不定积分的分部积分法
不定积分是高等数学中一个重要的概念，它可以用来求解各种形式的积分问题。在求解不定积分的过程中，有一种常见的方法被称为“分部积分法”。本文将从以下几个方面介绍不定积分的分部积分法：基本概念和原理、具体步骤、应用案例和进一步拓展。
一、基本概念和原理
分部积分法的思想来源于乘法公式：
$$(uv)'=u'v+uv'$$
将乘法公式中的导数符号替换成积分符号，可得到分部积分公式：
$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$
其中，$u$和$v$都是函数，$du$和$dv$分别是$u$和$v$的导数。
二、具体步骤
以下为分部积分法的具体求解步骤：
1. 将被积函数拆分成两个函数的乘积形式：$f(x) = u(x)v(x)$。 2. 选择其中一个函数作为$u$，另一个函数的导数作为$dv$。常见的选择方式有按照函数的复杂程度或者按照它们的导数是否容易求解。
3. 对$u$求导数，得到$du$。
4. 对$v$求导数，得到$dv$。
5. 将$u$和$v$的导数代入分部积分公式中，即得到：
$$\int u \, dv=uv-\int v \, du$$
6. 将上式中的各项代入，得到原式的新的积分式子，即：
$$\int f(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)du(x)$$
7. 对于分部积分法所得的新式子，如果它的形式更为简单，那么就可以再次运用分部积分法进行求解。
三、应用案例
以下为使用分部积分法解决典型积分问题的案例：
1. 求解$\int x\ln x dx$
解法： 设$u=\ln x,dv=xdx$，则$du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}$，代入分部积分公式可得：
$$\int x\ln x \,dx=x\frac{x^2}{2}\,-\int \frac{x^2}{2}\cdot
\frac{1}{x} \,dx=\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{4}+C$$
第四章 不定积分（§3分部积分法）
1 第三节 分部积分法
教学内容：分部积分法
教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取vu,，熟练掌握分部积分法的步骤。
教学重点：分部积分法及其应用
教学难点：在分部积分法中，恰当选取vu,。
教学学时：1学时
教学进程：
我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式不定积分公式；复合函数的求导公式换元积分公式；乘积求导公式分部积分公式（不同类型函数乘积的积分）。
1引入
用我们已经掌握的方法求不定积分xdxxcos
分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。xxcos
③第二类换元积分法
解：不妨设 txtxarccoscos则
原方程dtttt211arccos更为复杂
所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设vu,为两个具有连续导数的函数）
已知： '')'(uvvuvu
对上式两边积分得：dxuvvdxuCuv''
移项得： vdxuuvdxuv''
观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：dxuv'中v为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
Cxxxxdxxxxdxxxxdxxcossinsin'sin')(sincos形式一样先要化的和要求积分的 第四章 不定积分（§3分部积分法）
2 通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2 公式
设函数)(xuu和)(xvv都具有连续的导数，则有分部积分公式：
vdxuuvdxuv''（或vduuvudv）
3 例题讲解
不定积分部分积分法
不定积分的部分积分法，也叫做“分部积分法”，是求解不定积分中的一种常用方法。其基本思想是将一个复杂的函数的不定积分转化为两个简单函数之间的关系，从而简化积分运算。
部分积分法的公式表达如下：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx
其中，u(x)和v(x)分别是函数u和v的原函数，u'(x)和v'(x)分别是函数u和v的导数。
具体操作步骤如下：
1.选取u(x)和v'(x)，其中u(x)为被积函数的一部分，并且它的导函数u'(x)容易求得；v'(x)为另一部分，并且它的原函数v(x)容易求得。
2.计算u'(x)和v(x)。
3.应用部分积分公式，将被积函数分解为两个简单函数数乘及求导的形式。
