利用导数研究函数的单调性

利用导数研究含参函数单调性函数的单调性是指函数随着自变量的变化，函数值的增减规律。

利用导数可以研究含参函数的单调性。

考虑含参函数$f(x;a)$，其中$a$是函数的参数。

我们希望研究函数$f$相对于自变量$x$和参数$a$的单调性。

首先，我们来研究函数相对于自变量$x$的单调性。

要研究函数$f(x;a)$的单调性，我们需要计算其导数。

记$f'(x;a)$为函数$f(x;a)$的导数。

根据导数的定义，我们有$$f'(x;a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x;a) - f(x;a)}{\Delta x}$$这表示了函数$f(x;a)$在$x$处的切线的斜率。

我们可以通过计算导数来研究函数的单调性。

具体来说，当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终大于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递增的；当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终小于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递减的。

例如，考虑函数$f(x;a) = ax^2 + bx + c$，其中$a,b,c$是参数。

我们可以计算其导数$f'(x;a) = 2ax + b$。

当$a>0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上大于零，这表示函数$f(x;a)$是递增的；当$a<0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上小于零，这表示函数$f(x;a)$是递减的。

接下来，我们来研究函数相对于参数$a$的单调性。

要研究函数$f(x;a)$相对于参数$a$的单调性，我们需要计算其偏导数。

记$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a)$为函数$f(x;a)$相对于参数$a$的偏导数。

根据偏导数的定义，我们有$$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{f(x;a+\Delta a) - f(x;a)}{\Delta a}$$类似地，我们可以通过计算偏导数来研究函数相对于参数的单调性。

高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵f（x）=x3+ax-2，∴f′（x）=3x2+a，∵函数f（x）=x3+ax-2在区间[1，+∞）内是增函数，∴f′（1）=3+a≥0，∴a≥-3．故选B．.【考点】利用导数研究函数的单调性．.2.已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；【答案】(1)详见解析（2）.【解析】（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；（2）函数f（|x|）是偶函数，只要f（x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．试题解析：解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是． 4（2）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．【考点】1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究函数的单调性．.3.已知函数f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R．（1）若a＝－4，求函数f(x)的单调区间；（2）求y＝f(x)的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）．【答案】（1）f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。

