2020年考研数学(一)真题及解析

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析1. 【单项选择题】当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：2. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C参考解析：3. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A 参考解析：4. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A参考解析：5. 【单项选择题】若矩阵A经初等列变换化成B，则( )．A. 存在矩阵P，使得PA=BB. 存在矩阵P，使得BP=AC. 存在矩阵P，使得PB=AD. 方程组Ax=0与Bx=0同解正确答案：B参考解析：6. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C 参考解析：7. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：D 参考解析：8. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：B参考解析：9. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-1【解析】10. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】11. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：n+am【解析】12. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：4e13. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：a4-4a2【解析】14. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：15. 【解答题】求函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：16. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：17. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：18. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：19. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：20. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：21. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：22. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：23. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：。

全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纨指定位置上.1- cos Jx _______ _ r > 0(1)若函数/(# = { ax在x连续，则b,x<Q(A) ab = g.(B) ab = —^.(C) ab = 0.(D) ab = 2.【答案】A【详解】由lim --=，_ = b,得出? = L.ax 2a 2(2)设函数可导，且—。

)>0则(A) /(1)>/(-1). (B) /⑴ </(T).© |/W|>|/(-l)|- ⑼ ]〃刈<|〃-1)卜【答案】C【详解】/(刈=[弓2r〉o,从而广(冷单调递增，尸⑴>(3)函数/。

,乂2)=犬〉+ ^在点(1,2,0)处沿着向量〃 =(1,2,2)的方向导数为(A) 12. (B) 6. (C) 4. (D)2 .【答案】D19【详解】方向余弦cosa = -,cos^ = cosy = §，偏导数f； = 2xy,f； = x\f! = 2z，代入 cos af； + cos /f： + cos yf；即可.(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线y =H«)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线〃=匕(。

(单位：in/s),三块阴影部分面积的数值一次为10, 20, 3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s),则(A) r 0 =10. (B) 15<t 0 <20 . (C) 0 = 25. (D) t 0>25.【答案】C【详解】在。

=25时，乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. (5)设a 为〃维单位列向量，七为〃阶单位矩阵，则(A)七一勿肝不可逆. (B) E+aaT 不可逆. (C) E+2a«i 不可逆. (D)不可逆.【答案】A【详解】可设Q = (l,o,…,0)、则或/的特征值为L0,…,0,从而E —皿丁的特征值为 0』,…因此E —不可逆.101 fl 、2 0 , C= 2 0 J 1 2)(A)A 与C 相似，8与。

2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

XXX 时，下列无穷小量中最高阶是（）A。

$\int_{x^2}^{et-1}dt$B。

$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C。

$\int_0^x\frac{\sin x}{\sin t^2}dt$D。

$\int_0^x\frac{1-\cos x}{\sin t^2}dt$2.设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$，则（）A。

当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{|x|}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。

B。

当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。

C。

当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。

D。

当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。

3.设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$ 非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则（）A。

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$ 存在。

B。

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$ 存在。

一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。

3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。

CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。

ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。

2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。

1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。

2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0X—r•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X3, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。

