线段的垂直平分线(2)[上学期]--华师大版

13.1.2线段的垂直平分线的性质瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进线段垂直平分线的性质题型一：线段垂直平分线的性质【例题1】（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，3cmAE=，ABC的周长为17cm，则ADC的周长是__________cm．【答案】11【分析】由DE垂直平分AB可知BD=AD，AB=2AE，从而发现ADC的周长即为BC AC+的长，然后求解即可．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∵BD=AD，AB=2AE，∵ABC的周长为17cm，∵17AB BC AC++=（cm），∵3cmAE=，∵26cmAB AE==，知识点管理归类探究1.线段的轴对称性:线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2.线段垂直平分线的性质定理文字描述:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；几何语言:∵MN是线段AB的垂直平分线（或MN⊥AB于点D，且AD = BD），∴CA = CB.∵()17611cm BC AC +=-=ADC 的周长为AD DC AC BD DC AC BC AC ++=++=+，∵ADC 的周长是11cm ， 故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，发现ADC 的周长即为BC AC +的长，是解题的关键． 变式训练【变式1-1】（2020·吴江区盛泽第二中学九年级月考）在ABC 中，9BC =，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，若BCE 的周长为17，则AC 的长为___________．【答案】8【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA =EB ，根据∵BCE 的周长等于17，求出AC 的长． 【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∵EA =EB ，由题意得，BC +CE +BE =17，则BC +CE +AE =17，即BC +AC =17，又BC =9， ∵AC =8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式1-2】（2021·扬州市梅岭中学九年级一模）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算1∠的度数是（ ）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．68︒【答案】A【分析】根据作图痕迹可知CD 是AB 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：由尺规作图痕迹，可知：CD 是AB 的垂直平分线， ∵AC =BC ，∵∵1=∵ABC =90°-68°=22°， 故选A ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和尺规作图，掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，是解题的关键．【变式1-3】（2021·九年级一模）如图，在ABC 中，34A ∠=︒分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧分别相交于点M 、N ，直线MN 与AC 相交于点E ．过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，CD 与BE 相交于点F ．若BD CE =，则BFC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．107︒C ．108︒D ．124︒【答案】B【分析】连接DE ，如图，利用基本作图得到AE =CE ，则DE 为斜边AC 的中线，所以DE =AE =CE ，则∵ADE =∵A =34°，接着证明BD =DE ，所以∵DBE =∵DEB =17°，然后利用三角形外角性质计算∵BFC 的度数． 【详解】解：连接DE ，如图，由作法得MN 垂直平分AC ， ∵AE =CE ， ∵CD ∵AB ，∵∵CDB =∵CDE =90°， ∵DE 为斜边AC 的中线， ∵DE =AE =CE ， ∵∵ADE =∵A =34°， ∵BD =CE ， ∵BD =DE ， ∵∵DBE =∵DEB=12∵ADE =17°， ∵∵BFC =∵DBF +∵BDF =17°+90°=107°． 故选：B ． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质定理文字描述:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 几何语言:∵CA = CB ，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上.题型二：线段垂直平分线的判定【例题2】（2020·吴江区青云实验中学八年级月考）如图，DE=DF ，,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别是,E F 连接,EF EF 与AD 相交于点G ．（1）求证：AD 是EF 的垂直平分线；（2）若3,5,2AB AC ED ===，求ABC 的面积． 【答案】（1）见解答；（2）8 【分析】（1）先证明Rt ∵ADE ∵Rt ∵ADF 得到AE =AF ，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论； （2）先得到DF =DE =2，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：（1）证明：∵DE ∵AB ，DF ∵AC ， ∵AD =AD ，DE =DF ， ∵Rt ∵ADE ∵Rt ∵ADF （HL ）， ∵AE =AF ，∵AD 是EF 的垂直平分线； （2）∵DF =DE =2， ∵S ∵ABC =S ∵ABD +S ∵ACD =12×2×3+12×2×5 =8． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学定理证明三角形全等． 变式训练【变式2-1】（2020·吴江经济开发区实验初级中学八年级月考）三角形纸片ABC 上有一点P ，量得3cm PA =，3cm PB =，则点P 一定（ ）A ．是边AB 的中点 B ．在边AB 的中线上C ．在边AB 的高上D ．在边AB 的垂直平分线上【答案】D【分析】已知条件知道线段相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆定理可知点P 一定在边AB 的垂直平分线上． 【详解】解：∵PA ＝3cm ，PB ＝3cm ∵点P 一定在边AB 的垂直平分线上． