浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用
摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性.
关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；极限；导数
一、罗尔定理推广及应用 （一）罗尔定理推广 1.罗尔定理描述
若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导；
()()f b f a =；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ'=. 2.罗尔定理的推广
2.1罗尔定理推广 1 设(),a b 为有限或无限区间，()f x 在(),a b 内可微，且
()()lim lim f x f x A x x a b ==+-
→→（A 可为有限也可为+∞-），则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=.
证明：(1)设(),a b 为有限区间.若A 是有限值，令
()()()()(0),,
,,,0,.
f a x a F x f x x a b f b x b ⎧+=⎪
=∈⎨⎪
-=⎩
容易验证()F x 在[],a b 上满足罗尔定理的条件，故(),a b ξ∃∈，使
()()0F f ξξ''==.
(2)若A 为+∞， (),a b 为有限区间或无限区间，由()f x 在(),a b 内的连续性知，
当0c >充分大时，直线y c =与曲线()y f x =至少有两个焦点()()11,x f x 与
()()2
2
,x f x ，即()()1
2
f x f x c
==且()1,2,x x a b ∈.不妨设12x x <，对()f x 在
[]()1,2,x x a b ⊂上应用罗尔定理，使得()0f ξ'=；
(3)若A 为有限值，(),a b 为无限区间.
做变量替换，即选择函数()x x t =，满足如下要求：(),t αβ∈，（这里(),αβ是有限区间），(),x a b ∈，()x t '存在且不变号.然后对符合函数()()f x t 在(),αβ应用(1) 的结果.
1)当,a b =-∞=+∞，即()(),,a b =-∞+∞.做变换tan x t =，令()()tan g t f t =，则
()g t 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上满足(1)式的全部条件.故,22ππτ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使()0g τ'=，而
()2(tan ).sec g f τττ''=， 2sec 0τ>，
于是取()tan ,ξτ=∈-∞+∞，就是()0f ξ'=；
2)若当a 有限，b =+∞，即()(),,a b a =+∞，作变换
()()
t m a x t m t
-=
-，a t m <<，（其中m 为正数） 令()()()g t f x t =，则()g t 在a t m <<上满足(1)式的全部条件.故(),a m τ∃∈，使
()0g τ'=，而
()()
()()
2
(
)m a m a m g f m τττ--''=-，
于是取()
(),m a a m ττ
ξ-∈+∞-=
，就有()0f ξ'=.
3)当a =-∞，b 为有限，即()(),,a b b =-∞，做变换
()(),t b s x t t s
-=- s t b <<，其中b 为负数，
同理可得，取()
b s s τξτ-=-，就有()0f ξ'=.
2.2 罗尔定理推广2 任意个函数的微分中值定理
设()21,(),x f x f ⋯⋯,()n x f 在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；()()i i a b f f ≠，
,1,2,n i j =⋯,，则(),a b ξ∃∈，使得
()()()()(),110n
i i j i j j j b a f f x f b a f f =⎡⎤
-'-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
∑ (1) 证明：根据题设，函数
()()()()()(),11n
i i j
i j j j b a f f H x x f
b a f f =⎡⎤
-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
∑,
在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；
()()()()()()()(),11n
i i j
j i j j j b a f f H b H a b a f f b a f f =⎡⎤
-⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
∑
()()()(),1
0n
i i j
j i j b a b a f f f
f =⎡⎤=---=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑,
即()()H b H a =，所以由罗尔定理知道(),a b ξ∃∈，使得
()()()()()(),110n
i i j i j j j b a f f x H f b a f f ξ=⎡⎤
-''-==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
∑. 2.3罗尔定理推广3设()f x ，()g x ，()h x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则
(),a b ξ∃∈，使得
()()()()()()()()()
0f a g a h a f b g b h b f g h ξξξ='''.
证明：设
()()()()()()()()()()
f a
g a
h a F x f b g b h b f x g x h x =.
由行列式性质知()()0F a F b ==，则由于满足罗尔定理，则(),a b ξ∃∈，使得
()0f ξ'=，则问题得证. （二） 罗尔定理的应用
1.在讨论方程根的存在性问题时，可以应用罗尔定理.
罗尔定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间[],a b 上的函数，只需函数在这个区间连续，可导（并不要求区间端点可导），在要求()f x 满足条件()()f a f b =.因此，可以应用罗尔中值定理解决一些复杂的代数方程的判根问题.其步骤一般是：分析命题条件→构造辅助函数()f x →验证()f x 满足罗尔定理的条件→应用罗尔定理→命题结论.
例1：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明:在(),a b 内，方程
()(){}()()222x f b f a b a f x '-=-至少存在一个根.
