13-1图形的全等

全等图形
教学目标：
知识与技能：
1、了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。

2、能正确表示两个全等三角形，能找出全等三角形的对应元素。

过程与方法：
经历探索两个三角形全等的过程，体会全等是研究图形的重要方法．
情感态度与价值观：
通过全等形和全等三角形的学习，认识和熟悉生活中的全等图形，认识生活和数学的关系，激发学生学习数学的兴趣。

学习重、难点：
教学重点:全等三角形的概念和性质。

教学难点: 正确寻找全等三角形的对应元素
预习导航：（预习课本P140-141,完成下列问题。

）
1、什么是全等图形？什么是全等三角形？
2、如何用符号表示两个三角形全等？
3、全等图形中的对应边有什么关系？对应角有什么关系？
对应角呢？等？时
固，加深对概念的理练习
那么
（4）
5、如图，已知△ABO≌△
(6) (7)
附：板书设计。

全等三角形一SSS知识要点1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：1全等图形的形状和大小都相同;对应边相等;对应角相等 2全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形1表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示;读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等;记作ABC ∆≌DEF ∆2符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同;“=”表示大小相等;合起来就是形状相同;大小也相等;这就是全等．3两个全等三角形重合时;互相重合的顶点叫做对应顶点;互相重合的边叫做对应边;互相重合的角叫做对应角．4证两个三角形全等时;通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定一：三边对应相等的两个三角形全等;简与成“边边边”或“SSS ”． 典型例题例1．如图;ABC ∆≌ADC ∆;点B 与点D 是对应点;=∠BAC 且︒=∠20B ;1=∆ABC S ;求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数ACD ∆的面积．例2．如图;ABC ∆≌DEF ∆;cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠;求EDF∠的度数及CF 的长．例3．如图;已知：AB=AD;AC=AE;BC=DE;求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE;BC=EF;AD=CF;求证：1ABC ∆≌DEF ∆2AB//DE;BC//EF例5．如图;在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点;且BE=BC;DE=DC;求证：1AB DE ⊥；2BD 平分ABC ∠巩固练习1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形;则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同;则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等;则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形;则它们的大小一定相同;其中正确的是A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④ 2．如图;ABD ∆≌CDB ∆;且AB 和CD 是对应边;下面四个结论中 不正确的是A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图;ABC ∆≌BAD ∆;A 和 B 以及C 和D 分别是对应点;如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ;则BAD ∠的度数为A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒80 4．如图;ABC ∆≌DEF ∆;AD=8;BE=2;则AE 等于 A 、6 B 、5 C 、4 D 、35．如图;要使ACD ∆≌BCE ∆;则下列条件能满足的是 A 、AC=BC;AD=CE;BD=BE B 、AD=BD;AC=CE;BE=BD C 、DC=EC;AC=BC;BE=AD D 、AD=BE;AC=DC;BC=EC6．如图;ABE ∆≌DCF ∆;点A 和点D 、点E 和点F分别是对应点;则AB= ;=∠A ;AE= ;CE= ;AB// ;若BC AE ⊥;则DF与BC的关系是 ． 7．如图;ABC ∆≌AED ∆;若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ;=∠D ;=∠DAC．8．如图;若AB=AC;BE=CD;AE=AD;则ABE ∆ ACD ∆;所以=∠AEB ;=∠BAE ;=∠BAD ．9．如图;ABC ∆≌DEF ∆;︒=∠90C ;则下列说法错误的是互余与F C ∠∠互补与F C ∠∠互余与E A ∠∠互余与D B ∠∠D第4题图第5题图B第6题图第7题图 第8题图第9题题图10．