相控阵天线方向推导及仿真
1、推导线阵天线方向图公式
一个接收线阵，由等间距为d 的N 个各向同性单元组成，那么在θ方向，相
邻单元接收信号的相位差为Ф=2πd
λsinθ，线阵排列情况如图1所示。
图1 线阵排列示意图
因为天线辐射方向图可以由天线上各种各样电流源辐射的单独贡献进行矢
量叠加而得出，故各单元电压和为：
E a =sin (ωt )+sin (ωt +ϕ)+sin (ωt +2ϕ)+⋯+sin[ωt +(N −1)ϕ]
将等式两边同时乘以2sin(ϕ
2)，根据积化和差、和差化积等相关数学公式，可得到如下公式：
2sin (ϕ2)E a =cos (ωt −ϕ2)−cos (ωt +ϕ2)+cos (ωt +ϕ2)−cos (ωt −32
ϕ)
+⋯+cos (ωt +2N −32ϕ)−cos(ωt +2N −1
2ϕ)
整理得，2sin (ϕ
2)E a =cos (ωt −ϕ
2)−cos (ωt +
2N−12
ϕ)
=2sin(ωt +
N −12ϕ)sin(N
2
ϕ) 最终得到场强方向图，E a =sin[ωt +(N −1)ϕ2⁄]sin(Nϕ2⁄)
sin(ϕ2⁄)
平方归一化后，得到辐射方向图（阵列因子）：
|G a (θ)|=sin 2[Nπ(d
λ)sinθ]
N 2sin 2[π(d
λ
)sinθ]
上式中，当(d
λ)sinθ=0,±1,±2,···±n 时|G a (θ)|取得相等的最大值，但是我们
只期望看到(d
λ)sinθ=0的情况，取其他值产生的栅瓣是我们所不想见到的，为避免这种情况，特令d <λ。
前面的公式中认定主瓣指向为0°，当主瓣指向θ0方向时，则各向同性单元
线阵的归一化辐射方向图为：
G (θ)=sin 2[Nπ(d
λ)(sinθ−sinθ0)]
N 2sin 2[π(d λ
)(sinθ−sinθ0)]
此时，由于−2≤sin (θ)−sin (θ0)≤2，故防止产生栅瓣的条件为d <λ2⁄。
当来波方向与主瓣指向相近时sinθ−sinθ0很小，有：
sin 2[π(d λ)(sinθ−sinθ0)]≈[π(d
λ
)(sinθ−sinθ0)]2
这时的辐射方向图是sin 2μμ2⁄的形式，式中μ=(d
λ)(sinθ−sinθ0)，当μ=±0.443π时，天线方向图被衰减到最大值的一半，又因为sinθ−sinθ0项可以写成
sinθ−sinθ0=sin (θ−θ0)cos (θ0)−[1−cos (θ−θ0)]sin (θ−θ0)
当θ0很小时，方程右边第二项可以忽略，所以sinθ−sinθ0≈sin (θ−
θ0)cos (θ0)。
最终我们可以得到天线的半功率波束宽度为θB ≈0.886λ
Ndcosθ0
（rad ）。
2、电子扫描阵列天线方向图仿真
·1、不同参数情况下的栅瓣现象及分析
由前面的分析可知，归一化后的天线方向图可以表示为：
G a (θ)=
sin 2(Nπd
λ
(sin θ−sin θ0))
N 2sin 2(πd
λ
(sin θ−sin θ0))
其中d 表示天线长度， N 表示天线阵元个数，λ表示信号波长。
当πd
λ(sin θ−sin θ0)=0,±1,±2,⋯,±n,⋯n ≥1,n ∈Z 时，G a (θ)的分子、分母均为0，由洛毕达法则可知，当sin θ−sin θ0=±n λ
d 时，G a (θ)取最大值1，其中sin θ−sin θ0=0，即θ=θ0时，是主瓣，sin θ−sin θ0=±n λ
d 的解对应的是
栅瓣。
所以为了防止栅瓣的出现，必须要求波长和天线长度满足：
d<d max=
λ
max sinθ−sinθ0
当d≥d max时，会出现栅瓣，假设栅瓣对应的角度为θg，则
sinθg−sinθ0=±n λd
即
θg=arcsin(sinθ0±n λd )
θg的具体求法参见“arcsin.m”