证明：令
()()(){}()()222F x f b f a x b a f x =---，
显然，()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，而且
()()()()22F a f b a b f a F b =-=，
根据罗尔定理，至少存在一个(),a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，则有
()(){}()()222f b f a b a f ξξ'-=-，
故在(),a b 内，方程
()(){}()()222x f b f a b a f x '-=-.
至少存在一个根.
2.罗尔定理的推广也有广泛的应用.
在证明不等式时，首先我们可以根据不等式俩边的代数式选取不同的()F x ；其次，验证()F x 是否满足罗尔定理推广中的某种形式的条件；最后，应用定理进行解题，下面通过举例说明其应用.
例2：设()f x 在),a +∞⎡⎣内可微，且满足不等式
(
)0f x ≤≤， ()0,x ∀∈+∞,
证明存在一点()0,ξ∈+∞，使得
(
)221f ξξ'=
+ 证明:由已知不等式知 ()00f =，()0lim x f x →+∞
=.令
()(
)F x f x =-，
则
()00F =，()(
)0lim lim lim x x x F x f x →+∞
→+∞
→+∞
=-=，
则由推广的罗尔定理，()0,ξ∃∈+∞，使得()0F ξ'=，即
(
)221f ξξ'=
+二、拉格朗日中值定理推广及应用 （一）拉格朗日中值定理推广 1.拉格朗日中值定理描述
若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导.则在开区间(),a b 内至少存在一点ξ，使
()()()f b f a f b a
ξ-'=
-.
2.拉格朗日中值定理推广
2.1 推广1在上述罗尔定理推广三中若令()g x x =，()1h x =并代入上式即得拉格朗日中值定理()()()
f b f a f b a
ξ-'=
-.则就有下面推广：
设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少(),a b ξ∃∈，使
()()()11010
f a a f b b f ε='， 容易得到()()()
f b f a f b a
ξ-'=
-.
2.2 推广2 拉格朗日推广到更一般的形式
如果函数()()()12,,,n f x f x f n ⋯在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则对于任意给定的一组实数12,,n k k k ⋯,，且120n k k k ++⋯+=，必存在(),a b ξ∈，使得
()()()11222111||||||0n n n n n b b b b b b
k f f f k f f f k f f f a a a a a a ξξξ-'''⋯+⋯+⋯⋯+⋯=，
其中，()()|i i i b f f b f a a =-，1,2,,.i n =⋯特别地，当12|||0n b b b
f f f a a a
⋯≠，上式可写
()()()()()()()
()()
121
211220n n n n f f f k k k f b f a f b f a f b f a ξξξ'''++⋯+=---.
证明：令
()()()()11222111||||||n n n n n b b b b b b
x k f x f f k f x f f k f x f f a a a a a a
φ-=⋯+⋯+⋯⋯+⋯.
显示()x φ在[],a b 上均满足罗尔定理的条件，由罗尔定理即可得证结论成立. 2.3 推广3 对于拉格朗日定理，若把条件减弱的话，定理应用将更加广泛. 命题 设函数()f x 在闭区间[],a b ，在开区间(),a b 内除了有限个点外可微，则存在
(),a b ξ∈使得()()()()f b f a f b a ξ'-≤
-.
证明：不妨设()f x 在仅在(),d a b ∈不可微，分别在[][],,,a d d b 应用拉格朗日定理中值定理，则得到
()()()()1f d f a f d a ξ'-=-， ()1,d a ξ∈， ()()()()2f b f d f b d ξ'-=-， ()2,b d ξ∈.
令()()(){}
12max ,f f f ξξξ'''=，使得
()()()()f b f a f b a ξ'-≤-.
2.4 推广4 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，若()f x 在(),a b 内除了n 个点处可微，则存在1n +个点，211
n a b ξξξ+<<<⋯<<及1n +个正数1,21,,,n ααα+⋯使得1
11n i i α+==∑且
()()1
1
()()n i i i f b f a f b a αξ+='-=-∑.
证明：不妨设()f x 在仅在(),d a b ∈不可微，则由上述推广3得
()()()()1f d f a f d a ξ'-=-， ()1,d a ξ∈， ()()()()2f b f d f b d ξ'-=-， ()2,b d ξ∈，
取1,2αα使()()12,b a d a b a b d αα-=--=-则12121,0,0αααα+=>>且
()()()1122()()f b f a f f b a αξαξ''-=+-⎡⎤⎣⎦.
这个证明方法可以推广到()f x 在n 个点上不可微得情形，可以的以上的推论. 2.5 推广5 若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''，则存在()0,x a b ∈及0,0,1p q p q ≥≥+=，使得
()()()()()pf x qf x b a f b f a -+''+-=-⎡⎤⎣⎦.
证明：（1）先证明若()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''，且()()f b f a =，则存在()0,x a b ∈，使得()()000f x f x -+''≤.事实上，由()f x 在[],a b 连续，得,,M m ∃使得()m f x M ≤≤又()()f b f a =，故()f x 必在区间(),a b 内取得至少一个最值，不防设最值点为0x ，()0f x M =，
()()0
00lim 0x x f x f x x x +
→-≤-或()()
00lim 0x x f x f x x x -→-≥-，
()()000f x f x -+''≤.