J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。

2020考研数学一真题及答案一、选择题（1）当 x 0 时，下列无穷小量最高阶是（A ） 0x e t 21 d t .（B ） 0x ln 1 dt.t 3（C ） 0sin x sin t 2 dt .（D ） 01 cos x dt.sin t 2（1）【答案】（D ）.【解析】因为 lim0x e t 21 dt lim e x 21 lim x 21 , x 3 3x 2 3x 0 + x0 +3 x 2 x 0+故 x 0 时， 0x e t 21 dt 是 x 的 3 阶无穷小；0x ln 1 dt ln 1t 3 x 3因为lim lim lim x 32 ,x 0 + 5 x 0 + 5 3x 0+ 5 3 5x 2 x 2 x222故 x 0 时， 0x ln 1 t 3 dt 是 x 的 52 阶无穷小；因为 limsin x sin t 2 dt lim sin sin x 2 cos x lim sin 2 x limx 3 3 x 2x 0 + x 0 + x 0 + 3 x 2 x 0+故 x 0 时， 0sin x sin t 2 dt 是 x 的 3 阶无穷小；（ ） x 213 x 2 3 ,01 cos x 因为lim sin t 2 d t lim sin 1 cos x 2 sin x lim sin 1 cos x 21,0 1 cos x sin x 2 x 0 + t d t x 0 + x 0+ 1 cos x 1 cosx又 01 cos x t dt1 t2 1 cos x 1 1 cos x 21 x 4 ，2 0 2 8故 x 0 时， 01 cos x sin t 2 dt 是 x 的 4 阶无穷小；综上， x 0 时，无穷小量中最高阶的是 01 cos x sin t 2 dt .故应选（D ）.x0 0, 则 （2）设函数 f x 在区间 1,1 内有定义，且lim f x （ ） （A ）当lim fx 0 时， f x 在 x 0 处可导.x 0x（B ）当limf x 0 时， f x 在 x 0 处可导.x 0x 2 （C ）当 f x 在 x 0 处可导时，limf0 .（D ）当 f x 在 x 0 处可导时，limf x 0 .x 0x 2 （2）【答案】（C ）.【解析】对于选项（A ）：取 f x x ，满足已知，但 f x 在 x 0 处不可导，排除（A ）.x, x0, 满足已知，但 f x 在 x 0 处不可导，排除（B ）.对于选项（B ）：f xx0, 0,对于选项（C ）：当 f x 在 x 0 处可导时， f x 在 x 0 处连续，故f 0 lim f x 0, 且 f 0 存在，不妨设 f0 lim f x f 0 lim f x A,x 0 x 0 x x 0 x则f lim f x 0 . 同理可排除（D ）. x 0 x 故应选（C ）.（3）设函数 f x 在处可微， f 0, 0 f f点 0, 0 0, n, ,1，非零向量d与x y 0,n 垂直，则（）（A）limx ,y , fx ,y0 存在.x , y0,0 x 2 y2n x ,y , fx ,y（B）lim 0 存在.x ,y 0,0 x 2 y2（C）lim dx ,y , fx ,y0 存在.x ,y 0,0 x 2 y2（D）lim dx ,y , fx ,y0 存在.x , y0,0 x 2 y2（3）【答案】（A）.【解析】因 f x 在点 0, 0 处可微，且 f 0, 0 0 ，故f x , y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y x 2 y 2 ,f ff x 0, 0 , f y 0, 0 , 1 ，故 因为n ,,1 x y0,0n x , y , f x , y f x 0, 0 x f y 0, 0 y f x , y x 2y2 ，3n x , y , f x , y则 lim lim x 2 y 2 0. 故应选（A ）.x , y0,0x 2 y 2 x , y0,0 x 2y 2（4） 设R 为幂级数 a n x n的收敛半径，r 是实数，则 （ ）又 1（A ） a n r n 发散时， r R .n 1（B ） a n r n 发散时， rR .n 1（C ） r R 时， a n r n 发散. n 1（D ） r R 时， a n r n 发散. n 1（4）【答案】（A ）.【解析】若 a n r n 发散，则 r R ，否则，若 r R ，由阿贝尔定理知， a n r nn 1 n 1绝对收敛，矛盾. 故应选（A ）.（5）若矩阵 A 经过初等列变换化成B ，则 （ ） （A ）存在矩阵 P ，使得 PA B.（B ）存在矩阵 P ，使得BP A.（C ）存在矩阵 P ，使得 PB A.（D ）方程组 Ax 0 与Bx 0 同解.