留数计算规则

＿　第１５卷第１期　纺织高校基础科学学报　

２００２年３月　ＢＡＳＩＣ　ＳＣＩＥＮＣＥＳ　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＥＸＴＩＬＥ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＩＥＳ　Ｖｏ１．１　５，Ｎｏ．１　

Ｍａｒｃｈ，２００２　

计算留数的两个新公式　

雷雪芹　

（陕西经贸学院统计系，陕西西安７１００６１）　

摘要：讨论了函数在孤立奇点处的留数的计算问题，给出两个改进的留数计算套式．　

关键词：孤立奇点；极点；留数；计算套式　

中图分类号：ｏ　ｌ７４．５　文献标识码：Ａ　文章编号：ｌ００６—８３４ｌ（２００２）０ｌ一００６３　０３　

函数的留数在积分计算、幅角原理、拉氏变换等问题中起着重要的作用．关于函数在极点处的留　数Ｒｅｓ（ｆ，ｚｏ），通常采用下面的两个计算公式［Ｉ￣　：　

引理１　若‰是，（　）的ｋ阶极点，则　

Ｒｅｓ［＇ｆ（　），Ｚｏ］一　而一ｌｉｍ业　．　㈩　

引理２设，（　）一尸（　）／Ｑ（ｚ），尸（　）及Ｑ（　在　解析，若Ｐ（ｚｏ）≠０，Ｑ（　）一０，　（岛）≠０，则２。　

为，（　）的一阶极点，且　Ｒｅｓ［Ｐ（ｚ）／Ｑ（ｚ），　］一尸（　）／ｑ（　）．　（２）　应用（１）式计算函数在极点处的留数是比较复杂的；而应用（２）式计算函数在一阶极点处的留数，　

需要满足多个条件．为了使计算简化、公式更为通用，下面给出两个改进了的留数计算公式．　

定理１设，（曲一尸（曲／Ｑ（曲，　为尸（　）的”阶零点及Ｑ（曲的ｋ阶零点，则　（　）　当　一＂≥１时，　是，（曲的（　一”）阶极点，且　

［器，　］一　；　㈤　

（　１）　当　一”＜１时，　为，（　）的可击奇点，且ＲｅｓＥＰ（￣）／Ｑ（ｚ），　］一０．　

证明　因　为尸（　）的　阶零点，且为Ｑ（２）的ｋ阶零点，所以Ｐ（　）一（￡　

～　）　Ｑ（　），其中尸】（曲及Ｑ（　）在ｇｏ解析，且只（　）≠０，Ｑ（　）≠０，则　Ｐ（曲／Ｑ（∞一（　一　）　Ｒ（曲．　

其中　Ｒ（　）一只（　）／Ｑ（　）在岛解析，且Ｒ（　）≠ｏ．　设　Ｒ（　）一ｏｏ＋ｑ（２一　）十…＋　…ｌ（　一　）　一　＋－　

昌吉学院学报　２０１４年第１期　

留数定理在积分计算中的应用　

智丽丽　李艳青　（１，２．昌吉学院物理系新疆　昌吉８３１１００）　

摘要：本文首先介绍了复变函数中一重要定理——留数定理，接着，应用留数定理将几种实函数积分　转化为复函数积分，达到了化难为易、化繁为简的效果，并借助例题对留数定理加以应用。本文有助于定积　分计算思路的扩展，促进实际问题中积分计算的高效求解。　关键词：复变函数；留数定理；积分计算　中图分类号：０４１１；０　１０　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—６４６９（２０１４）０１—００７４—０３　