（2）ⅰ. 7分ⅱ.当时，若,由函数的单调性可知f(x)有极小值点；有极大值点。

若时， f(x)有极大值点,无极小值点。

【解析】（1）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。

所以，，故，f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。

（2）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。

利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区间 例：求下列函数的单调区间. (1)y = 2x 3— 3x 解：⑴由题意得y '=6x 2— 3. (2)f (x ) = 3x 2 - 2ln x . 2 或 x > 2 ， 当x € (— 8，— )时，函数为增函数，当 x € ，+8 )时，函数也为增函数. 2 2 令 y '=6x 2— 3 >0 ,解得 x v — 令 y '=6x 2— 3 v 0 , 解得二v x v2当x € (— -, 2)时，函数为减函数. 2 2 故函数的递増区间为(一8,--^)和(-^ ,+8 )，递减区间为(一-^，-^).⑵函数的定义域为(0，+8 )， 2 3x 2— 1 f '(x ) = 6x —-= 2 • x3x 2 — 1 “ 3• ------ >0.且 x >0,可解得 x >—; x 3 3x 2— 1 - 3 • v 0，由 x > 0 得，0 v x v ， x 3 •••f(x )的增区间为(十，+8 )，减区间为(0, 十). 3 3 令 f '(x ) > 0，即令 f '(x )v 0，即规律总结： 1•在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义 域内讨论，定义域为实数集 R 可以省略不写. 2 .当求得的单调区间不止一个时， 单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“U 连接，如(1)题中的增区间. 变式训练：求下列函数的单调区间： (1)求函数f (x ) = 2x 3— 9x 2 + 12x — 3的单调区间; ⑵求函数y = x 3 — 2x 2 + x 的单调区间. 【解】(1)此函数的定义域为 R, f '(x ) = 6x 2— 18x + 12 = 6(x — 1)(x — 2). 令 6(x — 1)(x — 2) v 0,解得 1 v x v 2 , 所以函数f (x )的单调递减区间是(1,2).1或x v 一.3因此y= x3—2x2+ x的单调递增区间为1 （1, ）, （—m，?）•令 6(x— 1)(x — 2) >0,解得x>2 或x v 1 ,所以函数f(x)的单调递增区间是(2 ,+^ ),(—汽1). ⑵此函数的定义域为R.y '=3x2— 4x+ 1,令 3x2— 4x + 1 >0 ,解得x >11再令 3x2— 4x + 1 v 0,解得一v x v 1.31因此y= x3— 2x2+ x的单调递减区间为（才,1）.bx例：讨论函数f(x)= 2 ---- (— 1 v x v 1 , b丸)的单调性.x2— 1【思路探究】(1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)若先讨论x € (0,1) 上的单调性，能否判断f '(X)在(0,1)上的正负？b的取值对其有影响吗？解：因f(x)的定义域为(一1,1)；函数f(x)是奇函数，.••只需讨论函数在 (0,1)上的单调性.“ b(x21)•f (x)= 2 2~(x 1)t」2 2 2(x21)当 0 v x v 1 时，x2+ 1 > 0, (x2— 1)2> 0,••• T 20(x 1)•••当b > 0 时，f'(x) v 0. •••函数f(x)在 (0,1)上是减函数；当b v 0时，f'(x)>0 ,•函数f(x)在(0,1)上是增函数；又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知: 当b > 0时，f(x)在(—1,1)上是减函数；当b v 0时，f(x)在(—1,1)上是增函数.规律方法：1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f '(x)>0(f'(x)v 0)在给定区间上恒成立.一般步骤为：①求导数f(X);②判断f'(x)的符号;③给出单调性结论.2 .导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论.变式训练：b求函数y = x+一(b工0)的单调区间.xb b x2—b【解】函数y = x +一（b工0）的定义域为{x|x^0}, y' = — _= 厂x x2 x2①当b v 0时，在函数定义域内y ' >恒成立，所以函数的单调递增区间为(一3 0)和(0, )；②当b > 0时，令y，解得x>r b或x v—- b，所以函数的单调递增区间为(一® —-，：b) 和(” ,：b ,+^ )；令y 'V，解得—” b v x v ; b且x丸, 所以函数的单调递减区间为(一, 0)和(0 , 'b).题型二：利用函数单调性求参数1 1例: (2013 •郑州模拟函数f(x)= ax+ x ln x,且图象在点(一，f(-))处的切线斜率为1(e为自e ef (x) x然对数的底数).(1)求实数a的值；(2)设g(x) ，研究函数g(x)的单调性x 11解：(1)f(x) = ax+ x ln x, f'x(= a + 1 + In x，依题意f'(-) = a= 1，所以a = 1. ef (x) x x ln x x— 1 — In x⑵因为g(x) =莒，所以g 'X-；—1 设 0(x)= x — 1 — In x，贝U『x( = 1 —一.x1当x>1时，『x(= 1 —_>0 , 0(x)是增函数,x对？x>1 , 0(x)> 0(1) = 0,即当x>1 时，g '刈>0 ,故g(x)在(1 ,+^ )上为增函数；1当0< x<1时，『刈=1—一<0 , 0(x)是减函数，x对？x€ (0,1) , 0(x)> 0(1) = 0,即当 0<x<1 时，g 'x(>0 ,故g(x)在(0,1)上为增函数.方法规律：1 •导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f 'x(; (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f 'x(>0和f '刈<0 ; (4)根据⑶的结果确定函数f(x)的单调区间.2 .导数法证明函数f(x)在(a, b)内的单调性的步骤：(1)求f' x( ； (2)确认f'x)在(a, b)内的符号；(3)作出结论：f 'x(>0时为增函数；f'刈<0时为减函数.3 .导数法求参数的取值范围：已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'x) > 0(或f '刈< 0) x€ (a, b),转化为不等式恒成立求解.训练:解：函数 f (x)的定义域为(0, ), f '(x) 2x -(2x) 1 (2x 1)(2x 1) 2x 2x 2x由f'(x) 0 得x1，由 f'(x)，要使函数在定义域内的一个子区间k 1,k 1内不是单调函数，则有0 k 1k 1,解得1 k -，即k的取值范围2 3是［叱).22.(2013 数且a丰f(x)= (x + a)2—7b ln x + 1，其中a, b 是常)上单调递增，求a的取值范围；1.若函数f x x Inx 1在其定义域内的一个子区间k 1,k 1内不是单调函数,2则实数k的取值范围__________________ .•湖北省八校高三第二次联考)已知函数0.