数列专题
（一）数列求和
1．公式法。（直接用等差、等比数列的求和公式求和）
d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ； ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()
1(11q q
q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论
例1：已知等差数列．．．．
}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和n S ．
例2.已知等比数列．．．．
}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和n S ．
练习1.设4
7
10
310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）
A.
2(81)7n - B.12(81)7n +- C.32
(81)7n +- D.
4
2(81)7
n +- 练习2.求和：13579(21)n
2．分组求和法 n n
n c a b ，{}n a 、{}n b 是等差或等比数列，则采用分组求和法
例3：)12()1(7531--+⋯++-+-=n S n
n
练习3（1）求数列1，2+
21，3+41，4+81，…，12
1
-+n n 的前n 项和。
练习3（2）已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和Sn ．
姓名：_____________ 学号：_____________
3．错位相减法：（乘以式中的公比q ，然后再进行相减） {}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++
例4．求和21123n n S x x nx -=+++
+ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）
练习4（1）化简：n
n n S 2222121⨯+⋯+⨯+⨯=
练习4(2)．求和：n n a
n a a a S ++++= 32321
练习4(3).设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
4．裂项相消法 (把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项) 常见拆项：
111)1(1+-=+n n n n ；
)211(21)2(1+-=+n n n n ； 1
11
1()
()
n n k k n
n
k
)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ； ]
)2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n
例5．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
(1)
n a n n =
+，则5S 等于（ ）
A ．1
B ．
56 C ．16 D ．130
练习5（1）．已知数列}{n a 的通项公式为1
(1)
n a n n =+，求前n 项的和．
练习5（2）．若数列111
1
,,,
,
1(12)2(22)3(32)
(2)
n n ,则此数列的前n 项和为____．
练习5（3）．若数列的通项公式为)
12()12(1
+⨯-=n n b n ,则此数列的前
n 项和为_________．
例6.已知数列}{n a 的通项公式为n a =，求前n 项的和．
练习6（1）．111,
,,
1
12
2
2
2
2
n
n
，则此数列的前n 项和为______
练习6（2）．已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝1
2
n +，设13242
111
n n n T a a a a a a +=
+++
⋅⋅⋅，求n T ．
练习6（3）．求)(,32114321132112111*N n n
∈+++++++++++++++ 。
5．倒序相加法求和 例7：求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89n S ．
（二）数列求通项
1．公式法（定义法） 根据等差数列、等比数列的定义求通项 例1.已知数列}{n a 满足12,a 1
1(2)n n
a a n
，求数列}{n a 的通项公式．
练习1.数列{}n a 满足1a =8，4
2a ，2
1
20n
n
n
a a a 且（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式．
例2.已知数列}{n a 满足11
2,3n
n a a a ，求数列}{n a 的通项公式．
练习2（1）已知数列}{n a 满足3
2
11
12,8,n n
n a a a a a ，求数列{}n a 的通项公式．
练习2（2）已知数列}{n a 满足21
1,21
1=-
=+n
n a a a ，求数列{}n a 的通项公式．