（2）作辅助函数
()()()()()
()f b f a F x f x f a x a b a
-=--
--，
则由()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''知()F x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数F -'，F +'，且有因为()()0F b F a ==，故由上面的结论()1,x a b ∃∈使得()()000F x F x -+''≤.不妨设()()000,0,F x F x -+''≥≤则
()()()()
110f b f a F x f x b a ---''=-≥-，
()()()()
010f b f a F x f x b a
++-''=-
≤-，
即
()()()
()11f b f a f x f x b a
+--''≤
≤-，
又()()()()111G x xf x x f x -+''=+-在[]0,1上连续函数.且
()()10G f x +'=，()()11G f x -'=，
有介值定理，()0,1p ∃∈使得
()()()
f b f a G p b a
-=
-，
即
()()()()()
111f b f a pf x p f x b a
-+-''+-=
⎡⎤⎣⎦-，
又1q p =-，则
()()()()()pf x qf x b a f b f a -+''+-=-⎡⎤⎣⎦.
(二) 拉格朗日中值定理应用 1.利用拉格朗日定理证明不等式
拉格朗日中值定理中只肯定了在(),a b 内至少有一点ξ，使得等式成立，但对ξ的确切位置未作任何断定，这并不影响定理在做理论探讨和解决具体问题中所起的作业. 利用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选择适当的函数()f x 和对应的区间[],a b ，使它满足拉格朗日中值定理，使得
()()()
(),,f b f a f a b b a
ξξ-'=
∈-，
在用不等式的性质可证明数学不等式.具体步骤如下： 第一步，选择适当的函数()f x 和对应的区间[],a b ；
第二步，对所取的函数()f x 和对应的区间[],a b ，写出拉格朗日中值公式，
()()()
(),,f b f a f a b b a
ξξ-'=
∈-，
第三步，确定导函数()f ξ'在所讨论的区间上的单调性；
第四步，分别,a b ξξ==，确定()f x '在区间端点上的导数值，由()f x '的单调性得出()f ξ'的范围：
()()()f a f f b ξ'''<<， （当()f x '单调增加时） ()()()f a f x f b >>， （当()f x '单调减少时）
由()()()
f b f a f b a
ε-'=- ，(),a b ξ∈这个等式就得到数学不等式；若当()f x '单调增加
时则有
()()()
()f b f a f a f b b a
-''<
<-，
或有
()()()()()()f a b a f b f a f b b a ''-<-<-.
等,以下举例说明.
例3 当0x >
时，则有(
1xIn x +>证明：设
(
)(
1f t tIn t =+ []0,t x ∈，
并满足中值定理条件，且有
(
)(
1f t In t t
⎛⎫'=+
(0In t =>， []0,t x ∈， 所以()f t 在[]0,x 是单调递增的.故当0x >时，()()00f x f >= 则有
(
1xIn x +>2.拉格朗日定理在为求极限提供一种简单而有效的方法
对于有些求极限的题，如果使用罗比达法则，则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效地方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数，使用微分中值定理，然后求出极限.
例4 求11
2
1
lim n n x n a a +→∞
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，其中0a >.
解：对()x f x a =应用拉格朗日定理，有
()112
2111lim lim |1x
n n x x x n a a n a n n ε+=→∞→∞⎛⎫⎛⎫'-=⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
()2lim 1x n a Ina Ina n n ε→∞
==+， 其中11,1n n ξ⎛⎫
∈ ⎪+⎝
⎭.