(1) bir 1 时，f(x)在区间(1 ,+^4⑵当b = -a2时，讨论f(x)的单调性.7【解】 (1)b三 1 ,「.f(x) = (x + a)2— 7ln x + 1 ,.f(x) = 2x + 2a—x7•••当x>1时，f(x)是增函数，••• f 'x( = 2x + 2a —一》0在x>1时恒成立.x7即a>——x在x>1时恒成立.2x7 7 5 5•.•当x>1 时，y = —x 是减函数，.••当x>1 时，y = —x< — ,「.a h.2x 2x 2 25故a的取值范围是［2宀).4(2) b' = ；a2,.・.f(x)= (x + a)2— 4a2ln x+ 1, x € (0 ,+^ ).2x2+ 2ax— 4a2 2 (x—a)( x+ 2a)•f(x)= = .x x当a>0时，f'刈>0，得x> a或x< — 2a,故f(x)的减区间为(0, a)，增区间为(a,+^ )；当a<0时，f' x)>0，得x> — 2a或x< a，故f(x)的减区间为(0，— 2a)，增区间为(一2a,a3.设函数f(x) = ax—一一 2ln x.x(1) 若f'(2) = 0,求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.a 2解：⑴W)的定义域为(0,+^),律)=o,且f'(x)= a+X2-；，a 4•••a+4 -仁0=5.3分4 4 2 2f心5+门—厂尹—5x+2)，1由f'(x) > 0 结合x > 0 ,得 0 v x v 或x > 2 ,1 1•••f(x)的递增区间为(0, 2］和［2宀)，递减区间为(2，2).6分⑵若f(x)在定义域上是增函数，则f '(x)>0对x>0恒成立，8分a 2 ax2— 2x+ a•f(x) = a + 二— = 2 ，•需x>0 时ax2— 2x+ a» 恒成立 10 分x2 xx22x化为a对x>0恒成立，x2+ 12x 2••• 一 = <1，当且仅当x = 1时取等号.x2+1 1x + 一x•••a>1，即a€ [1 ,+s).12 分3x4•已知函数f(x)= — 2x2+ In x,其中a为常数.(1)若a = 1，求函数f(x)的单调区间;a若函数f(x)在区间［1,2］上为单调函数，求a的取值范围.解：(1)若a= 1 时，f(x) = 3x — 2x2+ In x，定义域为(0,+^ ),1 — 4x2+ 3x + 1f' x( = 一一 4x + 3 =x x (4x 1)(x 1)x(x>0).当f 'x(>0 , x € (0,1)时，函数f(x) = 3x — 2x2+ In x 单调递增.当f '刈<0 , x € (1 ,+s )时，函数(x) = 3x —2x2+ In x 单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1 ,+^ ).3 1(2)f 'x( = -— 4x +一，若函数f(x)在区间［1,2］上为单调函数，即在［1,2］上,a x3 1 3 1f '刈= —4x + 一>0 或f' x) = —4x + 一< 0 ,a x a x即一一4x+—》0或一一4x+—W0在［1,2］上恒成立.即一》4x— -或—W4x.axax a x a x1 3 3令h(x)= 4x-一，因为函数h(x)在［1,2］上单调递增，所以一》h(2)或w h(1),x a a3 15 3 2即—》—或一w 3，解得a<0或0< aw—或a > 1.a 2 a 5题型三：利用导数解决不等式例：定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),已知f(x 1)是偶函数且(x 1)f '(x) 0.若为x2，且为x2 2,则f (x1)与f(x2)的大小关系是A. f(xj f(X2)B.f(xJ f(X2)C. f(G f(X2)D.不确定解析：由(x 1)f '(x) 0可知，当x 1时,f '(x) 0函数递减.当x 1时,f '(x) 0函数递增•因为函数f(x 1)是偶函数，所以f (x 1) f (1 x), f (x) f (2 x),即函数的对称轴为x 1.所以若1 X1 x2 ,则f(X1) f(X2)•若X1 1 ,则必有X2 2,则X2 2 X1 1,此时由f(X2)f(2 X1),即f(X2)f (2 为)f(xj，综上f(x) f (X2)，选 C.变式训练：1.函数f (x)在定义域R内可导，若f(1 x) f (1 x),且当x ( ,1)时，1(x 1) f (x) 0,设a f(0) , b f(—), c f (3)，则(D)2A. a b cB. b c aC. c b aD. cab2•已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f (x) = f (4 x),且当x 2时其导函数f (X)满足xf (x) 2f (X),若2 a 4则a aA. f(2 ) f(3) f (log 2 a)B. f(3) f (log 2 a) f (2 )C. f (log 2a) f (3) f(2a)D. f (log2a) f(2a) f(3)解：由f (x) = f (4 x),可知函数关于x 2对称.由xf (x) 2 f (x),得(x 2) f (x) 0, 所以当x 2时，f(x) 0 ,函数递增，所以当x 2时，函数递减.当A、 f (0)<f (0.6)<f (-0.5)B、f (0)<f (-0.5)<f(0.6)C、f (0.6)<f (-0.5)<f(0)D、f(-0.5)vf (0)<f (0.6)解：因为函数f(x)=x2 cosx为偶函数，所以f( 0.5) f(0.5)，f' (x)=2x sinx ‘丄或0 x -,即不等式的2 2 2 a 4,1 log2 a 2,222a24,即4 2a16.所以f (log2 a) f(4 log2a),所以2 4 log2a3 ,即24 log2 a 3 2a,所以f(4 log2a) f(3) f(2a),即f (log 2 a) f (3) f(2a)，选 C.3.已知函数f(x)=x2-cosx，贝U f (0.6),f (0),f (-0.5)的大小关系是0 x时，f' (x)=2 x sin x 0 ，所以函数在0 x~递增，所以有f(0)vf (0.5)<f(0.6)，即f (0)<f( 0.5)<f(0.6)，选B4 . [2013 •太原模]已知函数f(x + 1)是偶函数，且x>1时，f'M)<0恒成立, 又f(4) = 0 ,则(x +3)f(x+ 4)<0 的解集为()A. ( — s,—2) U (4 ,+s B) (—6, -3) U (04)C. (—s,—6) U (4 ,+s D). ( — 6 , —3) (0 ,+s)解：函数f(x +1)是偶函数，其图象关于y轴对称，这个函数图象向右平移1个单位得函数y = f(x)的图象，可得函数y = f(x)的图象关于直线x = 1对称，x>1时，f'x()v0恒成立，说明函数在(1 ,+s )上单调递减，根据对称性可得函数在(—s, 1)上单调递增•根据f(4) = 0 可得当x>4时，f(x)<0，根据对称性可得当x< — 2时，f(x)<0，当一2<x<1或1< x<4时,x+ 3>0 , x + 3<0 , x + 3>0 ,f(x)>0.不等式(x+ 3)f(x + 4)<0等价于或当时，f (x + 4) <0 f (x+ 4) >0. f ( x+ 4) <0x> — 3, x+ 3<0 , x v — 3,解得x>0 ;当时，x+ 4>4 或x + 4< — 2 , f (x + 4) >0 — 2< x + 4<1 或 1< x + 4<4 ,解得—6<x< — 3.故不等式(x + 3) f(x+ 4)<0 的解集为(—6 , — 3) U (0 ,+s ).15.设f (x)是定义在 R上的奇函数，当x 0时，f '(x) 0 ,且f ( ?) 0 ,则不等式f (x) 0的解集为_____ .解：因为函数f (x)为奇函数。

