，3μ=C. 2λ=，3μ=D. 3λ=，2μ=【答案】B 【解析】 【分析】由向量相等的充要条件可得：(5,4)(23,2)λμλμ=++，列出方程组，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量(2,1)a =r ，(3,2)b =r ，(5,4)c =r，又因为c a b λμ=+r r r，所以(5,4)(23,2)λμλμ=++，所以23524λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得23λμ=-⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数乘运算及向量相等的充要条件，其中解答中熟记向量的共线条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.已知向量1)a =-r，b =r ，则a r 在b r 方向上的投影为（）A.15B.14C.13D. 1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量1)a =-r，b =r，则a r 在b r方向上的投影为：3112a b b⋅-==r rr ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7.已知实数59a =°，实数sin15cos15b =+°°，实数31cos31c =°°，则实数a 、c b 、的大小关系是（） A. a c b <<B. a b c <<C. a c b 厖D. a b c 厖【答案】B 【解析】 【分析】将,b c 转化成具体的正弦函数，利用正弦函数单调性，进行比较，即可得到答案．【详解】由题意，得sin15cos1545)60b =+=+=o o o o o ，31cos 6231c =o o o =，由正弦函数的单调性可得sin 59sin 60sin 62<<o o o ，所以a b c <<， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及正弦函数的单调性的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC △的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选：D ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．9.为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（） A. 向左平移724π B. 向右平移724π C. 向左平移712πD. 向右平移712π【答案】B 【解析】 【分析】利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，即可求解，得出结论． 【详解】由题意，函数2sin(2)2sin[2()]36y x x ππ=-=-，2sin(2)2sin[2()]48y x x ππ=+=+，又由7()8624πππ--=，故把函数2sin[2()]8y x π=+的图象上所有的点，向右平移724π个单位长度， 可得72sin[2()]2sin(2)2443y x x πππ=-+=-的图象， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心和一条对称轴可以是（）A. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π= B. 5,512π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π= C. 2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=D. 2,53π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=【答案】B 【解析】 【分析】直接利用余弦型函数的性质求出函数的对称轴和对称中心，即可得到答案． 【详解】由题意，函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的性质， 令2,3x k k Z ππ-=∈，解得,26k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，23x π=，即函数一条对称轴的方程为23x π=， 令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,212k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，512x π=，即函数的一个对称中心为5(,5)12π， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了余弦型函数的性质对称轴和对称中心的应用，着重考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a b c bc =+-，则角A =（） A.6π B.4π C.3π D.512π 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求三角形的一个内角A 的余弦值，可得A 的值，得到答案． 【详解】在ABC ∆ 中，因为222a b c bc =+-，即222b c a bc +-=，利用余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，又由(0,)A π∈,所以3A π=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件，合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.已知1sin cos 5αα-=，0απ剟，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）B.50【答案】C 【解析】 分析】首先利用同角三角函数关系式的变换，求出sin 2α的值，进一步求sin cos αα+的值，最后利用差角公式的应用求出结果．【详解】由题意，知1sin cos 5αα-=，0απ剟， 所以221sin cos 2sin cos 25αααα+-=，解得242sin cos 025αα=>， 所以02πα剟，所以7sin cos 5αα+===， 又由7cos 2(cos sin )(cos sin )25ααααα=+-=-，则247sin(2)2242525πααα-=-=+=故选：C ．【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数关系式的变换，以及二倍角公式的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力，属于基础题．二、填空题（将你所做答案写在答题卡相应位置上，每小题3分，共12分）13.11sin(2)cos()cos cos 229cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭________.