参考文献：
[1] 数学分析（上）（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2001
[2] 刘玉琏 傅沛仁.数学分析讲义（上）（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2008 [3] 陈绍东 宋苏罗. 微分中值定理的推广[J].河南:南阳理工学院.2008 [4] 陈守信.数学分析选讲[M]. 北京：机械工业出版社. 2009
[5] 邵红 陈实.拉格朗日中值定理证明数学不等式[J].牡丹江大学学报. 2008
浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用 摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性. 关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；极限；导数 一、罗尔定理推广及应用 （一）罗尔定理推广 1.罗尔定理描述 若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导； ()()f b f a =；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ'=. 2.罗尔定理的推广 2.1罗尔定理推广 1 设(),a b 为有限或无限区间，()f x 在(),a b 内可微，且 ()()lim lim f x f x A x x a b ==+- →→（A 可为有限也可为+∞-），则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=. 证明：(1)设(),a b 为有限区间.若A 是有限值，令 ()()()()(0),, ,,,0,. f a x a F x f x x a b f b x b ⎧+=⎪ =∈⎨⎪ -=⎩ 容易验证()F x 在[],a b 上满足罗尔定理的条件，故(),a b ξ∃∈，使 ()()0F f ξξ''==. (2)若A 为+∞， (),a b 为有限区间或无限区间，由()f x 在(),a b 内的连续性知，
当0c >充分大时，直线y c =与曲线()y f x =至少有两个焦点()()11,x f x 与 ()()2 2 ,x f x ，即()()1 2 f x f x c ==且()1,2,x x a b ∈.不妨设12x x <，对()f x 在 []()1,2,x x a b ⊂上应用罗尔定理，使得()0f ξ'=； (3)若A 为有限值，(),a b 为无限区间. 做变量替换，即选择函数()x x t =，满足如下要求：(),t αβ∈，（这里(),αβ是有限区间），(),x a b ∈，()x t '存在且不变号.然后对符合函数()()f x t 在(),αβ应用(1) 的结果. 1)当,a b =-∞=+∞，即()(),,a b =-∞+∞.做变换tan x t =，令()()tan g t f t =，则 ()g t 在,22ππ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上满足(1)式的全部条件.故,22ππτ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使()0g τ'=，而 ()2(tan ).sec g f τττ''=， 2sec 0τ>， 于是取()tan ,ξτ=∈-∞+∞，就是()0f ξ'=； 2)若当a 有限，b =+∞，即()(),,a b a =+∞，作变换 ()() t m a x t m t -= -，a t m <<，（其中m 为正数） 令()()()g t f x t =，则()g t 在a t m <<上满足(1)式的全部条件.故(),a m τ∃∈，使 ()0g τ'=，而 ()() ()() 2 ( )m a m a m g f m τττ--''=-， 于是取() (),m a a m ττ ξ-∈+∞-= ，就有()0f ξ'=. 3)当a =-∞，b 为有限，即()(),,a b b =-∞，做变换 ()(),t b s x t t s -=- s t b <<，其中b 为负数，
引言 通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。 中值定理的内容及联系 基本内容[4][5] 对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）定理和柯西（Cauchy ）定理”。这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理 若 ()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使 ()0f ξ'=。 Lagrange 定理 若 ()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()() =f b f a f b a ξ-'- Cauchy 定理 设 ()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点 (),a b ξ∈，使得 ()()()() ()() f b f a f g b g a g ξξ'-='-。 三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的 ()() f a f b =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加 ()()f a f b =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个 结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的()g x x ' =的话，发现定理成为了拉格朗日定理。这使得 我们发现他们二者之间的联系， 拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。 总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。
本科毕业论文（设计）题目罗尔定理应用和推广研究 学院数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2009级 学号222009314012019 姓名郑世凤 指导教师杜文久 成绩中 2013年5月12日
目录 1 罗尔定理的基本性质及应用 (2) 1.1 罗尔(Rolle)中值定理 (2) 1.2几何意义 (2) 1.3 罗尔定理证明 (3) 1.4 在简单函数中讨论罗尔定理条件 (4) 1.5 利用罗尔定理证明Lagrange、Cauchy中值定理 (5) 1.6 利用罗尔定理解决零点问题 (7) 2 关于罗尔定理的进一步讨论 (11) 2.1 多元函数的的罗尔中值定理 (11) 2.2 任意区间和端点值上的罗尔定理 (12) 2.4 广义罗尔在高中数学中的应用 (16) 结语 (18) 参考文献： (19) 致谢 (19) I
罗尔定理应用和推广研究 郑世凤 数学与统计学院，重庆 400715 摘要：本论文探讨了罗尔定理的基本性质，并应用罗尔定理解决实际问题。同时近一步讨论罗尔定理，将其推广到更广泛的适用范围，并证明其可行性，最后运用推广的罗尔定理解决问题。 关键词：罗尔定理；性质；应用；广义罗尔定理； Rolle theorem and its application research ShifengZheng School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: This paper discusses the basic properties of Rolle's theorem,then use Rolle's theorem to solve practical problems and applications. Rolle's theorem further discussion at the same time, will it spread to the broader scope of application, and prove its feasibility,finally using the promotion of Rolle's theorem to solve the problem. Keywords:Rolle's theorem; Properties; Applications; Generalized rolle's theorem; 引言 微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。 第1页共19页