高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.设f（x）＝ax3＋bx＋c为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′（x）的最小值为－12.（1）求a，b，c的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数f（x）在[－1,3]上的最大值与最小值．【答案】（1）a＝2，b＝－12，c＝0.；（2）函数的单调递增区间为（－∞，－），（，＋∞）．的极大值为，极小值为又，所以当时，取得最小值为，当x＝3时取得最大值1.【解析】利用导数的几何意义求曲线在点（1，f（1））处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）∵为奇函数，∴．即∴.∵的最小值为－12，∴.又直线x－6y－7＝0的斜率为，因此，故，，.（2）f（x）＝2x3－12x，f′（x）＝6x2－12＝6（x＋）（x－），列表如下（－∞，－－（－，）（，＋∞））＋0－＋所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－），（，＋∞）．f（x）的极大值为f（－）＝8，极小值为f（）＝－8又f（－1）＝10，f（3）＝18，所以当x＝时，f（x）取得最小值为－8，当x＝3时f（x）取得最大值1【考点】（1）由函数的性质求参量；（2）函数性质的应用.2.已知是实数，函数。

（Ⅰ）若=3，求的值及曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最大值。

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先求出，然后直接利用得到的值，最后将的值代入中求出得到切点，而切线的斜率等于，写出切线方程即可；（Ⅱ）令即可求出的值，利用的值分三个区间讨论的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值即可．试题解析：（Ⅰ），因为，所以．又当时，，，所以曲线在处的切线方程为．（Ⅱ）令，解得，．当，即时，在上单调递增，从而．当，即时，在上单调递减，从而．当，即时，在上单调递减，在上单调递增，从而．综上所述，【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．3.已知函数为自然对数的底数）（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在上单调递减，求的取值范围．【答案】（I）当时，函数的极小值为，极大值为；（II）的取值范围是．【解析】（I）先确定函数的定义域，然后求出函数的导函数，在函数的定义域内解不等式和，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可.（II）令导函数在时恒成立即可求出的取值范围.试题解析：（I）当时，，当变化时，，的变化情况如下表：－＋－所以，当时，函数的极小值为，极大值为（II）令①若，则，在内，，即，函数在区间上单调递减；②若，则，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减；③若，则，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减.综上所述，函数在区间上单调递减时，的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系.4.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，因此函数在区间上是减函数，，已知是定义在上的非负可导函数，且满足因此所以是减函数，，当等号成立.【考点】函数的单调性与导数5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】(,+)【解析】求导得==，由题在上单调递增知 =≥0，即对恒成立，设=(),=,当时，，当时，，所以在（1，）是增函数，在（）上是减函数，故当=时，取最大值=，所以.【考点】常见函数的导数；导数的运算法则；导数与函数单调性的关系6.已知函数在区间上为减函数，则的取值范围是__ ___．【答案】【解析】因为，由，所以函数的单调减区间为，要使函数在区间上为减函数，则，所以．【考点】函数的单调性与导数．7.函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a＜1C．a＜0D．a≤1【答案】【解析】当时,在上为减函数,成立;当时, 的导函数为,根据题意可知, 在上恒成立,所以且,可得.综上可知.【考点】导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立.8.设，（1）若在处有极值，求a；（2）若在上为增函数，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）先求原函数的导数，知-1是极值点，然后解方程即可.（2）转化为>0对恒成立，即在上恒成立，在上最小值为，所以.（1）由已知可得f(x)的定义域为，又，-2分由已知. 3分经验证得符合题意 4分（2）解：>0对恒成立，， 7分 因为，所以的最大值为的最小值为， 11分又符合题意， 所以； 12分【考点】导数的几何意义；不等式恒成立问题.9. 设函数在R 上可导，其导函数为且函数的图像如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）A ．函数的极大值是，极小值是B ．函数的极大值是，极小值是C ．函数的极大值是，极小值是D ．函数的极大值是，极小值是【答案】D 【解析】当时，且，所以；当时，且，所以；当时，且，所以；当时，且，所以。

用导数研究含参函数的单调性导数是研究函数在各个点上的斜率或变化率的工具，可以用来研究含参函数的单调性。

含参函数是指函数中包含一个或多个参数的函数。

研究含参函数的单调性，既可以固定参数的值，将其视为常数，研究含参函数的单调性；也可以将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性。

一、固定参数的值，研究含参函数的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，固定参数$\theta$的值，将其视为常数。

此时，可将含参函数简化为仅含有变量$x$的函数$f(x)$。

然后利用导数的概念和性质来研究这个简化后的函数$f(x)$的单调性。

具体步骤如下：1.求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$，即计算$f(x)$关于$x$的导数。

这一步可以直接用导数的定义来计算，或者应用常见函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式。

2.求出函数$f'(x)$的零点，即求出方程$f'(x)=0$的解。

这些零点对应于函数$f(x)$的驻点，它们是函数在一些点上的斜率为0的点。

3.利用导数的符号来研究函数$f(x)$的单调性。

若$f'(x)>0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为正，则函数$f(x)$单调递增；若$f'(x)<0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为负，则函数$f(x)$单调递减。

4.将求出的零点和函数的特殊点（如端点、奇点等）放在数轴上，根据导数的符号，划分函数$f(x)$的单调区间。

通过以上步骤，可以得到函数$f(x,\theta)$在固定参数$\theta$的取值下，函数$f(x)$的单调性。

二、将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，可以将参数值$\theta$看作是一个变量，通过改变参数值来研究函数的单调性。

这种情况下，可以使用偏导数来研究含参函数的单调性。

导数在研究函数中的应用——单调性教学目标：①能探索并应用函数的单调性与导数的关系；②求一些简单的非初等函数的单调区间；③能由函数的单调性绘制函数图象．教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求一些简单的非初等函数的单调区间．教学难点：导数与单调性之间的联系，利用导数绘制函数的大致图象．教学设计：一、问题情境问题一 求函数342+-=x x y 的单调区间．问题二 判断或证明函数的单调性常用方法有那些？问题三 你能确定函数762)(23+-=x x x f 的单调区间吗？问题四 除了单调性是对函数变化趋势（上升或下降的陡峭程度）的刻画，还有什么知识也刻画了函数变化的趋势？设计意图：以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数或非初等函数判断单调性，在用定义法、图象法很不方便时，如何思考、化未知为已知，让学生积极主动地参与到学习中来．二、数学建构问题五 能不能利用导数研究函数的单调性呢？问题六 导数与单调性有何联系？如何寻找？导数与函数的单调性的关系一般地， 对于函数y ＝f （x ），如果在某区间上f ′(x )＞0，那么f （x ）为该区间上的增函数；如果在某区间上f ′(x )＜0，那么f （x ）为该区间上的减函数．设计意图：通过观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．三、数学应用例1.确定下列函数的单调区间：（1）x x y ln -= （2）xx y ln =（3）x xe y =总结利用导数讨论函数单调性的步骤：①求函数的定义域；②求函数f (x )的导数f ′(x )；③令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.④书写答案注意连接词.问题六 确定函数762)(23+-=x x x f 的单调区间，并作出草图.问题七 画出下列函数的草图①71862)(23++-=x x x x f ②7662)(23++-=x x x x f设计意图：通过具有开放性问题的设计，可以拓展学生思维，有利于学生对函数单调性与导数关系的更深层次的理解，进一步培养学生作函数图象与使用数形结合解决问题的意识．课后思考题 ①求函数xa x y +=)(R a ∈的单调区间. ②画出3x y =的图象，试问导函数0)(>'x f 是函数)(x f y =单调递增的 的条件.设计意图：这个问题是个难点，课上如果讲是讲不透的，课后让学生思考，可以有足够的时间去理解．另外，在给定函数下思考，可以使得问题的针对性更强，否则学生不知如何入手．对由已知单调增（减）的导数应该大于（小于）或等于零这个结论，只要让学生通过实例感受到为什么，在以后的使用中不漏解即可，而不必要做理论上的论证．四、课堂小结；通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？本节课我们用到了哪些数学思想方法？设计意图：通过小结，培养学生学习——总结——反思的良好习惯，使学习更上一个台阶．五、课堂练习1.确定下列函数的单调区间（1）2x x y -= （2）3x y -=2.讨论函数的单调性（1）b kx y += （2）xk y =（3）)0(2≠++=a c bx ax y 3.用导数证明：（1）x e x f =)(在区间()+∞∞-,上是增函数； （2）x e x f x-=)(在区间()0,∞-上是减函数.。