如图;ACF ∆≌DBE ∆;cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠;求D ∠的度数及BC 的长．11．如图;在ABD ABC ∆∆与中;AC=BD;AD=BC;求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形一作业1．如图;ABC ∆≌CDA ∆;AC=7cm;AB=5cm.;则AD 的长是 A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定2．如图;ABC ∆≌DCE ∆;︒=∠︒=∠62,48E A ;点B 、C 、E 在同一直线上;则ACD ∠的度数为A 、︒48B 、︒38C 、︒110D 、︒623．如图;ABC ∆≌DEF ∆;AF=2cm;CF=5cm;则AD= ．4．如图;ABE ∆≌ACD ∆;︒=∠︒=∠25,100B A ;求BDC ∠的度数．5．如图;已知;AB=DE;BC=EF;AF=CD;求证：AB//CD6．如图;已知AB=EF;BC=DE;AD=CF;求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EF7．如图;已知AB=AD;AC=AE;BC=DE;求证：CAE BAD ∠=∠AB CEAD CAB CDEACDFA C E FDE全等三角形二知识要点定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;简写成“边角边”或“SAS ”;几何表示如图;在ABC ∆和DEF ∆中;ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆典型例题例1 已知：如图;AB=AC;AD=AE;求证：BE=CD.例2 如图;已知：点D 、E 在BC 上;且BD=CE;AD=AE;∠1=∠2;由此你能得出哪些结论 给出证明.例 3 如图已知：AE=AF;AB=AC;∠A=60°;∠B=24°;求∠BOE 的度数.例4 如图;B;C;D 在同一条直线上;△ABC;△ADE 是等边三角形; 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.例5如图;已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形..求证：BD ＋CD=AD..C ADBECABC E巩固练习1．在△ABC 和△C B A '''中;若AB=B A '';AC=C A '';还要加一个角的条件;使△ABC ≌△C B A ''';那么你加的条件是A ．∠A=∠A ' B.∠B=∠B ' C.∠C=∠C ' D.∠A=∠B ' 2．下列各组条件中;能判断△ABC ≌△DEF 的是 A ．AB=DE;BC=EF ；CA=CD B.CA=CD ；∠C=∠F ；AC=EFC ．CA=CD ；∠B=∠E D.AB=DE ；BC=EF;两个三角形周长相等 3．阅读理解题：如图：已知AC;BD 相交于O;OA=OB;OC=OD.那么△AOD 与△BOC 全等吗 请说明理由.△ABC 与△BAD 全等吗 请说明理由. 小明的解答：21∠=∠ AOD ≌△BOC而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△ 所以△ABC ≌△BAD1你认为小明的解答有无错误；2如有错误给出正确解答；4．如图;点C 是AB 中点;CD ∥BE;且CD=BE;试探究AD 与CE 的关系..5．如图;AE 是，BAC 的平分线∠AB=AC1若D 是AE 上任意一点;则△ABD ≌△ACD;说明理由.2若D 是AE 反向延长线上一点;结论还成立吗 请说明理由. 6．如图;已知AB=AC;EB=EC;请说明BD=CD 的理由DOA=OB OD=OC全等三角形二作业1．如图;已知AB=AC;AD=AE;BF=CF;求证：BDF ∆≌CEF ∆..2．如图;△ABC;△BDF 为等腰直角三角形..求证：1CF=AD ；2CE ⊥AD..3．如图;AB=AC;AD=AE;BE 和CD 相交于点O;AO 的延长线交BC 于点F.. 求证：BF=FC..4．已知：如图1;AD ∥BC;AE=CF;AD=BC;E 、F 在直线AC 上;求证：DE ∥BF..5. 如图;已知AB ⊥AC;AD ⊥AE;AB=AC;AD=AE; 求证：1BE=DC;2BE ⊥DC.6、已知;如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上;AF=CD;AB//DE;且AB=DE;求证：1△ABC ≌△DEF 2∠CBF=∠FECAB CE D FA C BDE FAD E CBFO 1 2 DC ABE FD ABQCPE7、已知:如图;AB=AC;AD=AE;∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE8、如图;正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上;连接BE、DG;1观察猜想BE与DG之间的大小关系;并证明你的结论..2图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在;请说出旋转过程;若不存在;说明理由..9、已知:如图;AD是BC上的中线 ;且DF=DE．