二次函数与存在相似三角形

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题05二次函数与三角形存在性问题（与等腰、直角、等腰直角三角形、相似三角形）题型一：二次函数与等腰三角形存在性问题例1．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．题型二：二次函数与直角三角形存在性问题例2．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当P A＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．题型三：二次函数与等腰直角三角形存在性问题例3．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型四：二次函数与相似三角形存在性问题例4．（2023•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求二次函数的函数表达式；（2）设二次函数的图象的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值；（3）若点M在线段AB上（不与A、B重合），点N在线段BC上（不与B、C重合），是否存在△CMN 与△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．一．解答题（共20小题）1．（2023•绥宁县模拟）如图，一次函数y=12x+2与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线x=−3 2．（1）求该二次函数表达式；（2）在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在对称轴上是否存在点P，使△P AC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023•泗阳县校级一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求函数表达式及顶点坐标；（2）连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC于点H，当PH ＝2HQ时，求点P的坐标；（3）是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．4．（2023•崂山区开学）如图1，已知二次函数y＝ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4）．与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y＝ax2+32x+c（a≠0）的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标；（4）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标．5．（2023•泰山区校级一模）已知二次函数y＝ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）求出二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时点N的坐标，并说明理由；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．6．（2023•灞桥区校级二模）如图，二次函数y=−12x2−x+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若点P在抛物线对称轴上，且在x轴上方，当△PBC为等腰三角形时，求出所有符合条件的点P 的坐标．7．（2023春•仓山区校级期中）如图抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点（1，3）的直线l：y＝kx+b与二次函数的图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．8．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．9．（2023•广水市模拟）二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B'，E'，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x 轴的垂线，交抛物线于点P．是否存在点M使△PBC为直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023•江油市模拟）抛物线y=ax2+114x−6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值．11．如图，已知一次函数y＝0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．（1）求二次函数的表达式；（2）点M为一次函数下方抛物线上的点，△ABM的面积最大时，求点M的坐标；（3）设一次函数y＝0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．12．（2023•儋州一模）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，A（0，3），B（﹣1，0），将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝ax2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．13．（2023•保亭县一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象经过点（1，8），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0），M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的解析式；（2）求△MCB的面积；（3）在坐标轴上是否存在点N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022秋•蔡甸区期末）如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．15．（2023•二道区校级一模）已知一次函数y＝x+4的图象与二次函数y＝ax（x﹣2）的图象相交于A（﹣1，b）和B，点P是线段AB上的动点（不与A、B重合），过点P作PC⊥x轴，与二次函数y＝ax（x﹣2）的图象交于点C．（1）求a、b的值；（2）如图1，M为∠APC内一点，且PM＝1，E，F分别为边P A和PC上两个动点，求△MEF周长的最小值；（3）若△P AC是直角三角形，求点C的坐标．16．（2023•靖江市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点（0，−32），顶点为C（﹣1，﹣2）．（Ⅰ）求该二次函数的解析式；（Ⅱ）过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（Ⅲ）当p+q≥﹣2时，试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤q．17．（2023•泰山区一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y 轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t=32时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．18．（2023•东营区一模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（1，0）和B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M在AE下方的抛物线上运动，求△AME的面积最大值；（3）如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．19．（2023•铁西区模拟）如图①，已知抛物线y＝mx2﹣3mx﹣4m（m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A 在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且OC＝2OE．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，若△MCN与△BQM相似，请求出Q的坐标；（3）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'，是否存在点Q，使得M'恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023•东胜区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）三点，点P是直线BC上方抛物线上的一个动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求此时P点坐标及△PBC面积的最大值；（3）在y轴上是否存在点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。

综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

y xEQ PC B OA 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形并证明你的结论；（3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过5330P E ⎫⎪⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系为什么练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。

相似三角形的存在性（作业）例：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且与x轴的两个交点间的距离为6．（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】①由顶点坐标C(4，可知对称轴为直线_______，利用两个交点间的距离为6，再结合抛物线的对称性可知A(___，___)，B(___，___)．②设交点式__________________，再代入坐标__________可求解出解析式__________________．【过程示范】∵顶点坐标为C(4，又∵抛物线与x设抛物线的解析式为将C (4，代入可得，9a =，∴所求解析式为2y x x =． 第二问：整合信息、分析特征、设计方案 【思路分析】相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的：①分析特征：先研究定点、动点，其中_________为定点，点__为____________________的动点；则________为目标三角形．进一步研究此三角形，发现其中________________；构造辅助线：____________________________，能够计算出∠BAC =_____°，∠ACB =________°；再考虑研究△QAB ，固定线段为______，并且由于点Q 在x 轴上方的抛物线上，所以△QAB 为______（填“钝角”或“直角”）三角形．②画图求解：先考虑点Q 在抛物线对称轴右侧的情况，此时 ∠ABQ 为钝角，要想使△ABC 与△ABQ 相似，则需要∠ABQ =_____°，且_________．求解时，可根据∠ABQ =_____°，AB =BQ =_____来求出Q 点坐标．同理，考虑点Q 在抛物线对称轴左侧时的情况．