【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习练习：3.5.1两角和、差及倍角公式(含答案解析)

课时提升作业二十九数列的概念与简单表示法(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列的第k项为1+D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}【解析】选C.根据数列的定义与集合定义的不同可知A,B不正确,D项{2n}中首项为2,故不正确,C中a n=,所以a k=1+.【加固训练】已知数列的通项公式为a n=n2-8n+15,则3()A.不是数列{a n}中的项B.只是数列{a n}中的第2项C.只是数列{a n}中的第6项D.是数列{a n}中的第2项或第6项【解析】选D.令a n=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{a n}中的第2项或第6项.2.(2016·济宁模拟)数列0,,,,…的一个通项公式为()A.a n=(n∈N*)B.a n=(n∈N*)C.a n=(n∈N*)D.a n=(n∈N*)【解析】选C.将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n ∈N*;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N*.3.(2016·淄博模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n2-1,则a3=()A.-10B.6C.10D.14【解析】选C.a3=S3-S2=2×32-1-(2×22-1)=10.4.数列{a n}中,a1=1,对所有的n∈N*,都有a1a2a3…a n=n2,则a3+a5=()A. B.C. D.【解析】选D.因为a1a2a3…a n=n2,所以a1a2a3…a n-1=(n-1)2(n≥2),所以a n==(n≥2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.5.已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+3,若对于n∈N*,都有a n+1>a n成立,则实数k的取值范围是()A.k>0B.k>-1C.k≥-2D.k>-3【解析】选D.由a n+1>a n,得(n+1)2+k(n+1)+3-n2-kn-3>0,即k>(-2n-1)max,当n=1时,-2n-1取最大值-3,故k>-3.【加固训练】已知数列{a n}的通项公式是a n=,那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列【解析】选A.因为a n+1-a n=-=>0,所以a n+1>a n,数列{a n}为递增数列.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·德州模拟)已知数列{a n}的首项a1=1,且a n=2a n-1+1(n≥2),则a5=.【解析】a5=2a4+1=2(2a3+1)+1=4a3+3=4(2a2+1)+3=8a2+7=8(2a1+1)+7=16a1+15=31.答案:317.如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第(n)个图案中需用黑色瓷砖块.(用含n的代数式表示)【解析】第(1),(2),(3)…个图案黑色瓷砖数依次为:15-3=12;24-8=16;35-15=20;…由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为:12+(n-1)×4=4n+8.答案:4n+88.在数列{a n}中,a1=1,a2=5,a n+2=a n+1-a n(n∈N*),则a2016等于.【解析】由a1=1,a2=5,a n+2=a n+1-a n(n∈N*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,….由此可得a2016=a336×6=a6=-4.答案:-4【一题多解】本题还可以采用如下解法:a n+2=a n+1-a n,a n+3=a n+2-a n+1,两式相加可得a n+3=-a n,a n+6=a n.所以a2016=a336×6=a6=-4.答案:-4【加固训练】已知数列{a n}中,a1=b(b为任意正数),a n+1=-(n=1,2,3,…),能使a n=b的n的数值是()A.14B.15C.16D.17【解析】选C.a1=b,a2=-,a3=-,a4=b,所以此数列的周期为3,故选C.三、解答题(每小题10分,共20分)9.写出下列数列的一个通项公式:(1)0.6,0.66,0.666,…(2),,-,,-,,…(3),,,,,…(4)-1,,-,,-,…【解析】(1)数列变为,,,…故a n=.(2)各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为-,原数列化为-,,-,,…故a n=(-1)n.(3)分子是连续的偶数,且第1个数是2,所以用2n表示;分母是22-1,42-1,62-1,82-1,102-1,所以用(2n)2-1表示.所以a n==.(4)正负交替出现,且奇数项为负,偶数项为正,所以用(-1)n表示.分母是连续奇数相乘的形式,观察和项数n的关系,用(2n-1)(2n+1)表示.分子是21+1,22+1,23+1,24+1,…用2n+1表示.所以a n=(-1)n·=(-1)n·.10.(2015·聊城模拟)某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k(x k,y k)处,其中x1=1,y1=1,当k≥2时,T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案第2016棵树种植点的坐标应为什么?【解析】根据题意,x1=1,x2-x1=1-5T+5T,x3-x2=1-5T+5T,x4-x3=1-5T+5T,…x k-x k-1=1-5T+5T,将上述k个式子相加得,x k=k-5T,所以x2016=2016-5T=2016-5×403=1,同理,由y1=1,y2-y1=T-T,y3-y2=T-T,y4-y3=T-T,…y k-y k-1=T-T,将上述k个式子相加得,y k=1+T,所以y2016=1+T=1+403=404,所以第2016棵树种植点的坐标为(1,404).(20分钟40分)1.(5分)(2016·淄博模拟)已知数列{a n}中,a1=,a n+1=则a2016等于()A. B.C. D.【解析】选C.因为a n+1=又a1=,所以a2=2×-1=,a3=2×-1=,a4=2×=,a5=2×=,所以数列{a n}以4为周期,因为=504,所以a2016=a4=.2.(5分)(2016·济宁模拟)在数列{a n}中,a1=2,3(a1+a2+…+a n)=(n+2)a n,n∈N*,则a n=. 【解析】设数列{a n}的前n项和为S n,由已知可得3S n=(n+2)a n,当n≥2时,3(S n-S n-1)=(n+2)a n-(n+1)a n-1,即3a n=(n+2)a n-(n+1)a n-1,所以=,因为a1···…·=2×××××…××=n(n+1),所以a n=n(n+1).答案:n(n+1)3.(5分)已知数列{a n}满足a n+1=若a3=1,则a1的所有可能取值为.【解析】当a2为奇数时,a3=a2-4=1,a2=5;当a2为偶数时,a3=a2=1,a2=2;当a1为奇数时,a2=a1-2=5,a1=7或a2=a1-2=2,a1=4(舍去);当a1为偶数时,a2=a1=5,a1=10或a2=a1=2,a1=4.综上,a1的可能取值为4,7,10.答案:4,7,104.(12分)已知数列{a n}的通项a n=(n+1)(n∈N*).试问该数列{a n}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【解析】因为a n+1-a n=(n+2)-(n+1)=·,所以当n<9时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,即a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n;故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>….所以数列{a n}有最大项a9或a10,其值为10·,其项数为9或10.【加固训练】若数列中的最大项是第k项,求k的值.【解析】方法一:由题意知,解得≤k≤1+.因为k∈N*,所以k=4.方法二:设a n=n(n+4),则a n+1-a n=(n+1)(n+5)-n(n+4)==.当n≤3时,a n+1-a n>0,即a n+1>a n,当n≥4时,a n+1-a n<0,即a n+1<a n,故a1<a2<a3<a4,且a4>a5>a6>…所以数列中最大项是第4项,即k=4.【方法技巧】数列{a n}的最大(小)项的求法:(1)函数法:借助数列的单调性或图象来解决.(2)利用转折项法:利用不等式组找到数列的最大项;利用不等式组找到数列的最小项.5.(13分)(2016·枣庄模拟)已知数列{a n}中,a1=1,前n项和S n=a n.(1)求a2,a3.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3;由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.(2)由题设知a1=1.当n>1时,有a n=S n-S n-1=a n-a n-1,整理得=.于是a1=1,=,=,…=,=,将以上n个等式两端分别相乘,整理得a n=.综上可知,数列{a n}的通项公式a n=.。

课时提升作业一集合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列结论正确的是()A.0∈N*B.0∈∅C.{0}⊆N*D.∅⊆N*【解析】选D.集合N*表示正整数集,∅中不含任何元素,所以A,B,C都不正确,∅是任何集合的子集,故D正确.2.(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=()A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3) 【解析】选A.因为A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},所以A∪B=.3.(2016·德州模拟)若集合M={x|-2<x<3},N={y|y=x2+1,x∈R},则集合M∩N=()A.(-2,+∞)B.(-2,3)C.[1,3)D.R 【解析】选C.因为y=x2+1≥1,所以N={y|y≥1},所以M∩N={x|1≤x<3}.4.已知A={x|x2<4},B为自然数集,则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{1} 【解析】选C.因为A={x|-2<x<2},B是自然数集,所以A∩B={0,1}.【误区警示】解答本题易误选D,出错的原因是对自然数集的定义理解不到位.【加固训练】已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},B为整数集,则A∩B=()A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,1} 【解析】选B.因为A={x|-1≤x≤2},B为整数集,所以A∩B={-1,0,1,2}.5.(2016·滨州模拟)已知集合A={log2a,3},B={a,b},若A∩B={0},则A∪B=()A.{0,3}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3} 【解析】选B.因为A∩B={0},所以0∈A,且0∈B,即log2a=0,b=0,a=1,b=0,所以A∪B={0,1,3}.6.(2016·临沂模拟)已知集合A={0,x},B={x2,-x2,|x|-1},若A⊆B,则实数x的值为()A.1或-1B.1C.-1D.2 【解析】选A.验证法,当x=1时,A={0,1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=-1时,A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=2时,A={0,2},B={4,-4,1},不满足A⊆B.故选A.【一题多解】解答本题还可采用如下方法:选A.因为A⊆B,所以0∈B,因为x≠0,所以|x|-1=0,即x=±1,经验证,易知x=±1满足题意.7.