曲线的曲率

显然, 直线上任意点处的曲率为 0.
例1 求半径为R 的圆上任意点处的曲率. 解 如图所示 ,
Δ s = R Δα Δα 1 ∴ K = lim = . Δ s→0 Δ s R
M′ Δα Δα Δs R M
可见: 圆的弯曲程度处处相同; 圆的半径越小, 圆弯曲得愈厉害 .
三、曲率的计算公式
设曲线 y = f ( x ) 二阶可导, 设 α 为切线的倾角 , 则有tan α = y′, 故α = arctan y′, 从而 y′′ dα = (arctan y′)′ d x = dx. 2 1 + y′ 又 d s = 1 + y′ 2 d x , 故曲率计算公式为
例4-1 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮 磨削其内表面以达到要求的光洁度 , 问选择多大的 砂轮比较合适?
⎧ x = a cos t , ( 0 ≤ x ≤ 2π , b ≤ a ), 解 设椭圆方程为 ⎨ ⎩ y = b sin t
由例2可知, 椭圆在点 ( ± a , 0) 处 曲率最大, 即曲率半径最小, 为
K= x′ y′′ − x′′ y′ ( x′ 2 +
3 y′ 2 ) 2
=
3. 3 2 2 2 22 sin 22t + b 2 ( a cos [b + (a − b ) sin 2 t ) ]2
K 最大(小)
f ( t ) = b + (a − b ) sin t 最小(大)
2
2
2
2
因此当 t = 0 或π 时, f ( t )取最小值 , 从而 K 取最大值
A
B
而圆弧的曲率半径： R = R0 (常数 ). mv 2 由于向心力： F向心力 = , 所以若在拐弯点 B ρ 接上圆弧，则向心力 F向心力 在 B 点不连续，从而
产生剧烈震动 . 为了行驶平稳，往往在 直道和弯道
1 之间接入一段缓冲段 , 使曲率连续地由零过渡 到 . R
1 3 通常用三次抛物线 y = x ， x ∈ [0, x0 ]作为 6 Rl
1 2 y ′ ′ ′ 解 y =− 2, y = 3, 则 x x 1 3 1 2 3 O 1 x (1 + 4 ) 2 2 (1 + y′ ) x = R= 2 y′′ x3 3 1 2 1 2 = ( x + 2 ) ≥ 2, 2 x 2 2 a + b ≥ 2 ab 显然 R x = ±1 = 2 为最小值 .
1 b R= = . K a
2
y
b
O
a x
1 b R= = . K a
b2 显然, 砂轮半径不超过 时, a
2
y
b
O
a x
才不会产生过量磨损, 或有的地方磨不到的问题.
备用题
⎧ x = a cos t , 例2-1 求椭圆 ⎨ ( 0 ≤ t < 2 π)上点的 ⎩ y = b sin t ,
曲率最大值与最小值. 解 x′ = − a sin t , x′′ = − a cos t ,
y′ = b cos t , y′′ = − b sin t , a bab
故曲率为
O a
y
y = f ( x) B A M M0
x0
x
bx
弧的定义 有向弧段M0M的值 s (简称弧 s) 规定为： s 的大小等于弧M0M的长度,
y
y = f ( x) B A M M0
O a
x0
x
bx
当弧M0M的方向与曲线的正方向一致时, s > 0, 相反时, s < 0. 显然, s 是个代数量, 且是x的单调增函数 s(x).
1 3 y= x 6 Rl l << 1 R
下面求曲线上点M 处的曲率中心 D(α , β ) 的坐标公式 . 设点M 处的曲率圆方程为
(ξ − α )2 + (η − β )2 = R 2 ,
其中α , β 满足方程组
y
D(α , β )
C
O
R
T
M ( x, y)
x
⎧ ⎨ ⎩
( x − α )2 + ( y − β )2 = R 2
2
O
( x ≠ 0)
x
=
3 2 4 (1 + 9a x ) 2
6ax
ρ = +∞ . 在该曲线的拐点 ( 0 ,0 )处， lim x →0
例4 问：火车轨道由直轨转 入弯道时，为什么
不立即接上圆弧轨道？
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答： 直轨 AB的曲率： k AB = 0,
∴ 曲率半径： ρ AB = ∞ .
( M ( x , y ) 在曲率圆上 ) ( DM ⊥ MT )
y′ = −
x −α y−β
由此可得曲率中心公式
y′(1 + y′ 2 ) α = x− , y′′ 1 + y′ 2 β = y+ . y′′
y
D(α , β )
C
O
R
T
M ( x, y)
x 当点 M (x, y) 沿曲线 C : y = f ( x ) 移动时, 相应
dα 2. 曲率公式 K = = ds
y′′ (1 +
3 y′ 2 ) 2
3 y′ 2 ) 2
3. 曲率圆
1 (1 + 曲率半径 R = = K y′′ y′(1 + y′ 2 ) α = x− ′′ y 曲率中心 1 + y′ 2 β = y+ y′′
思考题
求双曲线 x y = 1的曲率半径R, 并分析何处R最小?
第三章
第七节 曲线的曲率
一、弧微分 二 、平面曲线曲率的概念 三 、曲率的计算公式 四 、曲率圆与曲率半径
一、 弧微分
1. 弧的概念 设 y = f ( x ) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 设曲线的正向为x增大的方向. 若M0为选定的基点, M是有向 弧段上任意一点，则可定义 有向弧段M0M的值 s .
a K max = 2 , 这说明椭圆在点 ( ± a , 0 ) 处曲率 最大. b y π 3π 类似地, 当 t = 或 时, b 2 2 b K 取最小值 K min = 2 , −a a x O a −b ab K (= 0, ± b ) 处曲率 最小. 3 即椭圆在点 [b 2 + (a 2 − b 2 ) sin 2 t ]2
α = a ( t + sin t ), β = a (cos t − 1).
