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微分中值定理与罗尔定理微分中值定理和罗尔定理是微积分中两个重要的定理，它们在求解函数的性质和函数曲线的特点等问题中有着广泛的应用。
本文将对微分中值定理和罗尔定理进行详细的介绍和讨论。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分中重要的基本定理之一，它是由勒让德提出的。
微分中值定理主要有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和费马中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理中最常用的一种形式。
设函数f(x)满足以下条件：在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
那么存在一个介于a和b之间的实数c，使得f'(c)等于曲线上两点A(a, f(a))和B(b, f(b))所连直线的斜率。
数学表达式为：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
该定理的直观意义是，在闭区间上的某点，函数的瞬时变化率等于该点切线的斜率。
拉格朗日中值定理在物理、经济等领域的实际问题中有广泛的应用。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于多元函数。
对于二元函数f(x, y)，设[a, b]和[c, d]为其定义域上的闭区间，若该函数在这两个闭区间上连续且偏导数存在且连续，那么存在一个介于a和b之间的实数x0和一个介于c和d之间的实数y0，使得f(x0, y0)满足以下公式：[f(b, d) - f(a, d)]/(b - a) = [∂f(x0, y0)/∂x]，[f(b, d) - f(b, c)]/(d - c) =[∂f(x0, y0)/∂y]。
该定理表明，偏导数连续的二元函数在闭区间内的两点之间，存在一个点使得该点处的偏导数等于两点之间的斜率比值。
3. 费马中值定理费马中值定理是微分中值定理的一种扩展形式。
该定理主要针对多元函数，并且该函数在闭区间或闭区域上连续。
定理的表述是：如果函数f(x1, x2,..., xn)在闭区域内的每一个内点满足f'(x1, x2,..., xn) = 0，那么在该区域内必存在一点x0，使得f(x0)是该区域上的极大值或极小值。
罗尔定理与微分中值定理罗尔定理（Rolle's theorem）是微积分中的一个重要定理，它是微分中值定理的特殊情况。
罗尔定理是由法国数学家米歇尔·罗尔在17世纪提出的，它建立了函数在某个区间内满足一定条件时，必然存在一个点使得函数在该点处的导数等于零的关系。
罗尔定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且满足f(a) = f(b)，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理的证明思路是利用了连续函数在闭区间上的最大值和最小值定理。
根据最大值和最小值定理，函数f(x)在闭区间[a, b]上必然存在一个最大值和一个最小值。
如果函数在区间内的最大值和最小值都等于f(a) = f(b)，那么根据连续函数的介值定理，函数在区间内必然存在一个点c，使得f(c) = f(a) = f(b)，即满足罗尔定理的条件。
如果函数在区间内的最大值和最小值不等于f(a) = f(b)，那么根据最大值和最小值定理，函数在区间内必然存在一个点c，使得f'(c) = 0，即满足罗尔定理的条件。
罗尔定理的应用非常广泛，它为证明其他定理提供了重要的工具。
例如，利用罗尔定理可以证明柯西中值定理和拉格朗日中值定理，这两个定理是微分中值定理的推广和拓展。
微分中值定理（Mean Value Theorem）是微积分中的另一个重要定理，它是由法国数学家奥古斯丁-路易·柯西在19世纪提出的。
微分中值定理是罗尔定理的推广，它描述了函数在某个区间内的平均变化率与函数在该区间内某一点的瞬时变化率之间的关系。
微分中值定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
微分中值定理的证明思路是利用了导数的几何意义。
高等数学—导数的应用习题一一．选择题1．使函数322)1()(x x x f -=适合罗尔定理条件的区间是（ ）A ．[]1,0 B. []1,1- C. []2,2- D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,532. 函数x e x f x sin )(-=在[]π,0上满足罗尔定理的=ξ( )A.2π B.π C. 4πD. 45π3.设0,1)(<=ab xx f ,则在b a <<ξ内使))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立的点ξ( )A.只有一点B.有两个点C.不存在D.是否存在,与b a ,值有关4.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-=,21,210,3)(2x xx x x f ,则在区间()2,0内适合值的ξξ)02)(()0()2('-=-f f f ( ) A.只有一个 B.不存在 C.有两个 D.有三个5.设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,若设(I):)()(b f a f =；（II ）：在()b a ,内至少有一点ξ，使得0)('=ξf ，则(I)与（II ）之间的关系是（ ）A ．