求证:BE∥CF．10、已知C为AB上一点;△ACN和△BCM是正三角形.求证：1AM=BN2求∠AFN大小..11、已知如图;F在正方形ABCD的边BC边上;E在AB的延长线上;FB＝EB;AF交CE于G;求∠AGC的度数.12、如图;△ABC是等腰直角三角形;其中CA=CB;四边形CDEF是正方形;连接AF、BD.1观察图形;猜想AF与BD之间有怎样的关系;并证明你的猜想；2若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转;使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部;请你画出一个变换后的图形;并对照已知图形标记字母;题1中猜想的结论是否仍然成立若成立;直接写出结论;不必证明；若不成立;请说明理由.CNMBAEDFFDACE BFDACGEB全等三角形三ASA知识要点ASA如图;在ABC ∆与DEF ∆中EB DE AB D A ∠=∠=∠=∠ ∴)(ASA DEF ABC ∆≅∆ASA 公理推论AAS 公理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．典型例题例1下列条件不可推得ABC ∆和'''C B A ∆全等的条件是 A 、 AB=A 'B ';'A A ∠=∠;'C C ∠=∠B 、 AB= A 'B ';AC=A 'C ';BC='B C 'C 、 AB= A 'B ';AC=A 'C ';'B B ∠=∠ D 、AB= A 'B ';'A A ∠=∠;'B B ∠=∠例2已知如图;DE AB DE AB D A //,,=∠=∠;求证：BC=EF例3如图;AB=AC;C B ∠=∠;求证：AD=AE例4已知如图;43,21∠=∠∠=∠;点P 在AB 上;可以得出PC=PD 吗 试证明之．例5如图;321∠=∠=∠;AC=AE;求证：DE=BCADAB例6如图;21,∠=∠∠=∠D A ;AC;BD 相交于O; 求证：①AB=CD ②OA=OD巩固练习1．如图;AB//CD;AF//DE;BE=CF;求证：AB=CD2．如图;AD//BC;O 为AC 中点;过点O 的直线分别交AD;BC 于点M;N;求证：AM=CN3．求证：两个全等三角形ABC 与A 'B 'C '的角平分线AD 、A 'D '相等4．如图;AB;CD 相交于O;E;F 分别在AD;BC 上;若FOB EOD ∆≅∆;求证：COF AOE ∆≅∆5．如图;AB//CD;AD//BC;求证：AB=CD6．已知;如图AB=DB;21,∠=∠∠=∠E C ;求证：AC=DEAD 'B D 'C 'BA BD全等三角形三作业1．已知;如图;CD AF D A =∠=∠∠=∠,21,;求证：AB=DE2．如图;已知CAD BAE ADE AED ∠=∠∠=∠,;求证：BE=CD3．已知如图;AB=AD;CAE BAD D B ∠=∠∠=∠,;求证：AC=AE4．已知如图;在ABC ∆中;AD 平分BC AD BAC ⊥∠,;求证：ABD ACD ∆≅∆5．已知如图;cm AC ABD DCA DBC ACB 10,,=∠=∠∠=∠;求BD 的长要求写出完整的过程6、如图ABC △中;∠B ＝∠C;D;E;F 分别在AB;BC;AC 上;且BD=CE;∠DEF=∠B 求证：ED=EFECEA D ECBF7、 1如图１;以的边、为边分别向外作正方形和正方形;连结;试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系;并说明理由．2园林小路;曲径通幽;如图２所示;小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米;内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米;这条小路一共占地多少平方米8、已知：如图 ; AD 为CE 的垂直平分线 ; EF ∥BC.求证：△EDN ≌△CDN ≌△EMN ．9、 已知：如图 ; AB=AC ; AD=AE ; 求证：△OBD ≌△OCE10、已知：如图 ; AB=CD ; AD=BC ;O 为BD 中点 ; 过O 作直线分别与DA 、BC 的延长线交于E 、F ．求证：OE=OF11、如图在△ABC 和△DBC 中 ; ∠1=∠2 ; ∠3=∠4 ; P 是BC 上任意一点．求证：PA=PD.12、已知 ：如图 ; 四边形 ABCD 中 ; AD ∥BC ; F 是AB 的中点 ; DF 交CB 延长线 于E ; CE=CD ． 求证：∠ADE=∠EDC ．13、已知：如图 ; OA=OE ; OB=OF ; 直线FA 与BE 交于C ; AB 和EF 交于O ;求证：∠1=∠2．AG FC BD E 图１全等三角形四 强化训练1、如图;△ABC 是等边三角形;点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上的点; 1若AD BE CF ==;问△DEF 是等边三角形吗 试证明你的结论； 2若△DEF 是等边三角形;问AD BE CF ==成立吗 试证明你的结论．2、如图所示;已知∠1=∠2;EF ⊥AD 于P;交BC 延长线于M;求证：2∠M=∠ACB-∠B3、△ABC 中;∠A=90°;AB=AC;D 为BC 中点;E 、F 分别在AC 、AB 上;且DE ⊥DF;试判断DE 、DF 的数量关系;并说明理由．