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的逆定理；熟练掌握该知识是解答本题的关键．【变式2-2】（2020·南京市溧水区和凤初级中学八年级月考）已知：如图，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AC ，AB 上，AD ＝AE ，BE ，CD 相交于点O ． 求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．【答案】详见解析 【分析】由SAS 得出∵ADB∵∵AEC ，得出∵ABD=∵ACE ，再根据AAS 证明∵BOE∵∵COD ，得出OB=OC ，由等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：在∵ADB 和∵AEC 中，AD AE A A AB AC ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩∵∵ADB ∵∵AEC （SAS ）， ∵∵ABD ＝∵ACE ． ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∵BE ＝CD ．在∵BOE 与∵COD 中，BOE COD BE CDOBE OCD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∵∵BOE ∵∵COD （AAS ）， ∵OB ＝OC ，∵点O 在线段BC 的垂直平分线上．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定．通过证明三角形全等得出OB=OC 是解题的关键．【变式2-3】（2019·盐城市·八年级期中）如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD ＝AE ，BE 、CD 交于点O ，求证：AO 垂直平分BC ．【分析】由SAS 得出∵ADC∵∵AEB ，得出∵ACD=∵ABE ，再根据AAS 证明∵BOD∵∵COE ，得出OB=OC ，由线段垂直平分线的判定得出结论． 【详解】证明：在∵ADC 和∵AEB 中，AD AE A A AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵ADC ∵∵AEB （SAS ）， ∵∵ACD ＝∵ABE ． ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∵BD ＝CE ．在∵BOD 与∵COE 中，00BD CE BOD COE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵BOD ∵∵COE （AAS ）， ∵OB ＝OC ，∵点O 在线段BC 的垂直平分线上．同理AB ＝AC ，点A 在线段BC 的垂直平分线上 ∵AO 垂直平分BC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定．通过证明两套三角形全等得出OB=OC 是解题的关键．线段垂直平分线的画法题型三：画线段垂直平分线【例题3】（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）如图，在钝角ABC 中，90BAC ∠>︒．（1）作AC 的垂直平分线，与边BC ，AC 分别交于点D 、E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，过点B 作BH AC ⊥交CA 的延长线于点H ，连接AD ，求证ADE HBC ∠=∠． 【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）利用尺规作图法作AC 的垂直平分线即可；（2）在（1）的条件下，画出∵ABC的AC边上的高BH即可，进而可以写出∵ADE和∵HBC的大小关系．【详解】解：（1）如图，AC的垂直平分线DE即为所求；（2）在（1）的条件下，AC边上的高BH即为所求．∵ADE和∵HBC的大小关系为：相等．理由如下：∵DE是AC的垂直平分线，∵DA＝DC，AE＝EC，又∵DE＝DE，∵∵ADE∵∵CDE（SSS），∵∵ADE＝∵CDE，∵BH∵AC，DE∵AC，∵DE∵BH，∵∵CDE＝∵HBC，∵∵ADE＝∵HBC．【点睛】本题考查了作图−复杂作图、线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．变式训练【变式3-1】（2020·江阴市长寿中学八年级月考）如图，已知∵ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB＋PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用PB+PC=AB，PB+PA=AB，得到PC=PA，根据线段垂直平分线的判定定理，得到点P在线段AC的垂直平分线上，由此可知选项C符合题意．【详解】解：∵点P在AB上，∵PB+PA=AB，又∵PB+PC=AB，∵PC=PA，∵点P在线段AC的垂直平分线上，且线段AC的垂直平分线交AB于点P．∵选项C符合要求，故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，结合几何图形的基本性质把AB拆成PA与PB之和进而得到PC=PA是解决本题的关键．【变式3-2】（2020·连云港市·八年级期中）题目：用直尺和圆规过直线l外一点P做直线l的垂线．作法：（1）在直线l上任取两点A、B；（2）以点A为圆心，AP的长为半径画弧，以点B为圆心，BP的长为半径画弧，两弧相交于Q，如图所示；（3）作直线PQ则直线PQ就是直线l的垂线．请你对这种作法加以证明．【分析】根据线段的垂直平分线的判定证明即可．【详解】由作法得AP＝AQ，BP＝BQ，∵点A 在PQ 的垂直平分线上．点B 在PQ 的垂直平分线上，∵直线AB 垂直平分PQ，∵直线PQ 就是直线l 的垂线．【点睛】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-3】（2021·山西吕梁市·九年级二模）如图，在Rt∵ABC中，∵C=90°，AC＜BC．（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．∵作出AB 的垂直平分线MN ，MN 分别与AB 交于点D ，与BC 交于点E ．∵过点B 作BF 垂直于AE ，垂足为F ．（2）推理证明：求证AC =BF ．【答案】（1）∵见解析；∵见解析；（2）见解析【分析】（1）∵根据垂直平分线的作法得出即可；∵延长AE ，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法得出即可；（2）根据垂直平分线的性质得到AE =BE ，再加上90BFE ACE ∠=∠=︒，BEF AEC ∠=∠，证得：BEF AEC △≌△，根据全等的性质得AC BF =．【详解】（1）∵∵：如图直线MN ，BF 就是所要求的作的图形．（2）证明：∵MN 垂直平分AB ，∵AE =BE ．∵BF ∵AE ，垂足为F ，∵90BFE ACE ∠=∠=︒．∵BEF AEC ∠=∠，∵BEF AEC △≌△．∵AC =BF ．