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留数的计算方法

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1 留数的计算方法

摘 要：本文介绍了常见的几类的留数的计算方法.并通过实例加以阐析.

关键词：留数;极点;零点

The Calculation of the Residue

Abstract: This paper presents several commonly solving methods of residue. Based on

examples, these solving methods are stated and analyzed.

Key Words: Residue; Poles; Zero-point

引言

由留数定理得知，计算函数)(zf沿C的积分，可归结为计算围线C内各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗级数中的负一次幂系数，也就是说，不必完全求出罗朗级数就可以完全确定该点的留数.

下面介绍求留数的几种常用方法，使用时要根据具体条件，选择一个较方便的方法来进行.

1. 有限远点留数的计算方法

留数定理把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1C.在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的.

1.1 若0z为)(zf的可去奇点

则)(zf在Rzz00内的罗朗展开式中不含负幂项，从而01a，故当0z为)(zf的可去奇点时，

0Re()0.sfz (1.1)

1.2 若0z为)(zf的一阶极点

(1)第一种情形：

若0z为)(zf的一阶极点，则)(zf在Rzz00内的罗朗展开式为 2 110010()()()fzazzaazz

显然)()lim(01zfzza，故当0z为)(zf的一阶极点时，

000Res()lim()()zzfzzzfz （1.2）

(2)第二种情形：

若0z为)()()(zQzPzf的一阶极点，且0)(0'zQ，则

000()Res()()PzfzQz. (1.3)

1. 3 若0z为)(zf的m阶极点

则

010011dRes()lim[()()](1)!dmmmzzfzzzfzmz. （1.4）

一般来讲,公式(1.4)适合计算级数较低的函数的极点的留数.如果极点的级数较高时,计算可能比较复杂,此时可根据具体情况改用其他方法计算留数.

1.4 当0z为)(zf的本性奇点时

几乎没有什么简捷方法，因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或计算积分的方法来求．

1.5 有限远点留数计算典型实例

例 1.5.1 求1,1Re2zzesz．

解 容易知道1z是函数12zzez的一阶极点，所以

211Res[(),1]lim(1)lim112zzzzzezeefzzzz.

本题也可用上述方法

设)()()(zQzPzf，取zzezP)(，1)(2zzQ，显然)(zP，)(zQ满足方法1.2中(2)的条件，所以

2(1)Res,11(1)2zzePezQ. 3 例 1.5.2 求函数 2)1)(1()(zzzzf在1z处的留数.

解 由于1z是分母的一级零点,且分子在1z时不为零,因此, 1z是)(zf的一级极点.由公式(1.2)可以得到

)1),((Rezfs41))1)(1(1(lim21zzzzz.

由于1z是分母的二级零点,且分子在1z时不为零,因此, 1z是)(zf的二级极点.由公式(1.4)得

)1),((Rezfs221)1)(1()1(limzzzzdzdz

=41)1(1lim21zz.

例 1.5.3 求函数)(zf1sin4zz在1z处的留数.

解 因为14z以1z为一级零点,而01sin,因此)(zf以1z为一级极点.由公式(1.3)得

)1),((Rezfs1sin414sin)1(sin131'4zzzzzz.

例1.5.4 求函数)(zfzze1在0z处的留数.

解 0z是)(zf的本性奇点,因为

)(zfzze1zzee1))!1(!21(12nzzzn, )0(z

所以相乘后级数z1的系数1C为

1C!)!1(1!3!21!211nn

于是

)0),((Rezfs!)!1(1!3!21!211nn

2. 无限远点处的留数计算方法

2.1 无穷远点留数定义或留数和定理 4 定义2.1.1[3] 设点为函数)(zf的一个孤立奇点,即)(zf在zR内解析,则称积分1)(21Cdzzfi值为)(zf在点的留数,记作

1)(21)),((ReCdzzfizfs.

其中,C为圆周Rrz,1C的方向是顺时针的.

设)(zf在zR内的洛朗展式为

)(zfnnmmzCzCCzCzC10111

上式两端同乘i21,沿1C逐项积分,并根据定义1，有

1)(21)),((ReCdzzfizfs121CdzzCiCnnn. (2.1)

即)(zf在点的留数等于它在领域的洛朗展式中负一次幂的系数的相反数.

