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求解高次方程陈道蓄 南京大学计算机系● 多项式求值既然是“尝试”，就得拿“候选”的解代入方程看看是否满足要求，基本方法就是针对给定的x 0值，考察多项式的值p(x 0)。
因此，我们首先给一个多项式求值的算法。
多项式本身似乎就提供了求值的“算法”。
对于多项式a 0x n +a 1x n-1+…+a n-1x+a n ,只需求出每项的值再求和即可。
不过这个做法的效率明显不高，在逐项求幂值时会导致重复计算，而且不管是手工计算还是计算机计算，乘法的代价明显高于加法。
例如，给定多项式p(x)=x 4-3x 3+16x 2+10x-24，取x=2，则p(2)=24-3×23+16×22+10×2-24=52，总共需要执行9次乘法、4次加法。
如果我们对原多项式进行简单的代数变形，得到p(x)=x(x(x(x-3)+16)+10)-24，则p(2)=2(2(2(2-3)+16)+10)-24=52，只需3次乘法和4次加法。
一般而言，对于多项式p(x)=a 0x n +a 1x n-1+…+a n-1x+a n ，可改写为公式p(x)=(x(x(…(x(a 0x+a 1)+…a n-1)+a n 。
这样，欲求该多项式在x=x 0的值，将x=x 0代入后者即可。
这一方法称为Horn法则。
这就是多项式求值算法的基础。
下面我们看怎么实施。
算法园地方程是使用最为广泛的数学模型之一。
尽管现在计算机越来越多地用于和日常生活相关的非数值计算，求方程的数值解仍然是极为重要的技术手段。
其实解方程也与我们的生活息息相关，只是我们不一定知道，如天气预报就离不开大规模方程求解。
本文仅限于讨论利用计算机解一类相对简单方程的方法。
在初等数学中，大家都已熟悉一元多项式p(x)。
如果式中x的最高次数是n （n是正整数），则称其为一元n 次多项式。
相应地，p(x)=0称为一元n次方程，下文中我们称之为“多项式方程”，该方程的解（根）也被称为相应多项式的根（或零点）。
三次方程解法“卡尔达诺公式”或“卡当公式”简述如下：方程x3＋px=q(p，q为正数)． (1)卡尔达诺以方程x3＋6x＝20为例说明这一方法，他得到的解是x=过同样的程序得到他还求出x3＋px＋q＝0和x3＋q＝px(p，q为正数)的公式解，就是说他已经能解任何形式的三次方程了．毫无疑问，这里包含了塔尔塔利亚的工作．但需要说明的是，他们像当时其他数学家一样，解方程只求正根，所以解法还是不完善的．管会受到多大的良心的责备”，把这两个根相乘，会得25－(-15)＝40．于是他写道：“算术就是这样神秘地搞下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的．”他既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，因此称它为“诡变量”．但不管怎样，虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了．他还进一步指出，方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的．三次方程成功地解出之后，卡尔达诺的学生费拉里(L．Ferrari，1522—1565)受到启发，很快解出了四次方程，解法也发表在卡尔达诺《大术》中．下面用现代符号表出．设方程为x4＋bx3+cx2+dx+e＝0． (4)移项，得x4＋bx3=-cx2-dx-e，右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方．解这个三次方程，设它的一个根为y0，代入(5)，由于两边都是x的完全平方形式，取平方根，即得解这两个关于x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．在卡尔达诺之后，韦达对三次方程和四次方程解法作了进一步改进．1591年发表的《分析术引论》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是这样解三次方程的：对于 x3+bx2+cx+d=0，结果得到简约三次方程y3＋py＋q＝0．他和卡尔达诺一样，只考虑方程的正根．韦达不仅研究方程解法，还努力寻找方程的根与系数的关系，在《论方程的识别与修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，写于1591年，出版于1615年)中，他提出了四个定理，后人为了纪念这位大数学家，称之为韦达定理．二次方程的韦达定理是我们经常使用的，就对方程理论作出重要贡献的另一位数学家是笛卡儿．他承认方程的负根，并研究了多项式方程的正根和负根个数的规律，得到著名的笛卡儿符号法则：多项式方程f(x)=0的正根个数等于方程系数的变号次数，或比此数少一正偶数；负根个数等于f(-x)的系数的变号次数，或少于此数一个正偶数．在这里，m重根是看作m个根的．实际上，正根个数和负根个数都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系数变号次数，p为0，1，2…，p的取值要使n－2p非负．笛卡儿还研究了方程的根的个数同方程次数的关系，认为n次方程至多有n个根．