专题3.3 利用导数研究函数的单调性-重难点题型精讲函数的单调性与导数的关系条件 恒有 结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )>0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )<0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0f (x )在(a ，b )内是常数函数【思考】“f(x )在区间(a ，b )上是增函数，则f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立”，这种说法是否正确？ 提示 不正确，正确的说法是：可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任一非空子区间内都不恒为零．【题型1 不含参函数的单调性】 【方法点拨】确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．【例1】（2021春•鞍山期末）函数f（x）=xx2+1的单调递减区间为．【解题思路】根据题意，求出函数的导数，解f′（x）≤0，利用导数与函数单调性的关系分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数f（x）=xx2+1，其导数f′（x）=(x2+1)−x×(2x)(x2+1)2=1−x2(x2+1)2，若f′（x）≤0，即1−x2(x2+1)2≤0，解可得：x≤﹣1或x≥1，即函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1]、[1，+∞）；故答案为：（﹣∞，﹣1]、[1，+∞）．【变式1-1】（2021春•资阳期末）函数f（x）=√x•lnx的递增区间为（）A．(1e2，+∞)B．(1e，+∞)C．(0，1e2)D．(0，1e)【解题思路】对f（x）求导，令f′（x）＞0，即可求得函数的递增区间．【解答过程】解：f（x）=√x•lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=12√x lnx+√xx=1√x（12lnx+1），令f′（x）＞0，解得x＞1e2，即函数f（x）=√x•lnx的递增区间为（1e2，+∞）．故选：A．【变式1-2】（2021春•修水县期末）已知函数f(x)=(x−1)e xx2+1．求函数f（x）的单调区间．【解题思路】对f（x）求导，利用导数与单调性的关系即可求解；【解答过程】解：f′（x）=xe x(x2+1)−(x−1)e x(2x)(x2+1)2=x(x2−2x+3)e x(x2+1)2，令f′（x）＞0，可得x＞0，令f′（x）＜0，可得x＜0，∴（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．【变式1-3】（2021•全国四模）已知f（x）＝e x．求关于x的函数g（x）＝f（x）﹣4f（﹣x）﹣5x的单调区间．【解题思路】依题意，得g（x）＝e﹣x（e x﹣1）（e x﹣4），由g′（x）＞0可得g（x）的增区间，g′（x）＜0可得g（x）的减区间；【解答过程】解：g（x）＝e x﹣4e﹣x﹣5x，g′（x）＝e x+4e﹣x﹣5＝e﹣x（e x﹣1）（e x﹣4），∴g′（x）＞0⇔x＞ln4或x＜0，g（x）的增区间为（﹣∞，0），（ln4，+∞）；g′（x）＜0⇔x＞0＜x＜ln4，g（x）的减区间为（0，ln4）；【题型2 含参函数的单调性】【方法点拨】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．【例2】（2021•湖南模拟）已知函数f（x）＝x3+3a（x+1）（a∈R）．讨论f（x）的单调性．【解题思路】对函数f（x）求导，分a≥0及a＜0讨论导函数与0的大小关系，即可求得单调性；【解答过程】解：f′（x）＝3x2+3a，①当a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；②当a＜0时，令f′（x）＞0，解得x＜−√−a或x＞√−a，令f′（x）＜0，解得−√−a＜x＜√−a，∴f（x）在(−∞，−√−a)，(√−a，+∞)上单调递增，在(−√−a，√−a)上单调递减；综上，当a≥0时，f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在(−∞，−√−a)，(√−a，+∞)上单调递增，在(−√−a，√−a)上单调递减；【变式2-1】（2021•肥城市模拟）已知函数f(x)=ln(x+a)−xx+a，a∈R．讨论f（x）的单调性．【解题思路】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；【解答过程】解：由已知可得函数f（x）的定义域为（﹣a，+∞），f′(x)=x(x+a)2，当a≤0时，x＞﹣a≥0，故f'（x）＞0，f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增；当a＞0时，x∈（﹣a，0）时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣a，0）上单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（﹣a，+∞），无单调递减区间；当a＞0时，f（x）的单调递减区间是（﹣a，0），f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．【变式2-2】（2021•庐阳区校级模拟）已知函数f(x)=a2(x−2)2−x+2lnx(a＞0)．讨论f（x）的单调性．【解题思路】可得f′(x)=(x−2)(ax−1)x，分a=12，0＜a＜12，a＞12三类讨论，可得f（x）的单调性；【解答过程】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a(x−2)−1+2x=(x−2)(ax−1)x，令f'（x）＝0，则x1＝2，x2=1 a．（ⅰ）若a=12，则f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．（ⅱ）若0＜a＜12，则1a＞2，当x∈(0，2)∪(1a，+∞)时，f'（x）＞0；当x∈(2，1a)时，f'（x）＜0．（ⅲ）若a ＞12，则0＜1a ＜2，当x ∈(0，1a )∪(2，+∞)时，f '（x ）＞0；当x ∈(1a，2)时，f '（x ）＜0． 综上所述；当a =12时，f （x ）在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜12，f （x ）在（0，2），(1a，+∞)上是增函数，在(2，1a)上是减函数； 当a ＞12时，f （x ）在(0，1a )，（2，+∞）上是增函数，在(1a ，2)上是减函数． 【变式2-3】（2021•丙卷模拟）已知函数ℎ(x)=a 2x −a −1+lnxx，其中a ∈R ，若函数f （x ）＝x •h （x ），讨论f （x ）的单调性．【解题思路】由条件可得f ′（x ）=(2ax+1)(ax−1)x，然后分a ＝0，a ＞0，a ＜0三类讨论，可得f （x ）的单调情况；【解答过程】解：由题意，得2221()()()1(0)lnxf x x h x x a x a a x ax lnx x x+=⋅=⋅--=--->， 则222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x--+-'=--==①当0a =时，1()0f x x'=-<在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；②当0a >时，110,02x a a-<<>， 令()0f x '>，即(21)(1)0ax ax x +->，解得1x a >；令()0f x '<，即(21)(1)0ax ax x+-<，解得10x a <<，()f x ∴在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增；③当0a <时，110,02x a a<<->， 令()0f x '>，即(21)(1)0ax ax x +->，解得12x a >-； 令()0f x '<，即(21)(1)0ax ax x +-<，解得102x a<<-，()f x ∴在1(0,)2a-上单调递减，在1(,)2a -+∞上单调递增．综上，当0a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)2a-上单调递减，在1(,)2a -+∞上单调递增．