(2016·泰安模拟)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且(A∪B)={4},B={1,2},则A∩B=()A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【解析】选A.由U={1,2,3,4},(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中一定有元素3,没有元素4,所以A∩B={3}.【一题多解】本题还可用Venn图求解如下:如图,由图及已知易得A∩B={3}.【加固训练】已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(A)∩B=()A.{-2,-1}B.{-2}C.{-2,0,1}D.{0,1}【解析】选A.由x+1>0⇒x>-1,所以A={x|x≤-1},故得(A)∩B={-2,-1}.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知集合A={x|x2-2015x-2016≤0},B={x|x<m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是.【解析】因为A={x|-1≤x≤2016},B={x|x<m+1},A⊆B,所以m+1>2016,即m>2015.答案:(2015,+∞)9.(2014·重庆高考)设全集U=,A=,B=,则∩B=.【解析】由题意知A=,B=,故∩B=.答案:10.若集合A={x∈R|(a2-1)x2+(2a+1)x+1=0}中只有一个元素,则实数a的值构成的集合为.【解题提示】按二次项系数是否为0分类讨论.【解析】当a2-1=0,即a=1或a=-1时,方程分别为3x+1=0或-x+1=0,方程都有一个根,满足题意. 当a2-1≠0时,Δ=(2a+1)2-4(a2-1)=0,即4a+5=0,a=-.此时方程有两个等根,满足题意.故a的值构成的集合为.答案:(20分钟35分)1.(5分)(2015·浙江高考)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q= ()A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]【解析】选A.由题意得,P={x|x≥3或x≤-1},所以P∩Q=[3,4).【加固训练】某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表:则三个模块都选择的学生人数是.【解题提示】设三个模块都选择的学生人数是x,用Venn图表示三个两两相交的集合,把每一部分的学生数用x表示出来,再根据总数为50列方程求解.【解析】设三个模块都选择的学生人数为x,则各部分的人数如图所示,则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,解得x=6.答案:62.(5分)(2016·菏泽模拟)设全集U={1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如{2,4}表示的是第2个字符为1,第4个字符为1,其余均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M={2,3,6},则M表示的6位字符串为.(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是. 【解题提示】(1)先求出M表示的6位字符串,从而求出M表示的6位字符串.(2)由A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,求出集合B,从而得到答案.【解析】(1)M表示的6位字符串是011001;则M表示的6位字符串为100110.(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,所以集合B可能是{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},共4个.答案:(1)100110(2)43.(12分)已知集合A={x|(x-1)(x-3)<0},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)当m=-1时,求A∪B.(2)若A⊆B,求实数m的取值范围.(3)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=-1时,B={x|-2<x<2},A={x|1<x<3},则A∪B={x|-2<x<3}.(2)由A⊆B知解得m≤-2,即实数m的取值范围为(-∞,-2].(3)由A∩B=∅,得①当2m≥1-m,即m≥时,B=∅,符合题意;②当2m<1-m,即m<时,需或得0≤m<或∅,即0≤m<.综上知m≥0,即实数m的取值范围为[0,+∞).【加固训练】已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+2x-8>0}, C={x|x2-4ax+3a2<0},若(A∪B)⊆C,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-2<x<3},B={x|x<-4,或x>2},A∪B={x|x<-4,或x>-2}, (A∪B)={x|-4≤x≤-2},而C={x|(x-a)(x-3a)<0}.①当a>0时,C={x|a<x<3a},显然不成立.②当a=0时,C=∅,不成立.③当a<0时,C={x|3a<x<a},要使(A∪B)⊆C,只需即-2<a<-.4.(13分)已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R,x∈R}.若A∪B=A,试求实数a的取值范围.【解析】因为A∪B=A,所以B⊆A,易知A={0,-4}.(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,所以所以a=1.(2)当B A时,有B≠∅和B=∅两种情况.①当B≠∅时,B={0}或B={-4},所以方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有相等的实数根0或-4,所以Δ=4(a+1)2- 4(a2-1)=0,所以a=-1,所以B={0}满足条件.②当B=∅时,Δ<0,a<-1.综上知实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.。

第4章 第3节(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．cos α＋3sin α化简的结果是( ) A.12sin(π6＋α) B ．2sin(π3＋α)C ．2sin(π6＋α) D.12sin(π3＋α)【解析】 cos α＋3sin α＝2(12cos α＋32sin α)＝2(sin π6cos α＋cos π6sin α)＝2sin(π6＋α)．故选C.【答案】 C2．(2008年海南、宁夏卷)3－sin 70°2－cos 2 10°＝( ) A.12 B.22C ．2 D.32【解析】 原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝6－2sin 70°3－sin 70°＝2，故选C.【答案】 C3．在△ABC 中，已知2sin A ·cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形【解析】 ∵2sin A cos B ＝sin(A ＋B )，且A ，B ∈(0，π)∴sin(A －B )＝0，且－π<A －B <π∴A ＝B 为等腰三角形．【答案】 B4．已知cos(π－2α)sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α等于( )A ．－72 B.72 C.12 D ．－12【解析】 由已知可得cos(π－2α)sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－cos 2α22(sin α－cos α)＝－(sin α＋cos α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝sin α＋cosα22＝－22⇒sin α＋cos α＝－12.【答案】 D5．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．cos(α＋β)＞cos αcos βC ．sin(α＋β)＞sin(α－β)D ．cos(α＋β)＞cos(α－β)【解析】 ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β＞0，故sin(α＋β)＞sin(α－β)．【答案】 C 6．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝ ( )A ．－78 B ．－14C.14D.78【解析】 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78.∴cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－78.【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7.cos 2α1＋sin 2α·1＋tan α1－tan α的值为 ( )【解析】 原式＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋sin αcos α1－sin αcos α ＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α＝1. 【答案】 18．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________．【解析】 原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30° ＝tan 45°(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝1.【答案】 19．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 【解析】 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以(α＋β)∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以cos(α＋β)＝45. 因为⎝⎛⎭⎫β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－5665. 【答案】 －5665三、解答题(共46分)10．(15分)计算csc12°·(3tan12°－3)4cos 212°－2的值． 【解析】 原式＝3sin12°－3cos12°2cos12°sin12°(2cos 212°－1)＝23(12sin12°－32cos12°)sin24°cos24°＝23sin(12°－60°)12sin48°＝－4 3.11．(15分)已知α为第二象限的角，sin α＝35，β为第三象限的角，tan β＝43.求： (1)tan(α＋β)的值；(2)cos(2α－β)的值．【解析】 (1)因为α为第二象限的角，sin α＝35， 所以，cos α＝－1－sin 2α＝－45， tan α＝sin αcos α＝－34，又tan β＝43， 所以，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝724. (2)因为β为第三象限的角，tan β＝43， 所以，sin β＝－45，cos β＝－35. 又sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝1－2sin 2α＝725， 所以，cos(2α－β)＝cos2αcos β＋sin2αsin β＝35. 12．(16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α的值． 【解析】 (1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．∵|a －b |＝255， ∴(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝255， 即2－2cos(α－β)＝45， ∴cos(α－β)＝35. (2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π， ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45， ∵sin β＝－513，∴cos β＝1213. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎫－513＝3365.。