【答案】tan α- 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式，进行化简，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，原式sin (cos )(sin )(sin )tan (cos )sin sin cos ααααααααα----==--，故答案为：tan α-【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用，关键在于熟练掌握诱导公式，考查学生记忆公式与应用公式的能力，属于基础题．14.已知(1,1)a =-r，(,1)b λ=r，a r与b r的夹角为钝角，则λ的取值范围是________. 【答案】(,1)(1,1)-∞--U 【解析】 【分析】根据,a b r r 的夹角为钝角，得出1010λλ-<⎧⎨+≠⎩，即可求得λ的范围．【详解】由题意，向量a r与b r 的夹角为钝角，所以0a b ⋅<r r ，且,a b r r不共线，则1010λλ-<⎧⎨+≠⎩，解得1λ<，且1λ≠-，所以实数λ的范围(,1)(1,1)-∞--U ． 故答案为：(,1)(1,1)-∞--U ．【点睛】本题主要考查了向量数量积的计算公式，向量数量积的坐标运算的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.计算：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++o o o o o=_______________. 【答案】3- 【解析】试题分析：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++o o oo o考点：两角和的正切公式点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.16.若两个向量a r 与b r 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯r r”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=r r r r .若已知1a =r ，5b =r ，4a b ⋅=-r r，则a b ⨯=r r .【答案】3 【解析】44 155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯v v v v v vv v Q ＝＝＝＝33[0sin |15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯v v v v Q ，），＝＝＝故答案为3.【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，三、解答题（将必要解题过程和推演步骤写在答题卡相应位置上，6小题共52分） 17.已知tan 2α=，求 （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+（2）22sin sin cos cos αααα++ 【答案】（1）611（2）75【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解（1）（2）的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，知tan 2α=，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+4tan 2422653tan 53211αα-⨯-===++⨯；（2）由22sin sin cos cos αααα++2222sin sin cos cos sin cos αααααα++=+＝22tan tan 1tan 1ααα+++＝75． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m u r 22⎛=- ⎝⎭，n r ＝(sin x ，cos x)， x∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）若m u r ⊥n r ，求tan x 的值； （2）若m u r与n r的夹角为3π，求x 的值． 【答案】（1）1；（2）512π 【解析】试题分析：（1）本题考察的是两向量的垂直问题，若两向量垂直，则数量积为0，m n ⊥r r，则0m n ⋅=r r，结合三角函数的关系式即可求出tan x 的值。

2020-2021学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.i 是虚数单位，复数z =1-i 在复平面上对应的点位于(D )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】复数z =1-i 在复平面上对应的点的坐标为(1,-1)，位于第四象限．故选：D ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系是(C )A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等【解析】由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，①(奇数，奇数)，②(奇数，偶数)，③(偶数，奇数)，④(偶数，偶数)，事件A =“第一枚出现奇数点”={①，②}，事件B =“第二枚出现偶数点”={②，④}，两个事件不相等，排除D ，A ∩B ≠∅，所以不是互斥事件，排除A ，B ，C 选项，事件A =“第一枚出现奇数点”，P (A )=36=12，事件B =“第二枚出现偶数点”，P (B )=36=12，事件AB =“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P (AB )=3×336=14，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )，所以事件A 和事件B 是相互独立事件，故选：C ．【点评】本题考查事件关系，判断两个事件是否相互独立，利用定义法，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )即独立，本题属于基础题．3.已知向量a=(1,-2)，b =(2,-4)，则(A )A.a 与b 同向B.a 与b 反向C.(a +b )⊥aD.(a +b)⊥b【解析】∵向量a =(1,-2)，b =(2,-4)，∴b =2a，∴a 与b同向，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量同向的条件，属于基础题．4.袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是(D )A.35B.310C.625D.1225【解析】设摸出的2个球颜色不同为事件A ，∵基本事件总数n =5×5=25，事件A 包含的基本事件数为C 12C 12C 13=12，∴p (A )=1225，故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，(C )A.