【题型3 利用函数单调性比较大小】【例3】（2021•二模拟）已知a=12ln2+14，b=2e，c=lnπ+1π，则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解题思路】本题不能直接比较大小，所以先将a，b化为与c一样的形式，即a=12ln2+14+14=2ln2+14=ln4+14，b=2e=lne+1e，然后令f(x)=lnx+1x，利用导数求出函数的单调性，比较大小．【解答过程】解：令f(x)=lnx+1x，则f′(x)=−lnxx2，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上递增，令f′（x）＜0，解得：x＞1，所以f（x）在（1，+∞）上递减，由题：a=12ln2+14+14=2ln2+14=ln4+14=f（4），b=2e=lne+1e=f（e），c=lnπ+1π=f（π），因为e＜π＜4，所以f（e）＞f（π）＞f（4），即b＞c＞a，故选：B．【变式3-1】（2021•丙卷模拟）已知函数f（x）+f'（x）＝2m x，f（x）﹣f'（x）＝2m﹣x（m＞1），若a＝0.75，b＝70.5，c＝log51，则（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（a）＜f（b）＜f（c）【解题思路】根据条件得到f（x）＝e x+e﹣x，然后判断f（x）的奇偶性和单调性，再结合a＝0.75，b＝70.5，c＝log51，判断a，b，c的大小即可．【解答过程】解：由f（x）+f'（x）＝2m x与f（x）﹣f'（x）＝2m﹣x，得f（x）＝m x+m﹣x，f'（x）＝m x﹣m﹣x，所以m＝e，所以f（x）＝e x+e﹣x，由f（x）＝f（﹣x），知函数f（x）为偶函数．又f'（x）＝e x﹣e﹣x，当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．因为c=log51=0＜a=0.75＜1＜b=70.5，所以f（c）＜f（a）＜f（b）．故选：C．【变式3-2】（2021•皇姑区校级模拟）已知实数x ，y ，z 满足e y lnx ＝ye x 且e z ln 1x=ze x ，若y ＞1，则（ ）A ．x ＞y ＞zB ．x ＞z ＞yC ．y ＞z ＞xD ．y ＞x ＞z【解题思路】由选项确定比较x ，y ，z 三个字母的大小，题干中只有两个等式及y ＞1，所以先考虑到将等式变形，确定除x ＞1，z ＜0；在比较x 与y 的大小，构造出x ，y 的一个不等式，然后利用函数的单调性求解．【解答过程】解：因为e y•lnx ＝y •e x可e y y=e x lnx，∵y ＞1，e y＞0，∴e y y＞0，∴e x lnx＞0，∴lnx ＞0， ∴x ＞1，∵e z⋅ln 1x =z ⋅e x，∴e z z =e x ln1x=−e x lnx ＜0，∵e z ＞0， ∴z ＜0；（下面比较x ，y 的大小）令f （x ）＝x ﹣lnx ，f′(x)=1−1x =x−1x ，当x ＞1时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（1，+∞）上单调递增，∴x ＞1时，f （x ）＞f （1），即x ﹣lnx ＞1，一定有x ﹣lnx ＞0，∴x ＞lnx ＞0，∴e x x＜e x lnx①，又∵e xlnx=e x y，①式可化为e x x＜e y y，令g(x)=e xx ，则g′(x)=e x (x−1)x 2， 当x ＞1时，g ′（x ）＞0，∴g （x ）在（1，+∞）上单调递增， ∵x ＞1，y ＞1，e x x＜e y y，∴x ＜y ，综上：y ＞x ＞z 故选：D ．【变式3-3】（2021•渝水区校级模拟）已知x ∈(0，π4)，且a =2cos 2x+1e 2cos 2x，b =cosx+1e cosx ，c =sinx+1e sinx ，则a ，b ，c 的大小关系式为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【解题思路】构造函数g （x ）=x+1e x ，利用导数可得g （x ）在区间（0，+∞）单调递减，进一步分析可得2cos 2x ＞cos x ＞sin x ＞0，从而可得答案． 【解答过程】解：令g （x ）=x+1e x ， 则g ′（x ）=−xe x ，所以当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．① 因为x ∈(0，π4)， 所以cos x ∈（√22，1），2cos x ∈（√2，2），且cos x ＞sin x ＞0， 又2cos 2x ﹣cos x ＝cos x （2cos x ﹣1）＞0， 所以2cos 2x ＞cos x ＞sin x ＞0， 由①得a ＜b ＜c ， 故选：A ．【题型4 利用函数单调性解不等式】【例4】（2021•大通县一模）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （2）＝20，且f （x ）的导函数f '（x ）满足f '（x ）＞6x 2+2，则不等式f （x ）＞2x 3+2x 的解集为（ ） A ．{x |x ＞﹣2}B ．{x |x ＞2}C ．{x |x ＜2}D ．{x |x ＜﹣2或x ＞2}【解题思路】令g （x ）＝f （x ）﹣2x 3﹣2x ，结合条件判断g （x ）的单调性，将问题转化为g （x ）＞g （2），然后求出不等式的解集即可．【解答过程】解：令g （x ）＝f （x ）﹣2x 3﹣2x ，则g '（x ）＝f '（x ）﹣6x 2﹣2＞0， 所以g （x ）在R 上单调递增．因为g （2）＝f （2）﹣2×23﹣2×2＝0， 故原不等式等价于g （x ）＞g （2），所以x ＞2， 所以不等式的解集为{x |x ＞2}． 故选：B ．【变式4-1】（2021•全国卷模拟）f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （1）＝0，f '（x ）为f （x ）的导函数，且当x ∈（0，+∞）时f '（x ）＞0，则不等式f （x ﹣1）＞0的解集为（ ）A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解题思路】依题意，作出y＝f（x）的图象，得到f（x）＞0的解集，继而可得不等式f（x﹣1）＞0的解集．【解答过程】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）＝0，当x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，图形如下：∴f（x）＞0的解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞），又y＝f（x﹣1）的图象是y＝f（x）的图象向右平移一个单位，∴不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（2，+∞），故选：A．【变式4-2】（2021•长春模拟）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）+xf'（x）＞1（f'（x）为函数f（x）的导函数），则不等式（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x的解集为（）A．（0，1）B．（0，1]C．（0，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）【解题思路】构造函数g（x）＝xf（x）﹣x，求出函数的导数，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答过程】解：由（1+x）f（1﹣x2）＞f（1﹣x）+x，当x＜1时，可得（1﹣x）（1+x）f（1﹣x2）＞（1﹣x）f（1﹣x）+（1﹣x）x，即（1﹣x2）f（1﹣x2）＞（1﹣x）f（1﹣x）+x﹣x2，即（1﹣x2）f（1﹣x2）﹣（1﹣x2）＞（1﹣x）f（1﹣x）﹣（1﹣x），构造函数g（x）＝xf（x）﹣x，g'（x）＝f（x）+xf'（x）﹣1＞0，所以函数g（x）递增，则1﹣x2＞1﹣x，此时0＜x＜1，即0＜x＜1满足；当x＞1时，可得（1﹣x2）f（1﹣x2）﹣（1﹣x2）＜（1﹣x）f（1﹣x）﹣（1﹣x），由函数g（x）递增，则1﹣x2＜1﹣x，此时x＜0或x＞1，即x＞1满足；当x＝1时，2f（0）＞f（0）+1，即f（0）＞1满足f（x）+x⋅f'（x）＞1．综上，x∈（0，+∞），故选：C．