课时提升作业三十五二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛模拟)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为()A.6B.7C.8D.23【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域,得到如图所示的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5).将直线l:z=2x+3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值,所以z最小值=7.2.(2014·全国卷Ⅱ)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为()A.10B.8C.3D.2【解析】选B.作出可行域如图中阴影部分所示,由z=2x -y,得y=2x-z,作出直线y=2x,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点B(5,2)时,对应的z值最大.故z max=2×5-2=8.3.已知不等式组表示的平面区域S的面积为4,则z=ax+y的最大值为()A.4B.6C.8D.12【解析】选B.由题意知a>0,如图,不等式组对应的平面区域为△OBC,其中B(a,a),C(a,-a),所以|BC|=2a,所以△OBC的面积为·a·2a=a2=4,所以a=2.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线截距最大,此时z也最大,把B(2,2)代入z=2x+y得z=2×2+2=6.4.(2016·滨州模拟)已知z=2x+y,x,y满足且z的最大值是最小值的4倍,则m 的值是()A. B.C. D.【解析】选A.因为z=2x+y既存在最大值,又存在最小值,所以不等式组表示的平面区域为一个有界区域,可得m<1,作出不等式组表示的平面区域,得到如图所示的△ABC及其内部,其中A(1,1),B(m,m),C(m,2-m).将直线l:z=2x+y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最大值;当l经过点B时,目标函数z达到最小值,所以z最大值=3;z最小值=3m,因为z的最大值是最小值的4倍,所以3=4×3m,解得m=.5.(2015·枣庄模拟)若关于x,y的不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为()A.1B.2C.3D.-1【解析】选C.当a≤0时,显然不合题意;当a>0时,不等式组所围成的区域如图所示.因为其面积为2,所以|AC|=4,所以C的坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,解得a=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·日照模拟)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为.【解析】平面区域A如图所示,所求面积为S=×2×2-××=2-=.答案:7.(2016·东营模拟)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,则m的取值范围是.【解析】不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示:要使平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,必须使点A位于直线x-2y-2=0的右下侧,即m-2(-m)-2>0,所以m>.答案:【加固训练】设D为不等式组所表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点B(1,0)到直线2x-y=0的距离最小,d==,故最小距离为.答案:8.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为元.【解析】设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则目标函数z=450x+350y,画出可行域如图阴影部分的整点,当目标函数所在直线经过A(7,5)时,利润最大,为4900元.答案:4900三、解答题(每小题10分,共20分)9.当x,y满足约束条件(k为负常数)时,能使z=x+3y的最大值为12,试求k的值.【解析】在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示).当直线y=-x+z经过区域中的点A时,截距最大.由得x=y=-.所以点A的坐标为.则z的最大值为-+3=-k.令-=12,得k=-9.所以所求实数k的值为-9.10.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,求公司共可获得的最大利润.【解析】设某公司生产甲产品x桶,生产乙产品y桶,获利为z元,则x,y满足的线性约束条件为目标函数z=300x+400y.作出可行域,如图中四边形OABC的边界及其内部整点.作直线l0:3x+4y=0,平移直线l0经可行域内点B时,z取最大值,由得B(4,4),满足题意,所以z max=4×300+4×400=2800(元).(20分钟40分)1.(5分)(2015·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为()A.3B.4C.18D.40【解析】选 C.如图所示,x+2=0与x-y+3=0的交点为(-2,1),x+2=0与2x+y-3=0的交点为(-2,7),x-y+3=0和2x+y-3=0与y轴的交点为(0,3).所以当动直线z=x+6y经过(0,3)时,z取到最大值.z max=0+6×3=18.2.(5分)(2016·德州模拟)在平面直角坐标系中,点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点,Q是直线2x+y=0上任意一点,O为坐标原点,则|+|的最小值为()A. B.C. D.1【解析】选A.在直线2x+y=0上取一点Q′,使得=,则|+|=|+|=||≥||≥||,其中P′,B分别为点P,A在直线2x+y=0上的投影,如图:因为||==,因此|+|min=.3.(5分)(2016·聊城模拟)设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为.【解析】因为=1+,而表示过点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a>0,所以作出可行域,如图,由题意可知的最小值是,即===,解得a=1.答案:14.(12分)铁矿石A和B的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表.某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,求购买铁矿石的最少费用为多少百万元?【解析】设购买铁矿石A为x万吨,购买铁矿石B为y万吨,总费用为z百万元.根据题意,得整理,得线性目标函数为z=3x+6y,画出可行域如图中阴影部分所示.当x=1,y=2时,z取得最小值.所以z min=3×1+6×2=15(百万元).故购买铁矿石的最少费用为15百万元.5.(13分)变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值.(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.【解析】由约束条件作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)因为z==,所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min=|OC|=,d max=|OB|=.故z的取值范围是[2,29].(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,d min=1-(-3)=4,d max==8.故z的取值范围是[16,64].。

A 组 基础达标（时间： 30 分钟满分： 50 分）若时间有限，建议选讲 3，6，9一、 选择题（每题5 分，共 25 分）π11.（ 2014 ·荆州模拟）设sin＋θ＝ ，则 sin 2 θ等于（ A ）4371A. －B. －991 7C.D.99分析： sin 2 θ＝－ cosπ π1 2 7＋ 2θ ＝2sin 2＋θ－1 ＝ 2 ×－1＝－ .24392.（ 2013·潍坊模拟）化简 2 ＋cos 2 －sin 21的结果是（ C ）A. －cos 1B. cos 1C. 3cos 1D. －3cos 12 ＋cos 2 －sin 21＝1－cos 23 ＋3cos 2分析：2 ＋cos 2 － ＝＝223cos 2 1 ＝ 3cos 1.3.（ 2014 ·北京东城模拟）已知函数f （ x ）＝ cos 2ππ＋x － cos 2－x ，则 44π f等于（ B ）121 1 A.B. － 2233 C.D. －22分析：2π2x ＋ ππ ＝－ π f （x ）＝cos＋ x－sin ＝－sin 2x ，∴sin ＝44f6 121－ .24. 已知 tan1 cos2 α＋sin 2 α＋1α＝ ，则 cos 2α 等于（ A ）2 A.3 B.63 C. 12 D.2cos 2 α＋sin 2 α＋12cos 2α＋ 2sin α· cos α 分析：cos 2α＝＝2＋ 2tan α＝3.cos 2α5. （ 2014 ·淄博模拟已）知△ABC 的三个内角知足： sinA ＝ sinCcosB ，则△ ABC 的形状为（ B ）A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形分析： 由 sinA ＝sin CcosB ，得 sin （ B ＋C ）＝ sin Ccos B ，于是 sinBcos C ＋cos BsinC ＝sin CcosB ，即 sin Bcos C ＝0 ，∵sin B ≠0 ，∴cos C ＝0，故 C ＝ 90 °，∴△ABC 为直角三角形 .二、 填空题（每题5 分，共 15 分）1＋tan α 16. （ 2013 ·南平模拟）若 ＝ 2 013 ，则 ＋ tan 2 α＝ 21－tan α cos 2 α013.1＋tan 1＋ sin 2 α（cos α＋sin α）2cos α＋ sin α分析：2α＝＝α－sin 2α＝cos 2 αcos 2 αcos 2cos α－ sin α1＋ tan α＝＝2 013.1－ tan α7. （ 2013 ·抚顺模拟）若锐角α，β知足（1＋3tan α）（ 1＋ 3tan β）＝ 4π，则α＋β＝Ｗ.3分析：由（ 1 ＋3tanα）（1＋3tanβ）＝4，tan α＋ tan β可得＝ 3 ，即 tan （α＋β）＝3.1 － tan αtan βπ又α＋β∈（ 0，π），∴α＋β＝.38.已知α，β均为锐角，且 cos （α＋β）＝ sin （α－β），则 tanα＝1Ｗ .分析：依据已知条件得cos αcos β－sinαsinβ＝sin αcos β－cos αsin β，cosβ（cosα－ sinα）＋sinβ（cos α－sin α）＝0，即（ cos β＋sinβ）（cos α－sin α）＝ 0.又α，β为锐角，则 sinβ＋ cosβ>0 ，∴cos α－sin α＝ 0，∴tan α＝1.三、解答题（共10 分）12cos 4x－2cos 2 x＋9 ．（ 2014 ·贵州六校联考）化简：2.πsin 2π2tan －x＋x441－2sin 2xcos 2x ＋2分析：原式＝（4 分）ππ2sin － x cos 2－x44πcos － x41（1－sin 22x ）2＝π（8 分）π2sin－x cos－x441cos 22x2＝πsin－ 2x21＝cos 2x. （10 分）2B 组提优操练（时间： 30 分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲4，6，9一、选择题（每题 5 分，共 20 分）ππ 3 71.（ 2012 ·山东高考）若θ∈，，sin 2 θ＝，则 sin θ等于（ D ）4283 4A.B.5 5C.D.44π π π分析： ∵θ∈ ， ，∴2θ∈ ， π .4 2 2 ∴cos 2θ＝－11 －sin 22 θ＝－ ，8 ∴sin1－ cos 2 θ 3θ＝2＝ .42. （ 2014 ·厦门模拟已）知 tan π 1 π2sin 2 α＋sin 2 α α＋ ＝ ，且－ < α<0 ，则4 2 2πcos α－4等于（ A ）2 53 5A. －B. －1053 102 5C. －D.510π tan α＋1 1 1分析： 由 tanα＋ 4 ＝ － ＝ ，得 tanα＝－ .1 tan α 23π10又－ < α<0 ，∴sinα＝－.2102sin 2α＋sin 2 α 2sin α（ sin α＋cos α）＝2 2sin 2 5故 ＝ 2α＝－.