2016考研数学二真题及解析

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设1(cos 1)a x x =-，32l n(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()（A ）123,,a a a .（B ）231,,a a a .（C ）213,,a a a .（D ）321,,a a a .【答案】（B ）【解析】当0x +→时，211(cos 1)~2a x x x =--,5362l n(1)~a x x x =+,33111~3a x x=+-所以3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是231,,a a a ，故选B.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩【答案】（D ）【解析】2(1)1()()ln 1x x F x f x dx x x x Cx ⎧-<==⎨-+>⎩⎰，()F x 需连续，(1)(1)F F +-=1C ⇒=3、反常积分121x e dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为（A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散.（C ）①发散，②收敛.（D ）①发散，②发散.【答案】（B ）【解析】11111020011(lim lim )1x x x x x x x e dx e d e e e x x--∞-∞→-∞→=-=-=--=-∞⎰⎰，收敛111111+2000011(lim lim )1lim 0x x x x x xx x x e dx e d e e e e x x++∞+∞→+∞→→+∞=-=-=--=-+=+∞⎰⎰，发散故选B.4、设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则()（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.【答案】（B ）【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点。

2016考研数学二答案2016考研数学二答案篇一：2016考研数学(一、二、三)真题及答案解析Born To Win2016考研数学（一）真题及答案解析考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设?xn?是数列下列命题中不正确的是（）（A）若limxn?a，则limx2n?limx2n?1?an??n??n??（B）若limx2n?limx2n?1?a，则limxn?an??n??n??（C）若limxn?a，则limx3n?limx2n?1?an??n??n??（D）若limx3n?limx3n?1?a，则limxn?an??n??n??【答案】（D）（2）设y?特解，则（A）a??3,b?2,c??1 （B）a?3,b?2,c??1 （C）a??3,b?2,c?1 （D）a?3,b?2,c?1 【答案】（A）【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出a??3,b?2,c??1。

故选A。

（3）若级数（）（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点【答案】（A）【解析】因为级数12x1e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yay??by?cex的一个23axnn?1n在x?2处条件收敛，则x?x?3依次为幂级数na(x1)nn?1n的axnn?1n在x?2处条件收敛，所以R?2，有幂级数的性质，na(x1)nn?1n的收敛半径也为R?2，即x??3，收敛区间为?1?x?3，则收敛域为Born To Win1x3，进而x?x?3依次为幂级数?nan(x?1)n的收敛点，收敛点，故选A。

2016全国研究生入学考试考研数学二解析本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()(1231,1,1a x a a ===，当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ）()A 123,,a a a ()B 231,,a a a ()C 213,,a a a ()D 321,,a a a【答案】：B【解析】2121~x a -，562~a x ，x a 31~3，则321,,a a a 从低阶到高阶排列应为132,,a a a 。

（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()21,1()ln 1,1x x A F x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1x x B F x x x x ⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩()()()21,1()ln 11,1x x C F x x x x ⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1x x D F x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩【答案】：()D【解析】：由于原函数一定是连续，可知函数()F x 在1x =连续，而()A 、()B 、()C 中的函数在1x =处均不连续，故选()D 。

（3）反常积分()1211x e dx x -∞⎰与()12012x e dx x+∞⎰的敛散性为（ ） ()A ()1收敛，()2收敛 ()B ()1收敛，()2发散 ()C ()1发散，()2收敛 ()D ()1发散，()2发散【答案】B【解析】1101102=-=∞-∞-⎰xx e dx e x ，故()1收敛。