【变式4-3】（2021•香坊区校级三模）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x＞0时，lnxf′（x）＜−1x f（x），则使得（x2﹣9）f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【解题思路】令g(x)＝f(x)lnx(x＞0),则当x＞0时，g(x)＝f(x)lnx单调递减，而g(1)＝0，于是可得当x∈(0,1)∪(1,+∞)时，f(x)＜0；x∈(﹣1,0)∪(﹣∞,﹣1)时，f(x)＞0，从而可求得（x2﹣9）f（x）＜0的解．【解答过程】解：令g(x)＝f(x)lnx(x＞0),则g′(x)＝f′(x)lnx+1x f(x)＜0,∴当x＞0时，g(x)＝f(x)lnx单调递减．又g(1)＝f(1)ln1＝0,∴当x∈(0,1)时，g(x)＞0,而此时lnx＜0,∴f(x)＜0；当x∈(1,+∞)时，g(x)＜0,而此时lnx＞0,∴f(x)＜0；又f（x）是奇函数,∴当x∈(﹣1,0)时，f(x)＞0；当x∈(﹣∞,﹣1)时，f(x)＞0；∵（x2﹣9）f（x）＜0,∴当x＜0时，x2﹣9＜0，解得﹣3＜x＜0；①当x＞0时，x2﹣9＞0，解得x＞3；②综合①②，得（x2﹣9）f（x）＜0成立的x的取值范围为（﹣3，0）∪（3，+∞），故选：A．【题型5 函数单调性与图像关系】【例5】（2020秋•宝鸡期末）若函数y＝f（x）的导函数图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能为（）A．B．C．D．【解题思路】根据f′（x）的图象，分别判断函数的单调性即可．【解答过程】解：设f′（x）＝0的两个根分别为a，b，0＜a＜b，则当x＜a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，排除选项A和D；当a＜x＜b时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，当x＞b时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，∵0＜a＜b，∴选项B不成立，选项C成立，则对应的图象为C，故选：C．【变式5-1】（2021春•葫芦岛期末）设函数f（x）的图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能为（）A．B．C ．D ． 【解题思路】由原函数的单调性确定导函数的函数值的正负，即可得解【解答过程】解：由f （x ）的图象知当x ∈（﹣∞，1）时，f （x ）单调递减，f '（x ）＜0当x ∈（1，4）时，f （x ）单调递增，f '（x ）＞0当x ∈（4，+∞）时，f （x ）单调递减，f '（x ）＜0故选：C ．【变式5-2】（2020秋•南昌期末）已知定义在R 上的函数y ＝f （x ），其导函数y ＝f '（x ）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．f （b ）＞f （c ）＞f （d ）B ．f （b ）＞f （a ）＞f （e ）C ．f （c ）＞f （e ）＞f （d ）D ．f （c ）＞f （b ）＞f （a ）【解题思路】根据导函数的图象，求出函数f （x ）的单调区间，根据a ，b ，c 的大小以及函数的单调性判断函数值的大小即可．【解答过程】解：显然f （x ）（﹣∞，c ）递增，在（c ，e ）递减，在（e ，+∞）递增，而a ＜b ＜c ，故f （a ）＜f （b ）＜f （c ），故选：D ．【变式5-3】（2020秋•渝中区校级月考）已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ）的图象如图所示，则不等式f′(x)x−1＜0的解集为（ ）A ．（﹣∞，0）∪（12，2）B ．（﹣1，1）∪（1，3）C ．（﹣∞，12）∪（12，2） D ．（﹣∞，12）∪（1，2） 【解题思路】根据条件判断函数的单调性，利用数形结合即可解不等式．【解答过程】解：∵f′(x)x−1＜0，即（x ﹣1）•f ′（x ）＜0，∴不等式等价为x ＞1时，f ′（x ）＜0，此时函数单调递减，由图象可知此时解集为：（1，2）． 当x ＜1时，f ′（x ）＞0，此时函数单调递增，由图象可知x ＜12，即不等式的解集为（﹣∞，12）∪（1，2）． 故选：D ．【题型6 利用函数单调性求参数】【方法点拨】根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增(减)函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．【例6】（2021•广东模拟）若函数f(x)=ax 2+1e x（e 为自然对数的底数）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．a ≤1C ．a ＞0D ．0≤a ≤1 【解题思路】对f （x ）求导，由f （x ）是减函数可得f ′（x ）≤0恒成立，令g （x ）＝2ax ﹣ax 2﹣1，则g （x ）≤0恒成立，对a 分类讨论，即可求得a 的取值范围．【解答过程】解：函数f(x)=ax 2+1e x 的定义域为R ，f ′（x ）=2ax−ax 2−1e x， 因为函数f （x ）是减函数，所以f ′（x ）≤0恒成立，令g （x ）＝2ax ﹣ax 2﹣1，则g （x ）≤0恒成立，当a＝0时，g（x）＝﹣1成立；当a＜0时，则g（x）的图象开口向上，g（x）≤0不恒成立，不符合题意；当a＞0时，要使g（x）≤0恒成立，则△＝4a2﹣4a≤0，解得0≤a≤1，又a＞0，所以0＜a≤1．综上可得，实数a的取值范围是0≤a≤1．故选：D．【变式6-1】（2021•湖南模拟）若函数f（x）＝﹣x3+ax2+4x在区间（0，2）上单调递增，则实数a的取值范围为．【解题思路】问题转化为a≥3x2−2x在（0，2）恒成立，令g(x)=3x2−2x，x∈(0，2)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的取值范围即可．【解答过程】解：f（x）＝﹣x3+ax2+4x，则f′（x）＝﹣3x2+2ax+4，若f（x）在区间（0，2）上单调递增，则﹣3x2+2ax+4≥0在（0，2）恒成立，即a≥3x2−2x在（0，2）恒成立，令g(x)=3x2−2x，x∈(0，2)，则g′(x)=32+2x2＞0，g（x）在（0，2）递增，故g（x）＜g（2）＝2，故a≥2，故实数a的取值范围为[2，+∞），故答案为：[2，+∞）．【变式6-2】（2021•南昌二模）若函数f（x）=x2+ax+1在（﹣1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为．【解题思路】根据题意，求出函数的解析式，由函数的导数与单调性的关系，可得f′（x）＝1−a+1(x+1)2≥0，即a+1≤（x+1）2的区间（﹣1，+∞）上恒成立，据此分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，f（x）=x2+ax+1=x2−1+a+1x+1=x﹣1+a+1x+1，其导数f′（x）＝1−a+1 (x+1)2，若函数f（x）=x2+ax+1在（﹣1，+∞）上单调递增，则f′（x）＝1−a+1(x+1)2≥0，即a+1≤（x+1）2的区间（﹣1，+∞）上恒成立，又由x∈（﹣1，+∞），则（x+1）2≥0，必有a +1≤0即a ≤﹣1恒成立，即a ≤﹣1，则a 的取值范围为（﹣∞，﹣1]． 故答案为：（﹣∞，﹣1]．【变式6-3】（2021•黔江区校级模拟）函数f （x ）＝x 2﹣axlnx 在(2e ，2)上不单调，则实数a 的取值范围是 ．【解题思路】求出函数的导数，问题转化为方程a =2x lnx+1在(2e ，2)上有根，令g （x ）=2x lnx+1，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【解答过程】解：f ′（x ）＝2x ﹣a （lnx +1），若函数f （x ）＝x 2﹣axlnx 在(2e ，2)上不单调，则方程f ′（x ）＝0在(2e ，2)上有根即方程a =2x lnx+1在(2e ，2)上有根且方程的根是函数f ′（x ）的变号零点， 令g （x ）=2x lnx+1，则g ′（x ）=2lnx (lnx+1)2， x ∈（2e ，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减，x ∈（1，2）时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增， 又g （1）＝2，g （2e ）=4eln2，g （2）=4ln2+1，由g （2）﹣g （2e）=4ln2+1−4eln2＞0， 得g （x ）∈（2，4ln2+1），故a ∈（2，4ln2+1），故答案为：（2，4ln2+1）．。