π5cos α－ 2（sin α＋cos α）43.（ 2013 ·中山模拟）已知角A 为△ ABC 的内角，且 sin32A ＝－ ，则 sin4A － cos A 等于（ A ）7 B. －7A.22C.－D.22分析： ∵A 为△ ABC 的内角且 sin2A ＝2sin3Acos A ＝－ <0 ，4∴sin A>0 ，cos A<0 ，∴sin A －cosA>0.又（sinA － cosA ）2＝ 1 －2sinAcos77 A ＝ . ∴ sin A － cos A ＝.4 2a b ＝ad －bc ，若 cos1sin α sin β 334. 定义运算d α＝ ，＝，c7cos α cos β14π 0< β< α< ，则 β等于（ D ）2π π A.B.12 6π π C.D.43分析： 依题意有 sinαcos β－cos3 3αsin β＝sin （α－β）＝，又140< β< α< π π，∴0< α－ β< ，221 －sin 2（α－ β）＝ 13 1 4 3故 cos （α－ β）＝ ，而 cos α＝ ，∴sin α＝ ，14 77 于是 sinβ＝sin[ α－（α－ β）]＝sin αcos （ α－ β）－cos αsin （α－β）43 13 1 3 3 3π ＝× － × 14 ＝ ，故 β＝ .7 14 7 2 3二、 填空题（每题5 分，共 15 分）5. 若 tanπcos 2 θ 3 Ｗ.－θ＝ 3，则 ＝41＋sin 2 θπ1 －tan θ 1cos 2 θ 分析 ： ∵ tan －θ＝ ＝ 3 ， ∴tanθ＝－. ∴ ＝4 1 ＋tan θ2 1＋sin 2 θ1cos 2θ－sin 2 θ1 － tan 2θ1－4 sin 2θ＋ 2sin θcos θ＋cos2 ＝＝＝3.θ tan 2θ＋ 2tanθ＋11－1＋14·北大附中模拟）在△中，已知π36. （ 2013cos＋A ＝，则cos 2AABC 4 524 Ｗ .的值为25分析： cosππ π 23＋A ＝cos cos A －sin sin A ＝ （cos A － sin A ）＝ ，44 4 25 32＞0.∴cos A － sin A ＝5 ①ππ ∴0＜A ＜ ，∴0＜2A ＜ .4218，∴sin 2A7由①得 1－sin 2A ＝＝ .25 25 ∴cos 2A ＝241－ sin 22A ＝ .253x － π1 1 7. （ 2013·衡水调研） x － πcos ＝－ ，则 cos 4x ＝ Ｗ .sin44 4 23 π 3π 分析： ∵ sinx － π ＝－ cos ＋x － π ＝－ cos x － ，4 2 4 4ππ 1 1＋ cos 2x －∴cos22 1 x － ＝ ，∴ 2＝ .4 44π 11 ∴cos 2x － ＝－ ，即 sin 2x ＝－ .2 221 ∴cos 4x ＝1 －2sin 22x ＝ .2三、 解答题（共 15 分）π8.（7 分）（ 2013 ·玉溪模拟）已知函数f （ x ）＝tan3x ＋ .4（1 ）求 f π的值；93πα ππ （2 ）设 α∈ π，，若 f ＋ ＝ 2 ，求 cos α－ 的值 .2 3 44π ππ π πtan ＋tan 4 3＋ 13 分析： （ 1）f＝tan ＋ ＝ ＝ ＝－2－ 3.（29 3 4 1 －tan ππ1－ 3tan 43分）α π 3π π（2 ）∵f ＋ ＝tan α＋ ＋ ＝tan （α＋π）＝ tan α＝2，3 4 4 4sin α ∴ ＝2 ，即 sin α＝ 2cos α. ①cos α又 sin 2 α＋cos 2 α＝ 1 ， ②1由①②解得 cos 2α＝ .（4分）53 π5 2 5∵α∈ π， ，∴cos α＝－，sinα＝－.2 5 5π＝cosαcos π π∴cos α－ ＋ sin αsin4445 2 2 5 2＝－ × ＋ － 5 ×5 2 2310＝－.（7 分）109. （ 8 分 ）（ 2014 ·蒙 阴 模 拟 ） 已 知 f （ x ） ＝ 1＋1sin 2x －tan xππ2sin x ＋ ·sin x － .4 4（1 ）若 tanα＝2 ，求 f （α）的值；（2 ）若 x ∈ π π ， ，求 f （x ）的取值范围 .12 22）＋ π x ＋ π分析： （ 1 ）f （ x ）＝（ sin x ＋ sin xcosx 2sinx ＋4· cos 41 －cos 2x1π＝2 ＋ sin 2x ＋sin 2x ＋2 2 1 12x －cos 2x ）＋ cos2x ＝ ＋ （sin2 211＝ （sin 2x ＋cos 2x ）＋.（2 分）22∵tan α＝2，∴sin 2 α＝ 2sin αcos α 2tan α 4＝＝ ，sin 2α＋cos 2 α tan 2 α＋1 5 coscos 2 α－sin 2α 1－ tan 2α 32 α＝ ＝ ＝－ .sin 2 α＋ cos 2α 1＋ tan 2α512 α＋cos1 3∴f （ α）＝ （sin 2α）＋ ＝ .（4 分）22 511 2π 1 （2 ）由（ 1）得 f （x ）＝ （sin 2x ＋cos2x ）＋ ＝ sin 2x ＋ ＋ .22 2 4 2 （6 分）由 x ∈ π π5 π π 5 π 12 ， 2 ，得 ≤ 2x ＋ ≤ .12 4 4故－2 2x ＋ π（）≤ 2 ＋ 1≤ sin， 2 4 ≤ 1 ，则0 ≤ f x2 ∴f （ x ）的取值范围是 0 ，2 ＋12.（8 分）。

课时提升作业四十四平行、垂直的综合问题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·潍坊模拟)已知α,β表示平面,m,n表示直线,m⊥β,α⊥β,给出下列四个结论:①∀n⊂α,n⊥β;②∀n⊂β,m⊥n;③∀n⊂α,m∥n;④∃n⊂α,m⊥n.则上述结论中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由于m⊥β,α⊥β,所以m⊂α或m∥α,∀n⊂α,n⊥β或n,β斜交或n∥β,①不正确;∀n⊂β,m⊥n,②正确;∀n⊂α,m∥n或m,n相交或互为异面直线,③不正确;④正确.2.(2016·济宁模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.α∥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥nB.m⊥α,n⊂β,m⊥n⇒α⊥βC.α⊥β,α∩β=m,n⊥m⇒n⊥βD.α⊥β,m⊥α,n∥β⇒m⊥n【解析】选A.对A.因为α∥β,m⊥α,所以m⊥β,又n∥β,所以m⊥n,故A正确;对B,因为m⊥α,m⊥n,所以n∥α或n⊂α,又n⊂β,所以α∥β或α⊥β或α与β相交但不垂直,故B 错误;对C,直线n可能与β相交,也可能在β内,故C错误;对D,m与n的位置关系不确定,故D 错误.3.(2016·莱芜模拟)已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是()A.l⊂α,m⊂β,且l⊥mB.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥mD.l⊂α,l∥m,且m⊥β【解析】选D.对于A,若l⊂α,m⊂β,且l⊥m.如图①所示虽满足条件,但α与β不垂直.对于B,当m∥n时,也得不到平面α与平面β垂直.对于C,如图②所示条件满足但平面α与平面β不垂直.对于D,由l∥m,m⊥β得l⊥β,又l⊂α,因此有α⊥β.4.(2016·青岛模拟)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC. 其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④【解析】选B.由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC 上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直于底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E【解析】选C.A不正确,因为CC1与B1E在同一个侧面中,故不是异面直线;B不正确,由题意知,上底面三角形ABC是一个正三角形,故不可能存在AC⊥平面ABB1A1;C正确,因为AE,B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线,E为BC中点,△ABC 是正三角形,所以AE⊥BC,B1C1∥BC,所以AE⊥B1C1;D不正确,因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故A1C1∥平面AB1E不正确.【加固训练】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点D是A1B1的中点,点F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为()A. B.1 C. D.2【解析】选A.设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得×=x,得x=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设α,β,γ为三个不同的平面,m,n,l为三条不同的直线,给出下列四个命题:①若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则m⊥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β;③若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β;④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β.其中假命题为.(写出所有假命题的序号)【解析】对于①,若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则当m⊂α时,m⊥β.当m⊄α时,可能m⊂β,或m与β相交,故①不正确;对于②,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能平行或相交,故②不正确;对于③,若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,l⊥m,不能推出l⊥β,故③不正确;对于④,若n⊥α,n⊥β,则α∥β,因为m⊥α,所以m⊥β,故④正确.答案:①②③B1C1D1中,点E,F,M分别是AB,AD,AA1的中7.已知棱长为1的正方体ABCD-A点,又P,Q分别在线段A1B1,A1D1上,且A1P=A1Q=x(0<x<1).设平面MEF∩平面MPQ=l,现有下列结论:①l∥平面ABCD;②l⊥AC;③直线l与平面BCC1B1不垂直;④当x变化时,l不是定直线.其中不成立的结论是.(写出所有不成立结论)【解析】连接BD,B1D1,因为A1P=A1Q=x,所以PQ∥B1D1∥BD∥EF,易证PQ∥平面MEF,又平面MEF∩平面MPQ=l,所以PQ∥l,l∥EF,所以l∥平面ABCD,故①成立;又EF⊥AC,所以l⊥AC,故②成立;因为l∥EF∥BD,所以易知直线l与平面BCC1B1不垂直,故③成立;当x变化时,l 是过点M且与直线EF平行的定直线,故④不成立.答案:④8.(2016·江南十校联考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN≠.有以下四个结论:①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN∥平面A1B1C1D1;④MN与A1C1是异面直线.其中正确结论的序号是.(注:把你认为正确结论的序号都填上)【解析】过N作NP⊥BB1于点P,连接MP,可证AA1⊥平面MNP,所以AA1⊥MN,①正确.过M,N分别作MR⊥A1B1,NS⊥B1C1于点R,S,连接RS,则当M不是AB1的中点,N不是BC1的中点时,直线A1C1与直线RS相交;当M,N分别是AB1,BC1的中点时,A1C1∥RS,所以A1C1与MN可以异面,也可以平行,故②④错误.由①正确知,AA1⊥平面MNP,而AA1⊥平面A1B1C1D1,所以平面MNP∥平面A1B1C1D1,故③正确.综上所述,正确结论的序号是①③.答案:①③三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·烟台模拟)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)求证:AE∥平面BCD.