为了对不同参数情况下的栅瓣现象进行分析，本实验主要包括：
·1 固定θ0，λ，改变d，观察并记录栅瓣出现的位置，并对试验结果做出分析。
·2 固定d，λ，改变θ0，观察并记录栅瓣出现的位置，并对试验结果做出分析。
·3 固定θ0，d，改变λ，观察并记录栅瓣出现的位置，并对试验结果做出分析。
·4 仿真并解释频率色散与扫描限制。
1.假设θ0=0,λ=0.5，则d max=0.5，下图给出了d取不同值时的情况：
由上图可以看出，在θ0=0,λ=0.5,d max=0.5的条件下，当d<d max时，只有主瓣，没有栅瓣，是我们想要的结果；当d>d max时，出现栅瓣，且栅瓣个数随着d的增加而增加。
假设θ0=30。
,λ=0.5，则d max=0.33333，下图给出了d取不同值时的情况：
由上图可以看出，在θ0=30。
,λ=0.5,d max=0.33的条件下，当d<d max时，只有主瓣，没有栅瓣，是我们想要的结果；当d>d max时，出现栅瓣，且栅瓣个数随着d的增加而增加。
2.假设d=0.5,λ=0.5，下图给出了θ0取不同值时的情况：
由上图可以看出，在d=0.5,λ=0.5的条件下，当θ0取不同值时，d max=0.33会发生变化，进而会影响栅瓣的数量和位置。
栅瓣会随着θ0的变大而出现。
3.假设d=0.5,θ0=30°，下图给出了λ取不同值时的情况：
由上图可以看出，在d=0.5,θ0=30°的条件下，当λ取不同值时，d max= 0.33会发生变化，进而会影响栅瓣的数量和位置。
栅瓣会随着λ的变大而消失。
下表列出了在λ=0.5的条件下，不同θ0和d对应的主瓣、栅瓣角度：
由以上仿真可以知道，只有天线孔径d<d max时，才不会出现栅瓣，而d max 并不是一层不变的，它与信号频率和天线扫描角度有关。
1，2，3代码参考“AntennaPattern.m”
4.阵列天线能够工作的基础是：由于扫描方向而引入的时间误差能够被相位误差代替（窄带假设）。
之所以有上面的替代是因为电路中实现精确可变的时间延迟要比相位延迟难得多，通常电路中是通过移相器产生相位延迟，进而对接收信号进行相位补偿。
相位器与来波频率无关，即对所有频率的来波信号都会产生相同的相位延迟φ，由
φ=2πd
λ
sinθ0
可知，如果希望天线扫描θ1，按照λ1设计时，有
φ1=2πd
λ1
sinθ1
按照λ2设计时，有
φ2=2πd
λ1
sinθ1’=
2πd
λ2
sinθ1
而雷达总会有一定带宽，经过同一个移相器后，最高频f1和最低频f2就会产生一个误差θ1−θ1’。
下面分别分析θ0和∆λ的影响。
4.1 固定∆λ，d，分析θ0的影响：
由上图可以看出，随着θ0的增大，误差在不断变大。
4.2 固定θ0，d，分析∆λ的影响：
由上图可以看出，随着∆λ的增大，误差在不断变大。
4 代码参考“AntennaPattern2.m”
·2、主瓣宽度和功率增益随扫描角变化情况。
根据前面得理论分析，天线的半功率波束宽度为：
0.886cos B Nd λθθ≈ 其中，N 为天线阵元个数，d 为单元间距，0θ为扫描角度。
当0θ很大时，这个表达式是无效的，并且阵列的性能会变得很差，而且随着波束从侧射开始扫描，互藕影响也会相应增加，因此，我们在这儿讨论的时候，扫描角度被限制在60±。
在没有栅瓣的情况下（/2d λ=）进行仿真并改变0θ的值，
得到主瓣宽度和
功率增益随扫描角度变化的曲线，实验结果如下图：
从图中可以看出，实际仿真结果与理论分析结果一致，随着扫描角的增大，主瓣宽度会相应的增大，相应的后果是天线增益会随扫描角度的增大而减小。
代码参考“Effect.m ”
01020304050602530
35
40
45
天线方向图主瓣宽度随扫描角度的变化
扫描角度/°主瓣宽度/°0102030405060-16-15
-14-13
-12
天线增益随扫描角度的变化
扫描角度/°天线增益(d B )。