(I)是（II ）的充分而非必要条件 B. (I)是（II ）的必要而非充分条件 C. (I)是（II ）的充分必要条件 D. (I)是（II ）的既非充分也非必要条件 6.)0()0(g f =,当0>x 时,有)()(''x g x f <,则当0>x 时,有( ) A.)()(x g x f < B. )()(x g x f > C. )()(x g x f ≤ D. )()(x g x f ≥7.函数x x y =在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e ( )A.不存在最小值B. 最大值是ee 1C. 最大值是e e 11⎪⎭⎫ ⎝⎛D. 最小值是ee 11⎪⎭⎫⎝⎛二. 填空题1.函数321)(x x f -=在[]1,1-上不能有罗尔定理的结论,其原因是)(x f 不满足罗尔定理的条件 .2.函数4)(x x f =在[]2,1上满足拉格朗日定理,则=ξ .3.=+→xx x 6)13ln(lim0 .4.=+∞→a x xxln lim .()0>a 5.在0≠x 时,=+221arctan arctan xx 恒成立.6.据罗尔定理，()x x f sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ，上满足()0=ξ‘f 的ξ=7.极限=>>-→)0,0lim0b a xb a xx x （ . 三．求下列极限1.82lim 322---→x x x x 2.39lim22--→x x x3.xx x x +-+→220121lim 4.435lim222--+→x x x 5.11lim 1--→n m x x x 6.203cos 1limx xx -→7.30sin lim xx x x -→ 8.x x x x x --→tan sin lim 0 9.xx x x x 20sin tan lim -→ 10.1ln lim 1-→x xx习题二一．选择题1.设函数)(x f 在区间()b a ,内可导,则在()b a ,内0)('>x f 是)(x f 在()b a ,内单调增的( )A. 必要而非充分条件B. 充分而非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,⎪⎭⎫ ⎝⎛21,03.若1=x 和2=x 都是函数xbe x a y )(+=的极值点,则b a ,的值为( ) A.2,1==b a B. 1,2==b a C. 1,2-=-=b a D. 1,2=-=b a4.若)(x f 的二阶导数存在,且0)(''>x f ,则ax a f x f x F --=)()()(在(]b a ,内是( )A.单调增加的B.单调减少的C.有极大值D.有极小值5.设)0()(23≠+++=a dcx bx ax x f 单调增加,下面各式成立的是( )A.03,02≤->ac b aB. 03,02≥->ac b aC. 03,02≤-<ac b aD. 03,02≥-<ac b a6.下列命题中,正确的是( )A.若)(x f y =在0x x =处有0)('=x f ,则)(x f 在0x x =处取极值B. 极大值一定大于极小值C.若可导函数)(x f 在0x x =处取极大值,则必有0)(0'=x fD. 最大值就是极大值7.若函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极小值-2,则必有( ) A. 1,4=-=b a B. 7,4-==b a C. 3,0-==b a D. 1,1==b a8.设)(x f 处处连续,在1x x =处有0)(1'=x f ,在2x x =处)(x f 不可导,则( ) A. 1x x =及2x x =都一定不是极值点 B.只有1x x =是极值点 C. 只有2x x =是极值点 D. 1x x =及2x x =都有可能是极值点 二. 填空题 1.函数x xx x f 6sin 3)(3--=的单调区间是 . 2.函数x x x f ln 3arctan 10)(-=的极大值点是 .3.函数x x x x f 9331)(23+-=在区间[]4,0上的最大值点=x . 4.函数x e x f x -=)(在()+∞∞-,的最小值点=x . 5.函数x xe x f -=)(在()+∞∞-,的最大值点=x . 6.极限=→xxx 3tan tan lim2π. 7.极限=-→xx xx x sin tan lim20 .三．求下列极限1. x xe x x 220sin 21lim --→ 2.()x x x x e x x 21ln 13sin lim 20+--+→ 3. 11lim 951--→x x x4. ()x x x 4sin 51ln lim0-→ 5. 20cos ln lim xxx → 6. xx x 8sin 12tan lim8-→π7. xxx x 30sin arcsin lim-→8. ()xx x x ln 1cos lim 221--→9. xe e x x x 2sin 2lim 20-+-→ 10. xxx 5sin ln 4sin ln lim 0+→11. xxx e x xe 22lim ++∞→习题三一、选择题1.设)(x f 在点0x x =邻域三阶连续可导,且0)()(0''0'==x f x f ,0)(0'''>x f,则有结论( )A. )(0x f 是极大值B. )(0x f 是极小值C. ))((0,0x f x 是拐点D. )(x f 在0x x =处无极值也无对应的拐点2.设函数⎩⎨⎧<-≥-=1,21,ln )(2x x x x x x x f ,则该函数在1=x 处( )A. 有最小值B. 最大值有C.有对应的拐点D. 无对应的拐点 3.若点()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点,则b a ,的值为( )A.23,29-==b a B. 9,6=-=b a C. 29,23=-=b a D. 23,29=-=b a 4.