(2)求三棱锥D-BCE的体积.【解析】(1)取BC的中点M,连接DM,AM,因为BD=CD,点M为BC的中点,所以DM⊥BC,又因为平面BCD⊥平面ABC,BC为交线,所以DM⊥平面ABC,因为AE⊥平面ABC,所以AE∥DM,又因为AE⊄平面BCD,DM⊂平面BCD,所以AE∥平面BCD.(2)由(1)知AE∥DM,在△BCD中,CD⊥BD,CD=BD,所以MD=BC=1=AE,所以四边形AMDE是平行四边形,所以DE∥AM,且DE=AM=,因为DM⊥平面ABC,所以DM⊥AM.又AM⊥BC,BC∩DM=M,所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD,则V D-BCE=V E-BCD=S△BCD·DE=×·BC·DM·DE=××2×1×=.10.如图(1)所示,在平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD,如图(2)所示.(1)求证:AB⊥DE.(2)求三棱锥E-ABD的侧面积和体积.【解析】(1)在△ABD中,因为AB=2,AD=4,∠DAB=60°,所以BD==2.所以AB2+BD2=AD2.所以AB⊥BD.因为平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB⊂平面ABD,所以AB⊥平面EBD.又DE⊂平面EBD,所以AB⊥DE.(2)由(1)知AB⊥BD.因为CD∥AB,所以CD⊥BD,从而DE⊥BD.在Rt△DBE中,因为BD=2,DE=DC=AB=2,所以S△EDB=BD×DE=2.因为AB⊥平面EBD,BE⊂平面EBD,所以AB⊥BE.因为BE=AD=4,所以S△EAB=AB×BE=×2×4=4.因为DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD,所以ED⊥平面ABD,而AD⊂平面ABD,所以ED⊥AD.所以S△EAD=AD×DE=×4×2=4.综上,三棱锥E-ABD的侧面积S=S△EDB+S△EAB+S△EAD=8+2.因为DE⊥平面ABD,且S△ABD=S△EDB=2,DE=2,所以V三棱锥E-ABD=S△ABD×DE=×2×2=.(20分钟40分)B1C1的体积为V,点P,Q分别在侧棱AA1,CC1上运动,1.(5分)已知直三棱柱ABC-A如图所示,AP=C1Q,则四棱锥B-APQC的体积为()A. B.C. D.【解析】选B.由题意可知,在点P,Q的运动过程中,四边形APQC的边AP,QC的长度是变化的,但始终有AP+QC=C1Q+QC=CC1=AA1,且点B到平面AA1C1C的距离不变,不妨取P,Q分别为AA1,CC1的中点,设矩形AA1C1C的面积为S,点B到平面AA1C1C的距离为h,则V=S△·AA1=AC·h·AA1=Sh,ABC所以V B-APQC=··h==.2.(5分)(2016·济南模拟)已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则()A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直【解析】选C.如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当α⊥β时才存在.3.(5分)(2016·滨州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是.(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC;②不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE;③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB;④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.【解析】由已知,在未折叠的原梯形中,AB∥DE,BE∥AD,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE=AD,折叠后如图所示.①过点M作MP∥DE,交AE于点P,连接NP.因为M,N分别是AD,BE的中点,所以点P为AE的中点,故NP∥EC.又MP∩NP=P,DE∩CE=E,所以平面MNP∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正确;②由已知,AE⊥ED,AE⊥EC,所以AE⊥MP,AE⊥NP,又MP∩NP=P,所以AE⊥平面MNP,又MN⊂平面MNP,所以MN⊥AE,②正确;③假设MN∥AB,则MN与AB确定平面MNBA,从而BE⊂平面MNBA,AD⊂平面MNBA,与BE和AD是异面直线矛盾,③错误;④当EC⊥ED时,EC⊥AD.因为EC⊥EA,EC⊥ED,EA∩ED=E,所以EC⊥平面AED,AD⊂平面AED,所以EC⊥AD,④正确.答案:①②④4.(12分)(2016·东营模拟)如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA=a,E为BC中点.(1)求证:平面PBC⊥平面PDE.(2)线段PC上是否存在一点F,使PA∥平面BDF?若存在,请找出具体位置,并进行证明;若不存在,请分析说明理由.【解析】(1)连接BD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=a,DA=a,所以BD=DC=2a.又因为E为BC中点,所以BC⊥DE,又因为PD⊥平面ABCD,所以BC⊥PD,因为DE∩PD=D,所以BC⊥平面PDE,因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDE.(2)当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)时,PA∥平面BDF,连接AC,与BD交于O点,因为AB∥CD,所以△AOB∽△COD,又因为AB=DC,所以AO=OC,从而在△CPA中,AO=AC,而PF=PC,所以OF∥PA,而OF⊂平面BDF,PA⊄平面BDF,所以PA∥平面BDF.5.(13分)(2016·海淀模拟)如图(1),在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD,四边形ABEF 是矩形,将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1⊥平面ABCD,M为AF1的中点,如图(2).(1)求证:BE1⊥DC.(2)求证:DM∥平面BCE1.(3)判断直线CD与ME1的位置关系,并说明理由.【解析】(1)因为四边形ABE1F1为矩形,所以BE1⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE1F1,且平面ABCD∩平面ABE1F1=AB,BE1⊂平面ABE1F1,所以BE1⊥平面ABCD.因为DC⊂平面ABCD,所以BE1⊥DC.(2)因为四边形ABE1F1为矩形,所以AM∥BE1.因为AD∥BC,AD∩AM=A,BC∩BE1=B,所以平面ADM∥平面BCE1.因为DM⊂平面ADM,所以DM∥平面BCE1.(3)直线CD与ME1相交,理由如下:取BC的中点P,CE1的中点Q,连接AP,PQ,QM,所以PQ∥BE1,且PQ=BE1.在矩形ABE1F1中,M为AF1的中点,所以AM∥BE1,且AM=BE1,所以PQ∥AM,且PQ=AM.所以四边形APQM为平行四边形,所以MQ∥AP,MQ=AP.因为四边形ABCD为梯形,P为BC的中点,BC=2AD,所以AD∥PC,AD=PC,所以四边形ADCP 为平行四边形.所以CD∥AP,且CD=AP.所以CD∥MQ且CD=MQ.所以四边形CDMQ是平行四边形.所以DM∥CQ,即DM∥CE1.因为DM≠CE1,所以四边形DME1C是以DM,CE1为底边的梯形,所以直线CD与ME1相交.。

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课时提升作业(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·重庆模拟)计算sin20°cos70°-cos160°sin70°= ( )A.0B.-sin50°C.1D.-1【解析】选C.原式=sin20°cos70°-cos(180°-20°)sin70°=sin20°cos70°+cos20°sin70°=sin(20°+70°)=sin90°=1.【加固训练】(2015·成都模拟)cos 38°sin 98°-cos 52°sin 188°的值为.【解析】cos 38°sin 98°-cos 52°sin 188°=cos 38°cos 8°+sin 38°sin 8°=cos 30°答案:22.计算1-2cos2= ( )A. B.- C. D.-【解析】选D.原式=-=-cos=-.3.(2015·张家口模拟)计算:tan 15°+1=( )tan 15B.2C.4【解析】选C.tan 15°+1tan 15︒22sin 15cos 15cos 15sin 15sin 15cos 152 4.sin 15cos 15sin 30︒︒=+︒︒︒+︒===︒︒︒4.(2015·成都模拟)已知锐角α满足cos 2α=cos(4π-α),则sin 2α等于()【解析】选A.由cos 2α=cos(4π-α), 得(cos α-sin α)(cos α+sin α)=2(cos α+sin α), 由α为锐角知cos α+sin α≠0. 所以cos α-sin α=22,平方得1-sin 2α=12.所以sin 2α=12.【一题多解】本题还可如下解答:因为α是锐角,所以0<2α<π,-4π<4π-α<4π. 又因为cos 2α=cos(4π-α), 所以2α=4π-α,即α=12π. 故sin 2α=sin 162π=.5.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边上有一点A(3,-4),则sin(2θ+2π)的值为( ) A.725B.-725C.-1D.1【解题提示】根据题意求得sin θ和cos θ的值,进而利用诱导公式和二倍角公式求得答案.【解析】选B.依题意知sin θ=-45,cos θ=35, 所以sin(2θ+2π)=cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=9167252525-=-,故选B. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.(2015·南宁模拟)已知α为钝角,且cos =-,则sin2α= .【解析】因为cos =-sin α=-,所以sin α=,又因为α为钝角,所以cos α=-=-, 所以sin2α=2sin αcos α=2××=-.答案:-7.(2015·兰州模拟)计算:= . 【解题提示】拆角,50°=30°+20°,利用两角和的正弦公式展开合并计算. 【解析】原式= ===1.答案:1【加固训练】(2014·武汉模拟)计算:= .【解析】原式= ===sin30°=.答案:8.(2015·汉中模拟)设θ为第二象限角,若tan θ+=,则sin θ+cos θ= .【解题提示】先由tan=,求tanθ的值,再利用同角的三角函数关系式及θ的范围分别求sinθ,cosθ的值.【解析】因为tan=,所以tanθ=tan===-,即sinθ=-cosθ,又因为sin2θ+cos2θ=1,所以cos2θ+cos2θ=1,cos2θ=,因为θ为第二象限角,所以cosθ=,sinθ=-cosθ=,sinθ+cosθ=-+=-.答案:-【加固训练】已知tan=2,则sin2α+tan2α= .【解析】因为tan=2,所以tanα=tan===.所以sin2α====,tan2α===,故sin2α+tan2α=+=.答案:三、解答题9.(10分)若sin=,cos=,且0<α<<β<π,求cos(α+β)的值.【解析】因为0<α<<β<π,所以π<π+α<π,-<-β<0.又sin=,cos=,所以cos=-,sin=-,所以cos(α+β)=sin=sin=sin cos-cos sin-β=-.【方法技巧】1.给值求值问题的关键解决三角函数的给值求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.(1)已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差.(2)已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系.2.拼角、凑角的技巧用已知角表示未知角:2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β); α=(α+β)-β=(α-β)+β; α=+,β=-;=-等.