初中数学建模的教学思考

1 初中数学建模的教学思考

我在初二年级上综合数学课时，师生共同列选题.有个淘气的男孩子提出：怎样烧开水最快最省煤气，得到了另外不是很优秀的学生的支持.在课后，他们以“怎样烧开水最快最省煤气”为课题，制定了工作方案，开始做实验，试着用数学方法解释问题.看到他们的最初报告时，我又高兴又叹气，高兴的是小淘气写出了第一份报告，有实验数据，有结论.叹气的是每个人在家只测出了一组数据，综合着就下结论了，而且文笔不太讲究.我说：“三组数据可看不清楚用气量的变化情况.”于是他们又讨论，回家连续烧开水，写报告.我见到的第二份报告尽管还不很理想，但比第一次大有进步，可喜的是，他们还画出了坐标图.我又问：“煤气灶的旋钮位置与烧开水是什么关系？”他们回答：“只要把旋钮位置固定，用气量就定了.”又提了些问题，他们都回答地很好.我认为他们已经有了函数的思想萌芽.建模实践使他们对数学学习感兴趣了，得到了从来没有过的收获，他们尝试了近似地处理问题，在他们的脑中思考着离散与连续.

这个教学实践让我深深地感到数学建模的重要意义,由此也引发了自己对数学建模教学的思考.数学建模是有对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型，求解数学模型，解释、验证等这几个步骤组成的过程.其思想及操作框图如下：

数学建模从现实世界提取信息，将实际问题转化为数学问题，由数学问题的解，转化为实际问题的解.

可以说有数学应用的地方就有数学建模.现在，数学建模已成为国际数学教育中稳定的内容和热点之一.随着新颁发的《课程标准》中对数学应用能力要求的提高，数学建模将在中学数学教学中越来越受到人们的重视.

一、引言

过去的数学教育忽视数学应用是付出了代价的，过去的教育使现在工作在社会上的多数人讲不清楚数学有什么用，更不能自觉地用数学解决实际问题，以致于出现如下之荒谬：把商店“买100送20”的促销方法认为是商品打8折；认为“降水概率50%”是有一半地区下 2 雨；兴高采烈买回的10速自行车竟只有6速（只要简单地计算齿轮比，就可以发现一些档差异无几）.

在现代的经济社会里，在高速发展的信息时代，数学和数学应用取得巨大的成功，数学几乎渗透了社会的每一个领域和学科，发挥了实质性的作用.“高科技本质上数学技术”（David.

曾任美国总统顾问），“数学在人们社会生活中的作用起了革命性的变化”“数学能力成为人们取胜的法宝”（姜伯驹.中科院院士）.

这次课程改革非常重视数学应用.在《全日制义务教育数学课程标准》的课程目标中，要学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会、去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”.

在《全日制普通高级中学数学课程标准》中明确了这样的理念：高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程.高中数学课程力求使学生体验数学在解决实际问题中的应用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力.

虽然《课程标准》对高中要求更高，但对初中数学建模的教学也起到了指导意义.这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要.因为我们的数学教学不仅要使学生获得新的知识而且要提高学生的思维能力，要培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活、生产中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质，造就一代具有探索新知识，新方法的创造性思维能力的新人.

二、提高我们教师自己的数学建模素质

著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究”.

为了培养学生的建模意识，我们数学教师应首先需要提高自己的建模意识.这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新.教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活.北京大学附中张思明老师对此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一则广告：“本店承接A1型号影印.”什么是A1型号？在弄清了各种型号的比例关系后，他便把这一材料引入到初中“相似形”部分的教学中.这是一般人所忽略的事，却是数学教师运用数学建模进行教学的良好机会.

其次，数学建模教学还应与现行教材结合起来研究.教材（特别是几何部分）每章开始都配有反映实际问题的插图，抽象出各章主要的数学模型，并且概念、法则、性质、公式、公理、定理等数学基础知识，一般也是由实际问题出发抽象出来的，反映了数学建模思想.“数学模型就是一种符号模型，狭义的解释就是反映特定的具体实体内在规律性的数学结构”. 3 作为一种思想方法，数学建模思想可以与数学基础知识的教学相依随，经常渗透，逐渐升华.比如折叠、拼剪问题就可以让学生折一折、摆一摆、拼一拼、画一画，费时不多，构造了各种模型，活动富于情趣，形象生动.不失为数学建模的起步活动和激发数学建模情趣的重要方式.著名的"哥尼斯堡七桥问题"是许多人始终未能解决的难题,大数学家欧拉不是到桥上去试走,而是巧妙地运用数学知识把小岛,河岸抽象成点,把桥抽象成为"线",还不是成功的构建出几何模型一笔画问题 ,才使问题得以解决的.

因此，只要我们深入钻研教材，挖掘教材所蕴涵的应用数学的材料，并从中总结提炼，就能找到数学建模教学的素材.

三、数学建模的教学实践

经过数学建模，学生对数学知识的理解能有显著的提高，这种作用是不容忽视的.因此我结合正常的教学内容,一方面渗透建模思想,另一方面根据教学内容的特点确定相应的思维训练侧重点,创设出集建模思想渗透与思维训练于一体的教学方案，达到深化、理解知识，发展数学思维能力,激发学习兴趣,强化应用意识的目的,促进数学素质的提高.