∞+∞+-=⎰11021x xe dx e x，由于1lim x x e +→=+∞，故()2发散（4）设函数()y f x =在()-+∞∞，内连续，其导数的图像，如图所示，则（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点【答案】：（B ）【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有2个极值点，3个拐点.（5）设函数()i y f x =()1,2i =具有二阶连续导数，且()0i f x ''<()1,2i =，若两条曲线()i y f x =()1,2i =在点()00,x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线()1y f x =的曲率大于曲线()2y f x =的曲率，则在点0x 的某个邻域内，有（ ）()()()()12A f x f x g x ≤≤ ()()()()21B f x f x g x ≤≤ ()()()()12C f x g x f x ≤≤ ()()()()21D f x g x f x ≤≤【答案】A【解析】 ：由于()0i f x "<可知，)(1x f 与)(2x f 均为凸函数，可知)(1x f y =，)(2x f y =的图像均在其切线下方，故)()(),(21x g x f x f ≤，由曲率公式232222232111))((1)(,))((1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=x f x f k x f x f k ，由21k k >可知，1020()()f x f x ""<，则)()(21x f x f <.（6）已知函数(),xe f x y x y=-，则（A ）''0x y f f -= （B ）''+0x y f f = （C ） ''x y f f f -= （D ） ''x y f f f += 【答案】： （D ）【解析】()()''''22,,x x x xy x y e e e f f f f f x y x y x y =-=+=---. （7）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）()A T A 与T B 相似 ()B 1A -与1B -相似()C T A A +与T B B +相似 ()D 1A A -+与1B B -+相似【答案】：()C【解析】：因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵P ，使得1,P AP B -=两端取转置与逆可得：()1TTTT P A PB -=,111P A P B ---=,()111P A A P B B ---+=+,可知()A 、()B 、()D 均正确，故选择()C 。

2016年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+= 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim且01==-∞→∞→xx y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21（Ｄ）31【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ， 31313332022=+--=-=→→→x x o x x x x x xarx x x x x x )()(lim)(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂y ux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．所以应该选（A ）．7．行列式dc d c ba b a00000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 【详解】20000000000000000)(bc ad dc ba bc d cb a ad dc c ba b d c d b a a dc d c b a b a --=+-=+-=应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ． 【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021231010==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dxx x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知232232231323122213214242x a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t xx dt t e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ， 即32313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰DD D D dr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u x cos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z x x xcos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； xx x e y e f e u f yz x z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+ba dtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(， ,)(x x x f 313+=，利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰11111111101010，111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 【详解】由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数． 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222．令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为πππ)ln (ln )()(45222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似．【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 ，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)( ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似．。

2016考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22x x ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ，313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u 及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂yux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上． 所以应该选（A ）．7．行列式dc d c ba b a0000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-【详解】20000000000000000)(bc ad dc ba bc d cb a ad dc c ba b d c db a a dc d c ba b a --=+-=+-=应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ． 11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021231010==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dxx x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ， 即32313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D DD Ddr r r d dxd y x dxdyy x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ，[]b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=，ΛΛ)),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(，Λ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰1111111110101，111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．【详解】由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf ，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数．又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222．令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为πππ)ln (ln )()(45222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵． （1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似．【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)(ΛM M MΛΛ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλΛ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00Λλ~A ； 1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(ΛM M M ΛΛ所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλΛ,；。

2016年数学（二）真题解析一、选择题（1）【答案】（B ）.[解] 因为 5 〜• （— —X j = — —x 2 , g 〜丘' Vx =x 6 , as 〜三工， 所以以上三个无穷小量从低阶到高阶的次序为,应选（E ）.（2）【答案】（D ）.【解】F （_z ）=]\x (In x — 1) + C + I9 2彳1・（（工 一 ]）2 工<]取C=o 得/'（工）的一个原函数为F （^）=■, '八… 、「应选（D ）.（In jc — 1） + 19 工乍 1.（3）【答案】【解】(B).fo因为'+°°1 1—e * Ax = 一 e r x 1丄 1―e T d:r = 一 e r x=—(0 — 1) =1，=+°°,°+°°1 丄-ve x Ax 发散9应选(B).0 XJ 01 丄二扌山收敛，-°° X（4）【答案】（E ）.【解】 如图所示,f\x ）的零点从左到右依次为工1（< 1）,工2，工3・/■'（工）> 0, /（jc ） <0, /（^） <0, /a ） <0,'/■‘（工）< o,、f'（工）> 0,值点；八工）> 0,fO >o,故f （J7）有两个极值点.f"⑺在工=1处不存在，又切线水平对应的点为工。

及工3,即 /"（工。

）=0,7""（工3）=0.由由“〃（工） "） fjf"⑺f ）即y =/（x ）有三个拐点，应选（E ）.所以*0x <L x },Hi <C x VIzi V 工 < 1,得工= \ <Z X x 21 < H V 「，F得xX 2 V z V H 3得工=x x 为f （工）的极大值点=X 2为f （工）的极小1不是/■&）的极值点;由由由、3'得工=g 不是y （z ）的极值点,工 > 工3由< 0,> 0,> 0,< 0,< 0,> 0,了 V ]' 得（1 ,/（1））为曲线y = f （工）的拐点；1 < H < X q、。