若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳αB.若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α⎳βC.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则m ⊥γD.若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α⎳β【解析】m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，对于A ，若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳α或m ⊂α，故A 错误；对于B ，若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α与β相交或平行，故B 错误；对于C ，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则由面面垂直的性质、线面垂直的判断定理得m ⊥γ，故C 正确；对于D ，若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α与β相交或平行，故D 错误．故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．6.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值是(B )A.0B.14C.64D.22【解析】由题意可知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长相等，设棱长为1，则cos <AC 1 ，A 1B >=AC 1 ⋅A 1B |AC 1 ||A 1B |=(AA 1 +A 1C 1 )⋅(A 1A +AB )2×2=-1+0+0+122=-14．∴异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值14．故选：B ．【点评】本题异面直线所成角算法，考查数学运算能力及抽象能力．7.若满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，则边AB 的取值范围是(B )A.[1，2)B.{1}∪[2，+∞)C.(2,+∞)D.[2，+∞)【解析】∵满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，如图，AB ⊥AC ，或AB ≥2，∴AB =1或AB ≥2，∴边AB 的取值范围是{1}∪[2，+∞)．故选：B ．【点评】本题考查了数形结合解题的方法，属于基础题．8.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a +b |=2|a -b |，则a 在a -b上的投影向量的模长为(A )A.3060B.11210210C.16D.116【解析】因为|a +b |=2|a -b|，所以|a +b |2=(2|a -b |)2，所以a 2+2a ⋅b +b 2=2(a 2-2a ⋅b +b 2)，所以a 2-6a ⋅b +b2=0，所以1-6a ⋅b+22=0，所以a ⋅b =56，所以a ⋅(a -b )=a 2-a ⋅b =12-56=16，所以|a -b |2=a 2-2a ⋅b +b 2=1-2×56+22=103，所以a 在a -b 上的投影向量为a ⋅(a -b )|a -b |=16103=3060，故选：A ．【点评】本题考查向量数量积的运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分)9.已知i 是虚数单位，复数z =(1-i )i ，则(BD )A.z 的实部为-1B.z 的共轭复数是1-iC.|z |=2D.z 2=2i【解析】因为z =(1-i )i =1+i ，所以z 的实部为1，故A 错误，z 的共轭复数为1-i ，故B 正确，|z |=12+12=2，故C 错误，z 2=(1+i )2=2i ，故D 正确，故选：BD ．【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的共轭复数以及模的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，(CD )A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，则x 1<x2B.若甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则s 21<s 22C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数D.乙比甲的射击成绩稳定【解析】甲射击测试中6次命中环数为：6，7，8，9，9，10，乙射击测试中6次命中环数为：5，5，6，7，7，7，甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则x 1 =16×(9+10+6+7+9+8)=8.17，x 2=16×(6+7+5+5+7+7)=6.17，所以x 1>x 2，故选项A 错误；由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动较小，所以s 21>s 22，乙比甲的射击成绩稳定，故选项错误，选项D 正确；甲射击成绩的中位数为8+92=7.5，乙射击成绩的中位数为6+72=6.5，故选项C 正确．故选：CD ．【点评】本题考查了折线图的应用，平均数与方差计算公式的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是线段B 1C 上动点，F 是BD 1的中点，则(ABC )A.AP ⎳平面A 1DC 1B.AP ⊥BD 1C.直线BB 1与平面BPD 1所成角可以是∠D 1BB 1D.二面角C 1-BD 1-C 的平面角是∠C 1FC【解析】以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，对于A ，设P (a ，1，a )，则AP =(a -1,1,a ),A 1D =(-1,0,-1)，DC 1 =(0,1,1)，设平面A 1DC 1的法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅A 1D=0n ⋅DC 1 =0，即-x -z =0y +z =0 ，令x =1，则y =1，z =-1，故n=(1,1,-1)，则AP ⋅n=(a -1)×1+1×1-1×a =0，又AP ⊄平面A 1DC 1，所以AP ⎳平面A 1DC 1，故选项A 正确；对于B ，因为B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，所以BD 1 =(-1-1,1),AP=(a -1,1,a )，所以AP ⋅BD 1=0，则AP ⊥BD 1，故选项B 正确；对于C ，当点P 为B 1C 的中点时，直线BB 1与平面BPD 1所成的角可以是∠D 1BB 1，故选项C 正确；对于D ，因为F 为BD 1的中点，所以C 1F ⊥BD 1，但CF 不垂直于BD 1，此时二面C 1-BD 1-C 的平面角不可以是∠C 1FC ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，空间角的求解，考查了空间向量在立体几何中的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．