毕业论文文献综述 数学与应用数学 中值定理的分析性质研究 一、前言部分 微分中值定理是微分学的基本定理之一，研究函数的有力工具．微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义．以拉格朗日(Lagrange)微分中值定理为例，它的几何意义：一个在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微的曲线段()f x ，必有(,)a b ξ∈，曲线在点(,())f ξξ的切线平行于连接点(,())a f a 与(,())b f b 的割线．它的运动学意义：设f 是质点的运动规律，则质点在时间区间[,]a b 上走过的路程为()()f b f a -，在(,)a b 上的平均速度为()()f b f a b a --，存在(,)a b 的某一时刻ξ，质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度． 人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了．它首先是法国著名的数学家费马于1637年给出了费马定理，在教科书中，人们通常将它称为费马定理．1691年，法国数学家罗尔(Rolle)在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理．1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明．对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西(Cauchy)，他首先赋以中值定理重要的作用，使其成为微分学的核心定理，并给出了广义的中值定理—柯西定理. 二、主题部分 一、微分中值定理产生的历史 文献[1]和[2]中说到了微积分学简史，费马对微积分作出过重要的贡献．他在研究极大和极小问题的解法时，得到统一的解法“虚拟等式法”，从而得出原始形式的费马定理．所谓的虚拟等式法，用现代语言来说，对于函数()f x ，让自变量从x 变化到x e +，当()f x 为极值时，()f x 和()f x e +的差近似为0，用e 除虚拟等式，()()0f x e f x e +-≈，然后让0e →，就得到函数极值点的导数值为0，这就是费马定理：函数()f x 在0x x =处取极值，并且可导，则' 0()0f x =．应该指出：费马给出以上结论，微积分还处于初创阶段，并没有明确导数，极限连续的概念，用现代眼光来看，其论断也是不严格的．现在看到的费马
考研高数四大定理证明论文 考研高数四大定理证明论文 1、微分中值定理的证明 这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。 费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。 费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。 该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。 闲言少叙，言归正传。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。大方向对，但过程没这么简单。起码要说清一点：费马引理的条件是否满足，为什么满足?
微分中值定理论文罗尔中值定理论文：微分中值定理的研究摘要：微分中值定理是微分学的核心，是微分学中最基本、最重要的定理，是研究函数整体性的有力工具。中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是函数与其导数之间的桥梁，是微分学应用以及自身发展的理论基础。为加深学生对微分中值定理理解，更好地掌握微分中值定理的应用，本文对微分中值定理内容以及三者之间的关系进行了深入阐述。 关键词：微分中值定理；罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理 导数与微分是数学分析中重要的基本概念，微分学是数学分析的重要组成部分，其中微分中值定理是微分学的核心。微分中值定理有罗尔(rolle)中值定理，拉格朗日(lagrange)中值定理，柯西中值定理，它们是微分学中最基本、最重要的定理，是研究函数整体性的有力工具。中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是联系局部和整体的纽带，是函数与其导数之间的桥梁，是微分学应用以及自身发展的理论基础。为加深学生对微分中值定理理解，更好地掌握微分中值定理的应用，本文归纳介绍了微分中值定理的几种形式。 一、微分中值定理的基本内容 微分中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间
内某一点导数之间的关系，它们分别是罗尔(rolle)中值定理，拉格朗日(lagrange)中值定理，柯西（cauchy）中值定理。定理内容如下： 定理1（罗尔中值定理）若函数f（x）满足下列条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导； （3）f（a）=f（b）.则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=0 定理2（拉格朗日中值定理）若函数f（x）满足下列条件: （1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导； 则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=■. 定理3（柯西中值定理）若函数f（x），g（x）满足下列条件： （1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导； 且对任意xε（a，b），有g′（x）≠0. 则在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使■=■. 二、微分中值定理的几何意义 罗尔中值定理：如果连续曲线弧ab上每一点都有不垂
罗尔定理内容 罗尔定理是指在有限的几何图形中，如果其边界上的所有顶点都连接起来，每个顶点都会遇到相同数量的边。该定理也可以被称为“相同顶点-相同边”定理。 罗尔定理的原理是，对于一个有限的几何图形，如果所有的边之间没有重叠，并且每条边只有两个顶点，那么每个顶点必然会与相同数量的边相连。更精确地说，如果一个几何图形有n个顶点，那么每个顶点必然会与n-1条边相连。 换句话说，罗尔定理表明：一个有限几何图形中，边数总是等于顶点数加1后再乘以2，即E=2(V+1)，其中E 表示边数，V表示顶点数。 罗尔定理的发现者是17世纪法国数学家瓦尔特·罗尔（Waltz deRoll）。他第一次提出了这个定理，但是由于当时科学技术发展不够完善，他的论文没有被广泛引用。直到1826年，英国数学家约翰·亨利·格雷厄姆（John Henry Grayam）重新发现了罗尔定理，该定理才得以普遍应用。 罗尔定理的具体内容为：对于一个有限几何图形，如果所有的边之间没有重叠，并且每条边只有两个顶点，那