③结果验证：考虑点Q 还要在抛物线上，将点Q 代入抛物线解析式验证．【过程示范】存在点Q 使得△QAB 与△ABC 相似．由抛物线对称性可知，AC =BC ，过点C 作CD ⊥x 轴于则AD =3，CD在Rt △ACD 中，tan ∠DAC， ∴∠BAC =∠ABC =30°，∠ACB =120°． ①当△ACB ∽△ABQ 时， ∠ABQ =120°且BQ =AB =6． 过点Q 作QE ⊥x 轴，垂足为E ， 则在Rt △BQE 中，BQ =6，∠QBE =60°， ∴QE =BQ ·sin60°=6=BE =3， ∴E (10，0)，Q 1(10，． 当x =10时，y= ∴点Q 1在抛物线上．②由抛物线的对称性可知，还存在AQ2=AB，此时△Q2AB∽△ACB，点Q2的坐标为(-2，．综上：Q1(10，，Q2(-2，．1.如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点A作AP∥CB交抛物线于点P．（1）求A，B，C三点的坐标．（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MG⊥x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，1)．（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标．（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】例题示范： 第一问：① x =4，(1，0)，(7，0)② y =a (x -1)(x -7)，C (4，，2y x x =+ 第二问：①点A ，B ，C ，点Q ，在x 轴上方的抛物线上，△ABC ，CA =CB ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，30，120，AB ，钝角。

二次函数与相似三角形一、二次函数的系数问题【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如下左图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号.⑵（福州）如下右图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-，坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1b <-；④284b a ac +>．其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C .3个 D .4个【巩固】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号． 【例2】 （甘肃）如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的其中一根为x=-1；③a+b+c=0； ④当1x >时，y 随x 值的增大而减小；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 _______．（请写出所有正确说法的序号）【巩固】（湖北黄石）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤【例3】 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论：① 0abc >；②b ac <+；③ 420a b c ++>；④ 23c b <；⑤ ()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【巩固】（08天门）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >；②20a b +>；③0a b c -+<；④0a c +>，其中正确结论的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【例4】 已知函数2y ax bx c =++（0a≠）的图象，如图所示．求证：22()a c b +<【例5】 2y ax bx c =++的图象如图所示．并设|||||2||2|M a b c a b c ab a b =++--+++--则（） A ．0M > B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0【例6】 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围【巩固】 已知抛物线2y ax bx c =++的一段图象如图所示．⑴确定a 、b 、c 的符号；⑵求a b c ++的取值范围．【例7】 设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若OA OB =，求abc 的取值范围.二、二次函数图像特征【例8】 （09烟台）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【例9】 若二次函数c bx ax y ++=2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴;则点⎪⎭⎫ ⎝⎛b c a P ,在（ ）.(A)第一象限 (B)第二象限限 (C) 第三象限 (D) 第四象限【例10】 ⑴（09湖北荆门）函数1y ax =+与()210y ax bx a =++≠的图象可能是( )(2) (09兰州）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是【巩固】（09嘉兴）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）ABCDDCB A 0≠a ax y =2ax y =1． ⑴ 下左图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数by ax c=-的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如下右图所示，试求a b c ++的取值范围.⑶（2008天津）已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2． （092()0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个3． （1） 已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图象经过点()14A -，和()21B ，，且与x 轴 有两个不同的交点，求b c +的最大值．（2）二次函数2y ax bx c =++的图象一部分如下图，求a 的取值范围．4． ⑴ 函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A. 右移三个单位，下移四个单位B. 右移三个单位，上移四个单位C. 左移三个单位，下移四个单位D. 左移四个单位，上移四个单位 ⑵ （07萧山）二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）A习题精讲A.向左移动1个单位，向上移动3个单位.B.向右移动1个单位，向上移动3个单位.C.向左移动1个单位，向下移动3个单位.D.向右移动1个单位，向下移动3个单位.2.如图，抛物线y＝12x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC△的形状，证明你的结论；（3）点(0)M m，是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．三、相似三角形一、相似三角形的判定定理（1）有两个角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似.二、相似三角形的性质（1）相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比；（2）相似三角形的周长之比等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.【例1】（2007年北师大附中期末试题）如图，D、E是ABC∆的边AC、AB上的点，且AD AC⋅=AE AB⋅，求证：ADE B∠=∠.巩固：如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，∠ADE=∠ACE, ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.A ED CBA EDC。

二次函数背景下的相似三角形存在性问题
二次函数背景下的相似三角形存在性问题是中考数学常考的题型，在考试中一般出现在压轴题的位置，综合性强，难度略大。

这篇文章主要来讨论下二次函数背景下的相似三角形存在性问题的解题思路方法及应用举例。

【模型解读】
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
【例题】
【分析】
综上所述，点P的坐标为（3，2）或（3，9）．
【总结】
【练习】
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2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形1.在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线C2经过点A （﹣3，0），B（1，0），与y轴的交点为E．（1）求抛物线C2的函数解析式；（2）点P（m，n）（﹣3＜m＜0）是抛物线C2上的动点，设四边形OAPE的面积为S，求S与m的函数关系式，并求四边形OAPE的面积的最大值；（3）若y＝x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，在抛物线C2的对称轴上，是否存在一点M，使得以M，O，D为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x＝﹣1与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．4．已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，抛物线y＝﹣+bx+c过点A、C，且与x轴交于另一点B，在第一象限的抛物线上任取一点D，分别连接CD、AD，作DE⊥AC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ACD面积的最大值；（3）若△CED与△COB相似，求点D的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y ＝﹣x2+bx+c过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABE面积的最大值．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．6．如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．7．如图所示，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，（1）求cos∠CAO的值；（2）求直线AC的函数关系式；（3）如果有动点P是y轴上，且△OP A与△OAC相似，求P点坐标．8．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E 的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙M与y轴相切，切点为D．