12.在ΔABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且BC =6，AD =2，则(BD )A.ΔABC 面积最大值是12B.cos B ≥53C.|AD +BE|不可能是5D.BE ⋅AC ∈112,352【解析】设ΔABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于A ，S ΔABC =12⋅a ⋅h a =12⋅6⋅h a =3h a ≤3⋅AD =6，当AD ⊥BC 时不等式等号成立，所以ΔABC 面积最大值为6，故A 错误；对于B ，在ΔABD 中，cos B =32+AB 2-42⋅3⋅AB =AB 2+56AB =AB 6+56AB≥2AB 6⋅56AB =53，当AB =5时，不等式等号成立，故B 正确；对于C ，因为AD +BE =-DA +BD +DA +AE =BD +12AC =DC +12(DC -DA )=32DC -12DA ，所以|AD +BE |=|DC -DA |2=(3DC -DA )22=9|DC |2+|DA |2-6DC ⋅DA 2=85-6DC ⋅DA2=5，解得DC ⋅DA =-52，因为|DC |⋅|DA |=6，所以DC ⋅DA ∈(-6,6)，故|AD +BE|可能是5，故C 错误；对于D ,BE =(AD +BE )-AD =32DC -12DA+DA =32DC +12DA ，AC =DC -DA ，所以BE ⋅AC =32DC +12DA ⋅(DC -DA )=32DC 2-12DA 2-DC ⋅DA =232-DC ⋅DA ，又DC ⋅DA ∈(-6,6)，所以232-DC ⋅DA ∈112,352．故选：BD ．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查平面向量数量积和模的运算，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．三、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13.已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是17．【解析】该组数据从小到大排列为：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，这组数据出现次数最多的是17，所以众数是17．故答案为：17．【点评】本题考查了求一组数据的众数问题，通常是先按从小到大排列，再找出现次数最多的数据，是基础题．14.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b )⊥b ，则a 与b夹角的余弦值是32．【解析】∵向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b)⊥b ，∴(2a -b )⋅b =2a ⋅b -b 2=2×1×3×cos <a ,b>-3=0，∴cos <a ,b >=323=32．∴a 与b 夹角的余弦值为32．故答案为：32．【点评】本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．15.已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数(不足三位的整数，其百位或十位用0补齐)为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在R 软件的控制平台，输入“sample (0:999，20，replace =F )”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为310．【解析】在20个不重复的整数随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：633，309，16，543，247，62，共6个，∴据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：P =620=310．故答案为：310．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知四面体ABCD 的所有棱长均为4，点O 满足OA =OB =OC =OD ，则以O 为球心，2为半径的球与四面体ABCD 表面所得交线总长度为1633π．【解析】∵正四面体A -BCD 的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为4，取CD 中点E ，连结BE ，AE ，过A 作AF ⊥底面BCD ，交BE 于F ，则BE =4sin60°=23，BF =23BE =433，∴AF =AB 2-BF 2=463，又(AF -OF )2=OF 2+BF 2，∴OF =63，由球的半径知球被平面截得小圆半径为r =(2)2-63 2=233．而ΔABC 的内切圆半径为233，故球被正四面体一个平面截曲线为圆弧，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：4×2π×233=1633π．故答案为：1633π．【点评】本题考查正四面体表面与球面的交线的总长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．四、解答题(本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知向量a=(m -1,1)，b =(1,3)．(Ⅰ)若m =0，求a ⋅b；(Ⅱ)若|a +b|=5，求实数m 的值．【解析】(Ⅰ)因为m =0，所以a=(-1,1)，所以a ⋅b=-1×1+1×3=2．(Ⅱ)因为a +b =(m ,4)，|a +b|=5，所以|a +b|=m 2+16，所以m 2+16=25，所以m =±3．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的模的运算法则的应用，是基础题．18.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =3，AC 1=34．(Ⅰ)求长方体的表面积；(Ⅱ)若E 是棱AA 1的中点，求四棱锥E -BB 1C 1C 的体积．【解析】(Ⅰ)因为AB=AD=3，AC1=34，又AC1=AB2+AD2+AA12=9+9+AA12=34，所以AA1=4，所以，长方体的表面积为S=2×(3×3+3×4+3×4)=66．