曲线12-+=x xx y ( )A.没有渐近线(水平和垂直)B.有水平渐近线0=yC.有垂直渐近线1±=xD. 有水平渐近线1=y5.设()[]3')(x x f ϕ=,其中)(x ϕ在()+∞∞-,连续,可导0)('>x ϕ,则)(x f y =在()+∞∞-,()A.单调增B.单调减C.上凹D. 下凹6.曲线)0(23≠+++=a d cx bx ax y ,最多拐点个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个7.关于曲线112+-=x x y 的拐点,下述论断正确的是( )A.有3个拐点,且在一条直线上B. 有3个拐点,但不在一条直线上C. 只有2个拐点D. 只有1个拐点 8.曲线11+-=x x y 的渐近线方程是( ) A.1,1==y x B. 1,1=-=y x C. 1,1-==y x D. 1,1-=-=y x 二. 填空题1.曲线x xe y 2=的下凹区间是 .2.曲线1ln 22-+=x x y 的拐点坐标是 .3.曲线()1ln 2+=x y 的下凹区间是 .4.曲线4343x x y +=的上凹区间是 .5.曲线33x x y -=的拐点坐标是 .6.曲线xxy ln =的渐近线方程是 . 7.曲线263+-=x x y 的拐点是 .8.曲线221xx y +=的拐点是 . 三．求下列极限1.）（211211lim xx x ---→ 2.）（xx x 220sin 11lim -→ 3.）（xx x x ln 11lim 1--→ 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→111lim 0x x e x 四．求下列极限1. ）（1lim 1-∞→xx e x2. ）（241cos1lim x x x -∞→ 3. ）（211ln lim xe x x ++∞→ 4. 2tan 1lim 1xx x π）（-→5. ）（361cos 1lim xx x -∞→ 五．求下列函数的单调增减区间1．x x y ln 22-= 2．24x x x y -= 3.()()311+-=x x y习题四一、选择题 1.函数xx y 4+=的单调减少区间是( ) A.()()+∞⋃-∞-,22, B.(-2,2) C. ()()+∞⋃∞-,00, D. ()()2,00,2⋃- 2.以下结论正确的是( )A.函数)(x f 的导数不存在的点,一定不是)(x f 的极值点B.若0x 为函数)(x f 的驻点, 则0x 必为函数)(x f 的极值点C.若函数)(x f 在点0x 处有极值,且)(0'x f 存在,则必有0)(0'=x fD.若函数)(x f 在点0x 处连续,则)(0'x f 一定存在3.曲线xx y 1sin=( ) A.仅有水平渐近线 B.既有水平渐近线,又有铅直渐近线 C.仅有铅直渐近线 D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线4.函数x e y -=在定义区间内是严格单调( )A.增加且凹的B. 增加且凸的C. 减少且凹的D. 减少且凸的 5.曲线42246x x x y +-=的凸区间是( ) A.(-2,2) B. ()0,∞- C.()+∞,0 D. ()+∞∞-, 6.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是( ) A.(-5,5) B. ()0,∞- C. ()+∞,0 D. ()+∞∞-, 7.函数x x y arctan -=在()+∞∞-,内是( ) A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续 二. 填空题1.函数()21ln x y +=的单调增加区间是 .2.函数7323+-=x x y 的极小值是 .3.函数1--=x e y x 的极值 .4.当20π〈〈x 时,x x sin tan + x 2.5.曲线14123223+-+=x x x y 的拐点为 .6.函数()23361++=x xy 的图形的水平渐近线为 .7.函数()()()543321---=x x x y 的极值点为=x . 8.函数x x y 2=的极小值点是 . 三. 求下列函数的极值 1.7186223+--=x x x y2.()x x y +-=1ln3.x x e e y -+=2 四.证明下列各不等式的正确性 1.当0>x 时, ()x x +>1ln2.当1>x 时, ()112ln +->x x x 3.当0≥x 时, xxx +≥+1arctan )1ln(五.应用题1.欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元,问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的材料费最少？ 2. 欲用围墙围成面积为216平方米的矩形场地,并在正中用一堵墙将其隔成两快,问此场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的建筑材料最少？3.某窗的形状为半圆置于矩形之上,若此窗框的周长为一定值l .试确定半圆的半径r 和矩形的高h ,使所能通过的光线最为充足.答案 习题一一．选择题1．使函数322)1()(x x x f -=适合罗尔定理条件的区间是（ A ）A ．[]1,0 B. []1,1- C. []2,2- D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,532. 函数x e x f x sin )(-=在[]π,0上满足罗尔定理的=ξ( C )A.2π B.π C. 4πD. 45π3.