积分计算不仅是高等数学的一大内容，也是其它学科在解决实际问题时需要处理的一大问题。针　对各类不同形式的被积函数，往往难于求出其原函数，复变函数为我们提供了一个很重要的理论计算　方法，即留数定理。　留数理论是复变函数论中一个重要的理论，尤其对于难于用解析方法求解的部分实变函数，可将　实变函数转化为复变函数，借助留数定理得以求解，这样不仅可以使问题解决，而且，整个计算过程易　于理解。利用留数定理进行积分计算的基本思想是：首先，将实变函数化为复变函数沿闭合回路曲线　．　的积分，接着，将问题转化为求解闭合回路内部各个孤立奇点处的留数值，最后，利用留数定理得到被　积函数的解。本文拟对留数定理做系统的归纳和总结，进一步认识这一重要定理在积分计算中的　应用。　１留数定理　设函数ｆ（ｚ）在回路ｚ所围区域　上除有限个孤立奇点ｈｉ，６：，．．．，６　外解析，在闭区域　上除　ｈｉ，６　．．ｂ　外连续，则　

ｌｆ（ｚ）　２　№／　

显然，留数定理将【旦Ｊ路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。　２留数定理在实变函数积分中的应用及例题分析　２．１计算，＝　Ｒ（ｃｏｓＯ，ｓｉｎ　类型的积分　令Ｚ：ｅｉ０，则有　ｏ　＝　，　ｉ　０：　，ｄＯ：·ｄｚ，从而将三角积分转化为复函数的回路积分：　（　，　）警　（２）　

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留数在定积分计算中的应用

作者：何裕平

来源：《科技风》2019年第25期

摘 要：将留数定理应用在定积分计算中是一種较新的计算方法，能够将实积分转变为复积分，降低计算难度和繁琐程度，保证计算效率。本文将结合具体立体，对留数定理在定积分计算中的应用进行分析。

关键词：定积分;反常积分;函数 龙源期刊网

留数定理由柯西积分定理及公式推广而来，可被用于解析函数中，某闭曲线路径积分的计算，也能在实积分的计算中使用。这一计算过程就被称为围道积分法。计算过程中，将实积分转变为复积分，根据留数定理，再将其转换为对留数的计算，化简整个过程。留数在定积分计算中的应用需要满足以下条件：被积函数必须和某个解析函数相关，且该定积分能够被转换成沿闭路的积分。下面将结合具体例题，分析留数定理的应用。

参考文献：

[1]朱传喜.复变函数与积分变换.江西高校出版社.

[2]钟玉泉.复变函数论.高等教育出版社.

作者简介：何裕平（1965-），男，汉族，硕士，高级讲师，研究方向：数学。

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复变函数中留数的计算方式

作者：张君一

来源：《新一代》2013年第09期

摘 要：本文从留数的定义出发，研究了五种留数的计算方法，这五种方法包括了本科阶段复变函数教材中所给出的方法，具有较高的参考价值。并给出了三道典型例题，供读者参考。

关键词：留数；复变函数

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-09-0256-01

留数理论及其应用，在复变函数理论的发展过程中，曾近起到了巨大的推动作用。不仅仅对复变函数，留数理论对实变函数、物理学、工程学等学科都具有重大意义。留数的计算具有多种方式，在不同场合使用不同的方式进行计算，既可以使计算更加快捷，也可以为进一步研究留数计算的应用打好基础。而一切计算方法，都是从定义出发衍生而来的，所以在研究计算方法前，有必要先明确留数的定义。

一、留数的定义

假设函数f（z）在圆环0

二、留数的计算

（1）根据洛朗展式计算

在0

（2）根据一阶极点计算

假设z0是f（z）的一阶极点，则根据一阶极点的性质可知，在去掉圆心z0的某个圆盘内，f（z）=■？渍（z），上式中？渍（z）在圆盘内解析，且？渍（z）的泰勒展式是：？渍（z）=■an（z-z0）n，且a0=？渍（z0）≠0，显然有f（z）的洛朗级数中，■的系数为？渍（z0），因此，Res（f，z0）=■（z-z0）f（z），如果能够求出上述展式，那么由此可得Res（f，z0）=a0。

（3）将函数化为分式计算 龙源期刊网

如果在上述圆去掉圆心z0剩下的区域中，f（z）=■，其中P（z）以及Q（z）在这圆内解析，P（z0）≠0，且z0是Q（z）的一阶零点，并且z0是Q（z）的唯一一阶零点，则显然有z0是f（z）的一阶极点，于是：Res（f，z0）=■（z-z0）f（z）=■（z-z0）■=■。