1、正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．求证：1AB⊥1ABD.
2、已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.证明PQ⊥平面ABCD.
3、已知：M ∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.
4、已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1 分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.
5、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
求证：PC⊥BC；
例1题图 Q B C P
A D
O M A
B C D 1A
1C
1B
6、如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
7、在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD
8、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=2，CE=EF=1．
（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求证：CF⊥平面BDE．
9、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．
三垂线定理的应用
教学目标：
1.掌握三垂线定理及其逆定理的证明
2.正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直
3.通过三垂线定理及三垂线逆定理的学习,渗透相对论观点
教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明
教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直
教学方法：启发式教学法
教 具：模具
教学过程
一、复习：
1.三垂线定理及其逆定理：
2.三垂线定理及其逆定理应注意什么？
二、新授例题：
例1.如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只有量角器和皮尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？
解：在道路边取点C，使BC与道路边所成的水平角等于90，再在道路边取一点D，使水平角45CDB，测得,CD的距离等于20m，
∵BC是AC在平面上的射影，且CDBC
∴CDAC（三垂线定理）
因此斜线段AC的长度就是塔顶与道路的距离，
∵45,,20CDBCDBCCDm，
∴20BCm，
在RtABC中得2222||152025()ACABBCm，
答：电塔顶与道路距离是25m．
例2.点A为BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若,ACBDADBC，求证：ABCD．
例3.已知：四面体SABC中，,SAABCABC平面是锐ODCBA角三角形，H是点A在面SBC上的射影，求证：H不可能是SBC的垂心．
证明：假设H是SBC的垂心，连结BH，则BHSC，
∵BHSBC平面，∴BH是AB在平面SBC内的射影，
∴SCAB（三垂线定理）
又∵SAABC平面，AC是SC在平面ABC内的射影
∴ ABAC（三垂线定理的逆定理）
∴ABC是直角三角形，此与“ABC是锐角三角形”矛盾
∴假设不成立，
所以，H不可能是SBC的垂心
例4.已知：如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1CC的中点，F是,ACBD的交点，求证：1AFBED平面．
三垂线定理及其逆定理
知识点:
1、三垂线定理;;
2、三垂线定理得逆定理;
3、综合应用;
教学过程:
1.三垂线定理:平面内一条直线,如果与这个平面得一条斜线在平面内得射影垂直,那么这条直线就与这条斜线垂直;
已知:,PAPO分别就是平面得垂线与斜线,AO就是PO在平面得射影,,aaAO。
求证:aPO;
证明:
说明:
(1)线射垂直(平面问题)线斜垂直(空间问题);
(2)证明线线垂直得方法:定义法;线线垂直判定定理;三垂线定理;
(3)三垂线定理描述得就是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间得垂直关系。
(4)直线a与PO可以相交,也可以异面。
(5)三垂线定理得实质就是平面得一条斜线与平面内得一条直线垂直得判定定理。
例1、已知P就是平面ABC外一点,,PAABCACBC。
求证:PCBC。
例2、已知PA正方形ABCD所在平面,O为对角线BD得中点。
求证:,POBDPCBD。
例4、在正方体1AC中,求证:11111,ACBDACBC;
2.写出三垂线定理得逆命题,并证明它得正确性;
命题:
已知:
求证:
证明:
说明:
例2.在空间四边形ABCD中,设,ABCDACBD。
求证:(1)ADBC;
(2)点A在底面BCD上得射影就是BCD得垂心;
例3、求证:如果一个角所在平面外一点到角得两边得距离相等,那么这点在平面内得射影在这个角得平分线上
已知:
求证:
说明:可以作为定理来用。 aPOAαPABCaPOAαDABCOCPBADD1C1B1A1DCBAFEOαACPB例5.已知:RtABC中,,3,42AABAC,PA就是面ABC得斜线,3PABPAc。
(1)求PA与面ABC所成得角得大小;
(2)当PA得长度等于多少得时候,点P在平面ABC内得射影恰好落在边BC上;
作业:
1、正方体1111DCBAABCD,,EF分别就是1,AAAB上得点,1ECEF、
用向量法证明三垂线定理
三垂线定理：在一个三角形ABC中，如果垂足分别为D，E，F，则这三条垂线AD，BE，CF相交于同一点H。
证明：
1. 首先，我们先定义三角形ABC的三个顶点的坐标：
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
2. 接下来，我们求出三条垂线的方程：
a) AD的方程：通过A点，斜率为-1/斜率BC，即
(y - y1) = (-1/斜率BC)(x - x1)。
b) BE的方程：通过B点，斜率为-1/斜率AC，即
(y - y2) = (-1/斜率AC)(x - x2)。
c) CF的方程：通过C点，斜率为-1/斜率AB，即
(y - y3) = (-1/斜率AB)(x - x3)。
3. 我们可以解这三个方程得到相交点H的坐标(xh, yh)。假设H(xh, yh)，则将方程(a)、(b)、(c)联立求解，得到：
xh = (斜率BC * 斜率AC * (y1 - y2) + 斜率BC * (x2 + x1) -
斜率AC * (x1 + x3)) / (斜率BC - 斜率AC)，
yh = y1 - (xh - x1) / 斜率BC。
4. 我们还需要证明H点确实在三条垂线上。首先证明H在AD上：
垂线AD的斜率为0，即方程(a)的斜率为0，代入H的坐标(xh, yh)得到：
(yh - y1) = 0 * (xh - x1)， 可以证明等式成立。
5. 同样地，我们可以证明H点也在BE和CF上。
综上所述，我们通过向量法的证明，证明了三垂线定理成立，即三条垂线AD，BE，CF相交于同一点H。