设0,1)(<=ab xx f ,则在b a <<ξ内使))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立的点ξ( C )A.只有一点B.有两个点C.不存在D.是否存在,与b a ,值有关4.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-=,21,210,3)(2x xx x x f ,则在区间()2,0内适合值的ξξ)02)(()0()2('-=-f f f ( C ) A.只有一个 B.不存在 C.有两个 D.有三个5.设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,若设(I):)()(b f a f =；（II ）：在()b a ,内至少有一点ξ，使得0)('=ξf ，则(I)与（II ）之间的关系是（ A ）A ．(I)是（II ）的充分而非必要条件 B. (I)是（II ）的必要而非充分条件 C. (I)是（II ）的充分必要条件 D. (I)是（II ）的既非充分也非必要条件 6.)0()0(g f =,当0>x 时,有)()(''x g x f <,则当0>x 时,有( A ) A.)()(x g x f < B. )()(x g x f > C. )()(x g x f ≤ D. )()(x g x f ≥7.函数x x y =在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e ( C )A.不存在最小值B. 最大值是ee 1C. 最大值是e e 11⎪⎭⎫ ⎝⎛D. 最小值是ee 11⎪⎭⎫⎝⎛二. 填空题1.函数321)(x x f -=在[]1,1-上不能有罗尔定理的结论,其原因是)(x f 不满足罗尔定理的条件 . ），在（11)1(--f 内处处可导2.函数4)(x x f =在[]2,1上满足拉格朗日定理,则=ξ . 34153.=+→x x x 6)13ln(lim0 . 214.=+∞→a x xxln lim .()0>a 0 5.在0≠x 时,=+221arctan arctan xx 恒成立. 2π6.据罗尔定理，()x x f sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ，上满足()0=ξ‘f 的ξ= 2π7.极限=>>-→)0,0lim0b a x b a x x x （ . baln 三．求下列极限1.82lim 322---→x x x x 123 2.39lim22--→x x x 3123.xx x x +-+→220121lim 0 4.435lim222--+→x x x 615.11lim 1--→n m x x x nm6.203cos 1limx x x -→ 297.30sin lim xx x x -→ 61 8.x x x x x --→tan sin lim 0 21 9.x x x x x 20sin tan lim -→ 31 10.1ln lim 1-→x xx 1习题二一．选择题1.设函数)(x f 在区间()b a ,内可导,则在()b a ,内0)('>x f 是)(x f 在()b a ,内单调增的( B )A. 必要而非充分条件B. 充分而非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间是( C )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,⎪⎭⎫ ⎝⎛21,03.若1=x 和2=x 都是函数xbe x a y )(+=的极值点,则b a ,的值为( A )A.2,1==b aB. 1,2==b aC. 1,2-=-=b aD. 1,2=-=b a4.若)(x f 的二阶导数存在,且0)(''>x f ,则ax a f x f x F --=)()()(在(]b a ,内是( A )A.单调增加的B.单调减少的C.有极大值D.有极小值5.设)0()(23≠+++=a dcx bx ax x f 单调增加,下面各式成立的是( A )A.03,02≤->ac b aB. 03,02≥->ac b aC. 03,02≤-<ac b aD. 03,02≥-<ac b a6.下列命题中,正确的是( C )A.若)(x f y =在0x x =处有0)('=x f ,则)(x f 在0x x =处取极值B. 极大值一定大于极小值C.若可导函数)(x f 在0x x =处取极大值,则必有0)(0'=x fD. 最大值就是极大值7.若函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极小值-2,则必有( C ) A. 1,4=-=b a B. 7,4-==b a C. 3,0-==b a D. 1,1==b a8.设)(x f 处处连续,在1x x =处有0)(1'=x f ,在2x x =处)(x f 不可导,则( D ) A. 1x x =及2x x =都一定不是极值点 B.只有1x x =是极值点 C. 只有2x x =是极值点 D. 1x x =及2x x =都有可能是极值点 二. 填空题 1.函数x xx x f 6sin 3)(3--=的单调区间是 . ()()+∞∞-,00, 2.函数x x x f ln 3arctan 10)(-=的极大值点是 . 3 3.函数x x x x f 9331)(23+-=在区间[]4,0上的最大值点=x . 4 4.函数x e x f x -=)(在()+∞∞-,的最小值点=x . 0 5.函数x xe x f -=)(在()+∞∞-,的最大值点=x . 1 6.极限=→xxx 3tan tan lim2π. 3 7.极限=-→x x x x x sin tan lim20 . 31三．求下列极限1. x x e x x 220sin 21lim --→x xe x x 220sin 21lim --→ 2 2.