4、已知：如图;ABC△中;45ABC ∠=°;CD AB ⊥于D ;BE 平分ABC ∠;且BE AC ⊥于E ;与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点;连结DH 与BE 相交于点G ． 1求证：BF AC =；2求证：12CE BF =；5、 如图;点O 是等边ABC △内一点;110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △;连接OD ． 1求证：COD △是等边三角形；2当150α=时;试判断AOD △的形状;并说明理由；3探究：当α为多少度时;AOD △是等腰三角形BD A A BCDO110 α7、过等腰直角三角形直角顶点A 作直线AM 平行于斜边BC;在AM 上取点D;使BD=BC;且DB 与AC 所在直线交于E;求证：CD=CE..过A 作AF ⊥BC 于F;过D 作DG ⊥BC 于G;则DG=AF=1/2BC=1/2BD; 在Rt △BDG 中;DG=1/2BD =>∠DBC=30° =>∠BDC=∠BCD=1/2180°-30°=75°;即∠EDC=75° ∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75° ∴∠EDC=∠DEC =>CD=CE8、Rt △ABC;AB=AC;BM 是中线;AD ⊥BM 交BC 于D;求证：∠AMB=∠CMD..9、如图;已知△ABC 是等边三角形;∠BDC ＝120º;说明AD=BD+CD 的理由..10、已知：如图;点D 在△ABC 的边CA 的延长线上;点E 在BA 的延长线上;CF 、EF分别是∠ACB 、∠AED 的平分线;且∠B=30°;∠D=40°;求∠F 的度数..11、等边三角形ABC 和等边三角形DEC;D 在AC 边上..延长BD 交CE 延长线于N;延长AE 交BC 延长线于M..求证：CM=CN 易证△BCD ≌△ACE 所以∠DBC=∠EAC再证△BCN ≌△ACM ASA∴ CM=CNE CABM D AB MA BCE MND12、操作：如图①;△ABC是正三角形;△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形;以D为顶点作一个60°角;角的两边分别交AB、AC边于M、N两点;连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系;并加以证明．13、如图等边△ABC和等边△CDE;点P为射线BC一动点;角APK=60°;PK交直线CD 于K..（1）试探索AP、PK之间的数量关系；KD（2）当点P运动到BC延长线上时;上题结论是否依然成立为什么.. 14、涉及相似三角形若P为ABC△所在平面上一点;且120APB BPC CPA∠=∠=∠=°;则点P叫做ABC△的费马点. 如图;在锐角ABC△外侧作等边ACB△′连结BB′..求证：BB′过ABC△的费马点P;且BB′=PA PB PC++.15、如图;ABC∆是等腰直角三角形;∠C＝900;点M;N分别是边AC和BC的中点;点D在射线BM上;且BD＝2BM; 点E在射线NA上;且NE＝2NA.求证:BD⊥DE.ACBB'K ADMNEDCBA第五章 全等三角形 拓展延伸分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边角放入正确的三角形中”;去说明“相等的边角所在的三角形全等”;利用三角形全等来说明两个角相等两条边相等是初中里面一个非常常见而又重要的方法..例1：已知AE 既是∠BAC 的平分线;也是∠BDC 的平分线;试说明AB=AC思路：AB 在△ABD 中;AC 在△ACD 中;要说明AB=AC;尝试说明△ABD 与△ACD 全等..1． 观察图形发现两个三角形存在公共边AD2． 题目所给条件可以得到两组角相等;3． 再根据三个条件的位置;利用ASA;可得三角形全等 4． 再利用全等三角形的对应边相等;得到AB=AC例2：在△ABC 中;∠BAC=90°;AB=AC;AE 是过点A 的直线;BD ⊥AE;CE ⊥AE;如果CE=5;BD=11;请你求出DE 的长度..思路：抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC 进行分析;对它们的位置进行分析;发现AB 、AC 分别位于一个Rt △中;所以尝试着去找条件;去说明它们所在的两个Rt △全等..那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC;直角=直角.可以求证△ABD ≌△ACE..D CEAB练习1. 小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等..”你认为小明的话有道理吗为什么分析：如图;题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢_______＝_______∴我们只需要说明 ________≌________解：练习2．在△ABC中;∠ACB= 900;AC=BC;直线MN经过点C;且AD⊥MN于D;BE⊥MN于E..1当直线MN绕点C旋转到图1的位置时;△ADC≌△CEB;且DE=AD+BE..你能说出其中的道理吗2当直线MN绕点C旋转到图2的位置时; DE =AD-BE..说说你的理由..3当直线MN绕点C旋转到图3的位置时;试问DE;AD;BE 具有怎样的等量关系请写出这个等量关系..BA图1图3。