么每个顶点必然会与相同数量的边相连，即E=2(V+1)，其中E表示边数，V表示顶点数。 罗尔定理的重要性在于，它为研究几何学提供了一种简单而又有效的方法。它可以用来帮助我们分析几何图形中顶点、边、面之间的关系，从而帮助我们更好地理解几何图形的特点和结构。 此外，罗尔定理还可以用来解决一些复杂的几何问题。例如，在求解某个几何图形的最短路径问题时，可以利用罗尔定理来确定几何图形中的最短路径。此外，罗尔定理还可以用来计算某个几何图形的周长和面积，从而更清楚地了解该几何图形的特点。 总之，罗尔定理是一个重要的数学定理，其中包含着丰富的数学内容，可以帮助我们更好地理解几何图形。
罗尔定理在函数零点问题中的应用（可编辑）罗尔定理在函数零点问题中的应用 本科毕业论文 题目罗尔定理在函数零点问题中的应用 系别数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 指导教师 评阅教师班级级2班 姓名学号 年 5 月 10 日 目录 摘要…………………………………………………………………………………………………? Abstract……………………………………………………………………………………? 引言……………………………………………………………………………………… (1) 1概念及定理 (1) 2罗尔定理在函数零点问题中的应用 (3) 2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用 (3)
2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应 用 (4) 2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应 用 (5) 2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问 题..........................................52.4.1 Laguerre多项式 (5) 2.4.2 Hermite多项 式....................................................................................6 2.4.3勒让德多项式 (8) 2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应 用 (9) 结束 语……………………………………………………………………………………… (10) 参考文 献……………………………………………………………………………………… (11) 致 谢……………………………………………………………………………………… (12) 摘要:在介绍了罗尔定理的基础上,通过综合应用类比法、分析法、演绎 推理法将罗尔定理在一元实函数中进行了推广,得到了在“任意区间”上罗尔定
罗尔定理的几种类型及其应用 1 引言 最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为 《任意次方程的一个解法的证明》 的论 文中给出的 （罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特， 1719 年 11月 8 日卒于巴黎 ） ，主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间，方程 f x 0 至少有一个根． 在一百多年后， 1846 年尤斯托（ Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还 把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理 . 2 微分中值定理 2.1 罗尔定理 1 （P 若函数 f x 满足以下条件：（ 1）在闭区间 a,b 上连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f a f b . 则至少存在一个数 a,b ，使得 f 0. 罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那 么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理， 它演绎了拉格朗日中值 定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地 位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 . 2.2 拉格朗日中值定理 x 满足：（ 1） 在闭区间 a,b 连续；（ 2） 在开区间 a,b 上可导；则至少存在 拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么 至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线 . 2.3 柯西中值定理 1 若函数 f x 和 g x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f x 和 g x 不同时为 0；（ 4） g a g b 则存在 a,b ；使得 fa 。 若函数 个数 a,b ，使得 f f a f b ab
微分中值定理的证明及应用 摘要：微分中值定理是数学分析中很重要的基本定理,在数学分析中有着广泛的应用.它是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数研究函数在某点的局部性质和在某个区间上的整体性质的重要工具.利用微分中值定理可以论证方程的根的存在问题、方程根的个数问题以及根的存在区间问题，也经常用于证明一些含有导数的等式.微分中值定理是罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理的统称，它是微分中值定理学中重要的理论基础.拉格朗日中值定理可视为中心定理，以它为中心展开，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特值，而柯西中值定理可视为拉格朗日中值定理在应用上的推广. 关键词：罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理证明应用
Abstract:the differential mean value theorem in mathematical analysis is very important basic theorem in the mathematical analysis, is widely used. It is a communication bridge between a function and its derivative, is the application of derivative of function at a certain point of the local nature and in a certain interval on the overall properties of the important tools. The use of differential mean value theorem can be proved equation for the root of the problem, the problem of the number of roots of equations and existence of root interval problems, are also frequently used to prove some containing derivative equation. The differential mean value theorem is the Rolle mean value theorem, Lagrange mean value theorem, Cauchy mean value theorem of differential mean value theorem collectively, it is of important theoretical basis. Lagrange mean value theorem can be regarded as the center in the center of its expansion theorem, Rolle mean value theorem, Lagrange mean value theorem is a special value, and the Cauchy mean value theorem can be regarded as the Lagrange mean value theorem in application promotion. Key words:Rolle mean value theorem Lagrange mean value theorem Cauchy mean value theorem Prove Application