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的作法、过直线外一点作已知直线的垂线的作法、垂直平分线性质以及全等三角形的应用，根据已知得出AE 与BE 的关系是解题关键．【变式3-4】（2021·贵州贵阳市·）如图，已知线段6AB =，利用尺规作AB 的垂直平分线，步骤如下：∵分别以点,A B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．∵作直线CD．直线CD就是线段AB 的垂直平分线．则b的长可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】利用基本作图得到b＞12AB，从而可对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得：b＞12 AB，即b＞3，故选：D．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．题型四：线段垂直平分线的实际应用【例题4】（2020·扬州市·八年级月考）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．∵ABC三边的垂直平分线的交点B．∵ABC的三条中线的交点C．∵ABC三条角平分线的交点D．∵ABC三条高所在直线的交点【答案】A【分析】由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是∵ABC三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∵凉亭选择∵ABC三边的垂直平分线的交点．故选：A．【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．变式训练A B C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置【变式4-1】（2020··八年级月考）在联欢晚会上，有、、上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点【答案】D【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．故选：D．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．【变式4-2】（2020·常州市第二十四中学八年级期中）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．∵A、∵B两内角的平分线的交点处B．AC、AB两边高线的交点处C．AC、AB两边中线的交点处D．AC、AB两边垂直平分线的交点处【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【变式4-3】（2020·昆山高新区汉浦中学八年级月考）在元旦联欢会上，三个小朋友分别站在三角形的三个顶点的位置上，他们玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁就获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．【详解】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，∵为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，故选：D．【点睛】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．【变式4-4】（2020·磴口县诚仁中学八年级期中）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（1）（2）中标出，并保留作图痕迹．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB 最小.【详解】（1）根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质和距离之和最短问题，熟悉性质及距离之和最短问题的作法是关键．链接中考【真题1】（2012·无锡市·中考真题）如图，梯形ABCD中，AD∵BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（）A．17B．18C．19D．20【答案】A【解析】梯形和线段垂直平分线的性质．【分析】由CD 的垂直平分线交BC 于E ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE ，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED 的周长为：AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A ．【真题2】（2010·无锡市·中考真题）如图，∵ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，∵A=30°，∵ACB=80°，则∵BCE=_____ °．【答案】50【分析】根据∵ABC 中DE 垂直平分AC ，可求出AE=CE ，再根据等腰三角形的性质求出∵ACE=∵A=30°，再根据∵ACB=80°即可解答．【详解】∵DE 垂直平分AC ，∵A=30°，∵AE=CE ，∵ACE=∵A=30°，∵∵ACB=80°，∵∵BCE=80°-30°=50°．故答案为：50．【真题3】（2019·泰州市·中考真题）如图，ABC ∆中，90C =∠，4AC =，8BC =．用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）【分析】分别以A ，B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 即可．． 【详解】如图直线MN 即为所求．【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【拓展1】（2020·南京市·中考真题）如图，线段AB、BC的垂直平分线1l、2l相交于点O，若1∠=39°，则AOC∠=__________．【答案】78︒【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∵AOC=∵2+∵3=2(∵A+∵C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∵AOG =51︒-∵A，∵COF =51︒-∵C，利用平角的定义得到∵AOG+∵2+∵3+∵COF+∵1=180︒，计算即可求解．【详解】如图，连接BO并延长，满分冲刺∵1l 、2l 分别是线段AB 、BC 的垂直平分线，∵OA=OB ，OB=OC ，∵ODG=∵OEF=90︒，∵∵A=∵ABO ，∵C=∵CBO ，∵∵2=2∵A ，∵3=2∵C ，∵OGD=∵OFE=90︒-39︒=51︒，∵∵AOC=∵2+∵3=2(∵A+∵C)，∵∵OGD=∵A+∵AOG ，∵OFE=∵C+∵COF ，∵∵AOG =51︒-∵A ，∵COF =51︒-∵C ，而∵AOG+∵2+∵3+∵COF+∵1=180︒，∵51︒-∵A+2∵A+2∵C+51︒-∵C+39︒=180︒，∵∵A+∵C=39︒，∵∵AOC=2(∵A+∵C)=78︒，故答案为：78︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．