几何中的全等性质在几何学中，全等性质是关于图形形状和大小相等的重要概念。

全等图形具有相同的边长、角度和面积，它们可以通过平移、旋转和翻转来一一对应。

全等性质是几何学中的基础，对于解决各类几何问题具有重要的作用。

1. 定义和性质全等性是指在几何中，两个图形各个对应部分的边长、角度及面积都相等，符号表示为“≌”。

全等性质是由一系列公理和定理来确立的，其中最基本的定理是SSS全等定理、SAS全等定理和ASA全等定理。

- SSS全等定理：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

- SAS全等定理：如果两个三角形的一条边和该边两侧的两个角分别相等，则这两个三角形全等。

- ASA全等定理：如果两个三角形的一对角和两条夹角分别相等，则这两个三角形全等。

除了这些基本的全等定理外，还有很多其他的性质和定理可以用来判定两个图形是否全等。

2. 判定全等的方法判定两个图形是否全等的方法主要有以下几种:- 根据定义直接判断：通过分析两个图形的边长、角度和面积是否相等，来判断它们是否全等。

这种方法常用于对称图形或简单图形的判定。

- 利用全等定理：根据全等定理和性质，比较两个图形之间的对应边长、角度和面积，如果已知满足全等定理的条件，则可以判定两个图形全等。

- 利用已知图形的完全信息：如已知两个图形的对应点坐标或顶点坐标，利用坐标计算可以判定是否全等。

- 利用其他全等图形：如果已知两个图形与一个或多个全等图形之间存在对应关系，可以间接判定它们是否全等。

3. 全等的应用全等性质在几何学中应用广泛，以下是一些常见的应用场景:- 构造相等图形：对于给定的一个图形，利用全等性质可以构造与之全等的其他图形，从而得到更多的图形信息。

- 证明几何命题：在解决几何问题时，通过证明两个图形全等，可以得到一些结论和定理，用以回答问题。

- 计算未知值：通过求解全等图形之间的对应关系，可以计算出未知的边长、角度或面积。

- 图形的折叠和拼接：利用全等性质，可以将一个图形折叠或拼接起来，得到与原来全等的新图形。

12.1 全等三角形学习目标1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．学习重点全等三角形的性质．学习难点找全等三角形的对应边、对应角．学习方法：自主学习与小组合作探究学习过程：一．获取概念：阅读教材内容，完成下列问题：（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则叫做全等三角形。