()x x x x e x x 21ln 13sin lim 20+--+→ 1 3. 11lim 951--→x x x 954. ()x x x 4sin 51ln lim0-→ 45-5. 20cos ln lim xx x → 21- 6. x x x 8sin 12tan lim8-→π21-7. xx x x 30sin arcsin lim-→ 618. ()xx x x ln 1cos lim 221--→ 29. xe e x x x 2sin 2lim 20-+-→ 41 10. xxx 5sin ln 4sin ln lim 0+→ 111. xxx e x xe 22lim ++∞→ ∞习题三一．选择题1.设)(x f 在点0x x =邻域三阶连续可导,且0)()(0''0'==x f x f ,0)(0'''>x f ,则有结论( C )A. )(0x f 是极大值B. )(0x f 是极小值C. ))((0,0x f x 是拐点D. )(x f 在0x x =处无极值也无对应的拐点2.设函数⎩⎨⎧<-≥-=1,21,ln )(2x x x x x x x f ,则该函数在1=x 处( C )A. 有最小值B. 最大值有C.有对应的拐点D. 无对应的拐点 3.若点()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点,则b a ,的值为( C )A.23,29-==b a B. 9,6=-=b a C. 29,23=-=b a D. 23,29=-=b a 4.曲线12-+=x xx y ( C )A.没有渐近线(水平和垂直)B.有水平渐近线0=yC.有垂直渐近线1±=xD. 有水平渐近线1=y5.设()[]3')(x x f ϕ=,其中)(x ϕ在()+∞∞-,连续,可导0)('>x ϕ,则)(x f y =在()+∞∞-,( C )A.单调增B.单调减C.上凹D. 下凹6.曲线)0(23≠+++=a d cx bx ax y ,最多拐点个数是( A ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个7.关于曲线112+-=x x y 的拐点,下述论断正确的是( A )A.有3个拐点,且在一条直线上B. 有3个拐点,但不在一条直线上C. 只有2个拐点D. 只有1个拐点 8.曲线11+-=x x y 的渐近线方程是( B ) A.1,1==y x B. 1,1=-=y x C. 1,1-==y x D. 1,1-=-=y x 二. 填空题1.曲线x xe y 2=的下凹区间是 . ()1,-∞-2.曲线1ln 22-+=x x y 的拐点坐标是 . (1,0)3.曲线()1ln 2+=x y 的下凹区间是 . ()()1,01,-∞-4.曲线4343x x y +=的上凹区间是 . ()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,032,5.曲线33x x y -=的拐点坐标是 . (0,0)6.曲线xxy ln =的渐近线方程是 . 0,0==y x 7.曲线263+-=x x y 的拐点是 . (0,2)8.曲线221x x y +=的拐点是 . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±41,33 三．求下列极限1.）（211211lim xx x ---→ 21- 2.）（xx x 220sin 11lim -→ 31- 3.）（x x x x ln 11lim 1--→ 214.⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→111lim 0x x e x 21 四．求下列极限1. ）（1lim 1-∞→xx e x 12. ）（241cos1lim x x x -∞→ 213. ）（211ln lim xe x x ++∞→ ∞+ 4. 2tan 1lim 1x x x π）（-→ π25. ）（361cos 1lim xx x -∞→ 21 五．求下列函数的单调增减区间1．x x y ln 22-= 单调减区间⎪⎭⎫⎝⎛210， 单调增区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 2．24x x x y -= 单调减区间()43，单调增区间 ()30， 3.()()311+-=x x y 单调减区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21， 单调增区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 习题四一．选择题1.函数xx y 4+=的单调减少区间是( D ) A.()()+∞⋃-∞-,22, B.(-2,2) C. ()()+∞⋃∞-,00, D. ()()2,00,2⋃- 2.以下结论正确的是( C )A.函数)(x f 的导数不存在的点,一定不是)(x f 的极值点B.若0x 为函数)(x f 的驻点, 则0x 必为函数)(x f 的极值点C.若函数)(x f 在点0x 处有极值,且)(0'x f 存在,则必有0)(0'=x fD.若函数)(x f 在点0x 处连续,则)(0'x f 一定存在3.曲线xx y 1sin=( A ) A.仅有水平渐近线 B.既有水平渐近线,又有铅直渐近线 C.仅有铅直渐近线 D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线4.函数x e y -=在定义区间内是严格单调( C )A.增加且凹的B. 增加且凸的C. 减少且凹的D. 减少且凸的 5.曲线42246x x x y +-=的凸区间是( A ) A.(-2,2) B. ()0,∞- C.