以C，D，M 为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、点C，与y轴交于点B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标，并求出△ABP周长的最小值；（3）在线段AC上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y＝kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB 上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x的代数式表示）；（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点M，连接AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，当△AHC周长最小时，求此时点H 坐标．（3）设对称轴与x轴交于点E，在对称轴上是否存在点G，使以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C，OA＝4，OB＝2，点D是抛物线上一动点，且在y轴的左侧，连接AD，BC，AC，CD．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线m：y＝kx+8（不经过点B），同时与x轴和y轴相交，若直线m与x轴和y轴围成的三角形与△BCO相似，求k的值；（3）连接OD，若△ACD的面积是△ABC的面积的时，求△DOC的面积．14．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+1与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点E是直线BC上一动点，求出△ADE周长的最小值；（3）点P，M分别是抛物线和直线BC上的动点，是否存在以P，M，C为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，点A（0，2），B（1，0），连接AB并将线段AB绕点B顺时针旋转90°，点A 转到点C处．一抛物线经过C、B两点，与x轴交于另一点D（3.5，0）．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式．（2）在BC上方抛物线上是否存在一点P，使得四边形PBDC的面积最大？若存在，求出P的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由．（3）连接CD，①求证：CD∥AB；②直线CD上是否存在一点M，使得△MBC与△AOB相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，且4CO＝2BO＝OA＝4，点D是线段AB 上的动点，过点D作DF⊥x轴，交x轴于点F，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D的坐标是多少时，DE最长，最长是多少？（3）当DE最长时，在直线DE上是否存在点P，使得以P、A、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．17．已知抛物线与直线AC相交于A、C两点，且A（﹣2，0）、C（4，3）．（1）填空：b＝，c＝；（2）长度为的线段DE在线段AC上移动，点G与点F在上述抛物线上，且线段DG 与EF始终平行于y轴．①连接FG，求四边形DEFG的面积的最大值，并求出对应点D的坐标；②CH⊥AB，垂足为点H，线段DE在移动的过程中，是否存在点D，使△DEG与△ACH相似？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，试说明理由．18．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4的顶点为（1，），抛物线交x轴于A，B两点（A在B 的左边），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，沿射线AC方向平移抛物线y＝ax2+bx+4，分别记A、C两点的对应点为E、F，在平移过程中，是否存在以A，E，B为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，请求出此时平移后的E的横坐标；若不存在，请简要说明理由；（3）如图3，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，求N点坐标．19．如图，二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a＞0）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左边），与y轴交于点C，点P是二次函数图象上一动点．（1）若点C的坐标为（0，﹣3），求二次函数及直线BC的函数关系式．（2）如图①，在（1）的条件下，若点P在第四象限，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，求线段PQ长的最大值．（3）如图②，若点P在第一象限，且△ABP有△ABC相似，求点P的坐标．20．如图，若抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C，直线y＝﹣x+3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线位于第二象限上的一点，连接BP交线段AC于点Q，若△AQB与△AOC相似，求点P的坐标；（3）若点D为抛物线位于第一象限上的一点，过点D作x轴的垂线，垂足为F，直线DF交直线BC于点E，若△CDE为等腰三角形，请直接写出点D的坐标．参考答案：1．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．【解答】解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，∴A（3，0），把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，∴a＝1，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）；（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，由题意得：D（2+，1），∵B（0，1），C（2，﹣1），∴BC＝＝2，BD＝2+，∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，只能△CBP∽△DBC，∴，即，∴BP＝8﹣4，∴P（0，4﹣7）；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，由旋转得：∠CBD＝∠ABE，∴∠EBD＝∠ABC，∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝8，AC2＝12+12＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，∴E（2m，m+1），∵点E在抛物线上，∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，4m2﹣9m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝（舍），∴E（4，3）．2．【分析】（1）设抛物线C2的函数解析式为y＝x2+bx+c，把A、B的坐标代入上式，即可求解；（2）S＝S△OAP+S△OEP＝（﹣m2﹣2m+3）+×3（﹣m）即可求解；（3）分、，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）设抛物线C2的函数解析式为y＝x2+bx+c，把A、B的坐标代入得，解得：，故抛物线C2的函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）连接OP，作PH⊥x轴，作PQ⊥y轴，把P（m，n）代入y＝x2+2x﹣3得n＝m2+2m ﹣3，由抛物线y＝x2+2x﹣3得：点E（0，﹣3），则S＝S△OAP+S△OEP＝（﹣m2﹣2m+3）+×3（﹣m）＝﹣（m+）2+，所以四边形OAPE的面积最大值是；（3）由y＝x2+2x﹣3得对称轴是直线x＝﹣1，所以D（﹣1，1），则DF＝OF＝1，则△DOF为等腰直角三角形，∴∠DOF＝∠ODF＝45°，OD＝，BD＝，∠BOD＝135°，∴点M只能在点D上方，∵∠BOD＝∠ODM＝135°，∴当时，以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似．①，则解得DM＝2，此时点M坐标为（﹣1，3）；②若，则解得DM＝1，此时点M坐标为（﹣1，2）；综上，点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．3．【分析】（1）利用对称性和待定系数法求函数关系式；（2）分类讨论三角形相似情况即可；（3）由已知，满足条件的Q点在以A、D、F（﹣1，﹣1）的圆E在第三象限的部分，连接CE交圆于Q，则CQ最小．【解答】解：（1）由已知，点A坐标为（﹣3，0）∵直线x＝﹣1为对称轴∴点C坐标为（1，0）∴抛物线解析式为：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3（2）存在由已知点D坐标为（﹣1，0）设点P的横坐标为（a，﹣a﹣1）当△AOB∽△ADP时∴a＝﹣1点P坐标为（﹣1，）当△AOB∽△APD时过点P作PE⊥x轴于点E则△APE∽△APDE∴PE2＝AE•ED∴（﹣a﹣1）2＝（a+3）（﹣a﹣1）解得a1＝﹣3（舍去），a2＝﹣∴点P坐标为（﹣，﹣）（3）存在，CQ最小值为如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣）为圆心．∵tan∠AFD＝2∴（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点．连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值此时CE＝，⊙E半径为∴CQ最小值为4．【分析】（1）根据题意求得点A、C的坐标，将它们分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点F．利用三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答；（3）需要分类讨论：①当∠DCE＝∠BCO时，∠DCE＝∠OAC；②当∠DCE＝∠CBO 时，∠DCE＝∠OCA．根据相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度，从而得到点D的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，∴A（4，0），C（0，2），OA＝4，OC＝2，（1分）将A（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣+bx+c中，解得，∴y＝﹣+x+2；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点F，设D（t，﹣t2+t+2），其中0＜t＜4，则F（t，﹣t+2）∴DF＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2tS△ACD＝S△CDF+S△ADF＝DF•OG+DF•AG＝DF•（OG+AG）＝DF•OA＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4．∴当t＝2时，S△ACD最大＝4．（3）设y＝0，则﹣t2+t+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，∴B（﹣1，0），OB＝1∵tan∠OCB＝＝，tan∠OAC＝＝＝∴∠OCB＝∠OAC∴∠OCA＝∠OBC；①当∠DCE＝∠BCO时，∠DCE＝∠OAC，∴CD∥OA，点D的纵坐标与点C纵坐标相等，令y＝2，则﹣t2+t+2＝2，解得x1＝0，x2＝3，∴D1（3，2）；②如图2，当∠DCE＝∠CBO时，∠DCE＝∠OCA，将△OCA沿AC翻折得△MCA，点O的对称点为点M，过点M作MH⊥y轴于点H，AN⊥MH于点N，则CM＝CO＝2，AM＝AO＝4，设HM＝m，MN＝HN﹣HM＝OA﹣HM＝4﹣m，由∠AMC＝∠AOC＝∠ANM＝∠MHC＝90°易证△CHM∽△MNA，且相似比＝，∴AN＝2MH＝2m，CH＝MN＝2﹣m，在Rt△CMH中，由勾股定理得：m2+（2﹣m）2＝22，解得m1＝0，m2＝∴MH＝，OH＝，M（，）．