（ 2 ）全等三角形的对应顶点：、对应角：、对应边：。

（3）“全等”符号：读作“全等于”（4）全等三角形的性质：（5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC△ A 1B 1C 1..点A 与 A 点是对应顶点;点B 与 点 是对应顶点;点C 与 点 是对应顶点. 对应边：对应角：。

AA 1BCB 1C 1二 观察与思考：1.将△ABC 沿直线 BC 平移得△DEF；将△ABC 沿 BC 翻折 180°得到△DBC；将△ABC 旋转 180°得△AED．AADEBCBCE 甲F DB乙丙议一议：各图中的两个三角形全等吗？即≌△DEF，△ABC≌，△ABC≌．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了， 但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。

三、自学检测DACO1、如图 1，△OCA≌△OBD，C 和 B ，A 和 D 是对应顶点， 则这两个三角形中相 等 的 边 。

相 等 的角。

AACBAD B DEC OE CBD2 如图 2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其它的对应角对应边：ABAE BE3. 已知如图 3，△ABC≌△ADE，试找出对应边对应角．4. 如图 4 ， ∆ABC ≅ ∆DBE , AB 与 DB ， AC 与 DE 是对应边， 已知：∠B = 43 , ∠A = 30 ，求∠BED 。

全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌（1）（2）1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．求证：≌．若，求点到直线的距离．2.如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．（1）（2）3.如图，在中，，，于点，于点，，．求证：．求线段的长度．4.如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．5.如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则 ．6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为 ．（1）（2）7.如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为 ．A. B. C. D.10.如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）．（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）（3）12.如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：A. B. C. D.13.如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（ ）．14.如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 15.如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．图图图图图图（1）（2）（3）17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是 ．（请直接写出答案）（1）（2）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：①如图①，若，，则；（填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌【备注】【教法指导】通过例1.1可以详细给学生示范一下三垂直模型的书写过程，其中倒角用的是“同角的余角相等”，提醒书生注意1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：≌．若，求点到直线的距离．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵四边形是正方形,，，∴，，，∴，，∴，∴在与中，，∴≌．过作，∵四边形是正方形，，∴，，，，∴，，，∴在与中，，∴≌，∴，∴在中，，，，∴点到直线的距离．【知识点】正方形与全等综合2.【解析】【标注】如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．【答案】∵四边形是正方形，∴，，∵则是直角三角形，∴，，又∵，∴，在和中，，∴≌，∴，∴．【知识点】三垂直模型3.如图，在中，，，于点，于点，，．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：．求线段的长度．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，，∴，在和中，，∴≌，∴．∵≌，∴，，∴．【知识点】三垂直模型4.【解析】如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．【答案】．连接、．∵，，．∴．【标注】在和中，∴≌∴，，∴．∴为等腰三角形．同理可得为等腰三角形．∴．．【能力】分析和解决问题能力【知识点】SAS【知识点】全等三角形的性质5.【解析】【标注】如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则．【答案】由三垂直模型易证≌，∴．【知识点】坐标与距离；三垂直模型6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为 ．【解析】【标注】【答案】由三垂直模型易证≌，∴，，∴点坐标为，故答案为：．