二次函数教(学)案存在相似三角形

二次函数与存在相似三角形3、（红河）如图，抛物线24=-+与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，y x点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）在y=﹣x2+4中，当y=0时，即﹣x2+4=0，解得x=±2．当x=0时，即y=0+4，解得y=4．∴点A、B、C的坐标依次是A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得．所以直线BC的解析式为y=﹣2x+4．（2）∵点E在直线BC上，∴设点E的坐标为（x，﹣2x+4），则△ODE的面积S可表示为：．∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1．此时，﹣2x+4=﹣2×1+4=2，∴点E的坐标为（1，2）．（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：设点P的坐标为（x，﹣x2+4），0＜x＜2．因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：①当△PDO∽△COA时，，，解得，（不符合题意，舍去）．当时，．此时，点P的坐标为．②当△PDO∽△AOC时，，，解得，（不符合题意，舍去）．当时，=．此时，点P的坐标为．综上可得，满足条件的点P有两个：，．1. (2014•东营·T25)如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．解：（1）∵y=2x+2，∴当x=0时，y=2，∴B（0，2）．当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），∴解得，∴y=﹣x2+x+2；设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2；（2）存在．如图1，设M（a，﹣a2+a+2）．∵MN垂直于x轴，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．∵y=﹣2x+2，∴y=0时，x=1，∴C（1，0），∴OC=1．∵B（0，2），∴OB=2．当△BOC∽△MON时，∴，∴，解得a1=1，a2=﹣2.∴M（1，2）或（﹣2，﹣4）；如图2，当△BOC∽△ONM时，，∴，∴a=或，∴M（，）或（，）．又∵M在第一象限，∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）；（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，∴BO=PH=2．∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．∴2=﹣b2+3b∴b1=1，b2=2．当b=1时，P（1，2），当b=2时，P（2，0）∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．3.(2014·钦州·T26)如图，抛物线y=﹣4x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，3四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），∴，解得， ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣x +4；（2）∵E （m ，0），B （0，4），PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ， ∴P （m ，﹣m 2﹣m +4），G （m ，4），∴PG =﹣m 2﹣m +4﹣4=﹣m 2﹣m ；（3）在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似．∵y =﹣x 2﹣x +4，∴当y =0时，﹣x 2﹣x +4=0，解得x =1或﹣3，∴D （﹣3，0）． 当点P 在直线BC 上方时，﹣3＜m ＜0．设直线BD 的解析式为y =kx +4，将D （﹣3，0）代入，得﹣3k +4=0，解得k =，∴直线BD 的解析式为y =x +4，∴H （m ，m +4）． 分两种情况：①如果△BGP ∽△DEH ，那么=，即3+-m m =，由﹣3＜m ＜0，解得m =﹣1；②如果△PGB ∽△DEH ，那么=，即=，由﹣3＜m ＜0，解得m =﹣．综上所述，在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似，此时m 的值为﹣1或﹣．4.（2014·成都·T28）如图，抛物线y=8k（x+2）（x ﹣4）（k 为常数，且k ＞0）与x 轴从左至右依次交于A ，B ，与x 轴交于C ，经过点B 的直线y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b=0，解得b=，∴直线BD解析式为：y=﹣x+．当x=﹣5时，y=3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=k，∴C（0，﹣k），OC=k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．∴D（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得k=．②若△ABC∽△ABP，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．与①同理，可求得：k=．综上所述，k=或k=．（3）由（1）知：D（﹣5，3），如答图3，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA===，∴∠DBA=30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，∴t=AF+FG，即运动时间等于折线AF+FG的长度．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，∴y=﹣×（﹣2）+=2，∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．5.