傅里叶变换的11个性质公式

第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。

(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。

(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。

(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。

(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。

(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。

(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。

(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。

FFT （快速傅⾥叶变换）算法详解多项式的点值表⽰(Point Value Representation)设多项式的系数表⽰(Coefficient Representation)：P a (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n −1x n −1=n −1∑i =0a ix i则我们对上⾯的式⼦可以代⼊不同的 n 个 x 的值，构成⼀个 n 维向量：P a (x 0)P a (x 1)P a (x 2)⋮P a (x n −1)=1x 0x 20⋯x n −101x 1x 21⋯x n −111x 2x 22⋯x n −12⋮⋮⋮⋱⋮1x n −1x 2n −1⋯x n −1x −1a 0a 1a 2⋮a n −1更简洁的写法：P a =X α对上式观察后发现，X 是所谓的范德蒙德矩阵(Vandermonde's Matrix)，在 n 个 x 的值不同的情况下，其⾏列式的值为：det (X )=∏0⩽i <j ⩽n −1(x j −x i )很明显，当所有 n 个 x 取值不同时，其⾏列式不为零，因此 X 可逆。

所以我们可以唯⼀确定多项式系数构成的向量 α：α=X −1P a也就是说，多项式 P a (x ) 还可以由 n 个 x 代⼊得到的 n 个点值来唯⼀表⽰：{x 0,P(x 0),x 1,P(x 1),x 2,P(x 2),⋯,x n −1,P(x n −1)}这就是多项式的点值表⽰。

多项式的点值表⽰是指，对于 n 次多项式，可以⽤ n 个不同的 x 和与之对应的多项式的值 P(x ) 构成⼀个长度为 n 的序列，这个序列唯⼀确定多项式，并且能够与系数表⽰相互转化。

n 次单位根了解了多项式的点值表⽰，⼀个很⾃然的问题是：如何选择 x 的值，来防⽌其指数⼤⼩爆炸型增长呢？这⾥可以借⽤复数的单位根。

简单回顾⼀下，复数有两种表⽰⽅法：迪卡尔积坐标表⽰和极坐标表⽰，这⾥我们⽤到的是后者：z =re i θi 是虚数单位，r 表⽰模长，θ 表⽰相⾓。

名词解释1.双口网络：如果一个网络有两个端子与外部电路相连接，使网络有两个端口，为双口网络。

2.对称双口网络：如果将双口网络的入口与出口对调后，其各端口电压、电流保持不变，为对称双口网络。

3.双口网络分析：①端口电流的参考方向均为流入双口网络，且采用正玄稳态相量模式。

②双口网络内部不含独立电源，且初始状态为零的线性时不变网络。

4. 网络函数：在正玄稳态电路中，响应相量与激励相量之比。

若激励与响应在网络的同一端口，则为策动点函数；若不在同一端口，为传输或转移函数。

4.频率响应：在保持电源电压不变的情况下，电路中的电流、电压和阻抗等物理量随电源频率变化的关系。

5.系统：由若干相互关联、相互作用的事物按一定规律组合而成的具有某种功能的整体。

6.连续系统：当系统的输入是连续时间信号时，若系统的输出也是连续时间信号，则称该系统为连续系统。

7.连续信号：在连续时间范围内（—∞<t<∞）有定义的信号。

8.系统的时域分析：若求解系统响应的整个过程是在时间域里进行的，则为系统的时域分析。

9.线性系统：一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统为线性系统；否则，为非线性系统。

10.时不变系统：如果激励作用于系统引起零状态响应时，当激励延迟了一定时间后作用于系统时，其引起的零状态响应也延迟了相同时间的系统。

它具有微分特性和积分特性。

11.系统建模：根据实际系统的结构、元件特性，利用有关基本定律寻找能表征系统特征的数学关系式。

12.阶跃响应：当激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应为单位阶跃响应。

13.网络输出阻抗：将激励源置零保留激励源为阻抗，此时输出口得等效阻抗为网络输出阻抗。

14.谐振电路的选择性：若串联谐振电路中有不同频率的电源同时作用时，则接近谐振频率的电流成分将较大，而偏离谐振频率的电流成分则较小，由此可将谐振频率附近的电流成分选择出来。

15.线性性质包含的两个内容：齐次性：当激励增大a倍时，零状态响应也增大a倍。

【知识总结】快速傅⾥叶变换（FFT ）这可能是我第五次学FFT 了……菜哭qwq 先给出⼀些个⼈认为⾮常优秀的参考资料：快速傅⾥叶变换（FFT ）⽤于计算两个n 次多项式相乘，能把复杂度从朴素的O (n 2)优化到O (nlog 2n )。

⼀个常见的应⽤是计算⼤整数相乘。

本⽂中所有多项式默认x 为变量，其他字母均为常数。

所有⾓均为弧度制。

⼀、多项式的两种表⽰⽅法我们平时常⽤的表⽰⽅法称为“系数表⽰法”，即A (x )=n∑i =0a i x i上⾯那个式⼦也可以看作⼀个以x 为⾃变量的n 次函数。

⽤n +1个点可以确定⼀个n 次函数（⾃⾏脑补初中学习的⼆次函数）。

所以，给定n +1组x 和对应的A (x )，就可以求出原多项式。

⽤n +1个点表⽰⼀个n 次多项式的⽅式称为“点值表⽰法”。

在“点值表⽰法”中，两个多项式相乘是O (n )的。

因为对于同⼀个x ，把它代⼊A 和B 求值的结果之积就是把它带⼊多项式A ×B 求值的结果（这是多项式乘法的意义）。

所以把点值表⽰法下的两个多项式的n +1个点的值相乘即可求出两多项式之积的点值表⽰。

线性复杂度点值表⽰好哇好但是，把系数表⽰法转换成点值表⽰法需要对n +1个点求值，⽽每次求值是O (n )的，所以复杂度是O (n 2)。

把点值表⽰法转换成系数表⽰法据说也是O (n 2)的（然⽽我只会O (n 3)的⾼斯消元qwq ）。

所以暴⼒取点然后算还不如直接朴素算法相乘……但是有⼀种神奇的算法，通过取⼀些具有特殊性质的点可以把复杂度降到O (nlog 2n )。

⼆、单位根从现在开始，所有n 都默认是2的⾮负整数次幂，多项式次数为n −1。

应⽤时如果多项式次数不是2的⾮负整数次幂减1，可以加系数为0的项补齐。

先看⼀些预备知识：复数a +bi 可以看作平⾯直⾓坐标系上的点(a ,b )。

这个点到原点的距离称为模长，即√a 2+b 2；原点与(a ,b )所连的直线与实轴正半轴的夹⾓称为辐⾓，即sin −1ba 。