设直线CM的表达式为y＝kx+n，则，解得，∴y＝x+2，由解得，∴D2（，）综上所述，点D的坐标为D1（3，2）、D2（，）．5．【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），从而得出OC＝﹣m、OF＝﹣m2﹣3m+4、BF＝﹣m2﹣3m，根据S△ABE＝S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF 得出S＝﹣2（m+2）2+8，据此可得答案；（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．【解答】解：（1）在直线解析式y＝x+4中，令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得：b＝﹣3，c＝4，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4．（2）如图，连接AE、过点E作EF⊥y轴于点F，设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），则OC＝﹣m，OF＝﹣m2﹣3m+4，∵OA＝OB＝4，∴BF＝﹣m2﹣3m，则S△ABE＝S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF＝×（﹣m+4）（﹣m2﹣3m+4）﹣×4×4﹣×（﹣m）×（﹣m2﹣3m）．＝﹣2m2﹣8m＝﹣2（m+2）2+8，∵﹣4＜m＜0，∴当m＝﹣2时，S取得最大值，最大值为8．即△ABE面积的最大值为8．（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC＝﹣m，CD＝AC＝4+m，BD＝OC＝﹣m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED＝90°，则BE＝DE，∵BE＝OC＝﹣m，∴DE＝BE＝﹣m，∴CE＝4+m﹣m＝4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，∴4＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD＝90°，则BE＝BD＝﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE＝BD＝﹣2m，∴CE＝4+m﹣2m＝4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．6．【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣4），再展开可得到﹣4a＝2，解得a＝﹣，然后写出抛物线解析式；（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），则M（t，﹣t+2），用t表示出PM＝﹣t2+2t，再证明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ＝﹣t2+t，然后利用二次函数的性质解决问题；②讨论：当∠PCQ＝∠OBC时，△PCQ∽△ABC，PC∥x轴，利用对称性可确定此时P点坐标；当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△ABC，则∠CPQ＝∠MPQ，所以△PCM为等腰三角形，则PC＝PM，利用两点间的距离公式得到t2+（﹣t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，然后解方程求出t得到此时P点坐标．【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），即y＝ax2﹣3ax﹣4a，则﹣4a＝2，解得a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，BC＝＝2，当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2），设直线BC的解析式为y＝mx+n，把C（0，2），B（4，0）得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），则M（t，﹣t+2），∴PM＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，∵∠NBM＝∠NPQ，∴△PQM∽△BOC，∴＝，即PQ＝，∴PQ＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，线段PQ的最大值为；②当∠PCQ＝∠ABC时，△PCQ∽△ABC，此时PC∥OB，点P和点C关于直线x＝对称，∴此时P点坐标为（3，2）；当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△ABC，∵∠OBC＝∠NPQ，∴∠CPQ＝∠MPQ，而PQ⊥CM，∴△PCM为等腰三角形，∴PC＝PM，∴t2+（﹣t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，解得t＝，此时P点坐标为（，），综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）．7．【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，可以求得A、B、C三点的坐标，从而可以求得OA、OC、AC的长，进而可以得到cos∠CAO 的值；（2）根据点A、C两点的坐标，可以求得直线AC的函数关系式；（3）根据第三问的条件，可知符合要求的三角形OP A存在三种情况，然后分别画出相应的图形，即可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，∴x2﹣4x+3＝0，得x＝1或x＝3，x＝0时，y＝3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴OA＝1，OC＝3，∴，∴cos∠CAO＝；（2）设直线AC的解析式为：y＝kx+b，∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），∴解得k＝﹣3，b＝3．即直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3；（3）如果有动点P是y轴上，且△OP A与△OAC相似，则有如下三种情况，第一种情况如下图1所示，当∠OP A＝∠OCA，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），∴OP＝OC＝3，∴点P的坐标为（0，﹣3）；第二种情况如下图2所示，点P位于y轴正半轴，当∠OP A＝∠OAC，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，OC＝3，即点P的坐标为（0，）；第三种情况如下图3所示，点P位于y轴负半轴，当∠OP A＝∠OAC，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，OC＝3，∴，即点P的坐标为（0，﹣）．由上可得，点P的坐标为：（0，﹣3），（0，），（0，﹣）．8．【分析】（1）根据题意把点A（﹣1，0），B（2，0）代入二次函数解析式，得到b和c 的二元一次方程组，求出b和c的值即可；（2）设E（a，b），且a＞0，b＞0，首先用a和b表示出S四边形ABEC，再结合点E在二次函数的图象上，得到S四边形ABEC＝﹣a2+2a+3，即可求解；（3）首先画出图形，以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，得到，或，根据n的取值范围求出m的值即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）如图1．∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2与y轴相交于点C，∴C（0，2）．设E（a，b），且a＞0，b＞0．∵A（﹣1，0），B（2，0），∴OA＝1，OB＝2，OC＝2．则S四边形ABEC＝＝1+a+b，∵点E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点，∴b＝﹣a2+a+2，∴S四边形ABEC＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，当a＝1时，b＝2，∴当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，2），且四边形ABEC的最大面积为4．（3）如图2．设M（m，n），且m＞0．∵点M在二次函数的图象上，∴n＝﹣m2+m+2．∵⊙M与y轴相切，切点为D，∴∠MDC＝90°．∵以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴，或．①当n＞2时，或，解得m1＝0（舍去），m2＝，或m3＝0（舍去），m4＝﹣1（舍去）．②同理可得，当n＜2时，m1＝0（舍去），m2＝，或m3＝0（舍去），m4＝3．综上，满足条件的点M的坐标为（，），（，），（3，﹣4）．9．【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后判断出平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式Δ＝0时方程只有一个根求解即可；（3）设点E的横坐标为c，表示出BE、QE，然后根据相似三角形对应边成比例，分OA 和BE，OA和QE是对应边两种情况列出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）令x＝0，则y＝2，∴点C（0，2），设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0），则，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+2，由三角形的面积可知，平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，此时设过点P的直线为y＝x+n，联立，消掉y得，﹣x2﹣x+2＝x+n，整理得，2x2+6x﹣6+3n＝0，△＝62﹣4×2×（﹣6+3n）＝0，解得n＝，此时x1＝x2＝﹣＝﹣，y＝×（﹣）+＝，∴点P（﹣，）时，△ACP的面积最大；（3）存在点Q（﹣2，2）或（﹣，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC 相似．理由如下：设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，﹣c2﹣c+2），BE＝1﹣c，①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，∴＝，即＝，整理得，c2+c﹣2＝0，解得c1＝﹣2，c2＝1（舍去），此时，﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，点Q（﹣2，2）；②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，∴＝，即＝，整理得，4c2﹣c﹣3＝0，解得c1＝﹣，c2＝1（舍去），此时，﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，点Q（﹣，），综上所述，存在点Q（﹣2，2）或（﹣，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．10．【分析】（1）利用A（﹣1，0）、点B（0，﹣5）代入解析式求出即可；（2）利用轴对称图形的性质得出P点位置，进而得出直线BC的解析式，进而求出P点坐标；（3）利用相似三角形的性质利用对应边不同分别得出E点坐标即可．