（5）【答案】（B ）. 【解析】 A 经过初等列变换化成B ，相当于 A 右乘可逆矩阵 P 变成B ，即存在可逆矩阵Q ，使得 AQ B ，得BQ 1 A .取 P Q 1 ，则存在矩阵 P ，使得BPA.故应选（B ）.（6）已知直线L : x a 2 y b 2 z c 2 与直线L : x a 3 y b 3 z c 3 相交于一1 a 1 b 1 c 12 a 2 b 2 c 2 a i点，法向量αb, i 1, 2, 3 .则（ ）iici（A ）α1 可由α2 , α3 线性表示. （B ）α2 可由α1 , α3 线性表示. （C ）α3 可由α1 , α2 线性表示. （D ）α1 , α2 , α3 线性无关.（6）【答案】（C ）.a 1 a 2【解析】已知L , L 相交于一点，故向量 b 与 b，即α , α 线性无关. 12 12 12c c 1 2a 1 a 2 a 3a 2且有 b , b , b b，即α , α , α α 线性相关. 1 2 3 2 12 3 1 c c c c 1 2 3 2故α1 , α2 , α3 线性相关，则α3 可由α1 , α2 线性表示，且表示法唯一.故应选（C ）.（7）设 A, B , C 为三个随机事件，且P A P B P C14, P AB 0, P AC P BC121 ,则 A, B , C 恰有一个事件发生的概率为（ ） （A ） 3. （B ） 2.（C ） 1 . （D ） 5 . 43212（7）【答案】（D ）.【解析】事件 A, B , C 中前有一个发生的概率可用至少一个发生的概率减去至少发生两个的概率表示，即P ( ABC ABC ABC ) P ( A B C ) P( ABAC BC),5P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC) ，因 P ( AB) 0 ，故P ( ABC) 0 ，从而P ( A B C) 34 0 121 121 0 127,P ( AB AC BC ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ) P ( ABC )P ( ABC ) P ( ABC)0 121 121 0 16 ,P ( ABC ABC ABC) 127 16 125 . 故应选（D ）.（8）设 X 1 , X 2 , , X 100 为来自总体 X 的简单随机样本，其中P X 0 P X 11 ,2 100 ） x 表示标准正态分布，则利用中心极限定理可得PX i 55 的近似值为（ i 1（A ）11 . （B ） 1 . （C ）1 0.2 . （D ） 0.2 .（8）【答案】（B ）.100 100【解析】由中心极限定理知， X i 近似服从 N ( , 2 ) ，其中E ( X i ) 50 ，i 1 i 11 12D ( i 1 X i) 1002 2 25 ，故100 100 X i 50 55 50i 1PX i 55P(1) . 5 5 i 1故应选（B ）. 二、填空题1 19. lim ． x x 0 e 1 ln(1 x)（9）【答案】 1.【解析】lim x 01 e x 11 lim ln(1 x)e x 1ln(1 e x 1 ln(1 x) x) x 0 1 2 x 2 1x2 x x 1 x2 2 lim x 2 x 0 x2 lim x 2 1. x 2x 0t 2 1,d 2 yx 10. 已知 则 ．dx 2y ln(t t 21),t 1（10）【答案】 2 .【解析】因为dydx d 2 ydx 2故d 2 yt 2 1 dx 2 t t 311. 设 y f ( x) 满足 0f (x )dxd y 1 2t 1 1 d tt t 2 1 t 2 1 t 21 dx 2t t d t 1 1 d dy d dy d td x dx dx dt dx d 1 1 1 1 t 21 , d t dx t2 t t3 t d tt 212. t 1f ( x ) af (x ) f (x ) 0 (a 0), f (0) m, f ．1t ,(0) n ，则 （11）【答案】am n .【解析】由已知，得f (x )dx f ( x ) af (x ) dx f (x ) af(x) .a 0 a 2 时， 1,2a4 a 2 i，故f x e a x 4a 2 x C 2 sin 4 a 2 2 C 1 cos x ,2 2x x a a 4 a2 x C 2 sin 4 a 2f e 2 C 1cos x22 2 a x 4 a 2 4 a 2 4 a 2 4 a 2 e 2 C sin xC cos x ,2 2 2 2 1 2从而 limf ( x ) lim f ( x) 0. x x当a 2 时， 1,2 1 ，故f x C 1 C 2 x e x ,xC 1 C 2 x e x C 2e x ,从而lim x f ( x )lim x ( x)0.