(Ⅱ)因为AA1⎳平面BB1C1C，E是棱AA1的中点，所以点E到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离，所以四棱锥E-BB1C1C的体积为V=13S矩形BB1C1C⋅AB=13×3×4×3=12．【点评】本题考查了长方体的表面积和棱锥的体积计算问题，是基础题．19.甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为23，乙每次击中目标的概率为34．(Ⅰ)求甲两次都没有击中目标的概率；(Ⅱ)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．【解析】(Ⅰ)设甲两次都没有击中目标为事件A，则p(A)=1-2 31-23=19．(Ⅱ)设甲、乙恰好各击中一次目标为事件B，∵甲恰好击中一次目标的概率为C12×23×1-23=49，乙恰好击中一次目标的概率为C12×34×1-34=38，∴甲、乙恰好各击中一次目标的概率为p(B)=49×38=16．【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，属于基础题．20.用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分，成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)估计男生成绩样本数据的第80百分位数；(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；(Ⅲ)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在[40，80)内的成绩占比为70%，在[40，90)内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于[80，90)内．因为80+10×0.8-0.70.95-0.7=84，所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点个数为n (Ω)=5+4+3+2+1=15．记事件A =“调查对象来自不同分组”，则事件A 包含的样本点个数为n (A )=4×2=8，所以P (A )=n (A )n (Ω)=815．(Ⅲ)设男生成绩样本数据为x 1，x 2，⋯，x 40，其平均数为x =71，方差为s x 2=187.75；女生成绩样本数据为y 1，y 2，⋯，y 60，其平均数为y =73.5，方差为s y 2=119；总样本的平均数为z，方差为s 2．由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得z =40100x +60100y =72.5．因为s 2=110040i =1(x i -z ) 2+60j =1(y j -z ) 2 =110040i =1(x i -x +x -z ) 2+60j =1(y j -y +y -z ) 2 ，又40i =12 (x i -x )(x -z )=2(x -z )40i =1(x i -x )=2(x -z )40i =1x i -40x=0，同理60j =12 (y j -y )(y -z)=0，所以s 2=110040i =1(x i -x ) 2+40i =1(x -z ) 2+60j =1(y j -y ) 2+60j =1(y -z ) 2 =1100{40[s x 2+(x -z )2]+60[s y 2+(y -z )2]}=1100{40[187.75+(71-72.5)2]+60[119+(73.5-72.5)2]}=148．所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．【点评】本题主要考查频率分布直方图，概率的计算，百分位数、平均数、方差的计算，考查运算求解能力，属于中档题，21.在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c -a =2b cos A ，b =3．(Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)若a =3，求ΔABC 的面积；(Ⅲ)求aca +c的最大值．【解析】(Ⅰ)因为2c-a=2b cos A，又asin A=bsin B=csin C，所以2sin C-sin A=2sin B cos A，所以2sin(A+B)-sin A=2sin B cos，所以2sin A cos B-sin A=0，因为A∈(0,π)，sin A≠0，所以cos B=1 2，可得B=π3．(Ⅱ)因为b2=a2+c2-ac，所以c2-3c-6=0，所以c=23，所以ΔABC的面积为S=12ac sin B=332．(Ⅲ)由a2+c2-ac=9，得(a+c)2=9+3ac，因为ac≤(a+c)24，所以(a+c)2≤9+34(a+c)2，所以3<a+c≤6(当且仅当a=c=3时取等号)．设t=a+c，则t∈(3，6]，所以aca+c=t2-93t，设f(t)=t2-93t=13t-9t，则f(t)在区间(3，6]上单调递增，所以f(t)的最大值为f(6)=3 2，所以，aca+c的最大值为3 2．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换，基本不等式以及二次函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．22.如图，四棱台ABCD-EFGH的底面是矩形，EH=DH=1，AD=2，AB=4，AD⊥DH．(Ⅰ)证明：BC⊥平面DCG；(Ⅱ)设平面DBG与平面ADHE的交线为l，求直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围．【解析】(Ⅰ)证明：∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥DC又AD⊥DH，且DC∩DH=D，∴AD⊥平面DCG，又∵AD⎳BC，∴BC⊥平面DCG；(Ⅱ)在四棱台ABCD-EFGH中，延长AE，BF，CG，DH交于S．∵GH⎳AB，GH=12AB，∴直线BG，AH相交，设交点为P，连结DP，SP．∵P∈AH，AH⊂平面ADHE，又P∈BG，BG⊂平面DBG，且平面ADHE∩平面DBG=l，∴P∈l，又D∈l，∴平面ADHE∩平面DBG=DP．过点D作DM⊥SC，垂足为M，连结PM．∵BC⊥平面DCG，BC⊂平面BCG，∴平面BCG⊥平面DCG，又平面BCG∩平面DCG=SC，∴DM⊥平面BCG，则直线l与平面BCG所成的角为∠MPD．当M与S重合时，DM=SD=2；当M与S不重合时，在RtΔDMS中，0<DM<SD．∴0<DM≤2，又∵DP=SA=22，∴在RtΔMPD中，有sin∠MPD=DMPD=DM22∈0，22．∴直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围是0，22．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．第11页共11页。