【拓展2】（2018·南通市启秀中学八年级期中）如图，在Rt GMN 中，90M P ∠=︒，为MN 的中点 ∵用直尺和圆规在GN 边上求作点Q ，使得GQM PQN ∠=∠(保留作图痕迹，不要求写作法)； ∵在∵的条件下，如果60G ∠=︒，那么Q 是GN 的中点吗？为什么？【答案】∵作图见详解，∵Q是GN的中点，证明见详解.【分析】∵利用尺规进行作图即可，注意要保留作图痕迹.∵证明Q是GN的中点，根据∵的条件大胆猜想综合运用等角和等边转换，从而分析证明.【详解】解：∵∵ 在∵的条件下，如果∵G=60°，那么Q是GN的中点，理由如下：设PP'交GN于点K，∵∵G=60°，∵GMN=90°，∵∵N=90°─60°=30°，∵点P关于GN的对称点是点P'，∵PK∵KN，PK=12P P'，∵∵PKN=90°，又∵∵N=30°，∵PK=12PN，PP'=PN，∵P为MN的中点，∵PM=PN，PP'=PM，∵∵PР'M=∵PMР'，∵∵PK N=90°，∵N=30°，∵∵NРK=90°-30°=60°，又∵∵PP'M+∵PMP’=∵NPK，∵∵PM P'=12×60°=30°，又∵∵N=30°，∵∵PM P'=∵N，QM=QN，∵∵GMN=90°，∵PM P'=30°，∵∵GMQ=90°-30°=60°，又∵∵G=60°，∵∵GMQ=∵G，∵QG=QM，又∵QM=QN，∵QG=QN，Q是GN的中点。

专题1.5 线段的垂直平分线-重难点题型【北师大版】【题型1 利用线段垂直平分线的性质求线段】【例1】（2021春•莱阳市期末）如图，△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点F，交BC 的延长线于点E，若BF＝6，CF＝2，则AC的长为 ．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AF＝BF＝6，结合图形计算即可．【解答】解：∵ED垂直平分AB，BF＝6，∴AF＝BF＝6，∵CF＝2，∴AC＝AF+CF＝6+2＝8，故答案为：8．【变式1-1】（2020秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）A．3B．6C．12D．16【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴AE＝BE，∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，故选：B．【变式1-2】（2021春•高新区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（ ）A．2B．3C．4D．无法确定【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式即可求出BC．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分线交BC于点F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+FC＝△AEF的周长＝2．故选：A．【变式1-3】（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）A．13B．14C．15D．16【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周长为16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，∵EG＝1，∴AC＝14，故选：B．【题型2 利用线段垂直平分线的性质求角度】【例2】（2021•越秀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（ ）A．70°B．75°C．80°D．85°【分析】设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，求出∠BAD＝∠B ＝5x°，根据直角三角形的性质得出∠CAB+∠B＝90°，求出x，再求出∠B和∠BAD，根据三角形的外角性质求出答案即可．【解答】解：设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，∵AB 的垂直平分线是DE ，∴BD ＝AD ，∴∠BAD ＝∠B ，即∠B ＝5x °，∵∠C ＝90°，∴∠CAB +∠B ＝90°，∴2x +5x +5x ＝90，解得：x =152，即∠B ＝∠BAD ＝（752）°，∴∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝（752）°+（752）°＝75°，故选：B ．【变式2-1】（2021春•建平县期末）如图，已知△ABC 中，∠B ＝50°，P 为△ABC 内一点，过点P 的直线MN 分别交AB ，BC 于点M 、N ．若M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，则∠APC 的度数为（ ）A ．100°B ．105°C ．115°D ．120°【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC +∠ACB ＝130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM ＝PM ，PN ＝CN ，由等腰三角形的性质得到∠MAP ＝∠APM ，∠CPN ＝∠PCN ，进而得出∠MAP +∠PCN ＝∠PAC +∠ACP =12×130°＝65°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠ABC ＝50°，∴∠BAC+∠ACB＝130°，∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，∴AM＝PM，PN＝CN，∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，∵∠APC＝180°﹣∠APM﹣∠CPN＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP，∴∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP=12×130°＝65°，∴∠APC＝115°，故选：C．【变式2-2】（2021•市南区一模）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（ ）A．40°B．45°C．50°D．80°【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得出OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质得出∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根据四边形的内角和等于360°求出答案即可．