三垂线定理

1、正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．求证：1AB⊥1ABD.

2、已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.证明PQ⊥平面ABCD.

3、已知：M ∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.

4、已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1 分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.

5、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。

求证：PC⊥BC；

例1题图 Q B C P

A D

O M A

B C D 1A

1C

1B

6、如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD.

(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

7、在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD

8、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=2，CE=EF=1．

（1）求证：AF∥平面BDE；（2）求证：CF⊥平面BDE．

9、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．

三垂线定理的应用

教学目标：

1.掌握三垂线定理及其逆定理的证明

2.正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直

3.通过三垂线定理及三垂线逆定理的学习,渗透相对论观点

教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明

教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直

教学方法：启发式教学法

教 具：模具

教学过程

一、复习：

1.三垂线定理及其逆定理：

2.三垂线定理及其逆定理应注意什么？

二、新授例题：

例1.如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只有量角器和皮尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？

解：在道路边取点C，使BC与道路边所成的水平角等于90，再在道路边取一点D，使水平角45CDB，测得,CD的距离等于20m，

∵BC是AC在平面上的射影，且CDBC

∴CDAC（三垂线定理）

因此斜线段AC的长度就是塔顶与道路的距离，

∵45,,20CDBCDBCCDm，

∴20BCm，

在RtABC中得2222||152025()ACABBCm，

答：电塔顶与道路距离是25m．

例2.点A为BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若,ACBDADBC，求证：ABCD．

例3.已知：四面体SABC中，,SAABCABC平面是锐ODCBA角三角形，H是点A在面SBC上的射影，求证：H不可能是SBC的垂心．

证明：假设H是SBC的垂心，连结BH，则BHSC，

∵BHSBC平面，∴BH是AB在平面SBC内的射影，

∴SCAB（三垂线定理）

又∵SAABC平面，AC是SC在平面ABC内的射影

∴ ABAC（三垂线定理的逆定理）

∴ABC是直角三角形，此与“ABC是锐角三角形”矛盾

∴假设不成立，

所以，H不可能是SBC的垂心

例4.已知：如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1CC的中点，F是,ACBD的交点，求证：1AFBED平面．

最小角定理

三垂线定理

定义

在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

逆定理

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

证明

用线面垂直证明

已知：如图，PO在α上的投影OA垂直于a

求证：OP⊥a

证明：过P做PA垂直于α

∵PA⊥α

∴PA⊥a

又a⊥OA

OA∩PA=A

∴a⊥平面POA

∴a⊥OP

２００８年第４期　数学教育研究　・　３３　・　

三垂线定理的优化教学　

成　静　（武汉江汉大学实验师范学院４３００６４）　

“教学过程最优化”是前苏联教育家尤・康・巴班　

斯基（１９２７—１９８７）最早提出的．其主旨是：教师有目的　

的选择教学过程的最佳方案，保证在规定的时间内使　

教学和教育任务的解决达到最好的效果．由于，教学过　

程是一个复杂的系统工程，教学效果难以精确定量描　

述，也不可能用数学方法求得最优解，因此，用优化思　

想组织教学，以期在一定条件下，以花费最少的必要的　

教学时间和精力达到最佳的教学效果，是一个值得深　

入探讨的理论问题及实践问题．　

现在，我将以全日制普通高级中学数学教科书第　

二册（下Ａ）中关于“三垂线定理”的教学为例，浅谈如　

何在数学教学中谋求最优化．　

１教学过程　

１．１　实验观察　

首先，教师设置一些相关问题，引导学生自己尝试探索：　

（１）平面的一条垂线与平面内任一条直线有什么关系？　

（因为学生原有的认知结构中已有直线与平面垂　

直的定义，所以此处承上启下，激发学生求知欲．）　

（２）平面的垂线垂直于平面内的任何一条直线，那　

么平面的斜线能否和平面内的直线垂直？请举例　

说明．　

（激活原有认知结构并激发认知冲突，引导学生温　

故而知新．）　

经过一番思索、讨论后，引导学生做一个实验：把　

直角三角板的一条直角边放在有横格线的作业本上，　

使其与横格线垂直，另一条直角边和纸面垂直，观察横　

格线与直角三角板斜边问的关系．　

（通过直观形象的演示使学生很容易接受知识信息、　

掌握知识，有利于发展学生的形象思维，提高教学效率．）　

从而，不难猜想出：平面内的一条直线，如果和这个　

平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．　

（教师根据教与学的实际，提出问题，创设情境，引　

导学生观察、猜想，发现新知识，从而调动了学生的积　

极性，培养了学生的探索能力，体现了以教师为主导、　

学生为主体的教学思想．）　

１．２论证猜想