留数与积分计算公式

昌吉学院学报　２０１４年第１期　

留数定理在积分计算中的应用　

智丽丽　李艳青　（１，２．昌吉学院物理系新疆　昌吉８３１１００）　

摘要：本文首先介绍了复变函数中一重要定理——留数定理，接着，应用留数定理将几种实函数积分　转化为复函数积分，达到了化难为易、化繁为简的效果，并借助例题对留数定理加以应用。本文有助于定积　分计算思路的扩展，促进实际问题中积分计算的高效求解。　关键词：复变函数；留数定理；积分计算　中图分类号：０４１１；０　１０　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—６４６９（２０１４）０１—００７４—０３　

积分计算不仅是高等数学的一大内容，也是其它学科在解决实际问题时需要处理的一大问题。针　对各类不同形式的被积函数，往往难于求出其原函数，复变函数为我们提供了一个很重要的理论计算　方法，即留数定理。　留数理论是复变函数论中一个重要的理论，尤其对于难于用解析方法求解的部分实变函数，可将　实变函数转化为复变函数，借助留数定理得以求解，这样不仅可以使问题解决，而且，整个计算过程易　于理解。利用留数定理进行积分计算的基本思想是：首先，将实变函数化为复变函数沿闭合回路曲线　．　的积分，接着，将问题转化为求解闭合回路内部各个孤立奇点处的留数值，最后，利用留数定理得到被　积函数的解。本文拟对留数定理做系统的归纳和总结，进一步认识这一重要定理在积分计算中的　应用。　１留数定理　设函数ｆ（ｚ）在回路ｚ所围区域　上除有限个孤立奇点ｈｉ，６：，．．．，６　外解析，在闭区域　上除　ｈｉ，６　．．ｂ　外连续，则　

ｌｆ（ｚ）　２　№／　

显然，留数定理将【旦Ｊ路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。　２留数定理在实变函数积分中的应用及例题分析　２．１计算，＝　Ｒ（ｃｏｓＯ，ｓｉｎ　类型的积分　令Ｚ：ｅｉ０，则有　ｏ　＝　，　ｉ　０：　，ｄＯ：·ｄｚ，从而将三角积分转化为复函数的回路积分：　（　，　）警　（２）　

＿　第１５卷第１期　纺织高校基础科学学报　

２００２年３月　ＢＡＳＩＣ　ＳＣＩＥＮＣＥＳ　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＥＸＴＩＬＥ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＩＥＳ　Ｖｏ１．１　５，Ｎｏ．１　

Ｍａｒｃｈ，２００２　

计算留数的两个新公式　

雷雪芹　

（陕西经贸学院统计系，陕西西安７１００６１）　

摘要：讨论了函数在孤立奇点处的留数的计算问题，给出两个改进的留数计算套式．　

关键词：孤立奇点；极点；留数；计算套式　

中图分类号：ｏ　ｌ７４．５　文献标识码：Ａ　文章编号：ｌ００６—８３４ｌ（２００２）０ｌ一００６３　０３　

函数的留数在积分计算、幅角原理、拉氏变换等问题中起着重要的作用．关于函数在极点处的留　数Ｒｅｓ（ｆ，ｚｏ），通常采用下面的两个计算公式［Ｉ￣　：　

引理１　若‰是，（　）的ｋ阶极点，则　

Ｒｅｓ［＇ｆ（　），Ｚｏ］一　而一ｌｉｍ业　．　㈩　

引理２设，（　）一尸（　）／Ｑ（ｚ），尸（　）及Ｑ（　在　解析，若Ｐ（ｚｏ）≠０，Ｑ（　）一０，　（岛）≠０，则２。　

为，（　）的一阶极点，且　Ｒｅｓ［Ｐ（ｚ）／Ｑ（ｚ），　］一尸（　）／ｑ（　）．　（２）　应用（１）式计算函数在极点处的留数是比较复杂的；而应用（２）式计算函数在一阶极点处的留数，　