【解答】解：连接OA，∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，∴OA＝OB，OB＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，∵∠BOC＝100°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，即∠BAC＝50°，∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，∴∠ODA＝∠OEA＝90°，∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠α＝180°﹣130°＝50°，故选：C．【变式2-3】（2021春•安国市期末）如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（ ）A．160°B．140°C．130°D．125°【分析】连接CO，根据三角形内角和定理求出∠OAB+∠OBA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，进而得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：连接CO，∵∠AOB＝140°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，∵O是三边垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∴∠OCA+∠OCB＝70°，∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，∴∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠CBA）＝55°，∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，故选：D．【题型3 线段垂直平分线的性质的应用】【例3】（2020秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（ ）A．A处B．B处C．C处D．D处【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可．【解答】解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，所以EF上的点到M、N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．【变式3-1】（2020秋•偃师市期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．故选：D．【变式3-2】（2021春•宁阳县期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）A．三边垂直平分线的交点B．三边中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．【解答】解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，故选：A．【变式3-3】（2021春•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）A．三条边的垂直平分线的交点处B．三个角的平分线的交点处C．三角形三条高线的交点处D．三角形三条中线的交点处【分析】根据性的垂直平分线的性质解答即可．【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，∴充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，故选：A．【题型4 线段垂直平分线的性质综合】【例4】（2021春•平顶山期中）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN 交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝22.5°，根据三角形的外角性质得到∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，根据等腰三角形的性质证明；（2）证明△MDE≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】证明：（1）∵DN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∴AE＝DE；（2）∵DF⊥AC，AE⊥BC，∴∠MDE＝∠CAE，在△MDE和△CAE中，∠MDE=∠CAEDE=AE，∠DEM=∠AEC∴△MDE≌△CAE（ASA），∴EM＝EC．【变式4-1】（2021春•高州市期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A 作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．求证：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可．【解答】证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵BC∥AF，∴∠CAF＝∠BCA，∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA是△ACE的一个外角，∴∠DCA＝∠E+∠EAC，∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，∵∠CAF＝∠EAC，∴∠FAD＝∠E．【变式4-2】（2021春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，证明△BAD≌△BED，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAC＝105°，根据三角形的外角性质计算即可．【解答】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，∴AB＝BE，AD＝DE，∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，∴AB+BE＝18﹣6＝12，∴AB＝6；（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，在△BAD和△BED中，BA=BEBD=BD，DA=DE∴△BAD≌△BED（SSS），∴∠BED＝∠BAC＝105°，∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．【变式4-3】（2020秋•渑池县期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为 ．（2）求BC的长．