绝密★启用前 试卷类型:A深圳实验承翰学校2020 ~ 2021学年度第二学期高一数学期中模拟（三）2021.05一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数2i12iz +=-. 则在复平面内，z 对应的点的坐标是 A ．()1,0 B ．()0,1 C ．54(,)33-- D ．45(,)33--2．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 3．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 垂直,则实数λ=A ．2-B ．3-C ．3D ．24．设D 是ABC ∆所以平面内一点，3BC CD =，则AD =A ．4133AB AC +B ．4133AB AC - C ．1433AB AC -D ．1433AB AC -+5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是A. 22+B. 122C. 222+ D. 12+6．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在同一个半径为2的球的球面上. 则球的体积与圆柱的体积的比值为A. 43B. 916C. 34D. 1697.某工厂生产A,B,C 三种不同型号的产品,其数量之比依次是3∶4∶7,现在用分层随机抽样的方法抽出样本容量为n 的样本,样本中A 型号产品有15件,那么n 等于( )(A)50 (B)60 (C)70 (D)808.总体由编号为01,02,…,49,50的50个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表第6行的第9列开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第3个个体的编号为( )附:第6行至第7行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 9888 8519 4120 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 (A)48 (B)41 (C)19 (D)20二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是A. 圆锥B. 圆柱C. 棱锥D. 正方体 10．已知复数z 的共轭复数为z ，且i 1i z =+，则下列结论正确的是A. 1z +=B. z 虚部为i -C. 202010102z =D. 2z z z +=11．在ABC ∆中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 的中点，下列说法正确的是A. AB AC AD +-=0B. DA EB FC ++=0C. 若3||||||AB AC ADAB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 的投影向量 D. 若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为1812．对于ABC ∆，有如下命题，其中正确的有A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC ∆是等腰三角形B ．若ABC ∆是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立 C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC ∆为锐角三角形 D ．若2||AC AB AB ⋅>，则ABC ∆为钝角三角形 三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,1)=-a ，(3,1)=b ，则b 在a 方向上的投影向量的模为________. 14．△ABC 的内角为A ，B，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝，A ＝30°，则边长b ＝ ． 15．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝3DC ，E 为边BC的中点，若AE ＝AB λ+AD μ，则λ+μ＝_________.D CEAB16. 某校为了普及“一带一路”知识,举行了一次知识竞赛,满分10分,有10名同学代表班级参加比赛,已知学生得分均为整数,比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示,则这10名同学成绩的极差为 ,80%分位数是 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题共10分）已知复平面内的点A ，B 对应的复数分别为1i z m m =-，()222212i z m m =-+-（m ∈R ），设AB 对应的复数为z . （1）当实数m 取何值时，复数z 是纯虚数；（2）若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围.18．（本小题共12分）已知向量(1,2)=a ，(1,3)=-b ，(3,2)=-c ． （1）求向量a 与2+a b 所成角的余弦值； （2）若(2)+a b //()k +b c ，求实数k 的值．19.（本小题共12分）在某中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)求这两个班参赛的学生人数是多少? (3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.20．（本小题共12分）已知 是圆锥的顶点，是圆锥底面的直径， 是底面圆周上一点，，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示． (1)求与底面所成的角；(2)求该几何体的体积； (3)求二面角的余弦值．21．（本小题共12分）在ABC ∆中，若a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，已知ABC ∆同时满足下列4个条件中的3个：①1sin22B =；②2220a b c ab +-+=；③ 23b =；④ 3c =．（1）请指出这3个条件，并说明理由； （2）求sin A ．22．（本小题共12分）在ABC ∆中,内角AB C ，，的对边分别为a b c ，，, 已知cos cos 1sin sin sin A C A C B+=. （1）求角B 的取值范围；（2）若7sin B =，且32BA BC ⋅=，求||BA BC +的值．期中模拟（三）参考答案及评分标准 2021.05一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1~4 BBDD 5~8 ADCC二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9. ACD 10. AD 11. BCD 12. BD 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.2或4 15.7616．