这里需要指出的是,当0z为)(zf的有限可去奇点时,必然有0)),((Re0zzfs;但是,如果是)(zf的可去奇点时,则不一定有0)),((Rezfs.

如 )(zfz11,z在是)(zf的可去奇点;但01)),((Rezfs.

例 2.1.1 求函数1)(2zezfz在z点处的留数.

解 函数1)(2zezfz 以1z及1z为一阶极点，而z为本性奇点 又

11Res(1),Res(1)22effe

所以 1Res()2eef．

关于函数在有限孤立奇点和无穷远点留数之间的关系,有如下定理.

定理2.1.1 若 0)(limzfz，则

Res()lim[()]zfzfz. (2.2)

证明 由条件，故可设)(zf在z的去心邻域的洛朗级数 5 1()000nnccfzzz

因此 1Res()lim[()]zfczfz．

公式(2.2)在计算留数时是非常有用的.如果已知函数在所有有限孤立奇点的留数之和,由式(2.2)即可知道函数在无穷远点留数;反之如果知道了函数在无穷远点的留数,则函数在所有有限孤立奇点的留数之和便可以求出.当函数的有限孤立奇点较多时,其留数之和计算比较复杂时,通过求函数在无穷远点的留数来求其在所有有限孤立奇点的历史之和是非常方便的.

另外,我们还可以先计算出比较容易计算的函数的部分孤立奇点的留数,然后用公式(2.2)求出比较难计算的另一部分孤立奇点的留数之和.

结束语

留数定理的应用为一部分积分的计算提供了便利，特别是对某些复杂的积分，它大大缩短求解过程.因此，利用留数计算定积分对理解留数理论和掌握一些特殊积分的计算有很大帮助，在平时的学习生活中留数理论或许能成为求积分与实际应用的有利工具.

参考文献

[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 白艳萍等.复变函数与积分变换[M]. 北京：国防工业出版社，2004.

[3] 高宗胜等.复变函数与积分变换[M]. 北京：北京航空航天大学出版社, 2006.

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计算留数的两个新公式

计算留数的两个新公式

＿　第１５卷第１期　纺织高校基础科学学报　

２００２年３月　ＢＡＳＩＣ　ＳＣＩＥＮＣＥＳ　Ｊ０ＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＥＸＴＩＬＥ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＩＥＳ　Ｖｏ１．１　５，Ｎｏ．１　

Ｍａｒｃｈ，２００２　

计算留数的两个新公式　

雷雪芹　

（陕西经贸学院统计系，陕西西安７１００６１）　

摘要：讨论了函数在孤立奇点处的留数的计算问题，给出两个改进的留数计算套式．　

关键词：孤立奇点；极点；留数；计算套式　

中图分类号：ｏ　ｌ７４．５　文献标识码：Ａ　文章编号：ｌ００６—８３４ｌ（２００２）０ｌ一００６３　０３　

函数的留数在积分计算、幅角原理、拉氏变换等问题中起着重要的作用．关于函数在极点处的留　数Ｒｅｓ（ｆ，ｚｏ），通常采用下面的两个计算公式［Ｉ￣　：　

引理１　若‰是，（　）的ｋ阶极点，则　

Ｒｅｓ［＇ｆ（　），Ｚｏ］一　而一ｌｉｍ业　．　㈩　

引理２设，（　）一尸（　）／Ｑ（ｚ），尸（　）及Ｑ（　在　解析，若Ｐ（ｚｏ）≠０，Ｑ（　）一０，　（岛）≠０，则２。　

为，（　）的一阶极点，且　Ｒｅｓ［Ｐ（ｚ）／Ｑ（ｚ），　］一尸（　）／ｑ（　）．　（２）　应用（１）式计算函数在极点处的留数是比较复杂的；而应用（２）式计算函数在一阶极点处的留数，　