（2014·衡阳·T28）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）、B（1，0），∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）．将点C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）=﹣3m，∴m=a，∴抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x﹣1）=mx2+2mx﹣3m．（2）当m=2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6，则P（x，2x2+4x﹣6）．设直线AC的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴y=﹣2x﹣6．如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F（x，﹣2x﹣6）．∴PF=yF﹣yP=（﹣2x﹣6）﹣（2x2+4x﹣6）=﹣2x2﹣6x．S=S△PFA+S△PFC=PF•AE+PF•OE=PF•OA=（﹣2x2﹣6x）×3∴S=﹣3x2﹣9x=﹣3（x+）2+∴S与x之间的关系式为S=﹣3x2﹣9x，当x=﹣时，S有最大值为．（3）∵y=mx2+2mx﹣3m=m（x+1）2﹣4m，∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4m）．如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA﹣OE=2；过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF﹣OC=4m﹣3m=m．由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9；CD2=CF2+DF2=m2+1；AD2=DE2+AE2=16m2+4．∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，∴△ACD必为直角三角形．i）若点A为直角顶点，则AC2+AD2=CD2，即：（9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，整理得：m2=﹣，∴此种情形不存在；ii）若点D为直角顶点，则AD2+CD2=AC2，即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，整理得：m2=，∵m＞0，∴m=．此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2，CD=，AC=；△BOC 的三边长为：OB =1，OC =，BC =．两个三角形对应边不成比例，不可能相似，∴此种情形不存在；iii ）若点C 为直角顶点，则AC 2+CD 2=AD 2，即：（9m 2+9）+（m 2+1）=16m 2+4， 整理得：m 2=1，∵m ＞0，∴m =1． 此时，可求得△ACD 的三边长为：AD =2，CD =，AC =3；△BOC 的三边长为：OB =1，OC =3，BC =．∵=，∴满足两个三角形相似的条件．∴m =1．综上所述，当m =1时，以A 、D 、C 为顶点的三角形与△BOC 相似．6.（2014·西宁·T28）如图，抛物线y =14x 2+32x ﹣2交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，分别过点B ，C 作y 轴，x 轴的平行线，两平行线交于点D ，将△BDC 绕点C 逆时针旋转，使点D 旋转到y 轴上得到△FEC ，连接BF ． （1）求点B ，C 所在直线的函数解析式； （2）求△BCF 的面积；（3）在线段BC 上是否存在点P ，使得以点P ，A ，B 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当y =0时，﹣x 2+x ﹣2=0，解得x 1=2，x 2=4， ∴点A ，B 的坐标分别为（2，0），（4，0）. 当x =0时，y =﹣2，∴C 点的坐标分别为（0，﹣2）.设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得．∴直线BC的解析式为y=x﹣3；（2）∵CD∥x轴，BD∥y轴，∴∠ECD=90°.∵点B，C的坐标分别为（4，0），（0，﹣2），∴BC===2.∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到，∴△BCF的面积=BC•FC=×2×2=10；（3）存在．分两种情况讨论：①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1，则△BAP1∽△BOC，∵点A的坐标为（2，0），∴点P1的横坐标是2.∵点P1在点BC所在直线上，∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1.∴点P1的坐标为（2，﹣1）；②过A作AP2⊥BC，垂足点P2，过点P2作P2Q⊥x轴于点Q．∴△BAP2∽△BCO.∴=，=∴=.解得AP2=.∵=，∴AP2•BP=CO•BP2.∴×4=2BP2.解得BP2=.∵AB•QP2=AP2•BP2，∴2QP2=×.解得QP2=.∴点P2的纵坐标是﹣.∴点P2的坐标为（，﹣）.∵点P2在BC所在直线上，∴x=.∴满足条件的P点坐标为（2，﹣1）或（，﹣）．7.（2014·威海·T25改编）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．将A（﹣1，0），B（4，0）代入，得.解得.∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）存在．由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，∴BC==．在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h =×2×4，∴h =．∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），∴= ，∴y = ±2.将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，得x1=0，x2=3．当y=﹣2时，不合题意，舍去．∴E点坐标为（0，2），（3，2）．。