三垂线定理9(PPT)5-3

认真，可以把事情做对 1 用心，才能把事情做好 高考数学公式（精华版）

1．子集个数：n元集合有2n个子集，有21n个真子集，21n个非空子集，22n个非空真子集；

2．常见数集：

自然数集：N 正整数集：*NN、 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R

3．集合间的基本运算：

（1）交集：公共元素；BA

（2）并集：全部元素（不能重复）；BA

（3）补集：除去公共元素而剩余的元素；ACU

4．二次函数：2()(0)fxaxbxca：判别式acb42；

（1）0时，图像与x轴有两个交点；

（2）0时，图像与x轴有一个交点；

（3）0时，图像与x轴没有交点；

5.韦达定理：

若21xx、是一元二次方程)0(02acbxax的两个根，则：abxx21，acxx21.

6．单调性：设1x，2[,]xab，且12xx，那么： （1）1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是增函数；

（2）1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是减函数；

（3）如果0)(xf，则)(xf为增函数；0)(xf，则)(xf为减函数；

（4）增函数增函数增函数；减函数减函数减函数；

增函数减函数增函数；减函数增函数减函数；

7．奇偶性：

（1）()()fxfx()fx是奇函数()fx的图像关于原点对称(0)0f（若在0x有定义）

（2）()()fxfx()fx是偶函数()fx的图像关于y轴对称；

（3）奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数

奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数；奇函数偶函数奇函数

8．对称性：

（1）函数()yfx的图象关于直线xa对称

利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题

[考纲要求]

1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式．

2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．

4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．

5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)．

知识点一： 空间向量及其运算

1．空间向量及其有关概念

(1)空间向量的有关概念

空间向量 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量

相等向量 方向相同且模相等的向量

共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量 平行于同一个平面的向量

(2)空间向量中的有关定理

共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb

共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc

2.两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

3．空间向量的运算及其坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示 坐标表示

数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3

共线 a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

2023年高考数学真题题源解密（全国卷）

专题10 空间向量与立体几何

目录一览

①2023真题展现

考向一 空间几何体的表面积和体积

考向二 三视图

考向三 点线面的位置关系

考向四 空间中的夹角问题

②真题考查解读

③近年真题对比

考向一 空间几何体的表面积和体积

考向二 三视图

考向三 点线面的位置关系

考向四 空间中的夹角问题

④命题规律解密

⑤名校模拟探源

⑥易错易混速记

考向一 空间几何体的表面积和体积一、单选题

1．（

2023·全国乙卷理数第8题）已知圆锥PO的底面半径为

3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，

120AOB，若PABV的面积等于93

4，则该圆锥的体积为（

）

A．

B．

6C．3

D．

36

2．（2023·全国甲卷文数第10题）在三棱锥PABC

中，ABCV

是边长为2的等边三角形，

2,6PAPBPC，则该棱锥的体积为（

）

A．1B．

3C．2D．3

3．（2023·全国甲卷理数第11题）已知四棱锥PABCD

的底面是边长为4的正方形，

3,45PCPDPCA

，则PBCV

的面积为（

）

A．

22B．

32C．

42D．

62

二、填空题

4．（2023·全国甲卷文数第16题）在正方体

1111ABCDABCD

中，4,ABO

为

1AC

的中点，若该正方体的棱

与球O

的球面有公共点，则球O

的半径的取值范围是 ．三、解答题

5．（2023·全国乙卷文数第19题）如图，在三棱锥PABC

中，ABBC

，2AB，22BC，

6PBPC，,,BPAPBC

的中点分别为,,DEO

，点F在AC

上，BFAO

．

(1)求证：EF//平面ADO

；

(2)若120POF，求三棱锥PABC

的体积．

6．（2023·全国甲卷文数第18题）如图，在三棱柱

111ABCABC-

中，

1AC

平面,90ABCACB

．

(1)证明：平面

11ACCA

平面

11BBCC

；

(2)设

11,2ABABAA

，求四棱锥

111ABBCC

的高．考向二 三视图一、单选题

第1页（共16页） 2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．直线的斜率为﹣1，其倾斜角的大小是（ ）

A．30° B．45° C．90° D．135°

2．已知两个向量𝑎→

=(1，−1，2)，𝑏→

=(2，𝑚，𝑛)，且𝑎→

∥𝑏→

，则m+n＝（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

3．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）

A．至多一次中靶 B．两次都中靶

C．只有一次中靶 D．两次都没中靶

4．点P（

0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离等于（ ）

A．√2

2 B．1 C．√2 D．2

5．圆x2+（y+2）2＝1关于点（1，0）中心对称的圆的方程为（ ）

A．（x+2）2+y2＝2 B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1

C．（x+2）2+（y+2）2＝1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2

6．“a＝﹣1”是“直线l

1：x﹣ay+1＝0和直线l

2：ax+（a+2）y+1＝0（a∈R）垂直”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知两点M（﹣2，0），N（0，2），则以线段MN为直径的圆的方程为（ ）

A．x2+y2﹣2x+2y＝0 B．x2+y2+2x﹣2y﹣6＝0

C．x2+y2+4x﹣4y＝0 D．x2+y2+2x﹣2y＝0

8．在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），若点P（x，1，1）在平面ABC

内，则x＝（ ）

A．﹣1 B．0 C．√2 D．1

9．如图，已知正方体ABCD﹣A

1B

1C

1D

1中，F为线段BC

1的中点，E为线段A

1C

1上的动点，则下列四个

结论正确的是（ ） 第2页（共16页）

A．存在点E，使EF∥BD

B．三棱锥B