()+∞,0 D. ()+∞∞-, 6.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是( C ) A.(-5,5) B. ()0,∞- C. ()+∞,0 D. ()+∞∞-, 7.函数x x y arctan -=在()+∞∞-,内是( A ) A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续 二. 填空题1.函数()21ln x y +=的单调增加区间是 . ()∞+，0 2.函数7323+-=x x y 的极小值是 . 3 3.函数1--=x e y x 的极值 . 0 4.当20π〈〈x 时,x x sin tan + x 2. >5.曲线14123223+-+=x x x y 的拐点为 . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-212021， 6.函数()23361++=x xy 的图形的水平渐近线为 . 1=y7.函数()()()543321---=x x x y 的极值点为=x . 2,25,348.函数x x y 2=的极小值点是 . 2ln 1-三. 求下列函数的极值1.7186223+--=x x x y 极大值()171=-y 极小值()473-=y2.()x x y +-=1ln 极小值()00=y3.x x e e y -+=2 极小值2222ln =⎪⎭⎫⎝⎛-y四.证明下列各不等式的正确性 1.当0>x 时, ()x x +>1ln 2.当1>x 时, ()112ln +->x x x 3.当0≥x 时, xxx +≥+1arctan )1ln(五.应用题1.欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元,问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的材料费最少？ 长10米 宽15米2. 欲用围墙围成面积为216平方米的矩形场地,并在正中用一堵墙将其隔成两快,问此场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的建筑材料最少？ 长18米 宽12米3.某窗的形状为半圆置于矩形之上,若此窗框的周长为一定值l .试确定半圆的半径r 和矩形的高h ,使所能通过的光线最为充足.4+==πlh r。
罗尔定理中值定理
罗尔定理（Rolle's theorem）是微积分中的一个重要定理，是
拉格朗日中值定理的一个特例。
罗尔定理描述了一个连续函数在闭区间的两个端点取得相同的函数值，且在开区间内可导，则在开区间内至少存在一个点，使该点的导数等于零。
具体来说，设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间$(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在至少一个点 $c \in (a,b)$，使 $f'(c)=0$。
罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，当函数在区间的两个端点取得相同的函数值时（即 $f(a)=f(b)$），可以推出
函数在开区间内至少存在一个点的导数为零。
罗尔定理的实际应用非常广泛，特别是在最优化问题中常常被用于证明存在极值的情况。
注：本回答只是对“罗尔定理”及其“中值定理”进行了简要说明，未涉及详细的证明过程和数学推导。
罗尔定理内容：如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0.几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。
而定理结论表明，弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的.：泰勒公式内容：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.) ^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）推论：麦克劳林公式内容：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0<θ<1.拉格朗日中值定理内容：如果函数 f(x) 满足：1)在闭区间[a,b]上连续；2)在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
罗尔定理如果函数满足1.在闭区间上连续；2.在开区间内可导；3.在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。
这个定理称为罗尔定理。
证明首先，因为在闭区间上连续，根据极值定理，在上有最大值和最小值。
如果最大值和最小值都在端点或处取得，由于，显然是一个常数函数。
那么对于任一点，我们都有。
现在假设在处取得最大值。
我们只需证明在该点导数为零。
取，由最大值定义，那么。
令，则。
因为在处可导，所以我们有。
取，那么。
这时令，则有，所以。
于是，。
在处取得最小值的情况同理。
例子第一个例子半径为r的半圆考虑函数（其中r> 0。
）它的图像是中心位于原点的半圆。
这个函数在闭区间[−r,r]内连续，在开区间(−r,r)内可导（但在终点−r和r处不可导）。
由于f(−r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。
第二个例子绝对值函数的图像如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。