O
M
x
O′
⎧ξ = α − π a , ξ = a (τ − sinτ ), 令t = π +τ , ⎨ 可得 ⎩η = β + 2a , η = a (1 − cosτ ). ( 仍为摆线 )
ξ
内容小结
2 2 2 d s = (d x ) + (d y ) ′ 1. 弧长微分 ds = 1 + y d x 或
计算可得
K= x′ y′′ − x′′ y′ ( x′ 2 +
3 y′ 2 ) 2
.
例2 抛物线 y = ax 2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 ? 解 y′ = 2ax + b,
K =
(1 + y′′
3 y′ 2 ) 2
y′′ = 2a ,
=
2a [1 + ( 2ax
3 + b )2 ]2
2. 弧 s(x)的微分 设弧 s =M0M = s(x),
Δ s 2 M M ′2 M M ′2 M M ′ 2 ( ) = = ⋅ . 2 2 2 Δx ( Δx ) MM ′ ( Δ x )
又 s( x )单增,
y
y = f ( x) B A M′ M Δy M0 Δx
Δs ∴ = Δx
2 ′ MM
y′′ ≠ 0 , 曲线上点M 处的曲
率半径为
(1 + 1 R= = K y ′′
3 y′ 2 ) 2
C
.
O
R
T
M ( x, y)
x
3 求 y = ax 上任一点的曲率半径 . 例3
解
y′ = 3ax 2 , y′′ = 6ax ,
y
y = ax 3
1 (1 + y′ ) R= = K y′′
2
3
MM ′
2
MM ′ ⋅ ( Δx )2
2
O a x x x + Δx x b 0
2 ′ M M = ( Δ x )2 + ( Δ y )2
Δs ′ ( Δx )2 + ( Δy )2 M M s′( x ) = lim = lim , lim =1 2 Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x →0 M M ′ ( Δx )
实际要求 l ≈ x0 . 在缓冲段上,
x ∈[0,l ] ,
O
（
A( x0 , y0 )
C ( x 0 ,0 )
x
1 2 l 1 Q y′ = x ≤ x, ≈ 0, y′′ = 2 Rl 2R Rl 1 x, ∴ K ≈ y′′ = Rl 故缓冲始点的曲率 K O = 0, 1 缓冲终点的曲率 K A = K x = l ≈ . R
的曲率中心的轨迹 G 称为 曲线 C 的渐屈线, 曲线 C 称为曲线G 的渐伸线 .
⎧ x = a(t − sin t ), 例5 求摆线⎨ 的渐屈线方程. ⎩ y = a(1 − cost )
sin t ′) y′ 1 d( y −1 ′ = , ′ ′ y = y = = , 解 2 x′ 1 − cos t x′ d t a (1 − cos t ) 代入曲率中心公式 , 得 y η
1. 问题的提出 观察右图， 引出描述曲线 弯曲程度的量 —— 曲率.
2. 曲率的定义 在光滑弧上自点 M 开始取弧段 M M ′, 其长为
Δ s , 对应切线 转角为Δα , 定义弧段 Δ s上的平均曲率.
Δα K= , Δs
点 M 处的曲率:
K = lim K
M ′→ M
Δα dα = lim = . ds Δs→0 Δ s
dα = K= ds
y′′ (1 +
3 y′ 2 ) 2
.
注
1o 当 y′ << 1 时 , 有曲率近似计算公式 K ≈ y′′ .
2° 若曲线方程为 x = ϕ ( y ) , 则
K= x′′ . 3 K= (1 + y′′
3 y′ 2 ) 2
2 2 ′ (1 + x )
⎧ x = x( t ) 给出, 则通过 3° 若曲线由参数方程 ⎨ ⎩ y = y( t )
.
b 显然, 当x = − 时, K最大 . 2a
b b 2 − 4ac 又 Q ( − ,− )为抛物线的顶点 , 4a 2a
∴ 抛物线在顶点处的曲率 最大 .
四、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , y 在点M 处作曲线的切线和法线, 在曲线的凹向一侧法线上取点 D使
1 DM = R = , K
注 1° 若曲线由参数方程表示:
⎧ x = x ( t ), ⎨ ⎩ y = y( t ),
则弧微分公式为 ds = [ x ′( t )]2 + [ y ′( t )]2 d t . 2° 若曲线由极坐标方程表示:
ρ = ρ (θ ),
则通过计算可得
ds =
ρ 2 + ρ ′2 d θ .
二、平面曲线曲率的概念
缓冲段 OA，其中 l 为 OA 的长度 . 验证缓冲段 OA 在始端 O 的曲率为零 ,
y
l l 并且当 很小 ( << 1) 时， R R 1 在终端 A 的曲率 近似为 . R
R
l
A( x0 , y0 )
O C ( xFra Baidu bibliotek0 ,0 )
x
证 如图, x 的负半轴表示直道，
y
R
l
B
（
OA是缓冲段 , AB是圆弧轨道 .
= lim
Δx → 0
Δy 2 1 + ( ) = 1 + ( y′ ) 2 , Δx
∴ ds = 1 + ( y′ )2 d x
或
ds = (d x )2 + (d y )2 .
y
几何意义:
ds = MT dx = cos α ; ds dy = sin α . ds
M
O
M′ T
α
dx
dy
x x + dx x
D(α , β )
C
O
R
T
M ( x, y)
x
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆(密切圆), R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致;
y
(3) 曲率相同 .
D(α , β )
设曲线方程为 y = f ( x ) , 且