【加固训练】已知cosx+cosy=,sinx+siny=. (1)求cos(x-y)的值. (2)求cos(2x-2y)的值.【解题提示】(1)把已知两式平方相加求cos(x-y)的值. (2)用二倍角的余弦公式求解.【解析】(1)因为cosx+cosy=,sinx+siny=, 所以(cosx+cosy)2+(sinx+siny)2=+, 即2+2cosxcosy+2sinxsiny=, 所以2cos(x-y)=-, 即cos(x-y)=-.(2)由(1)得cos(2x-2y)=2cos 2(x-y)-1 =2×-1=.(20分钟 40分)1.(5分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α=23,则cos 2(α+4π)=( )【解题提示】利用“降幂公式”将cos 2(α+4π)化简,建立与sin 2α的关系,可得结果.【解析】选A.因为2.(5分)(2015·宝鸡模拟)已知cos(4π+θ)cos(4π-θ)= 14,则sin 4θ+cos 4θ的值等于( )【解题提示】先化简已知条件,再把要求的式子变形,代入求值. 【解析】选C.因为cos(4π+θ)cos(4π-θ)θsin θ2cos θ2sin θ) =12(cos 2θ-sin 2θ)= 12cos 2θ=14. 所以cos 2θ=12, sin 4θ+cos 4θ=221cos 21cos 2195()().2216168-θ+θ+=+= 3.(5分)(2015·兰州模拟)设α为锐角,若cos(α+6π)=45,则sin(2α+12π)的值为 .【解题提示】解答本题的关键是角的变化,即把角2α+12π转化为(2α+3π)-4π. 【解析】因为cos(α+6π)=45,所以α+6π∈(0,2π),所以sin(α+6π)=35,所以sin (2α+3π)=2sin(α+6π)cos(α+6π)=2×35×45=2425,cos(2α+3π)=2cos 2(α+6π)-1=725, 所以sin(2α+12π)=sin[(2α+3π)-4π]=sin(2α+3π)cos 4π-cos(2α+3π)sin 4π=50.答案:504.(12分)(2014·江西高考改编)已知函数f(x)=-(-1+2cos 2x)sin 2x,若2f ()45α=-,α∈(2π,π),求sin(α+3π)的值.【解析】f(x)=-(-1+2cos 2x)sin 2x=-cos 2xsin 2x=-12sin 4x,因为2f ()45α=-, 所以f ()4α=-12sin α=-25,故sin α=45,又α∈(2π,π),所以cos α=-35,sin(α+3π)=45×12+(-35. 5.(13分)(能力挑战题)已知sin α-cos α=,α∈[0,π]. (1)求sin2α的值. (2)求cos2α的值.【解析】(1)因为sin α-cos α=,所以(sin α-cos α)2=,1-2sin αcos α=, 2sin αcos α=,即sin2α=. (2)因为α∈[0,π],由(1)知,sin2α=2sin αcos α=>0, 所以α∈,又因为sin α-cos α=>0, 所以α∈,故2α∈,所以cos2α=-=-.关闭Word文档返回原板块。

单元评估检测(一)第一章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知下列结论:①-2∈Z;②π∉Q;③N⊆N*;④Q R.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为Z,Q,N,N*,R分别表示整数集、有理数集、自然数集(包括0),正整数集,实数集,又因为-2是整数,π是无理数,所以①正确;②正确;③不正确;④正确.2.(2016·济宁模拟)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x(x-2)<0},则A∩B=()A.{0}B.{-1}C.{1}D.{0,-1,1}【解析】选C.因为B={x|0<x<2},所以A∩B={1}.【一题多解】解答本题还可用如下方法:选C.验证法:当x=0时,x(x-2)=0<0不成立;当x=-1时,x(x-2)=3<0不成立;当x=1时,x(x-2)=-1<0成立.结合答案选项可知选C.3.命题“∃x0∈∁R Q,∈Q”的否定是()A.∃x0∉∁R Q,∈QB.∃x0∈∁R Q,∉QC.∀x∉∁R Q,x2∈QD.∀x∈∁R Q,x2∉Q 【解析】选D.“∃x0∈∁R Q”的否定为“∀x∈∁R Q”,“∈Q”的否定为“x2∉Q”.【加固训练】已知命题p:∃x 0>1,-1>0,那么p是()A.∀x>1,x2-1>0B.∀x>1,x2-1≤0C.∃x0>1,-1≤0D.∃x0≤1,-1≤0【解析】选B.“∃x0>1,-1>0”的否定为“∀x>1,x2-1≤0”.4.(2016·青岛模拟)设A=,B={x|x≥a}.若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.a<B.a≤C.a≤1D.a<1【解析】选C.A={1,2,3,4},由A⊆B得a≤1.【误区警示】本题易误选A或B,出现错误的原因是忽视了集合A中“x∈Z”这一条件及对端点值的验证.5.(2016·临沂模拟)使x2>4成立的充分不必要条件是()A.2<x<4B.-2<x<2C.x<0D.x>2或x<-2 【解题提示】要分清谁是谁成立的充分不必要条件.【解析】选A.因为x2>4的解集为{x|x>2或x<-2},故A选项正确.6.已知集合M=,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}=()A.M∩NB.M∪NC.∁R(M∩N)D.∁R(M∪N)【解题提示】先解不等式,化简集合M,再数形结合求解.【解析】选D.<0⇔(x+3)(x-1)<0⇔-3<x<1,即M={x|-3<x<1},由图易知{x|x≥1}=∁R(M∪N).7.(2016·聊城模拟)p:x>1,y>1,q:x+y>2,xy>1,则p是q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的结论可得p⇒q,但x=100,y=0.1,满足x+y>2,xy>1,但不满足p,故p是q的充分而不必要条件.8.设等差数列{a n}的公差为d,则a1d>0是数列{}为递增数列的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.数列{}为递增数列⇔>⇔>1⇔>1⇔>1⇔a1d>0.【加固训练】“sinα≠sinβ”是“α≠β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.α=β⇒sinα=sinβ,但sinα=sinβα=β.因此α=β是sinα=sinβ的充分不必要条件,从而“sinα≠sinβ”是“α≠β”的充分不必要条件.9.已知命题p:∃x 0∈R,x0<+1,命题q:∀x∈R,sin4x-cos4x≤1,则p∨q,p∧q,p∨q,p∧(q)中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为x2-x+1>0对∀x∈R恒成立,即x<x2+1恒成立,所以p真;因为sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x≤1恒成立,所以q真.故p假,q假,所以p∨q真,p∧q真,p∨q真,p∧(q)假.10.(2016·淄博模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】把问题转化为方程x2+bx+c=0有根的情况解答.【解析】选A.若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以∃x0∈R,使f(x0)<0成立.若∃x0∈R,使f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,即b2-4c>0即可,所以当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要条件.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因就是不能进行合理转化,尤其反推时,不知道举反例,而导致误选C.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·合肥模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则A⊕B等于__________.【解题提示】先化简集合A,B,再按新定义计算.【解析】因为A=,B={y|y<0},所以A-B={y|y≥0},B-A=,A⊕B=(A-B)∪(B-A)=.答案:∪[0,+∞)12.命题:已知x∈R,若x<1,则x2<1的逆否命题是__________________________.【解析】已知x∈R是大前提,所以原命题的逆否命题是:已知x∈R,若x2≥1,则x≥1.答案:已知x∈R,若x2≥1,则x≥113.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},集合A×B中属于集合{(x,y)|log x y∈N}的元素的个数是________.【解析】由定义可知A×B中的元素为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).其中使log x y∈N的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4)共4个.答案:414.(2016·枣庄模拟)下列3个命题:①“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”;②“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件.其中真命题的序号是________.【解析】当φ=时,f(x)=tan==(x≠kπ,k∈Z),f(-x)===-f(x),即f(x)为奇函数,所以①为假命题;命题“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,因为x2+x-6<0⇔-3<x<2,所以②为真命题;在△ABC 中,当A=160°时,sinA=sin160°=sin20°<sin30°=.所以③为假命题.答案:②15.(2016·北京模拟)设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是____________.【解题提示】先化简集合A,再结合二次函数的图象求解.【解析】A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数为2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,即所以即≤a<.答案:【加固训练】(2015·大连模拟)若命题“∀x∈R,ax2-a2x-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】当a=0时,-2≤0成立,当a≠0时,由题意,得解得-2≤a<0,综上所述,a∈[-2,0].答案:[-2,0]三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x|x2-1<0},B={x|x+a>0}.(1)若a=-,求A∩B.(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-1<x<1}.(1)当a=-时,B==,所以A∩B=.(2)若A∩B=A,则A⊆B,因为B={x|x>-a},所以-a≤-1,即a≥1.17.(12分)设集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-3,4},A∩B={-3},求a,b,c的值.【解析】因为A∩B={-3},所以-3∈A,且-3∈B,所以(-3)2-3a-12=0,解得a=-1,A={x|x2-x-12=0}={-3,4}.因为A∪B={-3,4},且A≠B,所以B={-3},即方程x2+bx+c=0有两个等根为-3,所以即b=6,c=9.综上a,b,c的值分别为-1,6,9.18.(12分)(2016·临沂模拟)已知命题p:函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R,命题q:函数y=-(5-2a)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【解析】由函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R得x2+2x+a>0恒成立,所以Δ=4-4a<0,a>1,由函数y=-(5-2a)x是减函数,得5-2a>1,所以a<2.