7 8.5 四、解答题（本题共6小题，共70分）17. 解：点A ，B 对应的复数分别为()2212i,212i z m m z m m =-=-+-，AB ∴对应的复数为z ，222121(2)z z z m m m m i ∴=-=--++-.（1）复数z 是纯虚数，2221020m m m m ⎧--=∴⎨+-≠⎩， ··············· 3分解得11221m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠-≠⎩或且，12m ∴=-. ················· 5分 （2）复数z 在复平面上对应的点坐标为22(21,2)m m m m --+-，位于第四象限，2221020m m m m ⎧-->∴⎨+-<⎩， ················· 7分即11221m m m ⎧<->⎪⎨⎪-<<⎩或，122m ∴-<<-. ··································································· 10分 18. 解:（1）因为(1,2)=a ，(1,3)=-b ，所以2+a b (1,8)=-.2分设向量a 与2+a b 所成角为θ，(2)cos |||2|13θ+===+a a b a a b . ·············································· 6分 （2）∵ 2+a b (1,8)=-，()k +b c (31,32)k k =--， ········································ 8分又 (2)+a b //()k +b c ，∴(1)(32)8(31)0k k -⨯---=，解得522k =． ···············································12分19. 解:(1)各小组的频率之和为 1.00,第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,所以第二小组的频率为1.00-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40.所以落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高为0.04.则补全的频率分布直方图如图所示.(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x人.因为第二小组的频数为40人,频率为0.40,所以=0.40,解得x=100.所以九年级两个班参赛的学生人数为100人.(3)因为(0.03+0.04)×10>0.5,所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.设中位数为x,则0.03×10+(x-59.5)×0.04=0.5,解得x=64.5.所以中位数为64.5.20.解：(1)设为的中点，连接，，则为与底面所成的角．由已知可得，所以为正三角形，．而，所以，故，所以与底面所成的角为．(2)由题设知．故的面积．底面半圆的面积．所以该几何体的体积．(3)取 的中点 ，连接 ，． 因为 ， 所以 ． 同理，， 则为二面角 的平面角． 因为 ，所以为正三角形，则，，， 所以 ，． 所以． 所以二面角的余弦值为 ．21.解：（1）ABC ∆同时满足条件①，③，④． ································································· 1分 理由如下：若ABC ∆同时满足①，②． 因为1sin22B =，且(0,)22B π∈，所以=26B π，即3B π= ········································· 2分 因为2221cos 22a b c C ab +-==-，且(0,)C π∈，所以23C π= ······························· 4分所以B C π+=，矛盾······································································································ 5分 所以ABC ∆只能同时满足③，④．因为b c >，所以B C >，故ABC ∆不满足②故ABC ∆满足①，③，④ ································································································ 7分 （2）在ABC ∆中，23b =3c =，3B π=又由正弦定理知：sin sin b c B C =，所以sin 3sin 4c B C b == ····································· 9分 又因为B C >，所以(0,)2C π∈，7cos C = ························································· 10分所以3713321sin sin()sin()324248A B C C π+=+=+=+⨯= ···················· 12分22. 解：（1）因为cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin A C A C C AA C A C++= sin()sin 1sin sin sin sin sin A C B A C A C B+===. ··········································································· 2分所以2sin sin sin A C B =由正弦定理可得，2b ac =. ························································································ 4分 因为2222cos 22cos b a c ac B ac ac B =+-≥-， 所以1cos 2B ≥，即03B π<≤ . ··············································································· 6分（2）因为sin 4B =，且2b ac =，所以B 不是最大角，所以3cos 4B ===． 所以33cos 24BA BC ac B ac ===，得2ac =.因而22b =． ··························· 8分 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以225a c +=． ······························· 10分所以22222||22cos 8BC BA a c BC BA a c ac B +=++=+-= ，即||22BC BA +=······························································································· 12分。