（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，故答案为：AD＝BD；（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+AE＝6，∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（3）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是线段AC的垂直平分线，OA＝OC，∴OB＝OC，∵△OBC的周长为16，BC＝6，∴OB+OC＝10，∴OA＝OB＝OC＝5．【题型5 线段垂直平分线的判定】【例5】（2021秋•仪征市月考）如图．AB＝AC，MB＝MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．【分析】由AB＝AC，MB＝MC，根据线段垂直平分线的判定定理，可得点A在BC的垂直平分线上，点M在BC的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得直线AM是线段BC的垂直平分线．【解答】证明：∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∵BM＝CM，∴点M在BC的垂直平分线上，∴直线AM是BC的垂直平分线．【变式5-1】（2021•沭阳县校级开学）如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上．【分析】根据全等三角形的判定定理证明△BQP≌△CRQ，得到QP＝QR，根据线段的垂直平分线的判定证明结论．【解答】证明：连接PQ，在△BQP和△CRQ中，PB=QC∠B=∠C，QB=RC∴△BQP≌△CRQ，∴QP＝QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．【变式5-2】（2021秋•博白县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；（2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明；【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=12∠BAC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．（2）证明∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分线段EC，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【变式5-3】（2020秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝∠BAM，根据角平分线的定义求出∠DAM＝∠CAD，求出∠BAD＝∠ADB，得出△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．【题型6 线段垂直平分线的作法】【例6】（2020秋•盘龙区期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12 AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE 的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（ ）A．5B．4C．3D．2【分析】根据题意得到MN是线段AB的垂直平分线，进而得到点D是AB的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴点D是AB的中点，∴S△ADC ＝S△BDC，∵S△BDC ﹣S△CDE＝5，∴S△ADC ﹣S△CDE＝5，即△ADE的面积为5，故选：A．【变式6-1】（2021春•碑林区校级期中）在△ABC中，∠C＞∠B、请用尺规作图法，在AB上找一点P，使∠PCB＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法．）【分析】作线段BC的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求作．【解答】解：如图，点P即为所求作．【变式6-2】（2021•碑林区校级模拟）尺规作图：如图，已知△ABC．请在AC边上找一点D，使△ABD的周长等于AB+AC．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】作线段BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD即可．【解答】解：如图，点D即为所求作．【变式6-3】（2021春•长安区期末）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．（1）请用尺规在图上找出点P；（2）请说明你作图的依据．【分析】（1）作线段AB的垂直平分线MN交直线m于点P，连接PA，PB．（2）根据线段的垂直平分线的性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图，点P即为所求．（2）∵MN垂直平分线段AB，∴PA＝PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）．。

垂直平分线的性质与判定 题集1. 线段垂直平分线的性质A. B. C. D.1.【解析】【标注】如图，，，的垂直平分线交于点，则（ ）．【答案】D ∵，，∴．∵的垂直平分线为，∴，∴．【知识点】线段的垂直平分线的性质定理2.【解析】如图，在中，的垂直平分线交于，交于，的周长为，，则的周长是．【答案】∵垂直平分，，∴，，∴，，【标注】∴．【知识点】线段的垂直平分线的性质定理A. B. C. D.3.【解析】【标注】如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（ ）．【答案】A ∵是的垂直平分线，∴，则的周长，故选：．【知识点】三角形的周长与面积问题4.【解析】如图，在中，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的周长是 ．【答案】∵是垂直平分线上的点，∴，∵的周长为：【标注】．【知识点】线段的垂直平分线的性质定理5.【解析】【标注】已知中，垂直平分，如果的周长为，，则的周长为 ．【答案】∵垂直平分，∴，∴，又∵，∴．【知识点】三角形的周长与面积问题6.【解析】如图，中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则长为 ．【答案】的周长：，的周长：，【标注】∵，∴，∴．【知识点】三角形的周长与面积问题7.【解析】【标注】如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为 ．【答案】∵是的垂直平分线，∴，则的周长．【知识点】线段的垂直平分线的性质定理A. B. C. D.8.【解析】如图，是中边的垂直平分线，若，，则的周长是（ ）．【答案】C ∵是中边的垂直平分线，∴，【标注】∴的周长．故选．【知识点】线段的垂直平分线的性质定理9.【解析】【标注】如图中，是的垂直平分线，的周长为，，则的周长为．