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，故二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）令y＝0，得二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0）．由于P是对称轴x＝2上一点，连接AB，由于AB＝＝，要使△ABP的周长最小，只要P A+PB最小．由于点A与点C关于对称轴x＝2对称，连接BC交对称轴于点P，则P A+PB＝BP+PC＝BC，根据两点之间，线段最短，可得P A+PB的最小值为BC＝5，故△ABP的周长最小值为：+5．因为BC与对称轴x＝2的交点P就是所求的点．设直线BC的解析式为y＝kx+b，根据题意，可得：，解得，所以直线BC的解析式为y＝x﹣5．因此直线BC与对称轴x＝2的交点坐标是方程组的解，解得，所求的点P的坐标为（2，﹣3）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（5，0），∴AC＝6，∵P（2，﹣3），C（5，0），∴PC＝3，∵B（0，﹣5），C（5，0），∴BC＝5，当△PEC∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：EC＝5，∴E（0，0）；当△EPC∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：EC＝3.6，∴OE＝5﹣3.6＝1.4，故E点坐标为：（1.4，0），综上所述：以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：（0，0），（1.4，0）．11．【分析】（1）首先设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，由A点坐标为（3，0），则可将A点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式；（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后由P在直线上，将x代入直线方程，即可求得P的纵坐标，又由E在抛物线上，则可求得E的纵坐标，它们的差即为PE 的长；（3）分别从当∠EDP＝90°时，△AOB∽△EDP与当∠DEP＝90°时，△AOB∽△DEP 两种情况去分析，注意利用相似三角形的对应边成比例等性质，即可求得答案，注意不要漏解．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵A（3，0）在抛物线上，∴0＝a（3﹣1）2﹣2∴a＝，∴y＝（x﹣1）2﹣2，（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣．∵P为线段AB上的一个动点，∴P点坐标为（x，x﹣）．（0＜x＜3）由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x2﹣x﹣），∵0＜x＜3，∴PE＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，（3）由题意可知D点横坐标为x＝1，又D点在直线AB上，∴D点坐标（1，﹣1）．①当∠EDP＝90°时，△AOB∽△EDP，∴．过点D作DQ⊥PE于Q，∴x Q＝x P＝x，y Q＝﹣1，∴△DQP∽△AOB∽△EDP，∴，又OA＝3，OB＝，AB＝，又DQ＝x﹣1，∴DP＝（x﹣1），∴，解得：x＝﹣1±（负值舍去）．∴P（﹣1，）（如图中的P1点）；②当∠DEP＝90°时，△AOB∽△DEP，∴．由（2）PE＝﹣x2+x，DE＝x﹣1，∴，解得：x＝1±，（负值舍去）．∴P（1+，﹣1）（如图中的P2点）；综上所述，P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．12．【分析】（1）运用待定系数法把点A、B、C的坐标代入求解即可；（2）连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH＝BH+CH＝BC最小，故△AHC 周长最小，运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，即可求得答案；（3）当以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，分两种情况：①△BEG∽△AOC，②△GEB∽△AOC，分别利用相似三角形性质建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点A（﹣1，0）和点B（3，0）关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH＝BH+CH＝BC最小，如图，∴AC+AH+CH＝AC+BH最小，即△AHC周长最小，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点H的坐标为（1，2）；（3）存在．理由如下：由题意得：OA＝1，OC＝3，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴E（1，0），设G（1，m），则EG＝|m|，∵B（3，0），∴BE＝3﹣1＝2，当以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，①△BEG∽△AOC，∴＝，即＝，∴|m|＝6，解得：m＝±6，∴点G的坐标为（1，6）或（1，﹣6）；②△GEB∽△AOC，∴＝，即＝，∴|m|＝，解得：m＝±，∴点G的坐标为（1，）或（1，﹣）；综上所述，以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，点G的坐标为（1，6）或（1，﹣6）或（1，）或（1，﹣）．13．【分析】（1）由OA和OB的长得到点A和点B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）先求得点C的坐标得到OC的长，然后求得直线m与坐标轴的两个交点的坐标，最后利用相似三角形的性质分类讨论求得k的值；（3）先求得直线AC的解析式，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标得到点E的坐标，从而表示出△ACD的面积，再求得△ABC的面积，从而列出方程求得点D 的坐标，最后求得△COD的面积．【解答】（1）解：∵OA＝4，OB＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），将点A和点B的坐标代入y＝ax2+bx+8，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+8．（2）对y＝﹣x2﹣2x+8，令x＝0，得y＝8，∴点C的坐标为（0，8），∴OC＝8，对直线y＝kx+8，当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝﹣，∴直线y＝kx+8与y轴的交点为点C（0，8），与x轴的交点为（﹣，0），记为点M，∴OM＝|﹣|，如图1，当△MOC∽△BOC时，∴＝1，∴MO＝BO＝2，∴M1（﹣2，0），代入y＝kx+8中，得﹣2k+8＝0，解得：k＝4；当△MOC∽△COB时，，∴＝＝4，∴MO＝32，∴M2（﹣32，0），M3（32，0），分别代入y＝kx+8中，得﹣32k+8＝0或32k+8＝0，解得：k＝或k＝﹣；综上所述，k＝4或k＝或k＝﹣．（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝2x+8，如图2，当点D在AC之间的抛物线上时，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+8），则点E的坐标为（x，2x+8），∴DE＝﹣x2﹣2x+8﹣（2x+8）＝﹣x2﹣4x，∴S△ACD＝S△AED+S△ECD＝＝，∴S△ACD＝＝﹣2x2﹣8x，∵OA＝4，OB＝2，OC＝8，∴S△ABC＝＝24，又∵S△ACD＝S△ABC，∴﹣2x2﹣8x＝×24，解得：x＝﹣2+或x＝﹣2﹣，∵S△COD＝，∴S△COD＝＝8﹣4或S△COD＝＝8+4；如图3，当点D在点A左侧抛物线上时，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+8），则点E的坐标为（x，2x+8），∴DE＝2x+8﹣（﹣x2﹣2x+8）＝x2+4x，∴S△ACD＝S△ECD﹣S△AED＝＝，∴S△ACD＝＝2x2+8x，∵OA＝4，OB＝2，OC＝8，∴S△ABC＝＝24，又∵S△ACD＝S△ABC，∴2x2+8x＝×24，解得：x＝﹣2﹣或x＝﹣2+（舍），∵S△COD＝，∴S△COD＝＝8+4；综上所述，△COD的面积为8﹣4或8+4或8+4．14．【分析】（1）把A（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1即可求解；（2）作A点关于直线BC的对称点A'，连接A'D交BC于点E，连接AE，A'B，当A'、D、E三点共线时，△ADE的周长最小，求出A'（3，﹣2），再求A'D＝，AD＝，即可求解；（3）分三种情况讨论：①当∠CMP＝90°时，过点M作MG⊥y轴交于点G，过点P作PH⊥y轴交于点H，可得△GCM∽△HPC，设M（t，t﹣3），当∠CPM＝∠ACO时，＝，则P（3t，﹣3﹣3t），可求P（5，﹣8）；当∠CMP＝∠ACO时，＝3，可求P（5，﹣8）；②当∠CMP＝90°时，过点M作EF∥x轴，交y轴于点E，过点P作PF ⊥EF交于点F，证明△ECM∽△FMP，设M（t，t﹣3），则P（4t，﹣2t﹣3），可求P （，﹣）；当∠CMP＝∠OCA时，＝3，则P（t，t﹣3），可求P（，﹣）；③当∠CPM＝90°时，过点P作KL⊥y轴交于点L，过点M作MK⊥LK交于K 点，证明△CLP∽△PKM，设P（m，﹣m2+4m﹣3），则M（3m2﹣11m，﹣m2+7m﹣3），可求P（，﹣）；当∠MCP＝∠OCA时，＝3，M（m2﹣m，﹣m2+m﹣3），可求P（，﹣）．【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得：a+1＝0，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3，在y＝﹣x2+4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，作A点关于直线BC的对称点A'，连接A'D交BC于点E，连接AE，A'B，∴AE+DE+AD＝A'E+DE+AD≥A'D+DE，当A'、D、E三点共线时，△ADE的周长最小，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∴∠ABA'＝90°，∵AB＝A'B，∴A'（3，﹣2），∵D（2，1），∴A'D＝，AD＝，∴△ADE周长的最小值为+；（3）存在以P，M，C为顶点的三角形与△AOC相似，理由如下：∵A（1，0），C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴tan∠OCA＝，①当∠CMP＝90°时，过点M作MG⊥y轴交于点G，过点P作PH⊥y轴交于点H，∴∠GCM+∠HCP＝90°，∵∠GCM+∠GMC＝90°，∴∠HCP＝∠GMC，∴△GCM∽△HPC，∴＝＝，设M（t，t﹣3），∴GM＝t，GC＝t，当∠CPM＝∠ACO时，＝，∴CH＝3t，HP＝3t，∴P（3t，﹣3﹣3t），∴﹣3﹣3t＝﹣9t2+12t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（5，﹣8）；当∠CMP＝∠ACO时，＝3，∴CH＝t，HP＝t，∴P（t，﹣3﹣t），∴﹣3﹣t＝﹣t2+t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝15，∴P（5，﹣8）；②当∠CMP＝90°时，过点M作EF∥x轴，交y轴于点E，过点P作PF⊥EF交于点F，∴∠EMC+∠FMP＝90°，∵∠EMC+∠ECM＝90°，∴∠FMP＝∠ECM，∴△ECM∽△FMP，∴＝＝，设M（t，t﹣3），∴EM＝EC＝t，当∠CPM＝∠OCA时，＝，∴MF＝FP＝3t，∴P（4t，﹣2t﹣3），∴﹣2t﹣3＝﹣16t2+16t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（，﹣）；当∠CMP＝∠OCA时，＝3，∴MF＝FP＝t，∴P（t，t﹣3），∴﹣t﹣3＝﹣t2+t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（，﹣）；③如图3，当∠CPM＝90°时，过点P作KL⊥y轴交于点L，过点M作MK⊥LK交于K点，∴∠CPL+∠MPK＝90°，∵∠CPL+∠PCL＝90°，∴∠MPK＝∠PCL，∴△CLP∽△PKM，∴＝＝，设P（m，﹣m2+4m﹣3），∴LP＝m，CL＝m2﹣4m，当∠CMP＝∠OCA时，＝，∴MK＝3m，PK＝3m2﹣12m，∴M（3m2﹣11m，﹣m2+7m﹣3），∴﹣m2+7m﹣3＝3m2﹣11m﹣3，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，﹣）；当∠MCP＝∠OCA时，＝3，∴MK＝m，PK＝m2﹣m，∴M（m2﹣m，﹣m2+m﹣3），∴﹣m2+m﹣3＝m2﹣m﹣3，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，﹣）；综上所述：P点坐标为（5，﹣8）或（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．