在讨论三次方程时，他得到如下结论：若一有理系数三次方程有一个有理根，则此方程可表为有理系数因子的乘积．他的另一项重要成果是现今所谓因子定理：f(x)能为(x-a)整除(a＞0)，当且仅当a是f(x)＝0的一个根，所有这些成就都是在笛卡儿《方法论》(DiscoursdelaMéthod，1637)的附录《几何》(LaGéometrie)中出现的．除了方程以外，二项式定理的发现也在代数史上占有一席之地．实际上，指数为正整数的二项式定理(即(a＋b)n在n为正整数时的展开式)曾被不同民族多次独立发现．11世纪的中国人贾宪和15世纪的阿拉伯数学家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形这个三角形特点是，左右两行的数都是1，中间每个数为肩上两数之和．在欧洲，德国数学家阿皮安努斯(P．Apianus，1495—1552)最早给出这个三角形(1527年)，1544年左右，施蒂费尔引入“二项式系数”这个名称，并指出怎样从(1＋a)n-1来计算(1＋a)n．1653年，帕斯卡写成《算术三角形》(Traitédutrianglearithmétique)一书，从上述三角形出发，详细讨论了二项展开式的系数．该书于1665年出版后，影响很大．由于帕斯卡在数学界的威望，人们习惯地称此三角形为帕斯卡三角形．实际上，他的功绩主要是通过组合公式给出了二项式系数，即(a+b)n牛顿(T．Newton，1643—1727)进一步认识到，这个公式不仅适用于指数为正整数的二项展开式，而且当指数为分数或负数时，同样适用．他把二项式定理推广到分指数和负指数的情形，指出这三种形式的二项展开式第1项都是1，后面各项系数及字母指数也具有相同的变化规律：设n，m 为正整数，则如果括号里是a-b，则第k＋1项的符号由(－1)k决定．它们的区别只三次方程应用广泛。
教学内容【知识结构】一、复数的平方根与立方根1. 平方根如果复数i a b +和i(,,,)R c d a b c d +∈满足2(i)i a b c d +=+，则称i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根．2. 立方根如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根：21,,ωω: 13i 22ω=-+，213i 22ωω==--，31ω=．210ωω++=． （2） 1-的立方根：13131,i,i 2222z z -=+=- 二、复数方程1. 常见图形的复数方程 （1） 圆：0z z r -=（其中0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆：122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线：122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根求根公式：0≥∆ 一对实根aac b b x 2422,1-±-= 0<∆ 一对共轭虚根ab ac i b x 2422,1-±-= 注：韦达定理仍适用【例题精讲】例1、求i 247+的平方根。
解：设i 247+的平方根为bi a +（a 、R b ∈）∴ i abi b a bi a 2472)(222+=+-=+ ∴ ⎩⎨⎧==-242722ab b a ∴⎩⎨⎧==34b a 或⎩⎨⎧-=-=34b a∴ 平方根为)34(i +±拓展：1）求1的立方虚根。
解：13=x ，013=-x0)1)(1(2=++-x x x 2312||1i i x ±-=∆±-=2）1,13=≠ωω，求302302ωωω+++ 的值。
解：原式ω)28252219161310741(+++++++++=2)29262320171411852(ω++++++++++323165155145)30963(ωωωω++=++++ （1）i 2321+-=ω时 原式i i i 3515165)2321(155)2321(145-=+--++-=（2）i 2321--=ω 原式i i i 3515165)2321(155)2321(145+=++-+--=3）,0,0,22=++≠y xy x y x ，求20052005)()(yx y y x x +++的值。
解：022=++y xy x 01)(2=++y x y x ω=±-=i y x 2321 原式20052005)()(y x y y x x +++=20052005])1([])1([y y y y ωωω+++=20052005)11()1(ωωω+++=注：1)1(3-=+ω （1）i 2321+-=ω 原式1)1()1(1)1()1()11()1(66866820052005=+-++-=+++=ωωωωωω（2）i 2321+-=ω 原式1)1()1(1)1()1(668668=+-++-=ωωω∴ 1)()(20052005=+++y x y y x x例2、已知：1+i 是方程 32271060x x x -+-=的一个根，求：其余的根解：i -1也为其根 0))(22(2=++-b ax x x3,2-==b a23=x拓展：1）设 1x ,2x 是实系数一元二次方程 20x x m ++=的两个虚根，且 123x x -=，求：m 的值。