需要满足多个条件．为了使计算简化、公式更为通用，下面给出两个改进了的留数计算公式．　

定理１设，（曲一尸（曲／Ｑ（曲，　为尸（　）的”阶零点及Ｑ（曲的ｋ阶零点，则　（　）　当　一＂≥１时，　是，（曲的（　一”）阶极点，且　

［器，　］一　；　㈤　

（　１）　当　一”＜１时，　为，（　）的可击奇点，且ＲｅｓＥＰ（￣）／Ｑ（ｚ），　］一０．　

证明　因　为尸（　）的　阶零点，且为Ｑ（２）的ｋ阶零点，所以Ｐ（　）一（￡　

～　）　Ｑ（　），其中尸】（曲及Ｑ（　）在ｇｏ解析，且只（　）≠０，Ｑ（　）≠０，则　Ｐ（曲／Ｑ（∞一（　一　）　Ｒ（曲．　

其中　Ｒ（　）一只（　）／Ｑ（　）在岛解析，且Ｒ（　）≠ｏ．　设　Ｒ（　）一ｏｏ＋ｑ（２一　）十…＋　…ｌ（　一　）　一　＋－　

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留数在定积分计算中的应用

作者：何裕平

来源：《科技风》2019年第25期

摘 要：将留数定理应用在定积分计算中是一種较新的计算方法，能够将实积分转变为复积分，降低计算难度和繁琐程度，保证计算效率。本文将结合具体立体，对留数定理在定积分计算中的应用进行分析。

关键词：定积分;反常积分;函数 龙源期刊网

留数定理由柯西积分定理及公式推广而来，可被用于解析函数中，某闭曲线路径积分的计算，也能在实积分的计算中使用。这一计算过程就被称为围道积分法。计算过程中，将实积分转变为复积分，根据留数定理，再将其转换为对留数的计算，化简整个过程。留数在定积分计算中的应用需要满足以下条件：被积函数必须和某个解析函数相关，且该定积分能够被转换成沿闭路的积分。下面将结合具体例题，分析留数定理的应用。

参考文献：

[1]朱传喜.复变函数与积分变换.江西高校出版社.

[2]钟玉泉.复变函数论.高等教育出版社.

作者简介：何裕平（1965-），男，汉族，硕士，高级讲师，研究方向：数学。

一　

巧用无穷远点留数计算积分　

丁恒超　

（安康学院数学系，陕西安康７２５０００）　摘要：留数是复变函数中计算积分的有力工具，把留　数概念推广到无穷远点．可以解决“大范围”的积分计算问题。　关键词：无穷远　留数计算积分　留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的。本　文巧妙地应用了函数在无穷远点留数的性质，给出了一类周　线积分Ｌｆ（ｚ）ｄｚ／￣。　１．预备知识　定义：设　为函数ｆ（ｚ）的一个孤立奇点，即ｆ（ｚ）在去心邻域　１　Ｎ一｛∞｝：０≤ｒ＜Ｉｚｋ＋∞内解析，则称　Ｊ＇ｒｆ（ｚ）ｄｚ，（ｒ：ｌｚｌ＿ｐ＞ｒ）为ｆ（ｚ）　Ｚ１ｎ　在点　的留数，记为Ｒｅｓｆ（ｚ），这里ｒ是指顺时针方向（这个方　ｚ：∞　向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）。　Ｐ　设ｆ（ｚ）在０≤ｒ＜ｌｚｋ＋∞内的洛朗展式为：ｆ（ｚ）…・＋＿ｖｒｎ＿＋…＋　ｎ　Ｚ　—ＣＩ＋ｃ。＋ｃ　ｚ＋…　ｚ　＋…，由逐项积分定理及｛　—　＝｛２　ｉ，　ｚ　（ｚ—ａ）“　（ｎ＝１）；Ｏ，（ｎ≠的整数））（一个重要的常用积分）ｌ　这里Ｃ表示以ａ为心，ｐ为半径的圆周（注意：积分值与ａ，ｐ　均无关，ａ可为０），　即知：Ｒｅｓｆ（ｚ）＝—　Ｓｒｆ（ｚ）ｄｚ＋ｃ—Ｉ＝０，（１）也就是说，Ｒｅｓ等　Ｚ竹ｌ　于ｆ（ｚ）在点。。的洛朗展式中　这一项的系数反号。　Ｚ　定理：如果函数ｆ（ｚ）在扩充Ｚ平面上只有有限个孤立奇点　（包括无穷远点在内），设为ａ。，ａ　，…，ａ　，…，∞，则ｆ（ｚ）在各点的　留数和为零（即∑Ｒｅｓｆ（ｚ）＋Ｒｅｓｆ（ｚ）＝ｏ）。　下面我们引入计算留数Ｒｅｓｆ（ｚ）的另一公式。　