1．以实际应用问题的教学为突破口

在中学阶段,列方程解应用题不仅是一种典型的数学模型方法,而且又是中学数学的重要内容,因此,在教学中充分认识这一双重特点,结合素质教育这一总体目标来制定列方程解应用题这一阶段性的具体目标，以此为突破口,培养学生建模意识.

同时,结合近年来素质教育中出现的应用型问题,和教材中典型的数学建模题对学生进行模仿训练,打开学生创新意识的思维宝库.例如：（1）平均增长率问题，包括产量、繁殖、资金、利率、衰变、裂变等，可以建立幂、指、对数函数或方程模型.（2）最大最小问题，包括面（体）积最大（小）、用料最省、费用最低、效益最好等，可以建立函数或不等式模型.（3）行程、工程、浓度问题，可以建立方程（组）、不等式（组）模型.（4）拱桥、炮弹发射、卫星轨道问题，可以建立二次曲线模型.（5）测量问题，可以建立解三角形模型.（6）计数问题，可以建立排列组合模型.

结合教材内容，还可以提出或构作一些比较浅显的建模问题. 例如学了不等式证明之后，可以提出如下问题：

建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比越大，住宅的采光条件越好.问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.

分析：这是一个优化问题.欲知住宅的采光条件是变好还是变坏，就是看同时增加相等的窗户面积和地板面积后，窗户面积与地板面积的比是变大还是变小.设原来的窗户面积和地板 4 面积分别为ba,（平方单位），同时增加的面积为（平方单位），则原实际问题转化为在约束条件aba100，0m下，比较mbma与ba的大小.由不等式知识可知，采光条件变好了.

有些数学问题，如果将其抽象的特征具体化，则可建立直观、实际的模型，使问题的解决更加简捷明了.

2、授之以渔原则

虽然数学建模的目的是为了解决实际问题，但对于中学生来说，进行数学建模教学的主要目的并不是要他们去解决生产、生活中的实际问题，而是要培养他们的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的工作打下坚实的基础.因此，在教学时，授之以渔，尤其注重培养学生从初看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题的能力，即培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型联系起的能力.

比如我曾以一道开放题----“王老吉易拉罐的尺寸为什么是这样的”为例进行教学：先让学生测量出听装345ml王老吉易拉罐的高和底面直径（高约为12.3cm，底面直径为6.6cm）.然后围绕厂家为什么采用这样的尺寸，同学们展开了热烈的讨论.有的同学从审美角度去考虑（是否满足“黄金分割率”）；有的同学从经济效益的角度去考虑（是否用料最省，工时最省）；有的同学从生理学的角度去考虑（是否手感最好，饮用最方便）„„虽然最后没有得到一个一致的、十分完美的结论，但这节课对于培养学生的数学应用能力和发散性思维能力起着十分重要的作用.

引导学生通过对日常生活的观察，自己选择实际问题进行建模练习，从而让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决的“苦”，能拓宽视野、增长知识、积累经验.这亦符合玻利亚的“主动学习原则”，也正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”.

比起学习抽象的数学理论，学习与实际紧密相连的数学建模对学生更有吸引力，能够引起学生兴趣并且能用他们熟悉的数学解决的问题还有很多，在教学中改编的有：

（1）美国和其他国家一样，每年汽车要交一次牌照税，收据上除了年份还有月度.难道车牌每月都要交一次税吗？不是，原来收据上的月份是车主的出生月份，规定当年的车牌税必须在车主出生月份去办理．试从概率论的角度分析这样做的好处.

（2）20世纪是世界人口增长率最快的一段时期，联合国人口基金组织把1999年10月12日定为世界60亿人口日并预测到2013年将达到70亿，2028年将达到80亿，2054年将达到90亿.请对未来约半个世纪的世界人口增长率做出分析，并制出图表说明，等等. 5 学生对这些问题的研究，无疑会激发其学习数学的主动性，且能开拓学生创造性思维能力，养成善于发现问题，独立思考的习惯.

另外，数学建模工作的一部分可以安排在课外去做，即课内课外相结合.如开设讲座、采集数学建模问题、研究建模方案、撰写建模小论文等，有些建模问题比较复杂，可以将其分解、分步解决，或由教师带领下解决某些环节，其具体求解过程可留给学生课后解决，最后再组织学生宣讲、交流或写成小论文，这种做法，既发挥了教师的主导作用，体现了以学生为主体的原则，又培养了学生的探索精神和数学能力.强调数学应用现已成为当今各国课程内容改革的共同特点.在美国，人们提出了“用数学于现实世界”的口号.中学数学的课堂上，应结合教学内容有计划地强化建模教学，还数学知识源于现实的本来面貌.这样做可能会多花一些时间，但磨刀不误砍柴功，所花时间是值得的.

综上所述，在数学建模教学中与素质教学所要求的培养学生的创造性思维能力是相辅相成，密不可分的.要真正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉的在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学.我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台.