定积分分部积分法

1 §6.5 定积分的分部积分法

因为vduudvuvd)(，两边从a到b取定积分有：

babababavduudvuvuvd][)(，

所以 bababavduuvudv][

例1

5151515151]ln[ln])[(lnlndxxxxxxxdxxxdx

45ln5][05ln551x

例2

11|][1010101010xxxxxxxeeeedxexexdedxxe

例3

211|cos0sin|sinsincos00000xdxxxxxxdxdxx

例4

eeeexdxxxxxdxdxx1121221ln21]ln[21)2(lnln

=414|212122122122122exedxxxeee 2 例5 2ln0222ln032221dxexdxexxx 令2xt，

则原式

=2ln02ln02ln02ln021][212121dtetetdedttetttt

=212ln212212ln|212)2(ln212ln0te

例6 求2020coscosxxxdexdxe

=dxxexdeexxxx202020sin1cos|cos

=202020sin])[(sin1sin1xdeexxdexxx

=xdxeexcos1202

 1cos2220exdxex

 202)1(21cosexex

例7

342sindxxx

=343434cot]cot[cotxdxxxxxd

dxxx34sincos493 3 34sinsin493xxd

计算定积分的方法

定积分是微积分中的一个重要概念，用来描述曲线下方的面积。计算定积分的方法通常包括几何法、零散法、换元法和分部积分法等。

一、几何法

几何法是通过几何图形的性质计算定积分。常用的几何法计算定积分的方法有：

1. 面积法：将曲线下方的区域分割成许多个简单几何形状，如矩形、三角形等，然后计算每个几何形状的面积，并将所有面积相加得到总面积。

2. 折线法：将曲线下方的区域近似地用折线连接起来，然后计算每段折线的长度，并将所有长度相加得到总长度。

二、零散法

零散法是将曲线下方的面积进行分割求和的方法。常用的零散法计算定积分的方法有：

1. 矩形法：将曲线下方的区域分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将所有面积相加得到总面积。

2. 梯形法：将曲线下方的区域分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积，并将所有面积相加得到总面积。

3. 辛普森法则：将曲线下方的区域分割成若干个小区间，在每个小区间上使用二次多项式逼近曲线，然后使用辛普森公式进行近似计算。

三、换元法

换元法是通过变量替换的方式将复杂的积分转化成简单的积分，从而简化计算。常用的换元法计算定积分的方法有：

1. 对换元法：将被积函数中的自变量替换成新的自变量，通过求出新的积分变量和原积分变量的关系，将原来的积分变量带入进行计算。

2. 三角换元法：将被积函数中的自变量表示成三角函数形式，通过选择合适的三角变换，将原函数转化成更简单的形式进行计算。

四、分部积分法

分部积分法是微积分中的一个重要定理，可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，从而简化计算。常用的分部积分法计算定积分的方法有：

1. 正比换元法：将被积函数中的一项作为导数，另一项作为原函数，通过求出原函数和导数的关系，将积分变换为另一个积分。

2. 对数换元法：将被积函数中的一项取导数，另一项取倒数，通过求出导数和倒数的关系，将积分变换为另一个积分。

以上是计算定积分的常用方法，通过几何法、零散法、换元法和分部积分法可以解决各种类型的定积分计算问题。同时，通过不断的练习和应用这些方法，将能够更加熟练地计算定积分。

定积分换元法与分部积分法

在微积分中，求解定积分是一个常见的问题。为了解决这一问题，数学家们发展出了一系列的积分技巧和方法。其中，定积分换元法和分部积分法是两种常用的方法。

1. 定积分换元法

定积分换元法，也经常被称为反链式法或者u-置换法，是一种通过变量替换的方法来求解定积分的方法。其基本思想是：将被积函数中的一个变量替换为一个新的变量，使得原来的被积函数在新的变量下形式简化。

换元法的一般步骤如下：

1. 选择一个合适的变量替换，通常使用一个新的变量来替换被积函数中的一个变量。

2. 计算新的变量对应的微元变量，并求得其微分。

3. 将原来的被积函数表示为新的变量的函数，并对其进行简化。

4. 计算新的定积分，并将结果转换回原来的变量。

通过这种换元法，我们可以简化复杂的被积函数，从而更容易求解定积分。下面通过一个实例来进一步说明定积分换元法的具体步骤。

示例：求解定积分 $I = \\int_{1}^{2} \\frac{1}{x^2} dx$

步骤1：选择合适的变量替换。我们选取新变量 𝑢=𝑥2，则 𝑑𝑢=2𝑥𝑑𝑥

步骤2：计算新变量对应的微元变量。由 𝑑𝑢=2𝑥𝑑𝑥，可以得到 $dx =

\\frac{du}{2x}$

步骤3：将原被积函数表示为新的变量的函数，并进行简化。将 𝑥 表示为 𝑢 的函数，则 $x = \\sqrt{u}$。将被积函数 $\\frac{1}{x^2}$ 替换为 $\\frac{1}{u}

\\cdot \\frac{1}{2\\sqrt{u}} = \\frac{1}{2u\\sqrt{u}}$

步骤4：计算新的定积分，并转换回原变量。将积分的上下限也用新的变量表示，则新的定积分为 $I = \\int_{1}^{4} \\frac{1}{2u\\sqrt{u}} \\cdot

\\frac{du}{2x}$。对新的定积分进行计算，得到 $I = \\frac{1}{4}

1 §4.3 不定积分的分部积分法

教学目标：掌握分部积分法，会求简单的分部积分。

教学重难点：

重点 会求分部积分。

难点 对两个函数乘积的积分中，究竟选哪一个当“U”。

一、导入新课：在不定积分的计算中，利用直接积分法和换元积分法并不能计算常见的所有不定积分，有些积分，特别是两个乘积函数积分的计算问题，有不少积分用凑微分法或换元法求解往往是不能凑效的。因此，我们还需要研究和开拓一些新的积分计算方法，分部积分法就是计算两个乘积函数积分的一种好方法。

二、讲授新课

（一）分部积分法公式的推导与说明

对于形如xxedx、sinxxdx、sinarcxdx等不定积分到底怎样进行不定积分的计算呢？

（1）特点:被积函数是两个不同函数的乘积；

（2）解决思路：利用两个函数乘积的求导法则。

设函数Ux，vx具有连续导数，由两个函数乘积的微分公式

duvudvvdu 得udvduvvdu，两边积分得到udvduvvdu

∴udvuvvdu，该公式为分部积分公式。

用分部积分法确定被积函数中谁当vu，的时候，一般遵循以下的三原则：

（1）v要能够求出

（2）vdu要比udv容易计算

（3）选u的顺序是“对、反、幂、三、指”谁在前，谁当u。

用公式：dd计算不定积分的一些说明:

分部积分法采用“迂回的技巧，规避难点”，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数；

（2）简化被积函数的类型。 2 用表格的形式列出u，v的选择规律如下：

被积表达式(Pn(x)为多项式) u(x) dv

Pn(x)sinaxdx，Pn(x)cosaxdx，Pn(x)eaxdx Pn(x) sinaxdx，

cosaxdx，eaxdx

Pn(x)lnxdx，Pn(x)arcsinxdx，Pn(x)arctanxdx lnx，arcsinx，arctanx Pn(x)dx