指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

D．y＝2ex
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(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15
20
25
30
y1 2y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20
30
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【预习评价】
1．在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax<xn<ax 不成立？
提示 不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时， logax<xn<ax成立．
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2．能否举例说明“指数爆炸”增长的含义？ 提示 如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增 长”，其“增长量”是成倍增加的，从图像上看出，存在 x0，当x>x0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效 果．
解析 由图像知，此函数的增长速度越来越慢，因此反映 的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度． 答案 幂函数或对数型
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知识点三 三种函数的增长对比 对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数 函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定 有___a_x_>_x_n>_l_o_g_a_x____．
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【预习评价】 1．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是
________． 解析 由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长 差异可判断出y＝3x的增长速度最快． 答案 y＝3x

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类型二 函数增长模型的应用 例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种 方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
反思与感悟 解析答案
解析答案
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4.当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( B )
A.2x＞x2＞log2x
B.x2＞2x＞log2x
C.2x＞log2x＞x2
D.x2＞log2x＞2x
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，
y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，
所以x2＞2x＞log2x.
B.y＝log3x D.y＝3x
解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.
解析答案
2.当a>1时，有下列结论：
①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快；
②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快；
③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( B )
y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，
只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5和y＝0.25x的 下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才 符合公司的要求.
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1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( D )
Hale Waihona Puke A.y＝3x C.y＝x3

626
901
32
1 024
32 768
1.05×10
63.Biblioteka 6×1071.07×10
9
y3 2 10 20 30
40
50
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 关于x呈指数函数变化的变量是________．
60 6.907
解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来 越大时，函数 y＝2ex 增长速度最快． (2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的． 从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始 变化，变量 y1，y2，y3，y4 都是越来越大，但是增长速度不 同，其中变量 y2 的增长速度最快，可知变量 y2 关于 x 呈指 数函数变化．
【预习评价】 1．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是
________． 解析 由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长 差异可判断出y＝3x的增长速度最快． 答案 y＝3x
2 ． 如 图 所 示 曲 线 反 映 的 是 ____________ 函 数 模 型 的 增 长 趋 势．
(2)构造指数函数模型 g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点坐标代入，可得aabb＋ 2＋cc＝＝81，8， ab3＋c＝30，
解得 a＝1235，b＝65，c＝－42． 则 g(x)＝1235·65x－42， 故 g(4)＝1235·654－42＝44.4，与计划误差为 1.4.由(1)(2)可得， f(x)＝x2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量 y 与年份 x 的 关系.
3．当a>1时，有下列结论： ①指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快； ②指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快； ③对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快； ④对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快． 其中正确的结论是________． 答案 ①④

§3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．三维目标1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题．3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．新知探究提出问题①在区间，＋上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.③结合函数的图像找出其交点坐标.④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数．图1③从图像看出y＝log2x的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．④不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)．9162536图2容易看出：y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值2x图3一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.虽然幂函数y＝x n(n＞0)增长快于对数函数y＝log a x(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．应用示例例1 试利用计算器来计算2500的近似值．活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算．如何计算呢？我们可以充分利用幂的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值．解：第一步，利用科学计算器算出210＝1 024＝1.024×103；第二步，再计算2100，因为2100＝(210)10＝(1.024×103)10＝1.02410×1030，所以，我们只需要用科学计算器算出1．02410≈1.267 7，则2100≈1.267 7×1030；第三步，再计算2500，因为(2100)5≈(1.267 7×1030)5，我们只需要用科学计算器算出1．267 75≈3.274 0，从而算出2500≈3.27×10150.点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数．如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需要保留一定数目的有效数字．例 2 在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．解：设N t表示t世代种群的大小，N t＋1表示t＋1世代种群的大小，则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；….由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N t＋1＝R0·N t，其中R0为世代净繁殖率．如果种群的R 0速率年复一年地增长，则N 1＝R 0N 0，N 2＝R 0N 1＝R 20N 0，N 3＝R 0N 2＝R 30N 0，…N t ＝R t0N 0.R 0是种群离散增长模型的重要参数，如果R 0＞1，种群上升；R 0＝1，种群稳定；0＜R 0＜1，种群下降；R 0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．思路2例3 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元．(1)一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为51元？(2)设一次订购量为x 个时，零件的实际出厂价为p 元，写出p ＝f (x )．(3)当销售商一次订购量分别为500,1 000个时，该工厂的利润分别为多少？(一个零件的利润＝实际出厂价－成本)解：(1)设一次订购量为a 个时，零件的实际出厂价恰好为51元，则a ＝100＋60－510.02＝550个．(2)p ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0<x ≤100，62－x 50，100<x <550，其中x ∈N ＋.51，x ≥550，(3)当销售商一次订购量为x 个时，该工厂的利润为y ，则y ＝(p －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ，0<x ≤100，22x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550.其中x ∈N ＋，故当x ＝500时，y ＝6 000；当x ＝1 000时，y ＝11 000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x ，y 的等式．例4 甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：图4甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数．(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由．(3)哪一年的规模(即总产量)最大？请说明理由．活动：观察函数图像，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示：先观察图像得出相关数据，利用数据找出函数模型．解：由题意可知，甲图像经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y甲＝0.2x＋0.8，乙图像经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y乙＝－4x＋34.(1)当x＝2时，y甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y乙＝－4×2＋34＝26，y甲·y乙＝1.2×26＝31.2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万只)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万只)，可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．(3)设当第m年时的规模总产量为n，那么n＝y甲·y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)2＋31.25.因此，当m＝2时，n max＝31.2，即第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万只．课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．课后作业：P103习题3—6 1,2.。