需要满足多个条件．为了使计算简化、公式更为通用，下面给出两个改进了的留数计算公式．　

定理１设，（曲一尸（曲／Ｑ（曲，　为尸（　）的”阶零点及Ｑ（曲的ｋ阶零点，则　（　）　当　一＂≥１时，　是，（曲的（　一”）阶极点，且　

［器，　］一　；　㈤　

（　１）　当　一”＜１时，　为，（　）的可击奇点，且ＲｅｓＥＰ（￣）／Ｑ（ｚ），　］一０．　

证明　因　为尸（　）的　阶零点，且为Ｑ（２）的ｋ阶零点，所以Ｐ（　）一（￡　

～　）　Ｑ（　），其中尸】（曲及Ｑ（　）在ｇｏ解析，且只（　）≠０，Ｑ（　）≠０，则　Ｐ（曲／Ｑ（∞一（　一　）　Ｒ（曲．　

其中　Ｒ（　）一只（　）／Ｑ（　）在岛解析，且Ｒ（　）≠ｏ．　设　Ｒ（　）一ｏｏ＋ｑ（２一　）十…＋　…ｌ（　一　）　一　＋－　

求解留数的另一种方法

求解留数的另一种方法

第２３卷第１期　２０１０年２月　高等函授学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｖｏ１．２３　Ｎｏ．１　２Ｏ１０　

・大学生园地・　求解留数的另一种方法　

刘治国，王庆美　（山东科技大学理学院，山东青岛２６６５１０）　

摘要：把洛朗级数在环形区域上展开推广到复连通域内展开，找到求解留数的另一种方法，　并分析了该求解留数的方法在拉普拉斯变换反演中的应用。　关键词：洛朗级数；留数；拉普拉斯变换反演　中图分类号：Ｏ１７４．５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００６—７３５３（２０１０）０１—００９４—０３　

假设Ｆ（ｚ）在图示区域内单值解析，则　在区域内一点　可以展开为幂级数如下：　厂（　）＝∑ｎ　（２一Ｚｏ）　＋∑ｂ　（ｚ—　）　＋　ｋ＝Ｏ　一－－１　∑ｃ　（ｚ—ｚ：）　，　ｌ　其　一　出　下面将÷展开成幂级数。对于沿Ｃ　的积　ｆ—ｚ　分，在圆心　临域内展开，　１　—　１　一　一ｚ　（　～ｚｏ）一（ｚ—ｚ０）　

…　志Ｚ　Ｗ　Ｚｏ一　ｃ为圆内　卜　一　、　

包含　且与其同心的圆。　６ｚ＝　；ｃ　ｍ为区域内沿　逆时针方向包围圆ＣＲ　的任意一闭合回路。　

。　；Ｃ＇Ｒ２为区域内沿　逆时针方向包围圆Ｃ　的任一闭合回路。　证明　为了避免涉及在圆周　上函数的解析性及级数的　收敛性的考虑问题，现将外　圆稍稍缩小为Ｃ　肋，内圆稍　稍扩大为Ｃ　、Ｃ　，应用复　通域上的柯西公式如下：　：　＋　＋　

９４　妻ｋ＝Ｏ　＜　则　＝＝＝　

（Ｚ－－２：ｏ　ＲＯ　一　∑　一　一０　Ｌ　＼Ｃ　０，　

其中　一　肋　出．　对于沿Ｃ　。的线积分，在以圆心为ｚ。的某个　环域上展开，　１．——　１．——　—ｚ　（　～ｚ１）一（ｚ一　１）　～１　Ｌ—　篁二兰　ｚｌ　ｚ——　１　，一（ｚ——ｚ１）　１　—Ｚ１　

收稿日期：２００９—１０—１９．　作者简介：刘治国（１９８９～），男，山东滕州人，２００７级应用物理专业在校生　王庆美（１９８７），男，山东聊城人，２００７级应用物理学专在校生．　、　—　，　口　

留数定理与几类积分的计算

留数定理与几类积分的计算

留数定理与几类积分的计算

留数定理是复变函数理论的重要定理，用于计算一些复变函数的积分。它涉及到复变函数的奇点（即使函数在这些点处不解析的点）和轮廓积分（沿着条规定路径的积分）。本文将详细介绍留数定理以及几类积分的计算方法和技巧。