15．【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，先求得点C的坐标，然后由点B和点D的坐标设函数的交点式，再将点C的坐标代入求得函数的解析式即可；（2）过点P作PH⊥x轴，交BC于点H，先求得直线BC的解析式，再设点P的坐标，得到点H的坐标，然后求得△PBC的面积，结合点B、C、D求得△BCD的面积，从而求得四边形PBDC的面积，最后由二次函数的性质求得四边形PBDC的面积最大值，及点P的坐标；（3）①分别求得tan∠ABO和tan∠CDE的大小，从而得到∠ABO＝∠CDE，然后得证CD∥AB；②由∠ABO＝∠CDE，∠ABC＝90°得到BC⊥CD，即∠BCD＝90°，由旋转得BC＝AB，然后分情况讨论，（i）△BCM∽△AOB；（ii）△BCM∽△BOA，先由相似三角形的性质求得CM的长，再求得直线CD的解析式，设点M的坐标，借助两点间的距离公式求得点M的坐标即可．【解答】（1）解：如图1，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠BEC＝∠AOB＝90°，由旋转得，∠ABC＝90°，AB＝CB，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBE＝∠OAB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO，CE＝OB，∵点A（0，2），B（1，0），∴BE＝2，CE＝1，∴点C的坐标为（3，1），由点B（1，0），点D（3.5，0）可设函数的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3.5），将点C（3，1）代入，得a（3﹣1）×（3﹣3.5）＝1，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3.5）＝﹣x2+x﹣．（2）解：过点P作PH⊥x轴，交BC于点H，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，设点P的坐标为（x，﹣x2+x﹣），则点H的坐标为（x，x﹣），∴PH＝﹣x2+x﹣﹣x+＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∵S△PBC＝S△PBH+S△PCH＝，∴S△PBC＝×2×[﹣（x﹣2）2+1]＝﹣（x﹣2）2+1，∵B（1，0），C（3，1），D（3.5，0），∴BD＝2.5，CE＝1，∴S△BCD＝＝，∴S四边形PBDC＝S△PBC+S△BCD＝﹣（x﹣2）2+1+＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，四边形PBDC的面积最大值为，此时，点P的坐标为（2，）．（3）①证明：由（1）得，AO＝BE＝2，BO＝CE＝1，BD＝2.5，∴tan∠ABO＝，ED＝BD﹣BE，2.5﹣2＝0.5，∴tan∠CDE＝＝2，∴∠ABO＝∠CDE，∴CD∥AB．②解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，由①得，∠ABO＝∠CDB，∴∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠BCD＝90°，由旋转得，BC＝AB＝＝，设直线CD的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+7，设点M（x，﹣2x+7），则CM＝，如图2，（i）当△BCM∽△AOB时，，∴，∴CM＝，∴＝，解得：x1＝，x2＝，∴点M1（，2），M2（，0）；（ii）当△BCM∽△BOA时，，∴，∴CM＝2，∴＝2，解得：x3＝1，x4＝5，∴点M3（1，5），M4（5，﹣3）；综上所述，当点M的坐标为（，2）或（，0）或（1，5）或（5，﹣3）时，△MBC 与△AOB相似．16．【分析】（1）根据线段关系求出A点、B点、C点的坐标，用待定系数法求出解析式即可；（2）求出直线AB的解析式，设出D点坐标，得出DE的表达式，根据二次函数的性质求出最大值即可；（3）根据（2）设出P点的坐标，分请款根据线段比例关系求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵4CO＝2BO＝OA＝4，∴OA＝4，OB＝2，OC＝1，即A（4，0），B（0，2），C（﹣1，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）由（1）知A（4，0），B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+d，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，设D（t，﹣t+2），则E（t，﹣t2+t+2），∴DE＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∴当t＝2时DE有最大值，最大值为2，即D点坐标为（2，1）时，DE有最大值为2；（3）存在，由（2）知F点和P点的横坐标为2，OA＝4，OB＝2，OC＝1，∴F（2，0），AB＝＝2，BC＝＝，AC＝4+1＝5，。

专题4二次函数与相似问题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

相似三角形常见的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．【例1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【例2】．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】．（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【例4】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．1．（2020秋•兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，若点D是抛物线上在第四象限的点，连接DA并延长，交y轴于点P，过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点，过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020秋•长垣市期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m 值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E 两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021秋•邹城市期末）如图，已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A，直线y＝x+2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．5．（2021秋•攸县期末）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6．（2022•禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；＝S△ABC，直接写出点D （3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA的坐标．7．（2022•祥云县模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，3），点M是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME垂直x轴于点E，交线段BC于点D，MN∥x轴，交y轴于点N．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若四边形MNOE是正方形，求该正方形的边长；（3）连结OD，AC，抛物线上是否存在点M，使得以C，O，D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．8．（2022•松江区校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．9．（2022•平江县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设四边形PBOC和△AOC的面积分别为S四边形PBOC ，记S＝S四边形PBOC﹣S△AOC，求S最大值点P的坐标及S的最大值；和S△AOC（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•莱州市一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+c经过点A（4，3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，﹣2）且垂直于y轴的直线，连接PO．（1）求抛物线的表达式，并求出顶点B的坐标；（2）试证明：经过点O的⊙P与直线l相切；（3）如图②，已知点C的坐标为（1，2），是否存在点P，使得以点P，O及（2）中的切点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC 与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；③在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2022•丰南区二模）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．（1）直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；（2）点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积；（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022•莱芜区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A和点C（0，﹣3）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求出线段FP的长度；若不存在，请说明理由．15．