【知识点】根据坐标描点、根据点写坐标；三垂直模型（1）（2）7.（1）【解析】如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，∴，，∴，在和中，（2）【标注】，∴≌．∵≌，∴，，∴（）．【知识点】一线三等角模型（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．．（1）（2）（3）【解析】【标注】∵中，，∴，又直线经过点，且于，于，∴，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，而，∴≌，∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，∴，∵，∴≌，∴，，∴；、、之间的关系为．【能力】推理论证能力【能力】运算能力【知识点】AAS【知识点】全等三角形的对应边与角9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为 ．【解析】【标注】【答案】由题意可得：，，，在和中，，∴（），故，，则两条凳子的高度之和为：．故答案为：．【知识点】全等三角形实际生活中的应用A. B. C. D.10.方法一：【解析】如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）．【答案】A ∵，，∴，∵在和中，，方法二：【标注】∴≌（），同理 ≌（），∴，，，，∵梯形的面积，，，∴图中实线所围成的图形的面积．∵且，，，，，∴，，≌，∴，．同理证得≌得，．故，故．故选：．【知识点】三垂直模型（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）【解析】【标注】【答案】（1）（2）证明见解析．．．∵，，，∴，∴，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，，∴．∵，∴．成立．∵，，，∴．∵，，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，．∵，∴．【能力】推理论证能力【能力】分析和解决问题能力【知识点】全等三角形的性质【知识点】AAS（1）（2）（3）12.（1）【解析】如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．．．∵四边形和为正方形，（2）（3）∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴≌（），∴．，理由如下：过点作于，∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．，理由如下：过点作于，【标注】∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．【知识点】正方形与全等综合2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：【备注】【教法指导】注意三个相等的角度可以在直线同侧，也可以在直线异侧．A. B. C. D.13.【解析】如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（ ）．【答案】B如图所示∵，，∴，∵为等边三角形，∴，∵线段绕点逆时针旋转得到线段，【标注】要使点恰好落在上，∴，，∵，，∴，在和中，∵，∴≌，∴．故选．【知识点】等边三角形的性质14.【解析】【标注】如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 【答案】∵，，∴,在和中，，∴≌，∴，∵，，∴．【知识点】一线三等角模型15.【解析】【标注】如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．【答案】∵，∴与等高，底边比值为，∴与面积比为，又的面积为，∴与面积分别为和．∵，∴．∵，，∴．在和中，，∴≌．∴，∴．【知识点】三角形的周长与面积问题16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．【解析】【标注】应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．图图图【答案】见解析拓展：证明：∵，∴．∵，，又，∴．在和中，，∴≌．应用：解：∵，∴．∵，，，∴．在和中，，∴≌．∴．∵在中，，∴．∵，∴．∴．【知识点】全等三角形实际生活中的应用17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．图图图（1）（2）（3）图（1）【解析】如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是 ．（请直接写出答案）【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．如图，∵直线，直线，∴，∵，∴，∵，∴，在与中，，∴≌,∴，，∴，∴．图（2）图（3）【标注】．如图，证明如下：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∴．∵≌，∴，，∵和均为等边三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴≌，∴且，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴．【知识点】多解或多种判定混合（1）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：21（2）【标注】①如图①，若，，则 ； （填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图【答案】（1）（2）（）；．，先证明，再证明≌．．【知识点】全等三角形的性质。