一、留数定理

留数定理是由法国数学家Cauchy提出的。它的核心思想是将复平面上的积分转化为奇点处的留数，简化了积分的计算过程。下面给出留数定理的一般形式。

设函数f(z)是包含奇点a₁,a₂,...,aₙ在内的单连通域D上的解析函数。若γ是逆时针方向沿着D内一条闭合曲线，且曲线内部不包含任何奇点的简单曲线，那么沿着γ的积分等于奇点处的留数的和：

∮γ f(z)dz = 2πi (Res(f, a₁) + Res(f, a₂) + ... + Res(f,

aₙ))

其中，Res(f, a)表示函数f(z)在奇点a处的留数。

根据留数定理，我们可以通过计算留数来求解复变函数的积分。下面将介绍几种常见的积分计算方法。

二、积分的计算方法

1.求解一阶极点处的留数

一阶极点即函数在其中一点处的奇点，被称为简单极点。如果函数f(z)在点a处的有限奇点，那么函数f(z)在该点的留数可以通过以下公式计算： Res(f, a) = lim(z→a) [(z-a) f(z)]

其中，lim表示极限。

2.求解高阶极点处的留数

对于高阶极点，我们需要使用拉乌尔定理（Laurent theorem）进行求解。拉乌尔定理给出了复变函数的洛朗级数展开式，通过该展开式，我们可以得到高阶极点处的留数。

3.求解无穷远点处的留数

对于函数在无穷远点处的留数，我们需要将函数进行泰勒展开。然后根据展开式的性质，将无穷远点处的留数与有限奇点处的留数进行比较，求得最终的留数。

三、积分计算的技巧

在计算复变函数的积分时，有一些常用的技巧可以简化计算过程。

1.选择合适的积分路径

在选择积分路径时，应尽量选择代数上简洁的曲线或直线段。可以利用奇点的位置和函数的性质来确定合适的积分路径。

留数定理在积分计算中的应用

留数定理在积分计算中的应用

昌吉学院学报　２０１４年第１期　

留数定理在积分计算中的应用　

智丽丽　李艳青　（１，２．昌吉学院物理系新疆　昌吉８３１１００）　

摘要：本文首先介绍了复变函数中一重要定理——留数定理，接着，应用留数定理将几种实函数积分　转化为复函数积分，达到了化难为易、化繁为简的效果，并借助例题对留数定理加以应用。本文有助于定积　分计算思路的扩展，促进实际问题中积分计算的高效求解。　关键词：复变函数；留数定理；积分计算　中图分类号：０４１１；０　１０　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—６４６９（２０１４）０１—００７４—０３　

积分计算不仅是高等数学的一大内容，也是其它学科在解决实际问题时需要处理的一大问题。针　对各类不同形式的被积函数，往往难于求出其原函数，复变函数为我们提供了一个很重要的理论计算　方法，即留数定理。　留数理论是复变函数论中一个重要的理论，尤其对于难于用解析方法求解的部分实变函数，可将　实变函数转化为复变函数，借助留数定理得以求解，这样不仅可以使问题解决，而且，整个计算过程易　于理解。利用留数定理进行积分计算的基本思想是：首先，将实变函数化为复变函数沿闭合回路曲线　．　的积分，接着，将问题转化为求解闭合回路内部各个孤立奇点处的留数值，最后，利用留数定理得到被　积函数的解。本文拟对留数定理做系统的归纳和总结，进一步认识这一重要定理在积分计算中的　应用。　１留数定理　设函数ｆ（ｚ）在回路ｚ所围区域　上除有限个孤立奇点ｈｉ，６：，．．．，６　外解析，在闭区域　上除　ｈｉ，６　．．ｂ　外连续，则　

ｌｆ（ｚ）　２　№／　

显然，留数定理将【旦Ｊ路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。　２留数定理在实变函数积分中的应用及例题分析　２．１计算，＝　Ｒ（ｃｏｓＯ，ｓｉｎ　类型的积分　令Ｚ：ｅｉ０，则有　ｏ　＝　，　ｉ　０：　，ｄＯ：·ｄｚ，从而将三角积分转化为复函数的回路积分：　（　，　）警　（２）