关于复变函数的“中值定理” 袁媛 01211114 （徐州师范大学 数学系 徐州 221116） 摘要 微分中值定理、积分中值定理在数学分析中占有重要地位，但并不能直接推广到复变函数中来.本文则利用构造函数法和复积分计算法，给出和证明了与实变函数中相对应的复柯西中值定理和积分中值定理.同时，给出了关于解析函数性质的新证法，并通过举例说明定理的应用. 关键词 复变函数；罗尔定理；积分中值定理；微分中值定理；柯西中值定理 1 引言 众所周知，实变函数的微分中值定理（拉格朗日中值定理）、柯西中值定理与积分中值定理是微积分中三个很重要的定理，在数学分析中有着广泛的应用.数学分析中的许多命题及不等式的证明都是藉借这三个定理.但有反例表明这三个定理在复变函数中并不成立. 比如罗尔定理，它的内容是：如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且()()f a f b =，则必存在ξ(),a b ∈，使得()0f ξ'=.这个定理在复变函数中并不成立，例如，取()iz f z e =，()f z 在整个复平面上解析，且()()02f f π=，但()iz f z ie '=，无论z 取什么值都不会为零，也就是说罗尔定理的结论对函数()iz f z e =不成立.故微分中值定理不能直接推广到复变函数中来. 又如实函数的积分中值定理为：如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，()g x 在[],a b 上不变号，且可积，则 ()()()()b b a a f x g x dx f g x dx ξ⋅=⋅⎰ ⎰ ， a b ξ<<. 特别地若()1g x ≡，则有 ()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰ ， a b ξ<<. 由此定理很容易推得：若连续函数()f x 在[],a b 内任意一点都不为零，则 ()0b a f x dx ≠⎰.此结 论在复变函数中也不成立，取()iz f z e =，则()f z 在[]0,2π上任意一点都不为零，且连续，但有 220 10iz iz e dz e i π π==⎰ 因此积分中值定理的推论在复变函数的积分中不成立. 复变函数对中值定理的研究具有重要的意义，很多人都在做这方面的研究，并得到不少重要的结论，文[1]、文[2]就给出了罗尔定理、微分中值定理的结论可推广到解析函数()f z 的导数
关于定积分一些重要性质的讨论 摘要：本文介绍改进的定积分保序性和第一和第二中值定理及其它重要性质，并举例说明其应用。 关键词：定积分 保序性 中值定理 1．引言： 由定积分的保序性可导出严格保序性，积分中值定理的中值号可在开区间（a,b ）内取得。通常的高等数学教材将这些内容或者省略或者放入习题，而不加以重视。本文对此类性质作介绍，并举例说明它们在处理习题过程中的灵活应用，而且由此得出的结论也会加强。 2．定积分重要性质及其应用 2.1 保序性 设f （x ）在[a,b]上连续非负，且f （x ）不恒为零，则⎰b a dx x f )(>0 证明 若⎰b a dx x f )(=0,由f(x)的连续性和非负性有: 0≤⎰x a dt t f )(≤⎰b a dx x f )(=0 x ∈[a ，b]. 从而⎰x a dt t f )(≡0，即 dx d ⎰ x a dt t f )(≡0，x ∈[a ，b]这与f （x ）在[a ， b]上不恒为零矛盾。定理得证。 例1设f(x) 于[0, π ] 连续,且⎰π0 sin )(xdx x f =⎰π cos )(xdx x f =0 试证在(0,π) 内至少存在两点α,β ,使得f( α)=f(β )=0 证明 令F(t)=⎰t xdx x f 0sin )( (0≤ t ≤ π ), 则F(t) 于 [0, π ]连续,且可导, 由罗尔定理,存在α∈(0, π ), 使 F ˊ(α)=0, 由于 F ˊ(t) =f(t)sint 所以 f(α)sin α=0 ,又由α∈(0, π ),所以sin α≠ 0, 故f(α)=0 下面证明又有β∈(0, π ),β≠α, 使f(β)=0 假设f(x)于(0, π )内只有一个零点α, 则f(x)于(0, α)及(α ,π )两个区间 内符号必相反,否则不可能有 ⎰ π sin )(xdx x f =0,而sin(x- α)在(0, α)及(α ,π ) 内显然符号也相反,故f(x) sin(x- α)于这两个区间内符号相同.又[0, π ] 连续,因
高数论文 --------求极限的几种方法 教师：张忠诚 班级：土木15-04班学号：1501160412 姓名：林一军总结本学期高等数学中学习的极限，下面总结几点求极限的方法 (1)数列的极限： 数列极限的定义1：对数列，若存在常数a，对任意 ，若存在N，对任意自然数n,都有，则称a为数列当n趋于无穷大的极限。记为：，若存在极限，则称收敛，不存在极限 则称发散 在数列的学习中我们还学了，发散，收敛，连续等知识点 收敛数列的性质：1.唯一性 2.有界性 3.保号性(这三个性质与数列极限的性质有点关系，详细解说在下面会说明。) 数列的收敛鉴别方法：1.夹逼定理：一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件： （1）当n>No时，其中No∈N*，有Yn≤Xn≤Zn， （2）当n→+ ，limYn =a；当n→+ ，limZn =a， 那么，数列{Xn}的极限存在，且当n→+ ，limXn =a。 证明因为limYn=a limZn=a 所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N1，N2，当n>N1时，有〡Yn-a∣﹤ε，当n>N2时，有∣Zn-a ∣﹤ε，现在取N=max{No，N1，N2}，则当n>N时，∣Yn-a∣<ε，∣Zn-a∣<ε
同时成立，且Yn≤Xn≤Zn，即a-ε
拉格朗日中值定理的 应用论文 论文题目拉格朗日中值定理 姓名 学号 所在学院 年级专业 完成时间年月日
拉格朗日中值定理的应用 摘要：以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的重要理论基础，而拉格朗日中值定理因其中值性是几个中值定理中最重要的一个，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如利用导数判断函数单调性、凹凸性、取极值、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深入的总结。 关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；收敛