当a 2 时， a a 24 ，故1,2 2a a 24 x a a 24 xf x C 1e 2C 2e 2 ,aa 24 x a a 24 x f x a a 2 4a a 2 4 C 2e ,C 1e 2 2 2 2从而 limf ( x ) lim f ( x) 0. x x综上，f ( x )d x f ( x ) af ( x) lim f ( x ) af ( x ) f (0) af (0) am n.0 x 2f12. f ( x , y ) 0xy e xt2dt ，则 ． x y (1,1（12）【答案】4e .【解析】因为 2 f 2 f ，又 f e x xy 2 xxe x 3 y 2,x y y x y从而2fxy(1,1)a 0 1 1 13. 行列式0 a 1 1 1 1 a 0 1 1 0 a（13）【答案】a 2 a 2 4 .【解析】dd xe x 3d dx x1 y 1 x 1e x 3 x e x 3 3x 2 x 1 4e.．a 01 1 a a 0 0 a 0 0 00 a 1 1 0 a 1 1 0 a 1 11 1 a 01 1 a 0 12 a0 1 1 0 a 0 0 a a 0 0 aa11a 2 a 0 a a 3 4a a 2a2 4 . 0 a aπ πsin X ，则cov X ,Y（14）设 X 服从区间 ,上的均匀分布，Y ． 2 21 , π xπ,π 2 【解析】由题意 X 2 的概率密度为 f ( x)其他.0,cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y ),Y sin X , 而E ( X ) 0,π 1 2 πE ( XY ) E ( X sin X ) 2π x sin x dx 02x sin xdxπ π 2 2 π 2 π π02xd cos x x cos x|02 02 cos xdxπ π 2 s in x| π 2. 02π π 9故 cov( X , Y ) 2π 0 π2.三、解答题（15）（本题满分 10 分）求 f ( x , y ) x 3 8 y 3 xy 的极值.（15）【解析】因为 f 3 x 2 y , f24 y 2 x, x y2 x 1 ,3 x y 0, x 0, 6f x解得 联立方程组 f 24 y 2x 0, y 0, 1yy 12.11 故驻点为 0, 0 , , .6 12 在点 0, 0 处：A f xx 0, 0 0,B f xy0, 01, C f yy 0, 00, AC B 21 0 ，故 0, 0 不是极值点. 1 , 1 在点 处： 6 12A f 1 , 1 1 0,B f 1 , 1 1,C f 1 , 1 4, x x xy y y6 12 6 12 6 12 2 1 1AC B 4 1 0 ，故 , 是极小值点，极小值为6 121 1 1 3 1 3 1 1 1 f , . 6 12 216 6 12 6 12 （16）（本题满分 10分）计算I L4x y x y 2 2 dx dy ，其中L 为 x y 2 ，方向为逆时针方向. 4 x 2 y 2 4x 2 y 2 （16）【解析】补曲线L : 4 x 2 y 22 , 其中 0 为一个很小的数，使得4x 2 y 2 21 在曲线L 的内部，方向顺时针，则IL L14 xyxyd yL14x yxyd x d x dy4 x 2y 24 x 2y 24 x 2y 24x 2y21 0记P 4x y, Qx y，因为4 x 2y 24x 2y2P4 x 2 8xy y2Q4 x 2 8xyy2, , y4 x 2y 2 2x4x 2 y22由格林公式知，L L14x yxyd x d y 0.4 x 2y 24x 2y2又4 x y x y L14x 2 y 2 d x4x 2 y2从而I 0ππ.d y 12L1 4 x y dx x y dy11 1 dxdy2D12ππ.2 2（17）（本题满分 10 分）设数列 a n满足a11, ( n 1) a n1( n 12)a n .证明：当 x 1时，幂级数a n x n收敛，并求其和函数.n 1n 11a n 1（17）【证明】由( n1) a n1( n)a ，有2，从而2na nn1n1lim lim21n1n n故当 x 1时，幂级数a n x n收敛.1当 x 1时，设S x a n x n，且a11, 则n 111S xna n x n1 1na n x n1n 1 n 211n1n1a n 1 x n1n1(n2)a n xn11n1na n x n2 n 1a n xn 11 x n1 na n x n12 S x 1xS x 12S x,进而有 1 x S x 1 1 S x , 整理得2 S x 1 S x 1 ，2 1x 1x解之得S xC 12.1 x由题意知，S 0 0 ，故C 2 ，从而有S x 2 2.1 x（18）（本题满分 10 分）为曲面 z x 2 y 2 1 x 2 y 2 4 的下侧， f x 为连续函数，计算Ixf xy 2 x y d ydz yf xy 2 y x d z d x zf xy z dx dy.