对于某个a> 0，考虑绝对值函数：那么f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。
这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x= 0不可导。
注意f的导数在x= 0从-1变为1，但不取得值0。
推广形式第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：考虑一个实值，在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b). 如果对开区间(a,b)内的任意x，右极限而左极限在扩展的实数轴 [−∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限和中其中一个≥0，另一个≤0 (在扩展的实数轴上)。
如果对任何x左极限和右极限都相同, 那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。
罗尔定理的条件区间
罗尔定理是微积分中的重要定理之一，它在求解函数的根、极值等问题中具有广泛的应用。
然而，罗尔定理的适用条件并非是所有函数都可以满足的，需要满足一定的条件区间。
因此，本文将详细介绍罗尔定理的条件区间以及其证明过程。
一、罗尔定理的定义
罗尔定理是指：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等，则在$(a,b)$内至少存在一点$xi$，使得$f'(xi)=0$。
该定理的意义在于，它保证了在满足一定条件下，函数在某些点处的导数为零，即函数存在极值或拐点。
因此，罗尔定理在求解函数极值、拐点等问题中具有重要的应用。
二、条件区间的确定
罗尔定理的条件区间是指函数$f(x)$在哪些区间上满足罗尔定理的条件，即$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。
首先，我们需要确定$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续的条件。
一般来说，函数在闭区间上连续的条件为函数在该区间上无间断点、无跳跃点，并且函数的左右极限相等。
其次，我们需要确定$f(x)$在开区间$(a,b)$内可导的条件。
根据导数的定义，函数在某一点可导的条件为该点的左右极限存在且相等。
因此，在开区间内可导的条件为函数在该区间内的每一点的
左右极限都存在且相等。
最后，我们需要确定函数在$a,b$处的函数值相等的条件。
这意味着函数在$a,b$处存在连续性，即$a,b$处的左右极限存在且相等。
综上所述，罗尔定理的条件区间为：函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。
三、证明过程
下面我们来证明罗尔定理的条件区间为函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。
假设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。
我们需要证明，在$(a,b)$内至少存在一点$xi$，使得$f'(xi)=0$。
由于函数$f(x)$在开区间$(a,b)$内可导，因此在该区间内任取一点$x_0$，存在一点$xi_1$，使得：
$$lim_{xto x_0}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(xi_1)$$ 又因为函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，因此在该区间内任取一点$x_1$，存在一点$xi_2$，使得：
$$lim_{xto x_1}f(x)=f(xi_2)$$
由于函数在$a,b$处的函数值相等，因此
$f(a)=f(b)=f(xi_2)$。
因此，我们可以将$x_0$取为$a$，$x_1$取
为$b$，得到：
$$lim_{xto a}frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(xi_1)$$
$$lim_{xto b}frac{f(x)-f(b)}{x-b}=f'(xi_1)$$ 由于$f(a)=f(b)$，因此上式可以化简为：
$$lim_{xto a}frac{f(x)-f(a)}{x-a}=lim_{xto b}frac{f(x)-f(b)}{x-b}$$
根据极限的定义，上式等价于：
$$lim_{xto a^+}frac{f(x)-f(a)}{x-a}=lim_{xto
b^-}frac{f(x)-f(b)}{x-b}$$
由于函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，因此$f(a)=f(b)$，即：
$$lim_{xto a^+}frac{f(x)-f(a)}{x-a}=lim_{xto
b^-}frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
将上式代入$f'(xi_1)$的表达式中，得到：
$$f'(xi_1)=lim_{xto a^+}frac{f(x)-f(a)}{x-a}=lim_{xto b^-}frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
因此，存在一点$xi$，使得$a<xi<b$且$f'(xi)=0$，即罗尔定理成立。
四、总结
本文详细介绍了罗尔定理的条件区间以及其证明过程。
罗尔定理的条件区间为函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。
通过证明，我们可以得
知，在该条件下，函数在某些点处的导数为零，即函数存在极值或拐点。
因此，罗尔定理在求解函数极值、拐点等问题中具有重要的应用。