个性化教学辅导教案解读课标全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两条直线位置关系的证明常转化为三角形的全等。

学好全等三角形应注意如下几个方面： 1、深刻理解全等的含义2、熟悉组成全等三角形的基本图形，并能在复杂的图形中发现分解出这些基本图形；3、恰当选择判定三角形全等的方法；4、掌握证明三角形全等的几个要领。

问题解决例1．如图，ABC △与AEF △中，AB AE BC EF B E AB ==∠=∠，，，交EF 于D ．给出下列结论： ①AFC C ∠=∠；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．例2．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式： ○1AB=AC ○2AD=AE ○31=∠2○4BD=CE. 请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论， 写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）A E DB FC21EC B A例3．将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上． （1）求证：AB ⊥ED ；（2）若PB=BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．例4．（本小题满分10分）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片ABC △和DEF △．将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把DEF △绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O ．（1）当DEF △旋转至如图②位置，点()B E ，C D ，在同一直线上时，AFD ∠与DCA ∠的数量 ______________． 2分（2）当DEF △继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）在图③中，连接BO AD ，，探索BO 与AD 之间有怎样的位置关系，并证明．C A E FD B C D OA FB (E ) A DO F CB (E ) 图① 图② 图③例4．CD 经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =．E F ，分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E F ，在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90BCA ∠=，90α∠=，则BE CF ；EFB E A F -（填“>”，“<”或“=”）；②如图2，若0180B C A <∠<，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF BE AF ，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．翻折造全等例5．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， 求证：AC=AF+CD ． (武汉市选拔赛试题) A B C E F DD A B C EF A D F C E B （图1） （图2） （图3）（第3题）例6．如图，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC、∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，你能获得哪些结论?思路点拨折痕前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论．注例5融操作、观察、猜想、推理于一体，需要一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探索、发现的逄径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，需要注的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：(1)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；(2)从题设条件无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．AB CEM F DN 知识技能广场1.如图1，△ABC ≌△ADE ，∠B ＝100°，∠BAC ＝30°，那么∠AED ＝______．2．如图2所示，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为______3．如图，将△OAB 绕点0按逆时针方面旋转至△0′A ′B ′，使点B 恰好落在边 A ′B ′上．已知AB=4cm ，BB′=lcm ，则A ′B 长是 cm ．4．如图，在Rt △AEB 和Rt △AFC 中，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠EAC ＝∠FAB ，AE ＝AF ．给出下列结论：①∠B ＝∠C ；②CD ＝DN ；③BE ＝CF ；④△CAN ≌△ABM ． 其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②④图2 A DE C B 图15．如图8，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙 三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ ） A ．甲和乙 B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙6． 如图， 在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH =EB=3、AE =4，则CH 的长是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．47．如图2-10所示．AD ，EF ，BC 相交于O 点，且AO=OD ，BO=OC ，EO=OF ． 求证：△AEB ≌△DFC ．8．如图2-13所示．△ABC 的高AD 与BE 相交于H ，且BH=AC ．求证：∠BCH=∠ABC ．图89.如图2-15所示．过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：ED∥BC．10.如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ=AB求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．(江苏省竞赛题)12．（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC 中内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，连结BQ 、CP 则BQ ＝CP 。

§1全等图形1.动手实践：（1）找出两张由同一底片冲印出来的完全相同的照片，观察它们的特征， 你有何发现 .（2） 用两张纸重叠在一起剪出的两张长方形等，观察它们的特征，你有何发现 .（3）你还能举一些这样的“一模一样”的例子吗？.2.试一试观察图.1中的平面图形，判断有没有两个图形的大小和形状是完全相同的？有什么方法？能够完全 的两个图形就是全等图形.图中的________和________就是全等图形．上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形．两个全等的多边形，经过运动而重合（图形的运动方式有 、 、 ），相互重合的顶点叫做 顶点，相互重合的边叫做 ，相互重合的角叫做 ．根据重合，我们知道： ．这就是全等多边形的特征．如图2中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ′B ′C ′D ′E ′．（这里，符号“≌”表示全等，读作“全等于”）其中AB 与 是对应线段，BC 与 是对应线段，CD 与 是对应线段，DE 与 是对应线段， AE 与 是对应线段．∠A 与 是对应角，∠B 与是对应角，∠C 与 是对应角, ∠D 与 是对应角, ∠E 与 是对应角．【判断】：⑴面积相等的两个图形是全等图形（ ）；⑵周长相同的两个图形是全等图形（ ）；⑶形状相同的两个图形是全等图形（ ）；⑷两个周长相等的等腰三角形是全等图形（ ）；⑸两个周长相等的圆是全等图形（ ）；⑹两个面积相等的长方形是全等图形（ ）；⑺两个面积相等的直角三角形是全等图形（ ）；例1．如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有 。

图.1图.2【练一练】找出下列图形中的全等图形，并说出它们是通过怎样的变换得到的．例2．沿着图中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形。

（你有几种方法）【练一练】：㈠将如图的一个等边三角形分割成：(1)三个全等的三角形；(2)四个全等的三角形；(3)六个全等的三角形．㈡在下列方格纸中画出与已知的五边形全等的图形．要求：只能画在方格纸内且与原来的五边形没有公共部分，想一想，有几种画法？【提升】1．将下图分成四个全等的图形，并且每个图形中恰好有“巧分图形”四个字．2．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出________个．3．你能用两个全等的三角形拼成下列图形吗？这些图形都可以是其中一个三角形怎么运动得到的？【小结】：⑴叫做全等图形。