（18）【解析】因 为曲面 z x 2y 2 1 x 2 y 2 4 的下侧，故由转换投影法知，Ixf xy 2 x y d yd z yf xy 2 y x d z d xzf xy z dxdyxf xy 2 x y z yf xy x D x xf xy 2 x y yfx 2 y 2 D fx 2 y 2xy x 2 y 2 d xd ydxdy 02π d 12 rrdr 14π .x 2 y 2 3 D其中D x , y 1 x 2 y 24 .2 yx z zf xy z d xdy y yxy 2 y xx 2 y 2 12（19）（本题满分 10 分）设 f x 在区间 0, 2 上具有一阶连续导数，且 f 0 f 2 0,M max x0,2 f x .证明：（Ⅰ）存在 0, 2 ，使得 f M ；（Ⅱ）若对任意 x 0, 2 ， f x M ，则M 0 .（19）【证明】（Ⅰ）因 f x 在 0, 2 上连续，故存在最大值M max x0,2 f x .若 M 0 ，则对0,2 ，都有 f0 ，命题成立.若 M 0 ，因 f 0 f 2 0, 故存在 x 0 0, 2 ，使得 f x 0 M .当 x 0 0,1 ，由拉格朗日中值定理知，存在 1 0, x 00,1 ，使得f x 0 f 0 f 1 x 0 ,则f f x 0 M M .有1x0x0当x0 1, 2 ，由拉格朗日中值定理知，存在2 x0, 2 1,2 ，使得f 2 f x0 f 2 2 x0 ,则有f2f x0MM .2x02x0当 x01，由拉格朗日中值定理知，存在3 0,1 ，使得f 3 f 1 f 0 f 1 M .综上，存在 0, 2 ，使得 f M .（Ⅱ）假设M 0 ，因对任意 x 0, 2 ，有 f x M ，由（Ⅰ）知，x0 0,1 或 x0 1, 2 时，存在0, 2 ，使得 fM ，矛盾，从而有M 0 .x0 1时，有 f 1 M ，则 f 1M ，不妨设 f 1 M .构造函数 g x f x Mx, x 0,1 .13因为 g x f x M 0, 故 g x 单调不增.又 g 0 0, g 1 0 ，从而g x 0, x 0,1 ，即 f x Mx , x 0,1 .构造函数h x f x Mx 2 M , x 1, 2 .因为h x f x M 0 ，故h x 单调不减.又h 1 M M 2 M 0, h 2 0 ，从而h x 0, x 1, 2 ，即f x Mx 2M .综上，当 x 0 1时，f xMx, 0 x1, x 2. Mx 2 M ,1因为f 1 lim f x f1lim Mx M M 0, x 1x 1 x 1 x 1f 1 lim f x f1lim Mx 2M M M 0, x 1 x 1x 1 x 1故与 f x 在 x 1 处可导矛盾，从而当 x 0 1时，有M 0 .若 f 1M ，则可构造 g x f x Mx, h x f x Mx 2 M , 同理可证.综上，若对任意 x 0, 2 ， f x M ，则M 0 . （20）（本题满分 11 分）设二次型 f x 1 , x 2 x 12 4 x 1 x 2 4x 22 x y经正交变换 1 Q 1化为二次型x 2 y2 g y 1 , y 2 ay 12 4 y 1 y 2 by 22 , 其中a b .（Ⅰ）求a , b 的值；（Ⅱ）求正交矩阵Q .1 2（20）【解析】（Ⅰ）设二次型 f 的矩阵为 A ，则 A 2 4 .又 f 经正交变换 X QY 化成 g y 1 , y 2 ay 12 4 y 1 y 2by 22 , 即X QY a 2 f X T AX = Y T Q TAQYY T 2 b Y .14a 2 a 2 ，由于Q 为正交矩阵，故 A 与B 相似且合同，因此Q TAQ = 2 b . 记B = 2 btr a b,tr A B , 1 4 解得a 4, b 1或a 1, b 4. 故A B , 即 0, ab 4又a b ，故a 4, b1.4 2 ，且 A 与B 相似. 又（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B =21A E 12 2 5 , 2 4 可知， A 与B 特征值均为 10, 2 5.对于 1 0 ，解 A 0E x 0 ，得 A 的属于特征值 0 的特征向量α1 2 ，1对于 25 ，解 A 5E x 0 ，得 A 的属于特征值 5 的特征向量α2 1 2 ， α 1 2 α 21 1α1 , α2 已经正交化，故直接单位化，得 β1, β .51 5 2故可取 P1β1 , β2，则 P1为正交矩阵，且有 P11 AP10.5对于1 0 ，解 B 0E x 0 ，得B 的属于特征值 0 的特征向量α212，对于25 ，解 B 5E x 0 ，得B 的属于特征值 5的特征向量α12，1故可取 P2β2 , β1，则 P2为正交矩阵，且有 P21BP2.5则有 P 1 AP P 1BP ，因此 P P 1 AP P1 B .1 12 2 2 1 1 2152 1 1 2 4 3取Q = P P1P P T5 5 5 5 55 , 则1 2 1 21 2 2 1 345 5 5 5 5 5Q T = P1 P2T T P2 P1T ,Q 1 = P1 P2T 1P2T 1 P11 P2 P1T .