Applications of Lagrange's mean value theorem Abstract：A group of mean value theorem which includes Rolle's mean value theorem , Lagrange's mean value theorem and Cauchy's mean value theorem is the theoretical basis of the differential calculus. And Lagrange's mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems' main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexity, inflection point，and calculating extreme value by derivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean value theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferring the whole nature of function by the local nature of derivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very important to research Lagrange's mean value theorem's way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into its important applications. There is no special explanation about the applications of Lagrange's mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary. Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Convergence
学士学位论文题目浅谈函数的零点问题
浅谈函数的零点问题 摘要：浅谈函数零点问题实质上就是说，函数零点的存在性，零点唯一性，零点的个数问题及其应用的问题。本文运用零点定理、罗尔定理及其推广和微分中值定理、介值定理等多个重要定理对函数零点存在性、唯一性、个数问题进行多方面的解答，结合典型例题分析、讨论并证明相关问题，得出解决此类问题的解决方法，使得今后在学习函数零点的过程中得到了简便、全面的答题策略。 关键词：函数零点定理 罗尔定理 唯一性 存在性 零点个数 一、预备知识 1. 概念及定理 函数零点定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。 二、零点的存在性问题 2.1 在数学学习中，函数零点的存在性问题始终都是人们研究的热点可课题。可以用零点定理解决，也能用罗尔定理、函数最值、函数的幂级数展开式及微分中值定理解决此问题。 （1）零点定理 ：若函数在区间[,]a b 上的图像时连续不断的一条曲线，且满足 ()()0f a f b < ，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =。这个c 也就是方程()0f x =的实根。 零点定理的证明： 不妨设()0,()0.f a f b <> 令{|()0,[,]}.E x f x x a b =<∈ 由()0f a <知,E ≠∅ 且b 为E 的一个上界， 于是 根据确界存在原理， 存在sup [,]E a b ξ=∈ ，下证 ()0f ξ=（注意到()0,()0,f a f b ≠≠ 故此时必有(),a b ξ∈）
本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学论文题目微分中值定理及其应用 学生贾鹏 指导教师黄宽娜（副教授）
班级11级数应1班 学号11290056 完成日期：2015年4月 微分中值定理及其应用 贾鹏 数学与信息科学学院数学与应用数学11290056 【摘要】微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。最后对中间点的问题进行了讨论。 【关键词】微分中值定理应用辅助函数 1引言 微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他们之间层层递进。研究了单个
函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。所以这部分容很重要。它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。并对最新研究成果作了解释。 2柯西与微分中值定理 2.1柯西的证明 首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存 在着差异。比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将()g x 的导数定义为 ()() g x h g h h +-当趋于0时的极限。对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在 错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。而柯西采用的是极限来定义并将其转化成了不等式的语言。我们来看下柯西的证明，它开始于： 定理： 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()f x '在[,]a b 上有最小和最大值C,B 则会有下面的 ()() f b f a C B b a -≤ ≤- 以下是柯西对上式的证明
安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用 作者秦国华 系（院）数学与统计学院 专业信息与计算科学 年级 2009级 学号 090802001 指导教师陈峰 论文成绩 日期 2013年5月12日
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微分中值定理及其应用 秦国华 (安阳师范学院 数学与统计学院， 河南 安阳 455002） 摘 要：微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的理论核心.本文主要介绍微分中值定理在等式的证明、不等式的证明、方程根的存在性以及求近似值等中的应用。 关键词:等式证明;不等式证明；方程根存在性；近似值 1 引言 微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中有重要的地位,在微积分教学与研究中具有承前启后的作用,是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具. 本文是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的若干推广和应用. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.2（费马定理) 设函数f 在点0x 的某领域内有定义，且在点0x 可导。若点0x 为f 的极值点，则必有0()0f x '=。 定理2.3（有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有界。即常数0M >，使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.4（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数（()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()f x μ=。 定理2.5（根的存在定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b <）.则至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =,即方程()0f x =在开区间(,)a b 内至少有一个根。 定理2。6（一致连续性定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在闭区间[,]a b 上一致连续. 3 微分中值定理的定义 定理3.1（罗尔(Rolle )中值定理） 若函数f 满足如下条件： (i ）f 在闭区间[,]a b 上连续； （ii)f 在开区间(,)a b 内可导； (iii)()()f a f b =， 则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=。