（2022•临清市三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．（1）求抛物线解析式；（2）设点F横坐标为m，①用含有m的代数式表示点E的横坐标为（直接填空）；②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；（3）过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F 的坐标．16．（2022•成都模拟）如图①，已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k交x轴于A，B两点，交y轴于点C，P是抛物线上的动点，且满足OB＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，直线y＝x+b经过点P且与直线BC交于点E，设点P的横坐标为t，当线段PE 的长度随着t的增大而减小时，求t的取值范围；（3）如图②，过点A作BC的平行线m，与抛物线交于另一点D．点P在直线m上方，点Q在线段AD 上，若△CPQ与△AOC相似，且点P与点O是对应点，求点P的坐标．17．（2022•东莞市校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2kx+2k2+1与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为C，对称轴为直线l，对于抛物线上的两点（x1，y1），（x2，y2）（x1＜k＜x2），当x1+x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MN⊥AC于点N，求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；（3）点P是直线l右侧抛物线上的一点，PQ⊥l于点Q，AP交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PQF与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．18．（2022•碑林区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若C（0，2）．（1）请直接写出A、B的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．【例1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；（2）先求出点C的坐标，然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC，再由二次函数的最值性质，求出答案；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当△AOC∽△APD时；当△AOC∽△DAP时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．【解析】（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（，﹣）代入，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝2，∴C点坐标为（2，0），∵PD⊥x轴，PE∥x轴，∴∠ACO＝∠DEP，∴Rt△DPE∽Rt△AOC，∴，∴PE＝PD，∴PD+PE＝PD，设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D点坐标为（a，﹣a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+，∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+，∵﹣＜0，∴当a＝时，PD+PE有最大值为；（3）①当△AOC∽△APD时，∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，∴点D的坐标为（2，0）；∵PD⊥x轴，∴点P的横坐标为2，∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；②当△AOC∽△DAP时，此时∠APG＝∠ACO，过点A作AG⊥PD于点G，∴△APG∽△ACO，∴，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），则，解得：m＝，∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）．【例2】（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令x＝0和翻折的性质可得C（0，2），令y＝0可得点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出图象W的解析式；（2）利用数形结合找出当y＝﹣x+b经过点C或者y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，直线y＝﹣x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝﹣x+b经过点C（0，2）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ＝0，即可求出b值．综上即可得出结论；（3）先确定△BOC是等腰直角三角形，分三种情况：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°，分别画图可得结论．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，2），当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（2，0），设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），把C（0，2）代入得：﹣2a＝2，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）；（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，﹣x+b＝﹣x2+x+2，x2﹣2x+b﹣2＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0，∴b＝3，综上，b的值是2或3；（3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y轴，∴P（1，0）；如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，x2﹣x﹣4＝0，∴x1＝，x2＝，∴P（，0）；如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式为：y＝x+2，∴x+2＝x2﹣x﹣2，∴x1＝1+，x2＝1﹣（舍），∴P（1+，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1+，0）．【例3】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．【解析】（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，∴四边形CC'QP是平行四边形，∴CP＝C'Q，∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，∵B，Q，C'共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，∴C'（0，3），∵B（4，0），∴BC'＝＝5，∴BC'+PQ＝5+1＝6，∴CP+PQ+BQ最小值为6；（3）如图：由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），∵B（4，0），C（0，4）；∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，∵∠CMP＝∠QNB＝90°，∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，①当＝时，＝，解得t＝或t＝，∴Q（，）或（，）；②当＝时，＝，解得t＝或t＝（舍去），∴Q（，），综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）．【例4】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．【分析】（1）把点B（2，0）代入y＝﹣2x2+bx+c中，再由对称轴是直线x＝列方程，两个方程组成方程组可解答；（2）当△POD是等边三角形时，点P在OD的垂直平分线上，所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P，计算OD≠PD，可知△POD不可能是等边三角形；（3）分种情况：①当PC∥x轴时，△CPM∽△BHM时，根据PH的长列方程可解答；②②如图3，△PCM ∽△BHM，过点P作PE⊥y轴于E，证明△PEC∽△COB，可得结论．【解析】（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，∵C（0，4），D是OD的中点，∴E（0，1），当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1，2x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝，x2＝（舍），∴P（，1），∴OD≠PD，∴△POD不可能是等边三角形；（3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，分两种情况：①如图2，△CMP∽△BMH，∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，∴tan∠OBC＝tan∠PCM，∴＝＝＝＝2，∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），∵PH＝PM+MH，∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，解得：t1＝0，t2＝1，∴P（1，4）；②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，过点P作PE⊥y轴于E，∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠EPC，∴△PEC∽△COB，∴＝，∴＝，解得：t1＝0（舍），t2＝，∴P（，）；综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．1．（2020秋•兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法将A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，解方程组即可求得答案；（2）根据题意，当S1＝S2+5，即S△ABD＝S△ABC+5，设D（x，y），表示出△ABD和△ABC的面积，列方程求解即可；（3）分情况讨论，列出三角形相似的三种情况，画出相应图形，设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），运用相似三角形性质，建立方程求解即可．