综上，有Q 为正交矩阵，且满足Q T AQ B .（21）（本题满分 11 分）设 A 为 2 阶矩阵， P = α , Aα，其中α是非零向量，且不是A 的特征向量.（Ⅰ）证明 P 为可逆矩阵；（Ⅱ）若 A 2 α + A α 6α 0 ，求 P 1 AP 并判断 A 是否相似于对角阵. （21）【解析】（Ⅰ）若α 与 A α 线性相关，则α 与 A α 成比例，即有 A α k α .由于α 是非零向量，故根据特征值、特征向量的定义知，α 是 A 的属于特征值k 的特征向量. 与已知矛盾，故α 与 A α 无关，从而 P 可逆.（Ⅱ）由 A 2 α + A α 6α 0 知， A 2 α = A α 6α, 则AP = A α , A α A α , A 2 α A α , A α 6α 0 6 0 6α , A α P ,1 1 1 10 6记B ，则有 AP = PB, 得 P 1 AP B ，故 A 与B 相似. 11因为 B E 6 2 632 ,1 1可知，B 的特征值为 13, 22. 故 A 的特征值也为 13, 2 2.因此 A 可相似对角化. 22. （本题满分 11 分）设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 相互独立，其中 X 1 和 X 2 服从标准正态分布， X 3 的概率分 布为P{ X 3 0}P{ X 3 1} 12 ，Y X 3 X 1 (1 X 3 ) X 2 .（Ⅰ）求二维随机变量（X 1 ,Y ）的分布函数，结果用标准正态分布函数 x 表示； （Ⅱ）证明随机变量Y 服从标准正态分布.（22）【解析】（Ⅰ）由F ( x , y) P{ X 1 x, Y y} P{ X 1 x,[ X 3 X 1 (1 X 3 ) X 2 ] y}P{ X 1 x,[ X 3 X 1 (1 X 3 ) X 2 ] y, X 3 0} P{ X 1 x,[ X 3 X 1 (1 X 3 ) X 2 ] y, X 3 1}P{ X 1 x, X 2 y, X 3 0} P{ X 1 x, X 1 y, X 3 1}又X 1 , X 2 , X 3 相互独立，故F ( x , y ) 12 ( x ) ( y ) 12P{ X 1 x , X 1 y} .故 x y 时，F ( x , y ) 12 ( x ) ( y ) 12 ( y ) 12 ( y ) ( x) 1 ；故 x y 时，F ( x , y ) 12 ( x ) ( y ) 12 ( x ) 12 ( x ) ( y) 1 .1 ( y ) ( x ) 1 , x y,2 综上，F ( x , y) 12 ( x ) ( y ) 1 , xy. （Ⅱ）由（Ⅰ）有，F ( y ) lim F ( x , y) lim 1 ( x )( y )1 ( y ) 1( y ) 1 ( y )( y), Y xx 2 2 22故Y 服从标准正态分布．（23）（本题满分 11 分）t me,t 0,1 设某种元件的使用寿命T 的分布函数为：F (t )0, 其他.其中 , m 为参数且大于零. （Ⅰ）求概率P{T t}与P{Ts t | T s}，其中s0, t0 ；（Ⅱ）任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t 1,t 2 ,t n ，若m 已知，求 的最大似然估计值 .（23）【解析】 （Ⅰ）P{T t } 1 P{T t } 1F (t ) 1 1 e ( t )mP{T s t | T s} P{T s t , T s} P{T s t } 1 F (ts)1 F( s )P{T s} P{T s}( t s )m ( t s )m m (t s) m 1 [1e] e se m . 1 [1 ( s ) ( s )me m] etm1 ( t )mt 0, me ,m （Ⅱ）由题意得，T 的概率密度为 f (t ) F (t )其他. 0, n m 1 nt i t i ( )mm n i 1 e i 1 , t 0, n mn i 似然函数L ( )f (ti ; )i 1 其他. 0,n m 1 n t iti( )m 当t 0 时，L ( ) m ni 1 e i 1 ， mni n nln L ( ) n ln m ln t i m 1mn ln(t i)m ，i1 i 1nd ln L( )mnn titi mnt i mmm1mi 10 ，解之得的最大似然估令() d 2 m1i 11 n计值为mn i1t i m.。