高三复习：利用导数讨论函数单调性、求极值、最值1． 函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是增加的；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内是减少的． 2． 函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上是增加的，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上是减少的，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．3. 如图是y ＝f (x )导数的图像，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.335． (·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)典例透析题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解探究提高(1)利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求导数f ′(x )《③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； ④根据③的结果确定函数f (x )的单调区间． (2) 要注意对含参数的函数的单调性进行讨论． 例2.（2018年新课标1）已知函数()1ln f x x a x x=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.1.如果函数()y f x =的图象如右图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）2.（2014广东文数）已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈， 求函数()f x 的单调区间；3 .当0x >时,讨论函数2()xg x e x =-的单调性例3.（2017年新课标1）已知函数)f x =（a e 2x+(a ﹣2) e x ﹣x .（1）讨论()f x 的单调性；练习1.若函数f (x ) =e x (x 2- 2x + 1- a ) - x 恒有2个零点， 则a 的取值范围是 ()A. (-1e ，+∞) B. (-∞,1) C. (0，1e ) D. (-∞，-1e )2.. (安徽)设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解2.（2020年新课标1理科）已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.3.(2021年新高考1)22. 已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像可能为( )2． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e3． 函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．44． 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ≤2 B ．5≤a ≤7 C ．4≤a ≤6 D ．a ≤5或a ≥7二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．6． 已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.7． 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·重庆)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )2． 函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为( )A ．0 B.1eC.4e4D.2e23． f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋x ·f ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为( )A ．(0,4)B ．(－4,4)C ．(－∞，－4)∪(0,4)D ．(－∞，－4)二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－2,2])对应的曲线C 过坐标原点，且在x ＝±1处切线的斜率均为－1，则f (x )的最大值和最小值之和等于________．5． 设函数f (x )＝p ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x (p 是实数)，若函数f (x )在其定义域内是增加的，则实数p 的取值范围为______．6． 已知函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是________．。