【答案】∵是的垂直平分线，∴，，∵的周长为，∴，∴的周长，故答案为：．【知识点】三角形的周长与面积问题2. 线段垂直平分线的判定A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条高的交点D.三条中线的交点1.【解析】【标注】在内一点满足，则点一定是（ ）．【答案】B ∵在内一点满足，∴点一定是三边垂直平分线的交点．【知识点】线段的垂直平分线的判定定理A.三条中线的交点B.三边垂直平分线的交点2.三角形内有一点到三角形三个顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（ ）．C.三条高的交点D.三条角平分线的交点【解析】【标注】【答案】B三角形内有一点到三角形三个顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，故选：．【知识点】线段的垂直平分线的性质定理A.B.C.D.3.【解析】【标注】下列说法;①两边和其中一边的对角线对应相等的两个三角形全等．②角的对称轴是角的平分线．③两边对应相等的两直角三角形全等．④成轴对称的两个图形一定全等．⑤到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．正确的有（ ）个．【答案】A①两边和其中一边的对角线对应相等的两个三角形不一定全等，①错误．②角的对称轴是角的平分线所在的直线，②错误．③两边对应相等的两直角三角形不一定全等，③错误．④根据轴对称的性质可得，成轴对称的两个图形一定全等，④正确．⑤根据中垂线的性质定理的逆定理可得，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，⑤正确．综上，选．【知识点】多解或多种判定混合4.已知，如图，在中，边、的垂直平分线相交于点．求证：点在的垂直平分线上．【解析】【标注】【答案】证明见解析．连接，，．∵边，的垂直平分线相交于点，∴，，∴，点在的垂直平分线上．【知识点】三角形的三心（1）（2）5.（1）【解析】如图，在中，边，的垂直平分线相交于点．求证：．点是否也在边的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？【答案】（1）（2）证明见解析．在，结论见解析．由垂直平分线的性质可知，；（2）【标注】同理，由垂直平分线的性质可知，，所以，.∵，由垂直平分线的判定可知，点也在边的垂直平分线上；由此得出结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等．在后面学习“圆”时，将了解它是三角形的外心．【知识点】三角形五心6.【解析】【标注】证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点．【答案】证明见解析．已知边垂直平分线与边垂直平分线交于点则有，则∴也在的垂直平分线上证毕．【能力】推理论证能力【知识点】等腰三角形的性质-三线合一【知识点】线段的垂直平分线的判定定理【知识点】线段的垂直平分线的性质定理7.如图，，，求证：直线是线段的垂直平分线．【解析】【标注】【答案】证明见解析．∵，，，∴≌，∴，设的延长线交于，则，，∵≌，∴，，∴是线段的垂直平分线．【知识点】多解或多种判定混合。

1．3 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线1．掌握线段垂直平分线的性质；(重点) 2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点)一、情境导入如图所示，有一块三角形田地，AB ＝AC ＝10m ，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得△BDC 的周长为17m ，你能帮测量人员计算BC 的长吗？二、合作探究 探究点一：线段的垂直平分线的性质定理【类型一】 应用线段垂直平分线的性质定理求线段的长如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为()A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．17.5cm 解析：∵△DBC 的周长＝BC ＋BD ＋CD ＝35cm ，又∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，故BC ＋AD ＋CD ＝35cm.∵AC ＝AD ＋DC ＝20，∴BC ＝35－20＝15cm.故选C.方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【类型二】 线段垂直平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .求证：(1)FC ＝AD ；(2)AB ＝BC ＋AD . 解析：(1)根据AD ∥BC 可知∠ADC ＝∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可求出△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB ＝BF 即可．证明：(1)∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＝∠ECF .∵E 是CD 的中点，∴DE ＝EC .又∵∠AED ＝∠CEF ，∴△ADE ≌△FCE ，∴FC ＝AD .(2)∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝EF ，AD ＝CF .∵BE ⊥AE ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB ＝BF ＝BC ＋CF .∵AD ＝CF ，∴AB ＝BC ＋AD .方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．探究点二：线段的垂直平分线的判定定理如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的关系．解析：先利用角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证△AED ≌△AFD ，易证AD 垂直平分EF .解：AD 垂直平分EF .理由如下：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠EAD ＝∠F AD ，∠AED ＝∠AFD .在△ADE 和△ADF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠DAF ，∠AED ＝∠AFD ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，DE ＝DF ，∴直线AD 垂直平分线段EF .方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．三、板书设计1．线段的垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．2．线段的垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.。