4.求解新的积分，可能需要再次应用部分积分法或其他积分技巧。
5.最终得到原方程的不定积分。
需要注意的是，部分积分法只适用于能找到合适的u(x)和v(x)的情况，如果无法找到合适的u(x)和v(x)，则无法应用此方法。此外，部分积分法还可以用于计算定积分，只需在公式两边同时加上积分上下限，即可得到定积分的部分积分公式。
数理与化学研究 ２０１４．Ｎ０．０８ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｎａｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ 探讨不定积分分部积分法 李娜赵建宝 （商丘３－学院基础教学部。河南商丘４７６０００） ， 摘要：分部积分法是求解不定积分的一种重要方法。本文对分部积分法的由来、一般原则、 一些基本类型做了主要介绍．同 时举例说明分部积分法的一些相关的经验与技巧。 关键词：不定积分；分部积分法；和选取原则 中图分类号：Ｏ２４１文献标识码：Ａ文章编号：１００３—５１６８（２０１４）１５—０１８７—０２ 求解不定积分的两个重要方法是换元积分法和分部积分 法，分部积分法主要解决的是两个不同类型的函数乘积的积分 问题。现将分部积分法的由来、一般原则、一些基本类型作一个 简要的归纳。 １分部积分公式的由来 利用两个函数乘积的求导法则可得分部积分法，分部积分 公式推导如下… 设函数¨＝ （ ）与Ｖ＝Ｖ（ ）都具有连续导数。两个函数乘积的 求导公式为 Ｍ（ ）＝（ ） 一Ｈ 移项得 对这个等式两边求不定积分，得： ｆ ｒ ｆ ｒ ｉ ＩＺＶ ｄｘ＝ｕｖ—Ｉ Ｍ ｖｄｘ （１）或 Ｊ ｕｄｖ＝ｕｖ—ｊ ｖｄｕ（２） 公式（１）和（２）称为分部积分公式。 ２分部积分法中Ｕ和 选取原则 利用两个函数乘积的求导法则可得积分的～个重要方 ｒ 法——分部积分法，将不易求出的积分Ｊ ｕｄｖ转化为较易求出的 Ｊ 积分ｌ ｖｄｕ是分部积分法的核心，正确选择“和ｄｖ是此方法的 Ｊ 关键。选择“和如的一般原则是： ３．６．２有效数字及数值修约 有效数字的位数不能任意增删．在记录测量值时．要根据 计量器具的精密度、准确度以及测量仪器本身的读数误差来确 定有效数字的位数 Ｉ。分析结果有效数字所能达到的位数不能超 过方法检出限的有效位数所能达到的位数 。在计算过程中，当 有效数字位数确定后，其余数字应严格按《数值修约规则》（ＧＢ／ Ｔ８１７０—１９８７） 一律舍去。 ３．７测定结果的报告 测定结果是以按样品说明稀释后的浓度结果报告，而不以 浓样浓度结果报告，对此，要特别注意。测定结果报告的浓度单 位，应与作业指导书要求一致口１。 ４结语 分析测试人员正确认识参加国家环境标准样品协作定值 实验的意义，有助于提高分析测试人员的积极性和重视程度，能 促使分析测试人员更加认真细致地开展实验。协作定值实验前 期准备Ｔ作中接收样品时的注意事项和实验方案的制定是其中 两个重要环节，直接影响到后续实验的进行，应特别注意。实验 过程中实施全程序质量控制是实验成败的关键所在．应从试剂 及实验用水检验、溶液配制及标定、空白实验、校准曲线绘制、平 （１） 要容易求出； （２）Ｊ ｄｕ要比Ｊ ｕｄｖ容易求得。 一般地，被积函数是以下类型的常采用分部积分法（其中 ｍ， 都是正整数）。 ｘ％ｉｎｍｘ，Ｘｒ＇ｃｏｓｍｘ，ｅ＇％ｉｎｍｘ，ｅ＇％ｏｓｍｘ，Ｎｎｅ ，ＸｎＩＩＬ￣，ｘ＂ａｒｃｓｉｎｍｘ，扩 ａｒｃｃｏｓｍｘ，ｘｎａｒｃｔａｎｍｘ等。 ３分部积分法应用举例 例１求『ｘｃｏｓｘｄｘ｛２１ 解应用分部积分法的第一步是选择ｕ和如。 现在设ｕ＝ｘ，ｄｖ：ｃｏｓｘｄｘ，那么ｄｕ＝ｄｘ，Ｖ＝ｓｉｎｘ，代人分部积分 公式，得 ｆ ｒ ｆ ｘｃｏｓｘｄｘ＝ｘｓｉｎｘ—ｌ ｓｉｍｃｄｘ， 其中Ｉ ｖｄｕ＝Ｊ ｓｉｎｘｄｘ，很容易求出，于是得 Ｉ ＸＣｏｓｘｄｘ，＝ｘｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋Ｃ． 分析：在本例中，如果设ＵｍＣＯＳＮ，ｄｖ＝ｘｄｘ，那么ｄｕ＝一ｓｉｎｘｄｘ， ＝ ，代人分部积分公式，得 行样测定、数理统计及测定结果报告等方面进行强化。 参考文献： ［１］ＨＪ／Ｔ１７３—２００５．环境标准样品【Ｓ］． ［２】胡晓燕，何平，唐本玲．标准样品期间核查的探讨［Ｊ］．冶金 分析，２０１２，３２（增：ＲＭ＆ＰＴ）：３１２—３１５． ［３］冯彪．空白值质控图在环境监测中的应用［Ｊ］．化学工程与 准备．２０１３（１０）：１７７—１７８． ［４】中国环境监测总站．环境水质监测质量保证手册［Ｍ］．北 京：化学工业出版社．１９８４． ［５］梁雪飞．基层疾控中心实验室水质盲样考核过程的质量 保证【ＪＪ．中国卫生检验杂志，２００８，１８（１０）：２１２９—２１３１． ［６］ＧＢ５７５０—２００６．生活饮用水标准检验方法［Ｓ】． ［７］ＧＢ／Ｔ８１７０—１９８７．数值修约规则【Ｓ］． 工作。 作者简介： 郑浩（１９７９＿），男，工程师，硕士，主要从事环境应急监测