解：设bi a x ±= 3=+-+bi a bi a23=b 21-=a 25=m2）设关于x 的方程 2236(1)10x k x k --++=的两根的模的和为2，求：实数k 的值。
解：若两根为实根0>∆2)1(2±=-k2=k （舍） 0=k若两根为实根0<∆设bi a x ±=⎪⎩⎪⎨⎧+=-=311)1(222k k a 2=k 2-=k （舍）3）已知复数ω满足i )23(4ωω-=- （i 为虚数单位），25-+=ωωz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程。
解：i i 34)21(+=+ω i i i -=++=22134ω i i iz +=-+-=325 若实系数一元二次方程有虚根i z +=3，则必有共轭虚根i z -=36=+z z ，10=⋅z z 01062=+-x x例3、βα,为方程0)34()2(2=++--i x i x 的根，求（1）22βα+（2）33βα+（3）βα11+。
解：（1）i i i 105)34(2)2(2)(2222--=+--=-+=+αββαβα（2）]3))[((233αββαβαβα-++=+i i i i 1731)]34(3)2)[(2(2--=+---=（3）i 525111-=+=+αββαβα拓展：1）实数a 为何值时方程0)()1()1(222=+++++i a x i a x i a 有实根。
解：设实根为0x ∴ 0)1()(02202020=+++++i x a ax a x ax⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010********x a ax a x ax 相减)1()1(202-=-a x a0)1)(1(02=--x a （1）1=a 原式012=++x x 无实根（2）1-=a 原式012=--x x 有实根（3）10=x 原式012=++a a a 无实根∴ 1-=a 方程有实根2）已知关于x 的方程x 2-（6+i ）x+9+ai=0 （a ∈R ）有实数根b.（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足|-z -a-bi|-2|z|=0，求z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解（1）∵b 是方程x 2-（6+i ）x+9+ai=0 （a ∈R ）的实根，∴（b 2-6b+9）+（a-b ）i=0，故⎩⎨⎧==+-b a b b 0962解得a=b=3. （2）设z=x+yi （x ，y ∈R ），由|-z -3-3i|=2|z|， 得（x-3）2+(y+3)2=4（x 2+y 2），即（x+1）2+（y-1）2=8.∴Z 点的轨迹是以O 1（-1，1）为圆心，22为半径的圆.如图，当Z 点在OO 1的连线上时，|z|有最大值或最小值.∵|OO 1|=2，半径r=22， ∴当z=1-i 时，|z|有最小值且|z|min =2.例4、已知复数z 对应的点与原点组成直线的倾斜角是60°，且| z －1|是| z |和| z －2|的等比中项. 求| z |。
解：设(cos60sin60)z r i =+ ，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即例5、设非零复数21z z 、满足212221100z kz z z =+ R k ∈ ，并且12z z 是虚数。
(1)求证：1210z z =(2)若*N k ∈，当k 在其允许范围内变化时，求所有满足条件的虚数12z z 的和 解：令x z z =12，则原方程可化为01002=+-kx x ， 04002<-=∆k ，24002i k k x -±= (1) 10)400(2122=-+=k k x ，即1012=z z ， 1210z z =(2) *N k ∈，19,,3,2,1 =k因每个方程的两根之和均为k ，故所求的和为19019321=++++例6、已知：复数z 1=m +ni ，z 2=2－2i 和z =x +yi ，若z =1z i －z 2⑴若复数z 1所对应点M(m ，n )在曲线y =21(x +3)2+1上运动，求复数z 所对应点P(x ，y )的轨迹方程； ⑵将⑴中P 的轨迹上每一点沿着向量a ={23，1}方向平移213个单位，得新的轨迹C ，求C 的方程； ⑶过轨迹C 上任意一点A （异于顶点）作其切线l ，l 交y 轴于点B ，问：以AB 为直径的圆是否恒过x 轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由；解：⑴(y +1)2=2(x +1)⑵向右平移23，向上平移1，得y 2=2(x －21) ⑶设A(x 0，y 0)，斜率为k ，切线y －y 0=k(x －x 0) (k≠0)，代入整理得k y 2－2y +(2y 0－2k x 0+k)=0，△=0得(2x 0－1)k 2－2y 0k+1=0y 20=2x 0－1，代入y 20k 2－2y 0k+1=0，得k=01y . 令x =0，B(0，y 0－00y x )，以AB 为直径的圆(y －y 0)[y －( y 0－00y x )]+x (x －x 0)=0 令y =0，x =1 即恒过(1，0)。