区别。　４．感情朗读　（１）读准语气。低年级课文中有许多生动有趣的小故事，　这些小故事中一般有人物的对话及人物的心理叙述。教师指　导学生读好人物对话的语气，学生就可以较好地体会人物的　特点。　（２）把握语速和语调。语速的快慢、语调的抑扬顿挫直接　影响着感情的表达，学生能用合适的语速语调朗读课文，意味　着他们对课文的理解达到了一定的深度。一般来说，高兴激动　时用高昂的语调，悲伤难过时用低沉的语调；突发情况、激烈　的场面语速快一些，自然的叙述语速舒缓一些。　５．注重评价　小学生朗读水平还不高，但他们能进行一些初步的评读。　当一名学生读完后，另外一些学生就能公正地给予评价。如：　教学《荷叶圆圆》一课，当一名学生读完第一自然段时，我让其　他学生当小老师，评一评这位同学读得怎么样。有个学生站起　来说：“她读课文时声音很大，也很流利，但没有感情。”这时我　追问一句：“你能有感情地把这一段读给大家听吗？”这位学生　欣然同意了，当她读完后请其他同学再点评，有位学生说：“老　师，她读这一段时，读得非常有感情，声音响亮，还加上了动　作，我觉得很好。”然后，我让其他同学模仿这位学生的语气读　一读这段，效果很好。由此可见，在教学中，教师注重评读，在　朗读与点评中让学生初步掌握朗读的技巧．就能使学生的朗　读能力不断提高。　四、注重朗读形式的多样化。展示“读”门绝技　为能准确指导学生朗读、激发学生的朗读兴趣、促发学生　的朗读感情，教师可以借助于丰富多彩的朗读方式，如齐读、　单个读、一个接一个读、对读、分角色读、赛读、录音朗读、表演　朗读等等。　１．范读　由于小学生的知识有限，语言的模仿能力较强，因此，指　导学生有感情地朗读课文的最有效的方法就是范读。因为范　读能帮助学生了解并掌握课文的基调是欢快的、高昂的，还是　平缓的、低沉的，给学生以示范，减少朗读训练的盲目性，增强　针对性，提高教学的有效性。教师的范读能引起学生情感上的　共鸣，使学生身Ｊ晦其境，倍受感染，起到潜移默化、熏陶感染的　作用，能够激发学生的朗读兴趣。为此，教师要加强自身的朗　读基本功训练，提高朗读能力。　２．表演读　以课堂表演来提高朗读水平，这种方法十分符合小学语　文的特点和儿童身心发展的规律。如教学《小猴子下山》，课文　有一些表示小猴子动作的词：“捧桃子”的“捧”、“抱西瓜”的　“抱”、“扛着往前走”的“扛”等。我让小朋友做这些词语表示的　动作，他们不仅区别了这些动作，而且对词义加深了理解，并　大大增强了朗读课文的情趣。又如教学生读《鹅》时，我问：“小　朋友，谁知道作者为什么一开口就连说三个‘鹅’字？”学生回　答：“他在数鹅。”“鹅好多。他看到那么多鹅很高兴。”这时我让　学生把自己想象成站在池塘边的作者，也用手指指白鹅连说　三个“鹅”字，学生颇有创见性地读出了又惊奇又高兴的语气；　读“曲项向天歌”时．让学生一边做低头仰面的动作一边读：读　“白毛浮绿水，红掌拨清波”时．让学生把插图上的画面浮现在　头脑中，边想象边读。这样，学生对“鹅”的喜爱之情就在琅琅　的书声中油然而生。　３．配乐朗读　例如：二年级语文课本中《一株紫丁香》，它是一首情感　丰富、意境优美的诗歌。在教学时，为了使学生声情并茂地朗　读，在读中体会师生情，在读中陶冶自己的感情，感悟诗歌语　言的优美，我为课文配上了抒情的音乐让学生朗读，使学生　容易产生身临其境的真实感．这样学生便更好地进人课文的　情境。　语文不是无情物，字词句读都是诗。作者的情感表达常常　隐藏于文字深处。因此，语文教学要让学生流淌真情，就必须　掌握朗读的诀窍——读准音，读通文，读懂意，读出情，让学生　在朗读中感悟，在朗读中与文本对话、交流。　参考文献：　［１］张月红．如何提高学生的朗读能力［Ｊ］．小学语文教学，　２０ｏ０．１２．　［２］姚献芳．阅读教学中的美读指导［Ｊ］．小学语文教学，　２０ｏｏ．１０．