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q必为一真一假,当p真q假时,所以a≥2.当p假q真时,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是a≥2或a≤1.【加固训练】已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.【解析】命题p为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命题q为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.p∨q为真命题,p∧q为假命题,等价于p真q假或者p假q真.若p真q假,则实数m满足解得m≥3;若p假q真,则实数m满足解得1<m≤2.综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).19.(12分)(2016·青岛模拟)已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.(1)求p中对应x的取值范围.(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.【解析】(1)因为x2≤5x-4,所以x2-5x+4≤0,即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4,即p中对应x的取值范围为1≤x≤4.(2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤4}.由x2-(a+2)x+2a≤0,得(x-2)(x-a)≤0.当a=2时,不等式的解为x=2,对应的解集为B={2};当a>2时,不等式的解为2≤x≤a,对应的解集为B={x|2≤x≤a};当a<2时,不等式的解为a≤x≤2,对应的解集为B={x|a≤x≤2}.若p是q的必要不充分条件,则B A,当a=2时,满足条件;当a>2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a},要使B A,则满足2<a≤4;当a<2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤2},要使B A,则满足1≤a<2.综上,1≤a≤4.20.(13分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B=.(1)若A∩B=∅,求a的取值范围.ðA)∩B.(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时,求(R【解题提示】(1)先化简集合A,B,再由题意列关于a的不等式组求解.(2)先由题意确定a的值,再求解.【解析】A={y|y<a或y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.(1)当A∩B=∅时,解得≤a≤2或a≤-.即a∈(-∞,-]∪[,2].(2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0,依题意Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2.所以a的最小值为-2.当a=-2时,A={y|y<-2或y>5}.所以∁R A={y|-2≤y≤5},故(∁R A)∩B={y|2≤y≤4}.21.(14分)求证:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.【解题提示】充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0或a=1作为条件,必要性:ax2+2x+1=0有且只有一个负数根作为条件.【证明】充分性:当a=0时,方程为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根.当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1,方程只有一负根.当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且<0,方程有一正一负两个根.所以充分性得证.必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一负根.当a=0时,符合条件.当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,则Δ=4-4a≥0,所以a≤1,当a=1时,方程有一负根x=-1.当a<1时,若方程有且只有一负根,则所以a<0.所以必要性得证.综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.。

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阶段滚动月考卷(五)解析几何(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)设i为虚数单位,若=b-i(a,b∈R),则a+b= ( )A.1B.2C.3D.42.(滚动交汇考查)(2016·莱芜模拟)设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在圆(x-2)2+y2=1上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·合肥模拟)若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是( )A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]4.(滚动单独考查)(2016·邢台模拟)若a>b>c,则使+≥恒成立的最大的正整数k为( )A.2B.3C.4D.55.(滚动单独考查)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象( )A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位6.(2016·滨州模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=1上的两个点,P是线段AB上的动点,当△AOB的面积最大时,则·-的最大值是( )A.-1B.0C.D.7.(滚动交汇考查)如图,已知点D为△ABC的边BC上一点,=3,E n(n∈N*)为边AC上的一列点,满足=a n+1-(3a n+2),其中实数列{a n}中a n>0,a1=1,则数列{a n}的通项公式为( )A.a n=2·3n-1-1B.a n=2n-1C.a n=3n-2D.a n=3·2n-1-28.(2016·聊城模拟)已知点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e的取值范围是( )A.(0,-1)B.(-1,1)C.(-1,+∞)D.(-1,1)9.曲线的方程为+=2,若直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点,则k的取值范围是( )A. B.C.∪[1,+∞)D.∪(1,+∞)10.(2016·南充模拟)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为( ) A.-=1 B.y2-=1C.-x2=1D.-=1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动单独考查)若实数x,y满足则z=x+2y的最小值是.12.(2016·衡水模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为.13.(滚动单独考查)用[x]表示不大于实数x的最大整数,方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是.14.若对任意α∈R,直线l:xcosα+ysinα=2sin+4与圆C:(x-m)2+(y-m)2=1均无公共点,则实数m的取值范围是.15.已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,且满足||=3||,则此双曲线的渐近线方程为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=sin+cos+2cos2x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)若α∈且f(α)=,求cos2α.17.(12分)(滚动单独考查)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,侧面PAB是正三角形,AB=2,BC=,PC=.点E,H分别为PA,AB的中点.(1)求证:PH⊥AC.(2)求三棱锥P-EHD的体积.18.(12分)(2016·滨州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M的另外两点P,Q.(1)求椭圆C的方程.(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.19.(12分)(2016·泰安模拟)已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60,且a6为a1与a21的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n.(2)若数列{b n}满足b n+1-b n=a n(n∈N*),且b1=3,求数列的前n项和T n.20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A,B,坐标原点到直线AB的距离为,且a= b.(1)求椭圆C的方程.(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M,N两点,且该椭圆上存在点P,使得四边形MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线l的方程.21.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=ax+(1-a)lnx+(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)当a<0时,求f(x)的单调区间.(3)方程f(x)=0的根的个数能否达到3,若能,请求出此时a的范围,若不能,请说明理由.答案解析1.C 因为=b-i(a,b∈R),所以a+2i=bi+1,所以a=1,b=2,则a+b=3.2.A 当x=2且y=-1时,(x-2)2+y2=(2-2)2+(-1)2=1,满足点在圆上,当x=1,y=0时,满足(x-2)2+y2=1但x=2且y=-1不成立,即“x=2且y=-1”是“点P在圆(x-2)2+y2=1上”的充分不必要条件.【加固训练】(2016·兰州模拟)如果直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆C的位置关系是( )A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定A 因为直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,所以圆心(0,0)到直线ax+by-4=0的距离d=<2,所以a2+b2>4,所以点(a,b)在圆C的外部.3.A 因为圆心(3,-5)到直线4x-3y=2的距离等于=5,由|5-r|<1得4<r<6.4.C 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,且a-c=a-b+b-c.又因为+=+=2++≥2+2=4,当且仅当b-c=a-b,即a+c=2b时取等号.所以k≤+,k≤4,故k的最大正整数为4.5.A 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可得A=1,=·=-,求得ω=2.因为题干中图象过点,且|φ|<,所以2×+φ=π,所以φ=,f(x)=sin.