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，∴，解得：，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），∵S1＝S2+5，∴S1+S△AEB＝S2+S△AEB+5，＝S△ABC+5，即S△ABD∵A（4，0），B（﹣1，0），∴AB＝5，设D（x，y），∴×5×y＝×5×4+5，∴y＝6，∴﹣x2+3x+4＝6，解得：x1＝1，x2＝2，∴D1（1，6），D2（2，6）；（3）设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），①如图2，△BOC∽△NMC，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝，经检验，m＝是原方程的解，∴M（，4）；②如图3，△BOC∽△CMN，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝﹣1，经检验，m＝﹣1是原方程的解，∴M（﹣1，4）；③如图4，△BOC∽△NMC，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝，经检验，m＝是原方程的解，∴M（，4）；④如图5，△BOC∽△CMN，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝7，经检验，m＝7是原方程的解，∴M（7，4）；综上所述，点M的坐标为（，4）或（﹣1，4）或（，4）或（7，4）．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，若点D是抛物线上在第四象限的点，连接DA并延长，交y轴于点P，过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点，过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）在抛物线解析式中，令y＝0则可求得A、B的坐标；（2）证明△AOP∽△AED，根据相似三角形面积的比等于对应边的比的平方列比例式可得AE＝2，从而得点D的横坐标为3，代入抛物线的解析式可得点D的坐标；（3）如图2所示，若以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似，有两种情况，但是∠QAM与∠QAN不可能相等，所以最后只存在一种情况：△AQM∽△NQA，列比例式可得结论．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣3x+＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∴A（1，0），B（5，0）；（2）∵DE⊥x轴，∴∠AED＝90°，∴∠AOP＝∠AED＝90°，∵∠OAP＝∠DAE，∴△AOP∽△AED，∴＝＝，∴＝，∵OA＝1，∴AE＝2，∴OE＝3，当x＝3时，y＝﹣3×3+＝﹣2，∴D（3，﹣2）；（3）如图2，设Q（0，m），当x＝0时，y＝，∴F（0，），∵点Q是线段OF上的动点，∴0≤m≤，当y＝m时，x2﹣3x+＝m，x2﹣6x+5﹣2m＝0，x＝3，∴x1＝3+，x2＝3﹣，∴QM＝3﹣，QN＝3+，在Rt△AOQ中，由勾股定理得：AQ＝，∵∠AQM＝∠AQN，∴当△AQM和△AQN相似只存在一种情况：△AQM∽△NQA，∴，∴AQ2＝NQ•QM，即1+m2＝（3+）（3﹣），解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（舍），∴Q（0，﹣1+）．3．（2020秋•长垣市期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m 值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E 两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的函数关系式；（2）根据点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，表示PH的长，根据三角形的面积列方程解出即可得出结论；（3）先根据两三角形相似判断出∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，进而分两种情况讨论即可得出结论．【解析】（1）把点B（6，0）和点C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）设直线BC的解析式为：y＝ax+n，由点B（6，0）和C（0，﹣3）得：，解得：，∴直线BC的解析式为，如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点H，∵点P的坐标为（m，），PH∥y轴，∴点H的坐标为（m，），∴PH＝y H﹣y P＝﹣（）＝﹣，x B﹣x C＝6﹣0＝6，＝PH×6＝（﹣）×6＝﹣＝，∵S△PBC解得：m1＝1，m2＝5，∴m值为1或5；（3）如图2，∵∠CDE＝∠BDM，△CDE与△BDM相似，∴∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，设M（x，0），①当∠CED＝∠BDM＝90°，∴CE∥AB，∵C（0，﹣3），∴点E的纵坐标为﹣3，∵点E在抛物线上，∴x2﹣x﹣3＝﹣3．∴x＝0（舍）或x＝5，∴M（5，0）；②当∠DCE＝∠DMB＝90°，∵OB＝6，OC＝3，∴BC＝＝3，由（2）知直线BC的关系式为y＝x﹣3，∴OM＝x，BM＝6﹣x，DM＝3﹣x，由（2）同理得ED＝﹣+3x，∵DM∥OC，∴，即，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝﹣x，∵△ECD∽△BMD，∴，即＝，∴＝x（3﹣x）2，x（6﹣x）（1﹣x）＝0，x1＝0（舍），x2＝6（舍），x3＝1，∴M（1，0）；综上所述：点M的坐标为（5，0）或（1，0）．4．（2021秋•邹城市期末）如图，已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A，直线y＝x+2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将抛物线配方后可得顶点A的坐标，将抛物线和一次函数的解析式联立方程组，解出可得B 和C的坐标；（2）先根据两点的距离计算AB、BC、AC的长，根据勾股定理的逆定理可得：∠ABC＝90°，最后根据两边的比相等且夹角为90度得两三角形相似；（3）存在，设M（x，0），则P（x，x2+2x），表示OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，分两种情况：有＝或＝，根据比例式代入可得对应x的值，计算点P的坐标即可．【解答】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴顶点A（﹣1，﹣1）；由，解得：或∴B（﹣2，0），C（1，3）；（2）证明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3），∴AB＝＝，BC＝＝3，AC＝＝2，∴AB2+BC2＝AC2，＝＝，∴∠ABC＝90°，∵OD＝1，CD＝3，∴＝，∴，∠ABC＝∠ODC＝90°，∴△ODC∽△ABC；（3）存在这样的P点，设M（x，0），则P（x，x2+2x），∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，当以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似时，有＝或＝，由（2）知：AB＝，CB＝3，①当＝时，则＝，当P在第二象限时，x＜0，x2+2x＞0，∴，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，当P在第三象限时，x＜0，x2+2x＜0，∴＝，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，②当＝时，则＝3，同理代入可得：x＝﹣5或x＝1（舍），综上所述，存在这样的点P，坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）．5．（2021秋•攸县期末）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝，故点M（，），即可求解；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，即可求解；③四边形MNPD为菱形，首先PD＝MN，即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝，解得：x＝或（舍去），故点P（，1），而PN＝＝≠MN，即可求解；（2）分∠DBP为直角、∠BDP为直角两种情况，分别求解即可．【解析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝，故点M（，），当x＝时，y＝﹣2x+4＝3，故点N（，3）；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，将R、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线RB的表达式为：y＝4x+4，当x＝时，y＝6，故点Q（，6）；③不存在，理由：设点P（x，﹣2x+4），则点D（x，﹣2x2+2x+4），MN＝﹣3＝，四边形MNPD为菱形，首先PD＝MN，即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝，解得：x＝或（舍去），故点P（，1），而PN＝＝≠MN，故不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为：（1，2），此时点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，4），①当∠DBP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，则∠BAO＝∠BDP＝α，tan∠BAO＝＝2＝tanα，则sinα＝，PA＝，PB＝AB﹣PA＝2﹣＝，则PD＝＝，故点D（1，）；②当∠BDP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，则BD∥x轴，则点B、D关于抛物线的对称轴对称，故点D（1，4），综上，点D的坐标为：（1，4）或（1，），将点A、B、D的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+bx+c并解得：y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．6．（2022•禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；＝S△ABC，直接写出点D （3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA的坐标．。

二次函数存在性问题——相似三角形例一、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．例二.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．随堂练习1.如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于A （-1，0）、B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）M 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，是否存在点M ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A 、B 两点，过A 、B 两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．3.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD 相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C 和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？6. 如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．。