故把f(x)=sin的图象向右平移个长度单位,可得y= sin=sin2x=g(x)的图象.6.C 由题意知:△AOB的面积S=||||sin∠AOB=×1×1×sin∠AOB=sin∠AOB,当∠AOB=时,S取最大值,此时⊥,如图所示,不妨取A(1,0),B(0,1),设P(x,1-x),所以·-=·(-)=·=(x-1,1-x)·(-x,x-1)=-x(x-1)+(1-x)(x-1)=(x-1)(1-2x)=-2x2+3x-1,x∈[0,1],当x=-=时,上式取最大值.7.A 因为=3,所以=+=+=+(+)=-+, 设m=,因为=a n+1-(3a n+2),-+=a n+1-(3a n+2),所以-m=a n+1,m=-(3a n+2),所以a n+1=(3a n+2),所以a n+1+1=3(a n+1),因为a1+1=2,所以{a n+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以a n+1=2·3n-1,所以a n=2·3n-1-1.8.B 因为点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,所以F1(-c,0),F2(c,0),A,B,因为△ABF2是锐角三角形,所以∠AF2F1<45°,所以tan∠AF2F1<1,所以<1,整理,得b2<2ac,所以a2-c2<2ac,两边同时除以a2,并整理,得e2+2e-1>0,解得e>-1,或e<--1(舍),又因为0<e<1,所以椭圆的离心率e的取值范围是(-1,1).【误区警示】解答本题易出现以下错误:一是没有注意椭圆离心率的范围,而选错答案;二是运算错误得出错误选项.9.A 方程+=2表示的是动点P(x,y)到点A(-1,0),B(1,0)的距离之和为2,即有P的轨迹为线段AB:y=0(-1≤x≤1),直线l:y=kx+1-2k为恒过定点C(2,1)的直线,k AC==,k BC==1,直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点,等价为k AC≤k≤k BC,即为≤k≤1. 【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是不能观察曲线方程,造成不会解题;二是没有注意x的取值范围,误将线段当作直线去做,造成结果错误.10.【解题提示】确定抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,进而可得b与a的关系,再利用抛物线的定义,结合P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,可得FF1的值,从而可求双曲线的几何量,从而得出双曲线的方程.C 抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,因为抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,所以=,所以a=2b.因为P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,所以FF1=3,所以c2+4=9,所以c=,因为c2=a2+b2,a=2b,所以a=2,b=1,所以双曲线的方程为-x2=1.11.【解析】由实数x,y满足作出可行域如图:因为z=x+2y,作出直线y=-x,当直线y=-x过点O时z取得最小值,所以z=x+2y的最小值是0.答案:012.【解析】因为双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=-5,即焦点坐标为(-5,0),所以c=5,因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,所以=2,因为c2=a2+b2,所以a2=5,b2=20,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=113.【解题提示】先进行换元,令lgx=t,则得t2-2=[t],作y=t2-2与y=[t]的图象可得解的个数.【解析】令lgx=t,则得t2-2=[t].作y=t2-2与y=[t]的图象,知t=-1,t=2,及1<t<2内有一解.当1<t<2时,[t]=1,所以t=.故得:x=,x=100,x=1,即共有3个实根.答案:314.【解题提示】求出圆心到直线的距离大于半径,结合对任意α∈R恒成立,即可求得实数m的取值范围.【解析】由题意,圆心到直线的距离d=|mcosα+msinα-2sin-4|>1,所以|(2m-2)sin-4|>1,所以(2m-2)sin-4>1或(2m-2)sin-4<-1,所以-<m<.答案:-<m<15.【解析】根据题意由双曲线的性质:焦点到渐近线的距离等于b可得:||=b,则||=3b,||=a,||=c,cos∠F1OM=cos(π-∠MOF2)=-cos∠MOF2=-,在△MF1O中,由余弦定理可知=-,又因为c2=a2+b2,所以a2=2b2,即=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【加固训练】若点P是椭圆+y2=1上的动点,则点P到直线l:y=x+1的距离的最大值是.【解析】设P(cosθ,sinθ),则点P到直线l:y=x+1的距离为= .所以点P到直线l:y=x+1的距离的最大值是=.答案:16.【解析】(1)因为f(x)=sin2x-cos2x+cos2x+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin.所以函数f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(α)=,所以sin=,所以sin=,因为α∈,所以≤2α+≤,所以cos=-,所以cos2α=cos=cos cos+sin sin=-×+×=-.17.【解题提示】(1)根据勾股定理的逆定理得BC⊥PB,由四边形ABCD 为矩形,得BC⊥AB,从而BC⊥平面PAB,进而平面PAB⊥平面ABCD,由此能证明PH⊥平面ABCD,从而可得PH⊥AC.(2)由V P-EHD=V D-PEH,利用等积法能求出三棱锥P-EHD的体积.【解析】(1)因为PAB为正三角形,AB=2,所以PB=AB=2,因为BC=,PC=,所以PC2=BC2+PB2,所以根据勾股定理的逆定理得BC⊥PB,因为四边形ABCD为矩形, 所以BC⊥AB,因为PB,AB⊂平面PAB且交于点B,所以BC⊥平面PAB,因为BC⊂平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.因为点H为AB的中点,△PAB为正三角形,所以PH⊥AB,所以PH⊥平面ABCD,因为AC⊂平面ABCD,所以PH⊥AC.(2)由(1)知DA⊥平面PEH,DA=BC=,S△PEH=S△PAB=×××2=,所以三棱锥P-EHD的体积V P-EHD=V D-PEH=×DA×S△PEH=××=.18.【解析】(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.所以+=1,①且=,②由①,②解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线PQ的斜率为定值,证明如下:由题意可得直线MP,MQ的斜率都存在.设P(x1,y1),Q(x2,y2).直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,因为-2,x1是该方程的两根,所以-2x1=,即x1=.设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),同理得x2=.因为y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),所以k PQ====1,因此直线PQ的斜率为定值.19.【解题提示】(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意建立方程组,求得d和a1,根据等差数列的通项公式和求和公式,分别求得a n及前n 项和S n.(2)由(1)中的a n和S n,根据迭代法得:b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1,结合条件化简后求得b n,再利用裂项法求得,代入前n项和T n再相消后化简即可.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则解得所以a n=2n+3,S n==n(n+4).(2)因为b n+1-b n=a n,所以b n-b n-1=a n-1=2n+1(n≥2,n∈N*),当n≥2时,b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=a n-1+a n-2+…+a1+b1=S n-1+b1=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),对b1=3也适合,所以b n=n(n+2)(n∈N*),所以==,则T n===.20.【解析】(1)设直线AB的方程为bx+ay-ab=0,坐标原点到直线AB 的距离为=,=,又因为a=b,解得a=4,b=2,故椭圆的方程为+=1.(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F1(-2,0),易知直线l的斜率不为0,故可设直线l:x=my-2,点M(x1,y1),N(x2,y2), 因为四边形MONP为平行四边形,所以,=+=(x1+x2,y1+y2)⇒P(x1+x2,y1+y2).联立⇒(m2+2)y2-4my-8=0,则y1+y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4,所以x1+x2=,因为点P(x1+x2,y1+y2)在椭圆上,所以(x1+x2)2+2(y1+y2)2=16⇒+2=16⇒m=±,那么直线l的方程为x=±y-2.21.【解题提示】(1)代入a的值,求出定义域,求导,利用导数求出单调区间,即可求出极值.(2)直接对f(x)求导,根据a的不同取值,讨论f(x)的单调区间.(3)由第二问的结论,即函数的单调区间来讨论f(x)的零点个数.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=0时,f(x)=lnx+,f′(x)=-=.令f′(x)=0,解得x=1,当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞);所以x=1时,f(x)有极小值为f(1)=1,无极大值.(2)f′(x)=a--==(x>0),令f′(x)=0,得x=1或x=-,当-1<a<0时,1<-,令f′(x)<0,得0<x<1或x>-,令f′(x)>0,得1<x<-;当a=-1时,f′(x)=-≤0.当a<-1时,0<-<1,令f′(x)<0,得0<x<-或x>1,令f′(x)>0,得-<x<1;综上所述:当-1<a<0时,f(x)的单调递减区间是(0,1),,单调递增区间是;当a=-1时,f(x)的单调递减区间是(0,+∞);当a<-1时,f(x)的单调递减区间是,(1,+∞),单调递增区间是.(3)当a≥0时,f′(x)=(x>0),f′(x)=0(x>0)仅有1解,方程f(x)=0至多有两个不同的解.由(2)知-1<a<0时,极小值f(1)=a+1>0,方程f(x)=0至多在区间上有1个解.a=-1时f(x)单调,方程f(x)=0至多有1个解;a<-1时,f<f(1)=a+1<0,方程f(x)=0仅在区间内有1个解;故方程f(x)=0的根的个数不能达到3.关闭Word文档返回原板块。

2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
课时规范练29　两角和与差的三角函数、二倍角公式
基础　巩固练
B
D
D
AC　
B
6.(2024·广东茂名模拟)下列四个函数中,最小正周期T 与其余三个函数不同的是( )
A.f (x )=cos 2x+sin x cos
x
C
7.(2024·广东梅州模拟)在平面直角坐标系中,点A(2,1)绕着原点O顺时针旋转60°得到点B,点B的横坐标为 .
综合　提升练
A
11.(2024·山东泰安高三期末)已知函数f(x)=2sin x+4cos x在x=φ处取得最大值,则cos φ=( )
A
C
1
创新　应用练
14.(2024·浙江镇海中学模拟)赵爽弦图是中国古代数学的重要发现,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).已知小正方形的面积为1,直角三角形中较小的锐角为θ,且tan ,则大正方形
的面积为( )
A.4
B.5
C.16
D.25
D
B
解析因为α,β∈(0,π2),sin(2α+β)=2sin β,所以sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α], sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=2[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α],即
0,tan β>0,
3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α,所以tan(α+β)=3tan α,因为tan α>
本 课 结 束。